PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE MATEMÁTICA - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
4115T-04 Equações Diferenciais e Transformadas Integrais
Trabalho 1 - Equações Diferenciais Exatas
Estude em casa o conteúdo abaixo e resolva os exercícios propostos. No dia do trabalho 1, você
deverá resolver, em aula e em grupo, problemas de equações diferenciais exatas.
Introdução: Resolva a equação diferencial (2 x + y 2 ) dx + 2 xy dy = 0 . Note que essa equação
não é homogênea nem separável, logo os métodos apropriados para esses tipos de equação não
são aplicáveis. No entanto, observe que existe a função U( x, y) = x 2 + xy 2 com a propriedade
∂U
∂U
= 2x + y 2 e
= 2xy . Podemos escrever a equação diferencial como
∂x
∂y
∂ U ( x , y)
∂U( x, y)
dx +
dy = 0 , isto é d U( x, y) = 0 . Portanto sua solução é U( x, y) = C .
∂x
∂y
Definição: Uma equação diferencial da forma M ( x, y) dx + N( x , y) dy = 0 é chamada exata se
a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata. Ou seja, existe uma função U(x, y) tal
que a diferencial total de U(x, y) é M ( x, y) dx + N( x, y) dy . Nesse caso, a solução da equação
é U(x, y) = C.
Exemplo 1: Mostre que a equação diferencial x 2 y 3 dx + x 3 y 2 dy = 0 é exata.
Solução: Existe a função U( x, y) =
EDO é exata e sua solução é
∂U
∂U
x 3 y3
tal que
= x 2 y3 e
= x 3 y 2 , ou seja, esta
∂x
∂y
3
x 3y3
= C ou, melhor, x 3 y 3 = C .
3
Observação 1: A questão central aqui reside em como encontrar esta função U(x,y). Para
∂U
∂U
tanto, basta resolver as duas equações diferenciais
= M ( x , y) e
= N( x, y) . Vejamos
∂x
∂y
este processo para o nosso exemplo 1:
∂U
x 3 y3
= x 2 y 3 ⇒ U( x , y) = ∫ x 2 y 3 dx =
+ K ( y) .
∂x
3
Observe que quando integramos na variável x, o y é considerado constante e, em
conseqüência, a constante arbitrária K depende de y. Para encontrarmos K(y), substituímos a
expressão obtida para U(x,y) na segunda EDO:
⎞
∂U
∂ ⎛⎜ x 3 y 3
+ K ( y) ⎟ = x 3 y 2 ⇒ x 3 y 2 + K ′( y) = x 3 y 2 ⇒ K ′( y) = 0 ⇒ K ( y) = K ,
= x3y2 ⇒
⎟
∂y
∂ y ⎜⎝ 3
⎠
3 3
x y
ou seja, U( x , y) =
+ K , onde K pode ser considerado nulo.
3
Observação 2: Se a EDO não for exata, este processo não funcionará e teremos perdido
tempo durante o mesmo. O teorema a seguir fornece um método sistemático de determinar se
uma equação diferencial dada é exata, evitando perda de tempo.
Teorema: Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas numa
região retangular do plano xy. Então, uma condição necessária e suficiente para que
∂ M ( x , y) ∂ N ( x , y)
M ( x, y) dx + N( x , y) dy = 0 seja uma equação diferencial exata é
.
=
∂y
∂x
No exemplo 1:
[
]
[
]
∂ N ( x , y) ∂ x 3 y 2
∂ M ( x , y) ∂ x 2 y 3
=
= 3x 2 y 2 =
=
.
∂y
∂y
∂x
∂x
Exemplo 2: Resolva a equação diferencial ( y cos x + 2xe y ) + (senx + x 2 e y − 1) y' = 0.
Solução: Primeiramente, observe que esta EDO não é homogênea nem separável e ela pode
ser rescrita como ( y cos x + 2 xe y ) dx + (senx + x 2 e y − 1) dy = 0. Assim:
[
]
[
]
∂ M ( x , y) ∂ y cos x + 2xe y
∂ N( x, y) ∂ senx + x 2 e y − 1
y
=
= cos x + 2xe =
=
, ou seja, a
∂y
∂y
∂x
∂x
EDO é exata. Desta forma, vamos aplicar o processo exposto na observação 1:
∂U
= M ( x , y) = y cos x + 2xe y ⇒ U( x, y) = ∫ y cos x + 2xe y dx = ysenx + x 2 e y + K ( y) .
∂x
Para encontrarmos K(y), substituímos a expressão obtida para U(x,y) na segunda EDO:
∂
∂U
= N( x, y) = senx + x 2 e y − 1⇒
ysenx + x 2 e y + K ( y) = senx + x 2 e y − 1
∂y
∂y
(
)
(
)
⇒ senx + x 2 e y + K ′( y) = senx + x 2 e y − 1⇒ K ′( y) = −1 ⇒ K ( y) = − y + K,
ou seja, U ( x , y) = ysenx + x 2 e y − y + K . Portanto, a solução do problema será U( x, y) = C ,
isto é, ysenx + x 2 e y − y = C .
dy
= 4x 3 + 4 xy .
dx
Solução: Esta EDO é rescrita como − 4 x 3 + 4 xy dx + (1 − 2 x 2 − 2 y) dy = 0 Assim:
Exemplo 3: Resolva a equação diferencial (1 − 2 x 2 − 2 y)
[(
(
)]
)
[
]
∂ N ( x , y) ∂ 1 − 2 x 2 − 2 y
∂ M ( x , y) ∂ − 4x 3 + 4xy
, ou seja, a EDO é exata.
=
= −4 x =
=
∂x
∂x
∂y
∂y
Desta forma, vamos aplicar o processo exposto na observação 1:
∂U
= M ( x , y) = − 4 x 3 + 4 xy ⇒ U( x, y) = − ∫ 4x 3 + 4xy dx = − x 4 + 2x 2 y + K ( y) .
∂x
Para encontrarmos K(y), substituímos a expressão obtida para U(x,y) na segunda EDO:
∂
∂U
− x 4 + 2 x 2 y + K ( y) = 1 − 2 x 2 − 2 y
= N ( x , y) = 1 − 2 x 2 − 2 y ⇒
∂y
∂y
(
)
(
((
)
)
(
)
⇒ −2x 2 + K ′( y) = 1 − 2 x 2 − 2 y ⇒ K ′( y) = 1 − 2 y ⇒ K ( y) = y − y 2 + K,
)
(
U( x, y) = C , isto é, − (x
)
y)+ y − y
ou seja, U( x , y) = − x 4 + 2 x 2 y + y − y 2 + K . Portanto, a solução do problema será
4
+ 2x 2
2
= C.
Observação 3: Algumas vezes é possível transformar uma equação diferencial
M ( x, y) dx + N( x , y) dy = 0 que não é exata em uma equação exata multiplicando-se a
equação por um fator integrante apropriado µ ( x, y) . Este assunto não será tratado aqui, mas o
leitor interessado poderá encontrá-lo na literatura indicada.
Exemplo 4: Mostre que a equação diferencial x 2 y 3 + x (1 + y 2 )
mostre que µ ( x , y) =
1
xy 3
dy
= 0 não é exata e, depois,
dx
é um fator integrante para esta EDO.
Solução: Esta EDO é rescrita como x 2 y 3 dx + x (1 + y 2 ) dy = 0 e não é exata, pois:
[
]
[
]
∂ N( x , y) ∂ x (1 + y 2 )
∂ M ( x , y) ∂ x 2 y 3
.
=
= 3x 2 y 2 ≠ (1 + y 2 ) =
=
∂x
∂x
∂y
∂y
1
Porém, multiplicando-a pelo fator integrante µ ( x, y) = 3 , obtemos a EDO exata
xy
x dx + ( y
−3
[
]
∂ N( x , y) ∂ y −3 + y −1
∂ M ( x , y) ∂ [x ]
+ y ) dy = 0 , pois
.
=
=0=
=
∂x
∂x
∂y
∂y
−1
Exercícios: Nos Problemas seguintes, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
1
(2 x − 1) dx + (3y + 7) dy = 0 .
2
(5x + 4 y) dx + (4 x − 8 y 3 )dy = 0 .
3
(2 y 2 x − 3)dx + (2 yx 2 + 4)dy = 0 .
( x + y)( x − y)dx + x ( x − 2 y)dy = 0 .
Resposta: x 2 − x +
Resposta:
3 2
y + 7y = C .
2
5 2
x + 4 xy − 2 y 4 = C .
2
6
Resposta: x 2 y 2 − 3x + 4 y = C .
Resposta: não é exata, mas é homogênea.
( y 3 − y 2 senx − x )dx + (3xy 2 + 2 y cos x )dy = 0 . Resposta: xy 3 + y 2 cos x − 1 x 2 = C .
2
− xy
−1
Resposta:
não
é
exata.
( y ln y − e )dx + ( y + x ln y)dy = 0 .
7
xy' = 2 xe x − y + 6 x 2 .
Resposta: xy − 2 xe x + 2e x − 2 x 3 = C .
8
(1 − 3x −1 + y)dx + (1 − 3y −1 + x )dy = 0 .
1
(x 2 y 3 −
)dx + x 3 y 2 dy = 0 .
2
1 + 9x
Resposta: x + y + xy − 3 ln xy = C .
4
5
9
Resposta: x 3 y 3 − artg (3x ) = C .