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Um carrinho se desloca sobre uma superfície
reta e horizontal. No carrinho há um plano inclinado, que
forma um ângulo θ com a horizontal, sobre o plano
coloca-se um corpo que possui coeficiente de atrito μ,
entre o corpo e o plano. Determinar a aceleração do
carrinho para que o corpo esteja na iminência de subir
ao longo do plano. Adote g para a aceleração da
gravidade.
Dados do problema
•
•
•
ângulo de inclinação do plano:
coeficiente de atrito entre o corpo e o plano:
aceleração da gravidade:
θ;
μ;
g.
Esquema do problema
Adotamos um sistema de referência xy com eixo-x paralelo ao plano horizontal e com o
mesmo sentido da aceleração do carrinho.
figura 1
figura 2
Supõe-se o solo (Terra) sem aceleração, referencial inercial. O carrinho possui
aceleração a em relação ao solo, referencial não-inercial. As Leis de Newton valem para
referenciais inerciais, portanto para que o corpo permaneça em repouso sobre o carrinho ele
deve ter, em relação ao solo, a mesma aceleração a do carrinho (figura 1).
Isolando o corpo e pesquisando as forças que agem nele, temos a força peso (P),
como o corpo está na iminência de subir temos a força de atrito entre o plano e o corpo ( f at )
no sentido da descendente do plano se opondo a este movimento e a reação normal da
superfície (N), figura 2.
Solução
A força de atrito e a reação normal podem ser decompostas em duas, uma
componente paralela ao eixo-x ( f a t x , N x ) e a outra normal ou perpendicular ( f a ty , N y ).
figura 3
O ângulo do plano inclinado é dado como sendo θ, da figura 3-A vemos que o ângulo
da direção x e o plano inclinado também é θ (são ângulos alternos internos). A reação normal é
1
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perpendicular ao plano inclinado, forma um ângulo de 90º, o ângulo entre a direção x e a
normal é  = 90o −θ , figura 3-B. Como as direções x e y são perpendiculares entre si o ângulo
entre a reação normal e a direção y e 90o −90o −θ = 90o −90o θ = θ , figura 3-C.
O ângulo entre a força de atrito e a componente da força de atrito na direção-x ( f a t x ) é
θ, é o mesmo ângulo do plano inclinado, são ângulos alternos internos (figura 4).
figura 4
figura 5
Desenhamos os vetores num sistema de eixos coordenados, figura 5.
As componentes da força de atrito serão dadas por
f
f
=f
at y = f
at x
at
at
cosθ
sen θ
(I)
(II)
com o módulo da força de atrito
f a t = N
(III)
e as componentes da reação normal dadas por
N x = N sen θ
N y = N cosθ
(IV)
(V)
e o módulo da força peso dada por
P = mg
(VI)
Aplicando a 2.a Lei de Newton
 =m 
F
a
Na direção x temos a componente N x da reação normal, a componente f a t x da força
de atrito e a aceleração a do movimento
N xf a t x = ma
(VII)
substituindo (I), (III) e (IV) em (VII), temos
N sen θN cos θ = m a
(VIII)
Na direção y temos a componente N y da reação normal, a componente f a t y da força
de atrito e a força peso P, a aceleração é nula nesta direção
N y −f
a ty
−P = m. 0
2
(IX)
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substituindo (II), (III), (V) e (VI) em (IX), temos
N cosθ− N sen θ−m g = 0
N cosθ− N sen θ = m g
(X)
Dividindo a expressão (VIII) por (X) obtemos
N sen θ N cosθ m a
=
N cos θ−N sen θ m g
colocando N em evidência no numerador e no denominador do lado esquerdo da igualdade
ficamos com
N sen θcos θ
ma
=
N cosθ−N sen θ m g
simplificando a reação normal N do lado esquerdo da igualdade e a massa m do lado
esquerdo, temos
sen θcosθ 
a
=
cosθ−N sen θ g
a
sen θ cosθ
=
g cos θ−N sen θ
a =g

sen θcosθ
cosθ− senθ
3
