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• Prof. Eduardo Nobre Lages
EES/CTEC/UFAL
• PET/Engenharia Civil/UFAL
• PEC/Engenharia Civil/UFAL
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EDO’s – 1a Ordem

Formas de apresentação da equação diferencial:
y( x)  f ( x, y( x))
 Forma Normal


Forma Diferencial
M(x, y)dx  N( x, y)dy  0
Métodos de Solução:
 Situação elementar na forma normal
y( x )   f ( x )dx  C
x
x2
C
Exemplo: y( x )   cos(x )   y( x )   sen(x ) 
5
10
y( x )  f ( x )
A solução representa uma
família de curvas
EDO’s – 1a Ordem

Métodos de Solução (continuação):
 Situação elementar na forma diferencial
M(x)dx  N( y)dy  0
 M(x)dx   N( y)dy  C
Conhecida como equação diferencial
com variáveis separáveis
dy
0
dx
4 xdx  9 ydy  0   4xdx   9 ydy  0
Exemplo: 4 x  9 y( x ) y( x )  0 ou 4 x  9 y
 2x 2 
9 2
y C
2
A solução representa uma família
de elipses centradas na origem
EDO’s – 1a Ordem

Métodos de Solução (continuação):
 Situação particular na forma normal que pode ser reduzida
a uma equação diferencial com variáveis separáveis
 y
y( x )  f  
x
y( x )
Mudança de variável: u ( x ) 
x
 y(x)  u(x)x  y(x)  u(x)x  u(x)
Fazendo a substituição na equação original tem-se que
u(x)x u(x)  f(u) ou
1
ln(x) 
du  C
u  f (u )
1
1
dx 
du  0
x
u  f (u )
Com variáveis separáveis
Ao se determinar a solução implícita da ED, fazse a substituição de u(x) por y(x)/x, definindo-se
a solução em termos das variáveis originais.
EDO’s – 1a Ordem
1y x
2xyy  y 2  x 2  0 ou y    
2 x y
1
1
2u
 f (u )   u    ln(x )   2 du  C
2
u
u 1
Exemplo:




ln(x)  ln u 2  1  C ou x u 2  1  K
Retornando às variáveis originais e arrumando a
expressão tem-se que
x 2  y2  Kx
A solução representa uma família
de circunferências
EDO’s – 1a Ordem

Métodos de Solução (continuação):
 Equação diferencial exata
Definição: A equação diferencial é dita exata quando as funções
M(x,y) e N(x,y) da forma diferencial gozam da propriedade
M( x, y) N( x, y)

y
x
Quando um equação diferencial é exata, então existe uma
função u(x,y) tal que o seu diferencial total representa o
membro esquerdo da equação diferencial, ou seja,
u ( x, y)
u ( x, y)
dx 
dy  M( x, y)dx  N( x, y)dy
x
y
u ( x, y)
u ( x, y)

 M ( x , y) e
 N ( x , y)
x
y
du 
É sabido que para as funções “suaves” a derivada cruzada de
segunda ordem independe da seqüência de derivação, ou seja,
  u(x, y)    u(x, y) 
N(x, y) M(x, y)

  
ou


x  y  y  x 
x
y
Condição já garantida
EDO’s – 1a Ordem

Equação diferencial exata (continuação)
Solução: Partimos de uma das igualdades entre as derivadas
parciais da função u(x,y) e as funções M(x,y) e N(x,y).
Considerando a primeira delas,
u ( x, y)
 M( x, y)  u ( x, y)   M( x, y)dx  f ( y)
x
Substituindo agora esse resultado na segunda igualdade tem-se



M( x, y)dx  f ( y)  N( x, y)

y
df ( y)


 N ( x , y) 
M( x, y)dx

dy
y

 f ( y)   N(x, y)dy   
M( x, y)dx

 y

Cuidado!


dy

Como du(x,y) também é igual a zero, tem-se que a função u(x,y)
é uma constante, de onde se conclui que a solução implícita da
equação diferencial exata é dada por

M
(
x
,
y
)
dx

N
(
x
,
y
)
dy



  y
 M(x, y)dx dy  C

EDO’s – 1a Ordem

Equação diferencial exata (continuação)


Exemplo: 2x sen(3y)dx  3x 2 cos(3y)  2y dy  0
Verificando se a equação diferencial é exata
M( x, y)  2x sen(3y)
N( x, y)  3x 2 cos(3y)  2 y
M N
Como

 6x cos(3y) a ED é exata.
y x
Desenvolvendo as parcelas temos
2
Mdx

x
sen(3y) e


y
 Mdx  3x
2
2
2
Ndy

x
sen(
3
y
)

y


cos(3y)   
 y
 Mdxdy  x
2
sen(3y)

2
2
chegando-se à solução implícita: x sen(3y)  y  C
EDO’s – 1a Ordem

Fator de integração de uma ED não exata:
 Motivação - É possível transformar uma ED exata em uma
não exata multiplicando-a por uma certa função.
Exemplo:

x2
x
,
porém
ydx

dy  0 é não exata.
xydx  dy  0 é exata
2
2
Idéia – Encontrar uma certa função (fator de integração)
que transforme uma ED não exata em um exata.
Considerarque M(x, y)dx  N(x, y)dy  0 seja não exata.
Problema


F( x, y)  ? | FMdx  FNdy  0 seja exata (FM) 
(FN)
y
x
Este problema é mais
complicado que o original.
Troquei uma EDO por uma
EDP.
EDO’s – 1a Ordem

Fator de integração de uma ED não exata (continuação):
Se F  F( x ) , então


M dF
N
(FM) 
(FN)  F

NF
y
x
y dx
x
1 dF 1  M N 


 

F dx N  y x 
F=F(x) só existirá se o membro à
direita for independente da variável y.
Possibilidades:
• O membro à direita independe de y – Determinamos o fator de
integração, reescrevemos a ED (agora exata) e solucionamos com o
método já apresentado.
• Caso contrário – Tentamos encontrar um fator de integração que só
dependa da variável y, ou seja, F=F(y).
1 dF 1  N M 

F dy
F=F(y) só existirá se o membro à
direita for independente da variável x.




M  x y 
EDO’s – 1a Ordem

Fator de integração de uma ED não exata (continuação):
Exemplo:
4x  3y dx  2xydy  0
2
M( x, y)  4x  3y 2 e N( x, y)  2xy
M
N

 6y 
 2y  ED não exata
y
x
Existe algum fator de integração do tipo F=F(x)?
1  M N 
1

 
6y  2y  2  F  F(x) é possível

N  y x  2xy
x
1 dF 2 1
2
  dF  dx  ln( F)  2 ln( x )  F( x )  x 2
F dx x F
x
Trabalhando as etapas posteriores chegamos a seguinte solução
implícita da equação diferencial
x 4  x 3 y2  C
EDO’s – 1a Ordem

Equação diferencial ordinária linear:
 Formato y(x)  p0 (x) y(x)  q(x)

Homogênea y(x)  p0 (x) y(x)  0
Solução:
Variáveis
separáveis
1
p
(
x
)
dx

dy  0
Na forma diferencial 0
y
Empregando o procedimento já apresentado
1
 p 0 (x )dx   y dy  C
p
0
( x )dx  ln(y)  C
ln(y)  C   p 0 ( x )dx
y( x )  e C   p 0 ( x ) dx
y( x )  e C e   p 0 ( x ) dx
y( x )  Ke  p 0 ( x ) dx
Solução geral
EDO’s – 1a Ordem

Equação diferencial ordinária linear (continuação):
 Não Homogênea y(x)  p0 (x) y(x)  q(x)
Solução:
Na forma diferencial p0 (x) y  q(x)dx  dy  0
Não
exata
Procurando um fator de integração no formato F=F(x)
1 dF 1  M N 
  p0 (x) é possível
 

F dx N  y x 
1
dF  p 0 ( x )dx  ln( F)   p 0 ( x )dx  F( x )  e  p 0 ( x ) dx
F
Desenvolvendo o procedimento já apresentado
e
p 0 ( x ) dx
p 0 ( x ) y  q( x ) dx  e 

 M(x, y)dx   e
p 0 ( x ) dx
 M(x, y)dx    e
p 0 ( x ) dx
dy  0
p 0 ( x )ydx   e 
p 0 ( x ) dx
q( x )dx e


 N(x, y)dy  e
p 0 ( x ) dx
y



 p 0 ( x ) dx p ( x )dx
p 0 ( x )dx   
M
(
x
,
y
)
dx
dy

y
e
0




y


 p 0 ( x ) dx p ( x )ydx  e  p0 ( x ) dx q( x )dx  e  p 0 ( x ) dx y  y e  p 0 ( x ) dx p ( x )dx  C
e
0
0




y
p 0 ( x ) dx
 p 0 ( x ) dx 
 p0 ( x ) dx q( x )dx  C 
 y( x )  e 
e



Solução geral
EDO’s – 1a Ordem

EDO Linear Não Homogênea (continuação)

Exemplo: Modelo linear de Kelvin
(t ) , (t )
E
Por equilíbrio (t )  M (t )  A (t ) (t )  E(t )   (t )
ou  ( t ) 
E
( t )
( t ) 


EDO Linear Não
Homogênea
Solucionando a equação diferencial resultante
( t )  e


 ( t )  e
E
dt

  E dt ( t )

 e
dt  C 






E
 t

 E t ( t )

 e
dt  C 






Solução geral
dependente da função
de “carregamento”
EDO’s – 1a Ordem
Exemplo: Modelo linear de Kelvin (continuação)
No ensaio de fluência ( t )  
( t )  e
E
 t

 ( t )  e
E
E
 t 
t
 E t 




 e
dt  C   ( t )  e   e dt  C 









E
 t

E

t
   E t




e  C   ( t )   Ce
 E

E


Solução
geral
Impondo a condição inicial do problema
E
 t
 


1 e  
(0)  0   C  0  C    ( t ) 

E
E
E 

1
E  0,25

( t )
()
E  1,00

0 .5
E  4,00

0
0
5
t
10
15
J(t ) 
( t )

Módulo de
Fluência do
Material
EDO’s – 1a Ordem

EDO Linear Não Homogênea (continuação)

Exemplo: Modelo do sólido linear padrão
E0
(t ) , (t )
E
Por equilíbrio (t )  0 (t )  1 (t )
Das relações constitutivas 0 (t )  E00 (t ) e 1 (t )  E1 (t )  1 (t )
Da equação de compatibilidade (t )  0 (t )  1 (t)
 ( t ) 
E
 ( t ) ( t ) 
E

( t ) 

1  


E0
  E0 
No ensaio de fluência ( t )  
 ( t ) 
É necessário
prescrever a tensão
ou a deformação em
função do tempo

E

E 
 + Condição inicial (0) 
( t )  1 

  E0 
E0
E
 t
  
( t ) 
 1 e  

E 0 E 

EDO’s – 1a Ordem
Exemplo: Modelo do sólido linear padrão (continuação)
No ensaio de relaxação (t )  
E
 ( t ) ( t ) 
E 
1 




E0
  E0 
ou
 ( t ) 
E0  E
EE
( t )  0 


+
Condição inicial (0)  E0 

E 0  
(t ) 
E  E 0e 
E0  E 

 E0 E 
t
 



