Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Departamento de Matemática
Prova 2 de Cálculo II- MAA - 2014/01
1a Questão:
(valor total 3,0 pontos)
(a) (0,8 ponto) Determine o raio R e o intervalo de convergência Ic (não precisa verificar os
∞
∑
(−1)n x2n+2
extremos!) da série de potências
, que converge para uma função f (x);
22n+1 (2n + 1)
n=0
(b) (0,6 ponto) Sabendo-se que 1 ∈ Ic , utilize o resultado de (a) para determinar uma aproximação para o valor de f (1), por uma soma de número finito de termos tal que |E| < 10−2 ;
x
. Determine a série de MacLaurin que converge para g(x)
(c) (1,0 ponto) Seja g(x) = √1−4x
2
(sem usar a definição dos coeficientes) e o seu intervalo de convergência (sem usar limite);
(d) (0,6 ponto) Use o resultado de (c) para determinar a série de MacLaurin de g ′′ (x) e uma
aproximação para g ′′ (x) dada por um polinômio na variável x, de grau 3.
2a Questão: (valor total 3,0 pontos) Considere a curva C, imagem da função vetorial
3
⃗σ (t) = (1 + 6t, t3 + 8t − 23 , 2 + t2 ), e P0 (−5, −9, 3) e P1 (13, 18, 6) pontos de C. Determine:
(a) (0,7 ponto) as equações paramétricas e simétricas da reta r1 , que passa nos pontos P0 e P1 ;
(b) (0,7 ponto) o comprimento do segmento da curva C , entre o ponto inicial P0 e o ponto final
P1 ;
(c) (0,8 ponto) as equações paramétricas da reta r2 , tangente à curva C no ponto P0 ;
(d) (0,8 ponto) uma equação cartesiana do plano que contém a reta r1 e a reta r2 .
3a Questão: (valor total 3,0 pontos) Sejam as superfı́cies S1 , com equação y +
equação y 2 − x2 − z 2 = 2y − 2z.
z
2
= 1 e S2 , com
(a) (0,5 ponto) Identifique e esboce S1 ;
(b) (0,9 ponto) Determine, identifique e esboce pelo menos 2 seções horizontais (S2 ∩ {z = k}),
2 seções verticais (S2 ∩ {x = k}) e outras duas verticais (S2 ∩ {y = k}) de S3 , para valores
de k que ajudem depois no esboço de S2 ;
(c) (0,6 ponto) Utilize o resultado de (b) para obter um esboço justificado de S2 ;
(d) (1,0 ponto) Seja C = S1 ∩ S2 . Determine uma parametrização para a curva C.
f (x)
f (x)
1
1−x
ex
sen (x)
série de MacLaurin de f (x)
∞
∑
xn , se |x| < 1
n=0
∞
∑
n=0
∞
∑
n=0
(1 + x)α
xn
, ∀x ∈ IR
n!
(−1)n x2n+1
, ∀x ∈ IR
(2n + 1)!
cos(x)
série de MacLaurin de f (x)
)
∞ (
∑
α
xn , se |x| ≤ 1, quando α > 0;
n
n=0
se x ∈ (−1, 1], quando −1 < α ≤ 0;
se |x| < 1, para os outros valores de α ̸= 0,
(
)
(
)
α
α
onde
=1 e
= α(α−1)...(α−(n−1))
, se n ∈ IN
n!
0
n
∞
∑
(−1)n x2n
, ∀x ∈ IR
(2n)!
n=0