Introdução à trigonometria
Trigonometria
MA092 – Geometria plana e analı́tica
O que é trigonometria
A trigonometria é um ramo da matemática no qual se estuda
Introdução à trigonometria do triângulo retângulo.
As relações entre ângulos e distâncias, usando triângulos
retângulos.
Francisco A. M. Gomes
A representação de fenômenos periódicos da vida real.
UNICAMP - IMECC
Assim, podemos definir as funções trigonométricas como funções
Setembro de 2015
de ângulos (para trabalharmos com triângulos);
de números reais quaisquer (para os fenômenos periódicos).
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Setembro de 2015
1 / 20
Introdução à trigonometria
Setembro de 2015
2 / 20
Introdução à trigonometria
Um problema prático de distância
Resumo do problema
Problema 1
Queremos determinar os comprimentos y e z das barras da treliça de
cobertura dada na figura acima, sabendo que
a base da treliça mede 6 m;
o ângulo entre a barra superior e a horizontal mede 20◦ .
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Setembro de 2015
3 / 20
Problema 1 simplificado
Dados x e θ, determinar y e z.
Dificuldade: se conhecêssemos dois lados do triângulo retângulo,
poderı́amos usar o teorema de Pitágoras para determinar o outro.
Entretanto, conhecemos apenas um lado e os três ângulos.
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Setembro de 2015
4 / 20
Primeiras relações trigonométricas
Primeiras relações trigonométricas
Relação entre ângulo e lado de um triângulo retângulo
Cateto em função do ângulo e da hipotenusa
Tomando a hipotenusa de um triângulo retângulo como o diâmetro de
uma circunferência, observamos que
os comprimentos dos catetos são definidos unicamente em função
do ângulo θ.
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Setembro de 2015
5 / 20
Primeiras relações trigonométricas
Relação entre ângulo e lado de um triângulo retângulo
Seno
Dado um triângulo retângulo com um ângulo agudo θ, a razão entre o
cateto oposto a θ e a hipotenusa é chamada seno de θ:
sen(θ) =
cateto oposto
y
=
hipotenusa
z
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Setembro de 2015
6 / 20
Primeiras relações trigonométricas
Relação entre ângulo e lado de um triângulo retângulo
Seno e cosseno em triângulos semelhantes
y1
y2
= .
z1
z2
x1
x2
cos(θ) =
=
.
z1
z2
sen(θ) =
Cosseno
Dado um triângulo retângulo com um ângulo agudo θ, a razão entre o
cateto adjacente a θ e a hipotenusa é chamada cosseno de θ:
cos(θ) =
cateto adjacente
x
=
hipotenusa
z
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Observando dois triângulos semelhantes, reparamos que o seno e o
cosseno não dependem das medidas dos catetos ou da hipotenusa, mas
apenas do ângulo θ.
Seno e cosseno como funções de θ
O seno e o cosseno podem ser definidos como funções do ângulo θ
Setembro de 2015
7 / 20
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Setembro de 2015
8 / 20
Primeiras relações trigonométricas
Primeiras relações trigonométricas
Exercı́cio 1
Exercı́cio 2
Triângulo retângulo com dois lados conhecidos
Determinar sen(θ) e cos(θ).
Triângulo retângulo com todos os lados conhecidos
√
√
z 2 = 42 + 22 = 20 → z = 20 = 2 5.
√
√
√
sen(θ) = 2/z = 2/(2 5) = 1/ 5 = 5/5.
√
√
√
cos(θ) = 4/z = 4/(2 5) = 2/ 5 = 2 5/5.
Determinar sen(θ) e cos(θ).
sen(θ) =
cat. oposto
3
=
hipotenusa
5
cos(θ) =
cat. adjacente
4
= .
hipotenusa
5
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Setembro de 2015
9 / 20
Primeiras relações trigonométricas
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Setembro de 2015
10 / 20
Primeiras relações trigonométricas
Voltando ao problema da treliça
Ângulos complementares
α + β = 90◦
(α e β são complementares)
sen(α) =
Observamos que cos(20◦ ) = x/z = 3/z e sen(20◦ ) = y/z.
z = 3/cos(20◦ ) ≈ 3/0, 940 ≈ 3, 19m
y = z · sen(20◦ ) ≈ 3, 19 · 0, 342 ≈ 1, 09m
Setembro de 2015
e
cos(α) =
x
= sen(β)
z
Seno e cosseno de ângulos complementares
Se α e β são ângulos complementares, então
Sabendo que cos(20◦ ) ≈ 0, 940 e sen(20◦ ) ≈ 0, 342, obtemos
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
y
= cos(β)
z
sen(α) = cos(β)
11 / 20
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Setembro de 2015
12 / 20
Primeiras relações trigonométricas
Primeiras relações trigonométricas
Ângulos complementares
Relação fundamental
Podemos determinar os catetos a partir da
hipotenusa e do ângulo θ:
Exemplo
√
3
1
, determine
Sabendo que sen(30◦ ) = e cos(30◦ ) =
2
2
sen(60◦ )
cos(60◦ )
e
sen(θ) =
y
z
→
y = z · sen(θ)
cos(θ) =
x
z
→
x = z · cos(θ)
√
3
2
1
cos(60◦ ) = sen(30◦ ) =
2
◦
Se a hipotenusa medir 1, os catetos
medirão sen(θ) e cos(θ).
◦
sen(60 ) = cos(30 ) =
Assim, pelo teorema de Pitágoras,
sen2 (θ) + cos2 (θ) = 1.
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Setembro de 2015
13 / 20
Outras funções trigonométricas
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Setembro de 2015
14 / 20
Outras funções trigonométricas
A tangente
Secante (sec), cossecante (csc) e cotangente (cot)
Em um triângulo retângulo, temos
Tangente
Em um triângulo retângulo, a
tangente de θ é dada por
tan(θ) =
cateto oposto
.
cateto adjacente
sec(θ) =
hipotenusa
cateto adjacente
=
1
cos(θ)
csc(θ) =
hipotenusa
cateto oposto
=
1
sen(θ)
cateto adjacente
cateto oposto
=
1
tan(θ)
cot(θ)
=
Assim,
tan(θ) =
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
sen(θ)
.
cos(θ)
Setembro de 2015
Observe que cot(θ) =
15 / 20
cos(θ)
sen(θ) .
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Setembro de 2015
16 / 20
Exercı́cios
Exercı́cios
Exercı́cio 3
Exercı́cio 4
Rampa de bicicleta
Uma rampa tem altura h = 1, 5m e ângulo de inclinação igual a 15◦ .
Determine seu comprimento, c.
Altura da torre
Parado a 120m do centro da base de
uma torre, um topógrafo descobre que
o ângulo de elevação do topo da torre
mede 69, 7◦ . Determine a altura
aproximada da torre.
tan(69, 7◦ ) = h/120
h = 120 · tan(69, 7◦ )
◦
sen(15 ) = h/c
h ≈ 120 · 2, 70 ≈ 324m.
c = h/sen(15◦ ) ≈ 1, 5/0, 259 ≈ 5, 79m.
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Setembro de 2015
17 / 20
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Exercı́cios
Setembro de 2015
18 / 20
Setembro de 2015
20 / 20
Exercı́cios
Exercı́cio 5
Exercı́cio 6
Problema
Determine o seno do ângulo θ tal que cos(θ) = 0, 7
sen(θ) ≈ 0, 714.
Problema
Determine o valor de x na figura.
√
160 3
x=
3
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Setembro de 2015
19 / 20
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica