TAREFA
PROPOSTA
Resolução
MATEMÁTIC A
6. b
Se {0; 5; 6} = {5; x; y}, temos:
x = 0 e y = 6 ou x = 6 e y = 0
Ou seja: x + y = 6
MF.01
1. d
Se {1; 4; 5} = {x; y; 1}, temos:
x = 4 e y = 5 ou x = 5 e y = 4, sendo que, em ambos:
x + y = 9
7. d
2. b
B
A
M
N
5
1
3
6
2
4
8. d
M = {1; 2; 5; 6}
3. c
A
B
A
B
c
I. (A 5 B) =
X%Y
X
Y
X
Y
=
II. Ac 5 B c =
U
U
X%Y
% X%Y
X
A
Y
=
B
III. (A % B)c =
U
(
CADERNO 1
X%Y
∩
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
x
) (
)
Portanto: X % Y ∪ X % Y = X % Y
A
4. b
Sejam A = {1; 2} e B = {1; 2; 3; 4}
B
IV. Ac 5 Bc =
B
X
A
A
1
B
2
V. A — B =
x = {1; 2; 3; 4}
x = {1; 2; 3}
x = {1; 2; 4}
x = {1; 2}
Quatro possibilidades.
A
B
VI. B % AC =
5. c
X tem a elementos, logo X possui 2a subconjuntos.
Y tem b elementos, logo Y possui 2b subconjuntos.
2a = 2b + 48 s 2a – 2b = 48
Duas potências de 2 cuja diferença é 48 são 64 e 16,
ou seja:
64 – 16 = 26 – 24 = 48
Logo, X tem 6 elementos e Y, 4 elementos.
Das alternativas, temos: (A % B)c = Ac 5 Bc
9. n(A 5 B) = n(A) + n(B) – n(A % B)
108 = 46 + n(B) – 24
108 = 22 + n(B)
n(B) = 86
B possui 86 elementos.
1
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10.
14. a
A
B
A
B
5
14
1.500
3
4
2
500
6
500
500
15
C
C
A
B
15. e
5
4
2
Basquete
Volêi
6
35
21
71
C
n[(A 5 B) % C] = 12
66
11. d
Pela observação do diagrama de Euller-Venn, tem-se que o total de
alunos é dado pela soma 35 + 21 +71 + 66, ou seja, 193.
80
50
16. c
n(A 5 B) = n(A) + n(B) – n(A % B)
75 = 20 + 60 – n(A % B)
n(A % B) = 80 – 75
n(A % B) = 5
x
300
17.
80 + 50 + x = 300
130 + x = 300
x = 170
Pela observação do diagrama de Euller-Venn, o número de alunos
que estudam inglês é dado pela soma 50 + 170, ou seja, 220.
Meninos
Usam óculos
47 – 24
24
Não usam óculos
35
62 – 24
Meninos
Meninas
Usam óculos
23
24
Não usam óculos
35
38
12.
Guitarra
Bateria
83 – x
x
Meninas
Pela observação da tabela, o número de crianças é dado pela soma
23 + 24 + 35 + 38, ou seja, 120.
41 – x
18. e
Seja M o conjunto “ser médico”; B o conjunto “usar roupa branca” e
H o conjunto “trabalhar em hospital”.
Seja também o diagrama a seguir.
14
83 – x + x + 41 – x + 14 = 120
138 – x = 120
x = 18
18 alunos tocam guitarra e bateria.
B
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Inglês
Espanhol
H
M
13.
B
C
Observe o diagrama e note que nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira.
15
8
19.
9
220 – x
A
A
340 + x
A – (B 5 C)
B
140
C
B
420
x
160
640
C
a)
b)
A
9 elementos
340 + x + 220 – x + 420 + 140 + 160 + 640 + x = 2.000
1.920 + x = 2.000 s x = 80
80 pessoas votaram a favor dos três candidatos.
340 + x = 340 + 80 = 420
Assim: 420 + 420 + 640 = 1.480
2
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20.
A
a) Sócios que podem votar em B ou C, mas não em A: 20, que
corresponde a n[(B % C) – A].
Sócios que participariam da eleição, mas não votariam em
B: 40 + 10 + 100 = 150, que corresponde a n [(A 5 B 5 C) – B].
b) O número de sócios que participaram da pesquisa é dado pela
soma 40 + 70 + 10 + 10 + 20 + 100 + 150, ou seja, 400,
que corresponde ao conjunto universo.
B
20
40
45
15
10
12
55
MF.02
1. a
I. V
II. F, pois (œ – Ω) = racionais não inteiros
(œ – ˜) = racionais não inteiros e negativos
(œ – Ω) % (œ – ˜) = racionais não inteiros
III. F, pois (Ω – Ω +∗ ) = Ω –
(® – œ) = irracionais
(Ω – % irracionais) = ∅
IV. V
C
A partir da distribuição feita no diagrama de Euller-Venn, o número
total de pessoas que participaram da pesquisa é dado pela soma
40 + 20 + 45 + 10 + 15 + 12 + 55, ou seja, 197.
21. c
Candidatos eliminados:
Matemática
Redação
2. b
x
,
... = x
1777

17,777... = 10 x

Temos:
16 = 9 x
16
Daí: x =
9
16 4
,
... =
= = 1333
,
...
Logo: 1777
9
3
76 – x
175 – x + x + 76 – x = 219
251 – x = 219 s x = 32
22. b
De acordo com o enunciado, para cada 100 jovens brasileiros temos
a seguinte situação:
3. c
Pois 5 + 5 2 # œ
2
Trabalham
Estudam
25
25
4. e
a) {x 3 Ω / x < 1} = {..., –3; –2; –1; 0}
b) {x 3 Ω / x2 > 0} = Ω*
c) {x 3 Ω / x2 = 1} = {–1; 1}
35
d) {x 3 œ / x2 < 2} = {x 3 œ / − 2 < x 2 }
15
e) 1 < 2x < 4 s
A probabilidade de que um jovem brasileiro, escolhido ao acaso,
não estude nem trabalhe é dada pela razão
15
, ou seja, 15%.
100
Y
10%
24%
6. b
8%
1%
2%
7%
20%
O número de entrevistados que não preferem X nem Y é igual a
20% + 28%, ou seja 48%.
III. Falsa
• m = 7 é um número irracional.
• a = 0 é um número racional.
y a · m = 0 é um número racional.
24.
A
B
0
40
7. c
a)
b)
c)
d)
70
10
10
20
100
C
I. Falsa
• m = 2 + 3 é um número irracional.
• n = 8 – 3 é um número irracional.
y m + n = 10 é um número racional.
II. Verdadeira
• m = 2 + 1 é um número irracional.
• n = 2 – 1 é um número irracional.
y m · n = ( 2 + 1) ⋅ ( 2 – 1) = 1 é um número racional.
Z
28%
1
< x < 2 s Se x 3 ˜, então x = 1.
2
5. b
A = {...; –8; – 6; – 4; –2; 0; 2; 4; 6; 8; ...}
B = {...; –8; – 4; 0; 4; 8; ...}
C = {...; –7; –5; –3; –1; 1; 3; 5; 7; ...}
A % B = {...; –8; – 4; 0; 4; 8; ...} = B
Atividades extras
23. d
X
CADERNO 1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
175 – x
(F) Por exemplo, se x = –3, então: –(–3) > 0
(F) Por exemplo, se y = 4, então: 4 = 2 (racional)
(V)
(F) Verdadeiro apenas para z < 0.
36
9
8. a) 0,36 = =
100 25
150
3
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57
10
c) 198,198 =
198.198
99.099
ou 1.000
500
d) 0,00003 =
3
100.000
e) 3,14 =
O algarismo das dezenas é o 4 e, portanto, o número procurado está
entre 40 e 50. Os números primos nesse intervalo são 41, 43 e 47.
As possíveis somas dos algarismos são dadas por 5, 7 e 11.
13. b
7 – 4 3 = 4 + 3 – 4 3 = 4 – 4 3 + 3 =
= 22 – 2 · 2 3 +
314
157
ou 100
50
\
–2
(
= (2 − 3 )
2
)
2
2
2− 3
= 2− 3
x = 7 − 4 3 + 3
x = 2 – 3 + 3
x = 2
Portanto x é racional.
9. V – V – V – V – F
A
7−4 3 =
( 3)
3
14. b
A quantidade de água economizada em uma torneira seria:
B
0
5
· 16.500 = 6.875 litros de água
12
A quantidade de água economizada em 360 residências seria:
360 ⋅ 6.875 = 2.475.000 litros de água
Cada 1.000 litros corresponde a 1 m3 e, assim, a economia seria de
2.475 m3 de água.
C
–1
I. V
II. V
III. V
IV. V
V. F [–2; –1]
15. A
–4
1
B
10. d
Sejam a e b os números procurados.
a2 – b2 = 24 s (a – b) ⋅ (a + b) = 24
As possibilidades são:
a)
b)
c)
d)
e)
(Não convém, pois a e b não são números naturais.)
a – b = 2
2
s a = 7 e b = 5 \ (a + b) = 144

a + b = 12
6
–3
C
a − b = 1
25
23
⇒a=

eb =
2
2
a + b = 24
–1
4
A 5 B = {x 3 ® / –4 < x < 6}
B % C = {x 3 ® / –1 < x < 4}
A – C {x 3 ® / –4 < x < –3}
C – B {x 3 ® / –3 < x < –1}
(A 5 B) – C = {x 3 ® / –4 < x < –3 ou 4 < x < 6}
16.
11
5
a − b = 3
⇒a=

eb =
2
2
a + b = 8
3
A
4
B
(Não convém, pois a e b não são números naturais.)
a)
b)
c)
d)
e)
a − b = 4
2
⇒ a = 5 e b = 1\ ( a + b ) = 36

a + b = 6
(Não há essa alternativa.)
11. d
Um ano não bissexto tem 365 dias, ou seja, (52 ⋅ 7 + 1) dias e, assim, cada ano não bissexto desloca o primeiro dia do ano seguinte
de um dia da semana.
Um ano bissexto tem 366 dias, ou seja, (52 ⋅ 7 + 2) dias e, assim,
cada ano bissexto desloca o primeiro dia do ano seguinte de dois
dias da semana.
Desta forma, temos:
• 2007 não é bissexto: 2008 inicia em uma terça-feira.
• 2008 é bissexto: 2009 inicia em uma quinta-feira.
• 2009 não é bissexto: 2010 inicia em uma sexta-feira.
• 2010 não é bissexto: 2011 inicia em um sábado.
• 2011 não é bissexto: 2012 inicia em um domingo.
• 2012 é bissexto: 2013 inicia em uma terça-feira.
• 2013 não é bissexto: 2014 inicia em uma quarta-feira.
• 2014 não é bissexto: 2015 inicia em uma quinta-feira.
• 2015 não é bissexto: 2016 inicia em uma sexta-feira.
• 2016 é bissexto: 2017 inicia em um domingo.
• 2017 não é bissexto: 2018 inicia em uma segunda-feira.
7
9
A 5 B = [3; 9]
A % B = [4; 7]
A – B = [3; 4[
B – A = ]7; 9]
(A 5 B) – (A % B) = [3; 9] – [4; 7] = [3; 4[ 5 ]7; 9]
17. d
O século XVI começa no ano de 1501 e termina em 1600 e, assim,
temos 1501 < n2 < 1600. Os possíveis valores de n são 39 e 40.
n = 39 s n – 23 = 16 ∴ n2 – (n – 23) = 1505, ou seja: século XVI
n = 40 s n – 23 = 17 ∴ n2 – (n – 23) = 1583, ou seja: século XVI,
porém Leonardo da Vinci já havia falecido.
Logo, o quadro foi pintado em 1505, quando Leonardo da Vinci tinha (1505 – 1452) anos, ou seja, 53 anos de idade.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
b) 5,7 =
18. a
Temos: 3.000 = (428 ⋅ 7 + 4)
Assim, após 3.000 dias, terão se passado 428 semanas e mais quatro dias. Se 20 de julho “caiu” em um domingo, 3.000 dias depois
“cairá” em uma quinta-feira.
19. d
0
A
3
B
12. b
Seja a o algarismo das dezenas e b, o algarismo das unidades e, assim, pode-se escrever esse número na forma ab. Colocando-se o zero
entre esses algarismos, o algarismo a passa a ser o algarismo das
centenas e, então o número passa a ser apresentado na forma: a0b
Pelo enunciado, tem-se:
(100a + b) = (10a + b) + 360
100a + b = 10a + b + 360
90a = 360
a = 4
C
3
–2
3
(B – A) = ]–8; 0[
(B – A) % C = ]–8; 0[ %[–2; 3] = [–2; 0[
20. e
a+b
a
b
1 1 1 1
=
+
= + = +
ab
ab ab b a 9 8
a + b 8 + 9 17
=
=
y
ab
8 ⋅ 9 72
4
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21. Soma = 13 (01 + 04 + 08)
3. d
Os números positivos divisíveis por 2, 3, 4 e 5 são os múltiplos do
mínimo múltiplo comum desses números, ou seja, são os múltiplos
de 60.
Eles pertencem ao conjunto A = {60; 120; 180; 240; …; 960},
sendo n(A) = 16.
5
A
3
4. b
(01) (V)
(02) (F) 3 3 A e 6 # A s {3; 6} ! A
(04) (V)
(08) (V)
(16) (F) A 5 B = ®
N = 17 ⋅ d + 11

N + d = 335 ⇒ N = 335 − d
s 17 ⋅ d + 11 = 335 − d s 18 ⋅ d = 324 \ d = 18
5. a) 2r 3 ˜ e
22. d
N = 214 ⋅ 353 s N = (3 ⋅ 7)4 ⋅ (5 ⋅ 7)3 s N = 34 ⋅ 53 ⋅ 77
n[D+(N)] = (4 + 1) ⋅ (3 + 1) ⋅ (7 + 1) ∴ n[D+(N)] = 160
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Atividades extras
23. a = 3 2 + 5 + 3 2 − 5
a3 = ( 3 2 + 5 + 3 2 − 5 )3
a3 = 2 + 5 + 3 ⋅
3
O maior valor para r é 8.
b) I. D = 31 · 4 + r s D = 124 + r
II. D = 17 · 7 + 2r s D = 119 + 2r
s 124 + r = 119 + 2r s r = 5 e D = 129
(2 + 5 )2 (2 − 5 ) + 3 ⋅
a = 4+3⋅
3
(4 + 4 5 + 5)(2 − 5 ) + 3 ⋅
a3 = 4 + 3 ⋅
3
(9 + 4 5 )(2 − 5 ) + 3 ⋅
3
a3 = 4 + 3 ⋅
a3 = 4 + 3 ⋅
3
3
18 − 5 − 20 + 3 ⋅
–2 – 5 + 3 ⋅
3
3
3
3
3
(2 + 5 )(2 − 5 )2 + 2 − 5
6. O fato descrito no enunciado ocorrerá em um tempo representado
por um número de anos que é múltiplo comum a 12, 30 e 84. Além
disso, procura-se a próxima observação, ou seja, deseja-se o menor
múltiplo comum dos três números dados.
(2 + 5 )(4 − 4 5 + 5)
(2 + 5 )(9 − 4 5 )
18 + 5 − 20
12 = 22 ⋅ 3 

30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5  ⇒ MMC(12; 30; 84) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⇒
2
84 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7
–2 + 5
3
3
3
a = 4 – 3 ⋅ 2 + 5 − 3 ⋅ 2 − 5
3
3

a = 4 − 3 ⋅  2 + 5 + 2 – 5 
a3 = 4 – 3a
a3 + 3a – 4 = 0
a3 + 3a + a – a – 4 = 0
a3 – a + 4a – 4 = 0
a(a2 – 1) + 4(a – 1) = 0
(a – 1)[a (a + 1) + 4] = 0
(a – 1)(a2 + a + 4) = 0
I. a – 1 = 0 s a = 1
II. a2 + a + 4 = 0
D = 1 – 16 = –15
Não convém, pois a 3 ®.
Logo, a = 1 e 1 é racional.
3
s MMC(12; 30; 84) = 420
Esse tempo corresponde a 420 anos terrestres.
7. b
1
28 2
14 2; 4
7 7;14; 28
1
D+(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28}
1 1 1 1
1
28 + 14 + 7 + 4 + 2 + 1 56
1+ + + +
+
=
=
=2
2 4 7 14 28
28
28
a + bp2
a + bp2
> p s
−p>0
a+b
a+b
2
a + bp − ap − bp
>0
a+b
Como a > 0 e b > 0, temos que: a + b > 0
Logo, deveremos ter:
a + bp2 – ap – bp > 0 s a – ap + bp2 – bp > 0
a(1 – p) – bp(1 – p) > 0 s (1 – p)(a – bp) > 0
Como p > 1, temos que: 1 – p < 0
Logo, deveremos ter: a – bp < 0 s a < bp
a < p
b
24.
8. c
I. 160 x s 160 = ax + 7 s 153 = ax
7 a
II. 370 x s 370 = bx + 13 s 357 = bx
13 b
153 e 357 são múltiplos de x.
O MDC(153 e 357) é 51.
Logo: x = 51 e
512 = 2.601
9. d
360 = 23 · 32 · 5
A = 23 · 3x · 5y
B = 104 ·38 = 24 · 54 · 38 = 23 · 2 · 5 · 53 · 32 · 36
MDC(A; B) = 23 · 32 · 5
\ x = 2 e y = 1
x + y = 3
c. q. d.
MF.03
1. e
Fatorando o número 900, temos: 900 = 22 ⋅ 32 ⋅ 52
Um divisor qualquer de 900 não pode apresentar outros fatores que
não apareçam no número e, nesse caso, também não pode apresentar o fator 5. Assim, os divisores de 900 nas condições do enunciado
são: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36, cuja média é dada por:
0 < 2r < 17 s 0 < r < 17
2
CADERNO 1
B
10. a
O número 4x é sempre par e 12y, da mesma forma, é sempre um
número par. A soma de dois números pares resulta, sempre, um número par. Assim, 4x + 12y jamais resultará um número 1.705, pois
esse é um número ímpar.
1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 + 36
91
=
9
9
2. c
I. V, pois o produto de dois números pares é par.
II. V, pois o produto de dois números ímpares é ímpar.
III. F, a2 = 6 é par e a = 6 não é par nem ímpar.
IV. F, a2 = 3 é ímpar e a = 3 não é par nem ímpar.
11. e
O número de dias para um próximo retorno simultâneo é um múltiplo comum a 30, 48 e 72 e, necessariamente, o menor deles, ou
seja, o mínimo múltiplo comum desses números.
5
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30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 

48 = 24 ⋅ 3  ⇒ MMC(30; 48; 72) = 24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⇒
3
2 
72 = 2 ⋅ 3 
462 : 231 = 2
⇒ 2 ⋅ 4=8 quadrados

924 : 231 = 4
s MMC(30; 48; 72) = 720
20. e
240 – 1 = (220)2 – 12 = (220 – 1)(220 + 1) =
= [(210)2 – 1] · (220 + 1) = (210 – 1) · (210 + 1) · (220 + 1) =
= [(25)2 – 1] · (210 + 1) · (220 + 1) =
= (25 – 1)(25 + 1) · (210 + 1) · (220 + 1)
Portanto, 240 – 1 é divisível por
25 – 1 e por 25 + 1, ou seja, por 31 e 33.
12. b
Para que ocorra o menor número de pedaços, cada pedaço deverá
ter o maior tamanho possível. Será um divisor comum de 96 e 150
e deverá ser o maior possível, ou seja, deve ser o máximo divisor
comum desses números.

96 = 25 ⋅ 3
 ⇒ MDC(96; 150) = 2 ⋅ 3 ⇒ MDC((96;150) = 6
150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 52 
21. Seja n o número de livros.
Assim, o número (n – 3) é múltiplo de 12, é múltiplo de 15 e é,
também, múltiplo de 20. Os múltiplos comuns a 12, 15 e 20 são os
múltiplos do MMC desses números.
O MMC(12; 15; 20) = 60 e, então, n – 3 = 60. Portanto, o número
de livros é 63.
96 : 6 = 16 pedaços
⇒ 41 ped
daços

150 : 6 = 25 pedaços
13. e
MDC(1350; 1224) = 18
• Cada grupo deverá ter 18 pessoas.
• (1.350 : 18) = 75 grupos só de rapazes e (1.224 : 18) = 68
grupos só de garotas, num total de 143 grupos.
Assim, serão necessários 143 professores.
22. d
Sejam x o número de pessoas no grupo e n o número de rodadas
completas da caixa de bombons a que o grupo teve acesso.
x · n + 1 = 21 s x · n = 20 s x · n = 2 · 2 · 5
Possibilidades:
14. c
Seja o número N apresentado na forma a seguir:
N = 100c + 10b + a
Logo, com os algarismos de N em ordem invertida, determina-se um
número N’, apresentado na forma:
N = 100a + 10b + c
Tem-se que:
N – 396 = N’ s 100a + 10b + c – 396 = 100c + 10b + a s
s 99a – 99c = 396 s a – c = 4
a − c = 4
⇒ a = 6ec = 2

a + c = 8
Nº de rodadas
2
10
4
5
5
4
10
2
20
1
Atividades extras
23. Fatorando o número 4.400, temos 4.400 = 24 · 52 · 11.
Fatorando o número 924, temos 924 = 22 · 3 · 7 · 11.
Para que 4.400 seja divisível por 924, devemos multiplicá-lo por 3
e por 7.
Assim, o menor número inteiro que devemos multiplicar por 4.400
para que ele seja divisível por 924 é o 21.
Assim, o algarismo das centenas de N é 6
15. d
p = MMC(18; 24) = 72
16. a
Basta encontrarmos o número de divisores naturais de 2.004.
2.004 = 22 · 3 · 167
n(D+) = (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 3 · 2 · 2 = 12
24. a) Em 5 dias, o máximo que deverá ser consumido é 5 · 70 = 350 mg.
Portanto devem-se comprar dois frascos de 200 mg ou um frasco de 500 mg.
b) Duas embalagens com 200 mg cada uma saem por R$ 16,00 e
uma embalagem com 500 mg sai por R$ 13,00. Assim, tem-se o
menor gasto quando se opta pela embalagem de 500 mg, sendo a
diferença entre os gastos de 16 – 13 = R$ 3,00.
c) Como o consumo será de 350 mg, tem-se um desperdício de
50 mg utilizando-se dois frascos com 200 mg cada, enquanto se
utilizando um frasco com 500 mg, o desperdício é de 150 mg. Logo,
o menor desperdício é obtido usando-se frascos de 200 mg.
17. b
MDC(a; b) · MMC(a; b) = a · b s ab = 190
a + b = 43
a · b = 190
Fatorando 190, temos:
190 = 2 · 5 · 19 = 38 · 5 (soma 43)
Logo: a = 38; b = 5 ou a = 5; b = 38 e 38 – 5 = 33
18. d
O número de dias para a próxima manutenção simultânea é um múltiplo comum a 3, 4 e 6 e, necessariamente, o menor deles, ou seja,
o mínimo múltiplo comum desses números.
3=3 

4 = 22  ⇒ MMC(3; 4; 6) = 22 ⋅ 3 ⇒ MMC(3; 4; 6) = 12

6 = 2 ⋅ 3
MF.04
1. d
A nova manutenção simultânea ocorreu no dia 14 de dezembro.
19. b
Para que ocorra um número mínimo de quadrados, o lado de cada
quadrado deverá ter o maior tamanho possível. Será, em centímetros, um divisor comum de 462 e 924 e o maior possível, ou seja,
deverá ser o máximo divisor comum desses números.
2. d
Nº de pessoas
462 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 
 s MDC(462; 924) = 3 ⋅ 7 ⋅ 11 s
924 = 22 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11
s MDC(462; 924) = 231
(a
−1
+ b −1
)
 b + a
=
 ab 
−2
−2
 1 1
= + 
 a b
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
−2
=
2
 ab 
a2b2
=
=

2
 a + b
(a + b)
33+ x − 3 x −3 33 ⋅ 3 x − 3 x ⋅ 3−3
=
=
3 x + 3 x −3
3 x + 3 x ⋅ 3−3

1
36 − 1
3 x  33 − 3 
3

3 
= 33
3 +1
1
x 
3 1 + 3 
 3 
33
36 − 1 728
=
= 26
33 + 1
28
6
OPV11TP1M.indd 6
10/14/10 2:09:19 AM
3.
12. c
MMC(4; 5) = 20
4 7 = 4·5 75 = 20 16.807
5 7 = 5·4 74 = 20 2.401
4 8 = 4·5 85 = 20 32.768
5 6 = 5·4 64 = 20 1.296
Portanto, o maior é 4 8 .
222
= 222 − 1 = 221
2
4. e
9n = k
Se n for par, o algarismo das unidades de k é 1.
Se n for ímpar, o algarismo das unidades de k é 9.
Portanto, o algarismo das unidades de 981 é 9.
5
13. a)
5. e
x
3x + 2 + 3x + 1 + 3x − 1 + 3x − 2
=
3x + 3x − 1 + 3x − 2
3
3x
+ 2
3
3 =
3x 3x
3x +
+ 2
3 3
3 x ⋅ 32 + 3 x ⋅ 3 +
x
6
b)
x
3
3x
3
3x
12 ⋅ 3 x +
+
+
3
9
3
9 =
=
=
3x 3x
3x 3x
x
x
3 +
+
3 +
+
3
9
3
9
108 ⋅ 3 x + 3 ⋅ 3 x + 3 x
112 ⋅ 3 x 112
9
=
=
=
x
x
x
13
9 ⋅3 +3⋅3 +3
13 ⋅ 3 x
7
2
5⋅ 6
=
6
7
24
7
4
3 62
=
2
6 ⋅ 7 24
7
2 ⋅2
3
5⋅6
30
=
3⋅6
18
=
4
(3 + 6 ) =
5
⋅
(3 − 6 ) (3 + 6 )
c)
9 ⋅ 3x + 3 ⋅ 3x +
⋅
3
6
⋅
3 6
6 ⋅ 7 24
=
7
=
7
2
(
5 ⋅ 3+ 6
2
3
− ( 6)
2
6 ⋅ 7 24
= 3 ⋅ 7 24
2
)=3
5 + 5 ⋅ 6 3 5 + 30
=
9−6
3
14. e
50 + 128 − 288 = 25·2 + 64·2 − 144·2 =
= 25· 2 + 64 · 2 − 144 · 2 = 5 2 + 8 2 − 12 2 =
= 2(5 + 8 − 12) = 2
9
15. a
1 1
1+ +
a n + a·a n + a2· a n a n (1 + a + a2 )
2 4 =
=
=
a4·a n + a5·a n
a4 ·a n (1+
+ a)
1
1
1+
16  2
=
16. a
a)
b)
c)
d)
4 + 2 +1
7
7 · 32 56
4
= 4 = = 1
3
3
4 · 3
3
· 16 2
32
1
1
a = 2−3 = 3 =
2
8
b = (–2)3 = –8
315 ⋅ (9 − 3) 5 15
= 3 = 33 = 27
6
32 = 4 2
125 =
52 ·5 = 5 5
64 = 5 25 · 2 = 25 2
3
243 = 3 33 · 32 = 33 9
27a2 – 9a4 · b2 = 9 ·3a2 – 9 · a2 · a2 · b2 =
5
= 9a2·(3 – a2 · b2 ) = 3·|a|· 3 − a2 · b2
1
1
−2
c = 3 = 32 = 9
18. d
1
1
−3
= −
d = ( −2)
( −2)3
8
1 1
1
>
> − > −8
8
9
8
a > c > d > b
(
(a − b)
3
=
19. c
I. (F)
II. (V)
III. (F)
8. e
−2
3

 1
2−1 +   − 1.2070 + 42  =
 2


IV. (V)
1
1
= + 22 − 1 + 43 = + 4 − 1 + 64 =
2
2
=
5
(F) (20 é múltiplo de 4 e não terminará nem por 4 nem por 8)
(V) 25 + 100 ≠ 15
(V)
16 = 4 16 = 4 24 = 2
(V) 8 = 2 2
17. a)
b)
c)
d)
7. d
315 ⋅ 32 − 315 ⋅ 3
=
6
5
CADERNO 1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
6. d
a− b
3
3
=
)
( 3 a )3 − ( 3 b )3
3
a− b
3
=
( 3 a − 3 b ) ( 3 a2
3
+ 3 ab + 3 b2 )
a− b
3
=
a2 + 3 ab + 3 b2
4
2
4 3
a3b = 12 a3b
a3 · 2·3 b2 = 6 a3· b2
a3 b =
a·3 b =
2·3
a5
=
a4
a
2 5
10
Duas igualdades são verdadeiras.
1
1
23
+ 3 + 8 = + 11 =
= 115
,
2
2
2
20. a
1
1+ 2
9. e
x = 48 ⋅ 10–4 ⋅ 10–20 = 48 ⋅ 10–24 = 32 ⋅ 1,5 ⋅ 10–24
y = 1,5 ⋅ 10–24
x = 32y
=
1
+
2+ 3
+
1
3+ 4
+
1
4+ 5
+
1
999 + 1.000
=
2 −1
3− 2
4− 3
5− 4
1.000 − 999
+
+
+
++
=
2 −1
3−2
4 −3
5−4
1.000 − 999
= 2 − 1 + 3 − 2 + 4 − 3 + 5 − 4 +  + 1.000 − 999 =
= −1 + 1.000 = −1 + 10 10 = 10 10 − 1
10. b
x = 3150
y = (33)60 = 3180
z = (34)40 = 3160
3150 < 3160 < 3180 s x < z < y
21. c
3
Z =
11. d
a = 4 · 46 s a = 47
220
b=
= 219
2
3

32 − 34 − 73 + 8
=  32 − 34 − 81 ⋅ 100 =
1


100
= 100 ⋅
= 100 ⋅
3
32 − 34 − 9 = 100 ⋅
3
27 = 3 · 100 = 300 3
32 − 25 = 3 32 − 5 ⋅ 100 =
7
OPV11TP1M.indd 7
10/14/10 2:09:33 AM
22. b
5⋅2
=
32 ⋅ 2
10
=
64
O triângulo é isósceles, portanto BC = 40 m e a largura do rio é
x m.
10
3,16
=
= 0,395  0,40
8
64
H
Atividades extras
23. b
x =
B
30°
x
6 + 32 + 6 − 32
40
x = 6 + 32 + 2 (6 + 32 )(6 − 32 ) + 6 −
2
x = 12 + 2· 36 − 32
x 2 = 12 + 2· 4
x2 = 12 + 4
x2 = 16
x = 4
2
32
C
x
1
x
sen 30° =
s = s x = 20 m
40 2 40
3. d
tg 30° =
24. d
m é par e n é par s
( n + 1) é ímpar

5 ⋅ 1+ 7 ⋅ (−1) + 8 ⋅ 1
\E =3
s ( m + n) é par s
2 ⋅1

( m − n) é par
⇒ H =
H − 180
,
H − 180
,
3
⇒
=
⇒
7
7
3
7 3
+ 180
, \ H = 6,00 m
3
4. c
Observe a figura:
m é ímpar e n é par s
( n + 1) é ímpar

5 ⋅ (−1) + 7 ⋅ (−1) + 8 ⋅ (−1)
\ E = 10
s ( m + n) é ímpar s E =
2 ⋅ (−1)

( m − n) é ímpar
m é par e n é ímpar s
( n + 1) é par

5 ⋅ 1+ 7 ⋅ 1+ 8 ⋅ (−1)
\ E = −2
s ( m + n) é ímpar s E =
2 ⋅ (−1)

( m − n) é ímpar
B
x
60°
30°
D
C
m é ímpar e n é ímpar s
( n + 1) é par


5 ⋅ (−1) + 7 ⋅ 1+ 8 ⋅ 1
\E =5
s ( m + n) é par s E =
2 ⋅1

( m − n) é par

A
50 m
O triângulo BDA é isósceles.
Logo, BD = 50 m.
No triângulo BCD, temos:
BC
3
x
s
=
s x = 25 3 m s
BD
2 50
s x = 25 ⋅ 173
, s x = 43,25 m
sen 60° =
MF.05
1. a
5. b
y
45°
x
60°
21
• tg 60º=
sx =
• tg 45º=
9
9
s 3 =
s
x
x
sen 30° =
x
1
x
s =
s x = 10,5 m
21 2 21
9
9 3
sx =
sx =3 3
3
3
x
30°
9
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
5
=
32
3º andar — 10,5 m
2º
9
9
s1=
s x+y = 9s
x+y
x+y
(
7m
1º
s3 3 +y = 9 s y = 9 −3 3 s y = 3 3− 3
)
3,5 m
Térreo
2. b
Chegará até o 3º andar.
40
A
H
B
x
6. a
(BC)2 = (AC)2 + (AB)2 s 132 = (AC)2 + 52 s
s (AC)2 = 169 – 25 s (AC)2 = 144 ∴ AC = 12
AC = CM + AM = 12 e CM = AM s CM = AM = 6
75°
AM
6
tg b = AB \ tg b = 5
30°
75°
7. Completando a figura, temos:
C
8
OPV11TP1M.indd 8
10/14/10 2:09:43 AM
C
30°
30°
y
x
30°
z
D
Assim, no triângulo EFG,
10
I. sen 60° =
AC
3
x
s
=
s x = 5 3 m
CD
2 10
II. cos 60° =
AD 1
z
s =
s z = 5 m
CD 2 10
s 4 x = 1 − x s 5x = 1 s x =
1
5
24 cm
h
30°
h
24
1
h
=
s h = 12 cm
2 24
sen 30° =
x 1 5 3
s =
s y = 10 3 m
y 2
y
1
EF
x 3
(1− x )
s =
s
= 2x s
FG 2 (1− x ) ⋅ 3
2
2
10. b
Seja H a altura total do suporte.
Tem-se a figura:
No triângulo ABC, temos:
sen 30° =
sen 30º =
B
De onde se conclui que o triângulo BCD é isósceles de base BC.
\ CD = 10 m
Assim temos, no triângulo ACD:
•
•
H = h – 4 + 3 s H = 11 cm
8.
B
x
C
6
5
11. c
D
3
tg α =
s tg 2 α = 3 s tg α = 3
tg α
Por Pitágoras, temos:
Rio
60°
(BC )2 = 32 + tg2 α
CADERNO 1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
120°
60°
3
s FG =
A
(1 − x ) ⋅
2
(BC )2 = 9 + 3 s (BC )2 = 12 s BC = 2 3
AB + BC + AC = 3 + 2 3 + 3 = 3 + 3 3
A
a) A distância entre B e D é de x + 5.
sen 60° =
A
\ BD = 3 3 + 5
30°
b) SDABD
12. c
x
3 x
s
s
s x = 3 3
6
2
6
( BD ) · ( AB)
=
2
h
Temos:
5
B
AB 1 AB
cos 60° =
s =
s AB = 3
6
2
6
Logo: SDABD =
(3 3 + 5)·3
2
9.
C
60°
13.
tg 30° = S = 5
3 5
15 3
s
= sh =
sh =5 3
h
3
h
3
BC · h
10 · 5 3
s S = s S = 25 3
2
2
C
G
M
60°
4
30°
R
h
4
F
x
60° 30°
A
60°
60°
E
B
A
B
EF
EF
s
= 3 \ EF = x 3
x
x
⋅
EF
AF
( ) ( ) \ S = x2 3
=
AFE
2
2
CM 3 CM
3
s =
s CM =
AC
8
4
2
a)
DAFE: tg 60º =
a) cos Ĉ =
S AFE
( AM ) + (CM )
s h2 = 16 −
2
ˆ igual a 30º.
ˆ for reto, EGF
b) No triângulo EFG, se FEG
C
D
FG
3
FG
No triângulo CFG , CF = 1 – x e sen 60º =
s
=
s
CF
2
(1 − x )
2
2
 3
2
= ( AC ) ⇒ h2 +   = 42 ⇒
 2
9
55
s h2 =
\h=
4
4
55
2
b) h é altura do triângulo ABC e também do triângulo ABR.
9
OPV11TP1M.indd 9
10/14/10 2:09:55 AM
BR 4
BR
4
BR
4
= s
= s
= s
BC 7 BR + CR 7 BR + CM + MR 7
4
BR
s
= s 7( BR ) = 4 ( BR + 3) s
BR + 3 7
s 7 ⋅ (BR) = 4 ⋅ (BR) + 12 s 3 ⋅ (BR) = 12 ∴ BR = 4
S ABR =
( BR ) ⋅ ( AM )
2
s S ABR =
4⋅
2
55
2 \S
ABR =
h
h
h
⇒ =3 3⇒ x =
x
x
3 3

π
h
h
h 
tg α =
⇒ tg =
⇒ 3 ⋅ 4 +
 =h
h
4+ x
3

3
3
4+
3 3
h
2h
⇒ 4 3 + = h ⇒
= 4 3 \ h = 6 3.
3
3
tgb =
55
17. d
14. a)
F
D
C
E
H
3
3
60°
D
tg 60° =
G
E
1
1
x
EF
EF
s 3 =
s EF = 17
, km
DE
1
cos 60° =
2
A
DE 1
1
s =
s DF = 2 km
DF 2 DF
x
F
B
Tem-se HB = AE = 3 e HG = 2, ou seja: (HB – BG).
No triângulo EHG, tem-se:
2
2
2
2
2
2
( EH ) + ( HG ) = ( EG ) s ( EH ) + 2 = 3 s EH = AB = 5
FB = AB − AF s FB = 5 − x
No triângulo BFG, tem-se:
2
2
2
2
( FG ) = ( FB) + ( BG ) s x 2 = ( 5 − x ) + 12 s
F
s x 2 = 5 − 2 5 x + x 2 + 1 s 2 5 x = 6 s x =
18. b
60°
B
cos 60° =
C
3
BC 1
3
s =
s BF = 6 km
BF 2 BF
C
A
B
1.000 – h
tg 30° =
B
19. b
C = medida da corda
B = medida do bambu
Da figura, temos: C = B + 3
Assim, na figura 2, temos:
60° 45°
h
h 45°
E
Aplicando Pitágoras no triângulo CDE, temos:
2
132 = 52 + DE
169 – 25 = DE 2
DE 2 = 144
DE = AB = 12 cm
15. c
Da figura, temos:
30°
4
D
BD = BF − DF = 6 − 2 = 4 km
\ BD = 4 km e EF = 17
, km
b) A pessoa percorreu (2 + 4 + 1 + 1,7 + 3,3) km = 12 km
y = 4 + 0,8 · 12 = R$ 13,60
A
9
9–4
6
3 5
\ x =
5
2 5
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
h
3
h
s
=
s
1.000 − h
3
1.000 − h
s 1.000 3 − h 3 = 3h s h 3 + 3h = 1.000 3 s
s h ⋅ ( 3 + 3) = 1.000 3 s h =
1.000 3
3 +3
B+3
B
s h  360 m
8
16. c
Aplicando Pitágoras, temos:
(B + 3)2 = B2 + 82
2
2
B + 6B + 9 = B + 64
h
π
3
4
6B = 55
B H 9,2 chih
β
20. a
Seja d a distância percorrida pelo ciclista.
x
10
OPV11TP1M.indd 10
10/14/10 2:10:07 AM
Assim;
30
30
sen 3° =
s 0,05 =
\ 600 metros
d
d
d
600
V = t s 4 = t s t = 150 segundos \ t = 2,5 minutos
21. e
D
C
MF.06
1. a
Pela lei dos senos, temos:
c
= 2R
sen Cˆ
Como med(Aˆ ) + med(Bˆ ) + med(Cˆ ) = 180°, temos: med(Cˆ ) = 45°
Daí:
6( 6 + 2
E
h
30°
30°
B
F
6
6
s 2R = 12
) = 2R s 12(
(
6+ 2
2
No triângulo AFE, tem-se:
h h
3
tg 30° = 6 s 6 = 3 \ h = 2 3 cm.
(
3 +1)
2
= 2R s
)
3 + 1 cm
( AB) ⋅ ( EF )
12 ⋅ 2 3
S
s S ABE =
\ S ABE = 12 3 cm2
ABE =
2
2
5+r
5–r
Atividades extras
22. b
RF
3 RF
s
=
\ RF = 10 3
tg 30° =
RM
3
30
120°
5
Seja C (x; 0) as coordenadas do escritório de Coordenação.
Assim:
(5 + r)2 = 52 + (5 – r)2 – 2 ⋅ 5 ⋅ (5 – r) ⋅ cos 120° s
 1
⇒ 25 + 10r + r 2 = 25 + 25 − 10r + r 2 − 2 ⋅ (25 − 5r ) ⋅  −  ⇒
 2
y (metros)
F
s 20r = 50 – 5r s 25r = 50 ∴ r = 2
Os lados desse triângulo medem 3, 5 e 7 e o produto dessas medidas é igual a 105.
30
–x
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
2 ⋅
2. d
Sejam os lados de triângulo dados por (a – r), a e (a + r), ou seja, os
lados formam uma PA.
(a – r) + a + (a + r) = 15 s a = 5
Logo, os lados do triângulo são (5 – r), 5 e (5 + r).
12
10 3
) = 2R s 12
30°
C (X;0)
R
x
(
M (30;0)
x (metros)
3. a
Pela lei dos senos, temos:
a
b
c
=
=
= 2R
sen A sen B sen C
30 – x
)
2
x 2 + 10 3 = (30 − x )2 s x 2 + 300 = 900 − 60 x + x 2 s
s 60x = 600 ∴ x = 10 metros
23. d
tg α 4
=
3 ⋅ tg α = 4 ⋅ tg b s
tg b 3
AB
AB
Então:
= 2R s
= 2·1
sen 45°
2
2
AB = 2· 2 s AB =
2

h
h
s PT =


PT
tg α
tg α
h
h − 10
=
sh=
⋅ ( h − 10) s
s
tg b
tg b
h − 10
h − 10  tg α
tg b =
s PT =
PT
tg b 
tg α =
4
s h = 3 ⋅ ( h − 10) s 3h = 4h − 40 \ h = 40 metros
CADERNO 1
A
2
2
2
4. a
Seja AB = x
Pela lei dos cossenos, temos:
x2 = 1 + 1 – 2 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ cos 120°
x 2 = 2 + 2 ⋅ 1 s x2 = 3 s x = 3
2
Perímetro = 2 + 3
24. c
5. e
Observe a figura:
A
8,2
O’
D
3,6
B
360° = 30°
12
8,2
6,4
15
x
O
C
Aplicando Pitágoras no triângulo O’AD, temos:
(8,2)2 = (1,8)2 + (O’D)2
67,24 – 3,24 = (O’D)2
(O’D)2 = 64 s O’D = OC = 8 m
x
15
e
I. Pela lei dos cossenos, temos:
e2 = 152 + 152 − 2 ⋅ 15 ⋅ 15 ⋅ cos 30°
2
e = 450 − 225 3 s e = 225(2 − 3 ) ⇒ e = 15 2 − 3
11
OPV11TP1M.indd 11
10/14/10 2:10:18 AM
6.
10. d
C
14
cm
O
x
M
105°
45°
A
10 c
m
P
30°
75°
B
3
H
a) Pela lei dos senos, temos:
142 = x2 + 102 – 2 ⋅ x ⋅ 10 ⋅ cos 120° s
BC
3
BC
3
3 2 BC
=
s
= s
=
1
sen 45° sen 30°
2
2
2
2
2
 1
s 196 = x2 + 100 – 20x ⋅  −  s
 2
BC = 3 2 km
 x = −16 (Não convém, pois x > 0.)
⇒ x 2 + 10 x − 96 = 0 
 x = 6 \ OM = 6 cm
HC
2+ 6
HC
s
=
b) sen 75° =
BC
4
3 2
HC = 11.
( 2 + 6 )3 2
6 + 6 3
3 + 3 3
= = km
4
4
2
x
10
6
7. c
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
60°
B
Pela lei dos cossenos, temos:
102 = x2 + 62 – 2 · 6 · x · cos 60°
64 = x2 – 6x s x2 – 6x – 64 = 0
D = 36 + 256 = 292
5
x
60°
A
C
2x
6 + 292
x = 6 ± 292 s x =
2
2
5 = x + (2x) – 2 ⋅ x ⋅ (2x) ⋅ cos 60° s
2
2
2
1
s 3x2 = 25 s
2
25
5
5 3
10 3
s x 2 =
sx =
sx =
\ AC =
3
3
3
3
s 25 = x2 + 4x2 – 4x2 ⋅
2p = 12 + 6 + 292 = (18 + 292 ) cm
12. e
t
8. c
4
c
b
6
α
Ao maior lado de um triângulo opõe-se o maior ângulo desse triângulo. Dessa forma, procuramos o cosseno do ângulo oposto ao lado
de medida 6.
Aplicando a lei dos cossenos, temos:
62 = 42 + 52 – 2 · 4 · 5 · cos q
36 = 16 + 25 – 40 · cos q
36 = 41 – 40 · cos q
40 · cos q = 5
a
Usando as informações do enunciado, tem-se:
(a + b + c) ⋅ (a + b – c) = 3ab s [(a + b) + c] ⋅ [(a + b) – c] = 3ab s
s (a + b)2 – c2 = 3ab s a2 + 2ab + b2 – c2 = 3ab s
s a2 + b2 – c2+ = ab.
Aplicando-se a lei dos cossenos, tem-se:
c2 = a2 + b2 – 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos α s
s 2ab ⋅ cos α = a2 + b2 – c2 s
s 2ab ⋅ cos α = ab s cos α =
1
cos q = 8
1
∴ α = 60°
2
13.
A
9. e
x
120°
30°
x
10
Pela lei dos senos, temos:
x
10 3
=
sx=
sen 30° sen 120°
10 3 · 3
2
x
60°
30°
B
10 3
5
16
C
Pela lei dos cossenos, temos:
x2 = 102 + 162 – 2 · 10 · 16 · cos 60°
x2 = 356 – 160 = 196
x = 14 cm
Perímetro = 14 + 10 + 16 = 40 cm
1
2 s x = 10 cm
12
OPV11TP1M.indd 12
10/14/10 2:10:28 AM
14. d
Área =
A
 6 + 2
10 2·20·sen105°
= 100 2·
 =
2
4


= 25 2( 6 + 2 ) = 25 2· 2·( 3 + 1) = 50( 3 + 1)
18. e
sen x
A
9
x
cos x
C
B
α
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 s (AC)2 = sen2 x + cos2 x s AC = 1
π
Logo med(Cˆ ) = x e  = − x
2
B
2
x
α
C
M
16
AB
16 sen (2α )
=
=
s
AB
sen α
sen (2α ) sen α
AB 16
2
=
s ( AB) = 144 \ AB = 12 cm
9
AB
2p = 12 + 9 + 7 s p = 14 (semiperímetro)
2
O
L
Assim:
S ABD = 14 ⋅ (14 − 12) ⋅ (14 − 9) ⋅ (14 − 7) s
S
2
s S ABD = 980 s †ABD = 14 5 cm
19.
Pela lei dos cossenos, temos:
x2 = 22 + 22 – 2 · 2 · 2 · cos 45°
8 2
x2 = 4 + 4 –
2
C
x2 = 8 – 4 2
x2 H 2,4
x H 1,5
Aproximadamente em 1 h 30 min.
40
CADERNO 1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
7
α
AB
9
AB
=
s
=
9
sen α
sen (2α ) sen α
45°
7
sen (2α )
15. c
N
D
2α
E
16. d
x
γ
b
α
y
A
a
30
y
B
20
D
50
β
c
a
c
a sen α
=
s =
= 1\ c = a
sen α sen γ c sen γ
40sen x
BC
40
= s BC =
s BC =
sen x sen y
sen y
a)
a
b
a sen α 3
5a
=
s =
= \b =
sen α sen b b sen b 5
3
BC =
5a
11a
+ a = 44 s
= 44 s
3
3
5a
a = c = 12 e b =
s b = 20
3
a + b + c = 44 s a +
3
7
3
4
10·3·7
s BC = 70 km
3
BC
AB 70 50
=
s
=
s 50DE = 70 · 30
DE
AD DE 30
b)
40·
DE = 42 km
O maior lado desse triângulo é igual a 20.
20.
17.
B
A
105°
10 2
2
α = 30°
M
2
60°
1
x
C
120°
A
B
45°
h
30°
x
10 2
x
10 2
=
s
=
s x = 10 2 ⋅
1
sen 45° sen 30°
2
2
2
x = 20
C
D
2
a) sen α =
AM
1
s sen α =
2
BM
13
OPV11TP1M.indd 13
10/14/10 2:10:39 AM
†ABD: (BD)2 = (AB)2 + (AD)2 – 2 ⋅ (AB) ⋅ (AD) ⋅ cos α
1
s α = 30° s
2
ˆ ) = α + 90° \ med(AMC
ˆ ) = 120°
s med(AMC
b) sen α =
(AC)2 = (AM)2 + (CM)2 – 2 ⋅ (AM) ⋅ (CM) ⋅ cos120° s
 1
s (AC)2 = 12 + 22 – 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅  −  s
 2
s (AC)2 = 7 ∴ AC =
c)
†BDC  †BAM s
s S AMC
7
h 1
= \h =2
4 2
1
⋅ ( AM ) ⋅ (CM ) ⋅ sen 120° s
2
1
3
3
= ⋅ 1⋅ 2 ⋅
\ S AMC =
2
2
2
AD2 = 2R2 − 2R2 ⋅
AD = R ⋅
2− 3
MF.07
1. e
Em uma hora, temos:
π
O ponteiro das horas percorre 30° =
rad.
6
O ponteiro dos minutos percorre 360° = 2π rad.
Da sugestão do exercício, temos que:
sen2 a + cos2 a = 1 s sen2 a = 1 −
1
Portanto, multiplicando ambos por , temos que o ponteiro das ho2
π
ras percorre
rad, enquanto o dos minutos percorre π rad.
12
1
16
15
4
2. c
N · 0,8 = 2π rad s N · 0,8 = 6,28 s N = 7,85
Temos então 7 fatias idênticas mais 0,85 de uma dessas fatias.
Atividades extras
22. a) Pela lei dos senos, temos:
1 fatia  0,8 rad
Sabemos que: 
0,85 da fatia  x rad
AB
= 2R, em que R é o raio da circunferência
ˆ
sen ANB
x = 0,85 · 0,8 = 0,68 rad
3. b
circunscrita ao triângulo ABN.
Então:
1
=
1 2R s 2R = 2 s R = 1 km
2
b) A
1
x
3
2
AD2 = R2 ⋅ (2 − 3 )
12
1
s cos α = −
48
4
sen2 a = 15 s sen a =
16
116
s x 2 = 23,2 \ x  4,8
5
24. a
No triângulo ACD, temos:
AC = CD = R
ˆ ) = 30°
med( ACD
Pela lei dos cossenos, temos:
AD2 = R2 + R2 – 2 · R · R · cos 30°
21. a
Em qualquer triângulo, o maior ângulo opõe-se ao maior lado. Sendo a o maior ângulo do triângulo, temos:
82 = 42 + 62 – 2 · 4 · 6 · cos a
64 = 16 + 36 – 48cos a
64 = 52 – 48cos a
cos α = −
s x2 =
B
20
B
150 – x
4
s
5
x
2
20
α
O
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
d) S AMC =
s x 2 = 82 + 62 − 2 ⋅ 8 ⋅ 6 ⋅
20
90° – x
C
A
30°
N
O triângulo AOB é equilátero.
I. No triângulo ABN temos, pela lei dos senos, que:
Portanto: α =
NB
1
= s NB = 2sen x
1
sen x
2
Percurso:
2πR – 
II. No triângulo CBN, temos:
cos x =
 = α · R s  =
NB
s NB = 2cos x
2
2 2
= 2 km
2
23. c
†ABC: (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 s (AC)2 = 82 + 62 ∴ AC = 10
cos α =
π
· 20 s  = 20 m
3
Percurso:
2πR – 20 = 120 – 20 = 100 m
De I e II, temos que: 2sen x = 2cos x
sen x = cos x s x = 45°
\ NB = 2sen x = 2sen 45° =
π
rad
3
Tempo (segundos)
Espaço (metros)
3.600
20.000
x
100
20.000x = 360.000
x = 18 s
AB
8
4
s cos α =
\ cos α =
AC
10
5
4. d
14
OPV11TP1M.indd 14
10/14/10 2:10:51 AM
12
12
11
α
10
9
1
2
α
9
3
3
90° – α
8
4
7
30°
.
180°+
3
⋅ 30° =198°
5
198° – α, em que α é o deslocamento do ponteiro das horas em
38 minutos.
Seja a regra de três:
Tempo
60’
38’
Deslocamento do
ponteiro das horas
30°
α s 60 α = 30 ⋅ 38 s α = 19°
w
w
Deslocamento do ponteiro das horas:
60 min  30°
s a = 12,5°
25 min  α
90° – a = 90 – 12,5 = 77° 30’
9. b
�
198° – 19° = 179°
R
R
5. π = 180° = 10°
18
18
α
Logo, o ponteiro das horas percorre um arco de 10°.
Tempo em minutos
Deslocamento do ponteiro das horas
60’
30°
x
10°
600 = 30x s x = 20 minutos
Queremos, então, o deslocamento do ponteiro dos minutos em 20
minutos, que é dado por 4 · 30° = 120°.
Perímetro do setor = 2R + ,
Perímetro de um quadrado de lado R = 4R
Então:
2R + , = 4R s , = 2R
, = a · R
2R = α · R
a = 2 rad
CADERNO 1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
5
6
6
6. b
�
300
α
300
Tempo
Distância
1 seg
10 m
60 seg
s , = 600 m

11. b
O ponteiro dos minutos percorre 30° a cada 5 minutos.
Logo, ele percorre 240° em 40 minutos.
Deslocamento do ponteiro das horas:
Tempo
Deslocamento
60 min
30°
40 min
x
60x = 1.200
, = a · r s 600 = a · 300 s a = 2 rad
Temos:
π rad — 180°
360
s απ = 360° s α =
2 rad — α
π
a=
360
s a H 115°
3,14
x =
7. b
, = a · r
1,57 = a · 4 s a = 0,3925 rad
Assim: α =
10. e
c = distância percorrida em uma volta
r = raio do pneu = 0,25 m
c = 2p · r s c = 2 · 3,14 · 0,25
c = 1,57 m
Em 185.600 voltas ele percorrerá:
185.600 · 1,57 = 291.392 m H 291 km
1.200
60
x = 20°
0,3925 · 180
graus = 22,5° = 22°30 '
3,14
12. O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio à 1 hora e
12 minutos é 42° – α, em que α é o deslocamento do ponteiro das
horas em 12 minutos, ou seja, α = 36°.
Logo, temos a seguinte situação:
8. c
11
12
B
1
0,7
2
10
d
36°
9
90°
8
4
7
6
O
3
5
1
A
Pela lei dos cossenos, temos:
d 2 = (0,7)2 + 12 – 2 · 0,7 · 1 · cos 36°
d 2 = 1,49 – 1,4 · cos 36°
d = 149
,
− 14
, · cos 36º
15
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AB :
b) Seja a a medida do arco 
p
180°
13. b
P
Q
45° 45°
45°
π
8
sa·p=
a
π
· 180° s a = 22° 30’
8
45°
Atividades extras
21. a
comp ( AB)
2
med ( AB) =
s α = \ α = 0,4 rad
r
5
med (CD ) =
( )
 = 90o = π
med PQ
2
14. a
R 150 12 3
=
s
= s r = 8 cm
r 100
r
2
comp (CD ) 2 
s =
\  = 3,6 cm
R
5 9
22. F – F – V
(I) Falso. Observe a figura:
A
15. c
d
5π
, = a · r e 300° =
rad
3
2.000 = 5π · r
3
1.200
r =
m
3,14
r H 382 m
40
30
R
B
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Aplicando a lei dos cossenos, temos:
d 2 = 402 + 302 – 2 · 40 · 30 · cos 150°

3
d 2 = 1.600 + 900 – 2.400  −

 2
16. c
 = α ⋅ r
3 = α ⋅ 2 s α = 1,5
1,5 – α
3,14 – 180° s
s α =
150°
d 2 = 2.500 + 1.200 3
d 2 H 4.540 s d H 67 km
(II) Falso. Observe a figura:
180º⋅15
,
3,14
A
∴ α H 86°
Q
P
40
17. 180  57,32°
3,14
30°
30°
O
18. Observar o ciclo.
30
120°
2π
150°
5π
90°
π
2
3
B
60°
π
3
30°
π
6
6
π
180°
210°
7π
6
O ponto P é onde ocorrerá a possível colisão.
Para que haja a colisão: AP = BP
ˆ  PBA
ˆ = 45°, mas
Logo, o triângulo ABP é isosceles, ou seja: PAB
OÂP = 60° (o triângulo AÔQ é retângulo), logo OÂB = 15°.
ˆ = 60°; logo, ABO
ˆ = 15°, o que nos faz concluir
Por outro lado, OBP
que o triângulo AÔB é isósceles, o que não acontece.
(III) Verdadeiro. Em 10 minutos, o navio percorrerá:
0°
360°
2π
330°
11π
240°
4π
3
270°
3π
300°
5π
6
3
1
20
·40 km =
km
6
3
Observe a figura:
2
19. c
R = 30 cm = 0,3 m
1 volta = 2p · R = 2p · 0,3 = 0,6p m
1.200 voltas = 1.200 · 0,6 · p = 720p m
α
AB)
comp ( 
AB) =
20. a) med ( 
R
π
med ( 
AB) = rad
8
� = 20 km
3
R = 30 km
16
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180° w π s 180α = 192p
192° w α
, = a · R
20
2
= α · 30 s α = rad
3
9
Em graus, temos:
180°  p
2
x
9
180° · 2
πx =
s π x = 40°
9
16π
32π
·10 s  2 =
,2 = a · R s 2 =
3
15
Observe que ED £ AB.
O comprimento da correia é dado por:
98π 32π
L = AB + ED + 1 +  2 = 2·29,848 + 15 + 3
°
 40 
x =  π 
L = 59,696 +
23. a) No triângulo ABC, temos que a + b = 90° e, do texto, temos
que a2 = b.
Então:
a + b = 90° s b = 90° – a
Logo, de a2 = b, temos:
a2 = 90° – a s a2 + a – 90 = 0 s a = –10 (Não convém.)
ou
a = 9°
\ a = 9°
b) Observe a figura:
b)
86π
5
2π · R1 · 500 = 2π · R2· x
7 · 500 = 10x
x = 350
MF.08
1. e
B
D
a
A
b
t
O
cos a < 0 e cos b < 0, assim: cos a · cos b > 0
Figura sem escala
A B̂O £ DÔB (ângulos alternos internos)
med(A B̂O) = a = 9°
c) Comprimento
Ângulo
1.050 km
9°
x
360°
9x = 1.050 · 360
x = 42.000 km
d) C = 2pr s 42.000 = 2 · 3,14 · r s 42.000 = 6,28 · r
r H 6.687 km
2. a
–1 < sen x < 1
–1 < a – 1 < 1
0 < a < 2
3. a
As medidas 1, 2, 4 e 5 estão em radianos, sendo π rad H 3,14.
Podemos representar esses valores no ciclo trigonométrico.
y
1,57
x
168°
O1
30
B’
84°
84°
0; 6,28
3,14
B
F
1
2
24. a) Observe a figura:
A
CADERNO 1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
192π
16π
α = 180 s α = 15
x
7
3
O2192°
4
C
5
4,71
E
D
I. No triângulo O1O2B’, temos:
302 = x2 + 32 s x2 = 900 – 9
x2 = 891 s x = 33 · 27 s x = 5,74 · 5,2 = 29,848

Como O
B ' é paralelo e congruente a AB,
1
temos que: AB = 29,848
 é, :
II. O comprimento de AFE
1
I. (V) Pois sen 2 > 0 e cos 4 < 0
II. (V) Como 1 >
III. (V) 4 3 3º Q (o seno é negativo); 5 3 4º Q (o seno é negativo)
Logo, o produto é positivo.
4. Soma = 23 (01 + 02 + 04 +16)
Observando a figura e os dados do problema, temos:
cos b
180°  π
s 180α = 168p
168°  α
π
, temos que sen 1 > cos 1.
4
b
sen b
a
sen a
42π
14π
α =
sα =
45
15
14π
98π
·7 s 1 =
,1 = a · R s 1 =
15
15
 é , :
III. O comprimento de BCD
2
cos a
17
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(01)
(02)
(04)
(08)
(16)
10. a
–1 < sen x < 1 s 4 < 5 + sen x < 6
1
1
1 1
1
1
>
> s <
<
6 6 5 + sen x
4
4 5 + sen x
(V)
(V)
(V)
(F) a < b
(V)
3
3
3 1
3
3
<
< s
<
<
6
5 + sen x
4 2
5 + sen x
4
5. d
Observe a figura a seguir:
3
1
Portanto, o menor valor para
é:
5 + sen x
2
Ou:
Para o maior valor de sen x, teremos o menor valor de
74°
37°
31°
143°
150°
17°
sen x = 1, então:
3
.
5 + sen x
3
3 1
=
=
5 +1 6 2
11. d
sen 17° = cos 73° (complementares) e sen 16° = cos 74° (complementares)
Assim, sen 17° > cos 74°. Da mesma forma, sen 74° = cos 16° e
sen 73° = cos 17°.
Assim: sen 74° > cos 17°
cos 37° > 0 e cos 143° < 0
sen 30° = sen 150° (complementares) s sen 31° > sen 150°
Se
6. c
π
2 < q < π
12. e
3π
é raiz, então:
4
2
cos2 

3π
3π
2
2
+ 2m · cos −1= 0 s −
 −1= 0
 + 2m  −
4
4
 2
 2
\m = −
2
4
3 sen x 3
3cos x
s
= s sen x =
4 cos x
4
4
π
Lembrando que cos = 0 e cos p = –1:
2
3m − 1
–1 < cos q < 0 s –1 <
< 0 s –4 < 3m – 1 < 0 s
4
1
s –3 < 3m < 1 s –1 < m <
3
Aplicando a relação fundamental, temos:
sen2 x + cos2 x = 1
7.
25cos2 x = 16
120°
90°
tg x = 16
25
4
cos x = − (3º quadrante)
5
cos2 x =
60°
30°
150°
 4 1
3
sen x = 3· −  · = −
5
 5 4
0°; 360°
180°
x
Assim: cos x – sen x = −
330°
210°
240°
270°
300°
Pela relação fundamental, temos:
sen2 a + cos2 a = 1
458 12
98 38
2
cos2 a = 1 –
No ponto 0o estão os termos cujo resto da divisão por 12 dá zero.
No ponto 30° estão os termos cujo resto da divisão por 12 dá 1.
No ponto 60° estão os termos cujo resto da divisão por 12 dá 2.
Portanto, o 458º termo da sequência é cos 60° =
9
25
16
25
4
cos a = − (2º quadrante)
5
cos2 a =
1
.
2
8. d
Logo: tg α =
2x –1
< 1 s –3 < 2x – 1< 3 s
3
s – 2 < 2x < 4 s –1< x < 2
–1 < senq < 1 s –1<
9.sen x = 1 −
4 3
1
+ = −
5 5
5
13. a
3
sen a =
5
A circunferência está dividida em 12 partes:
9 cos2 x
+ cos2 x = 1 s 9cos2 x + 16cos2 x = 16
16
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
2
1
1
− m 2 −1= 0 s m 2 = − s m = −
4
2
2 2
3
sen α
3
= 5 = −
4
cos α
4
−
5
14. d
Como o maior valor para – sen x é 1, temos:
1
2 2
(4º quadrante)
s sen x = −
9
3
–sen x = 1 s sen x = –1 s x =
3π
2
15. c
Temos, na figura:
BD = tg q
OA = cos q
2 2
1−
3 = 3−2 2
y = 1
4
1+
3
18
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10/14/10 2:11:32 AM
21. b
6 ⋅ 180°
Seja A = sen α, α 
s α H 344°
3,14
AC = sen q
e tg q =
sen q AC
AC
s tg q =
s BD =
cos q
OA
OA
16. e
sen2 x + cos2 x = 1 s cos2 x = 1–
6
1
3
s cos2 x = s cos x = ±
9
3
3
315° < α < 360° s sen 315° < sen α < sen 360°
2
2
⇒−
< sen
α < 0\−
< A<0

2
2
A
22. b
y
Como π < x < p, então cos x < 0.
2
3
Daí: cos x = –
3
π
4
θ
sen θ
17. a
cos θ
2
 1
1
sen2 α + cos2 α = 1 s sen2 α + −  = 1 s sen2 α +
= 1s
16
 4
s sen2 α =
x
15
15
e α ∈ 3o Q \ sen α = −
4
16
18. c
sen q < cos q
\ sen q – cos q < 0
P
5
0,5
α
O
M
x
Atividades extras
23. c

 3π

sen 
+ x  = − cos x 
2



cos ( π + x ) = − cos x 
 3π

+ x  + cos ( π + x ) = − 2 ⋅ cos x
s sen 
2

24. Sendo a, b e q ângulos internos de um triângulo retângulo, temos:
um deles vale 90°.
Sendo q esse ângulo, temos:
cos2 a + cos2 b
E =
sen2 a + sen2 b + 1
Temos, ainda, que a e b são dois ângulos complementares.
Assim: sen b = cos a e cos b = sen a
Então, substituindo na expressão:
2
2
E = cos a + sen a = 1 = 1
2
2
sen a + cos a + 1 1+ 1 2
1
1
sen α = 2 =
= 0,1
5 10
19. b
A
CADERNO 1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
y
2
 1
1
\ E2 =   =
4
 2
10
y
α
B
cos α =
C
x
x
4
x
s =
sx =8
10 5 10
Aplicando Pitágoras no triângulo ABC ,temos:
102 = x2 + y2 s 100 = 64 + y2 s y2 = 36 s y = 6
Área =
8 · 6
= 24 m2
2
MA.01
1. a
2
x 2 − (0,4)
( x − 0,4) ⋅ ( x + 0,4) ⇒
x 2 − 0,16
⇒E =
E =
⇒E =
2x + 0,8
2x + 0,8
2 ⋅ ( x + 0,4 )
0
,
4
x
−
(
)
sE =
2
(2,4 − 0,4) \ E = 1
12
Logo: x =
⇒ x = 2,4 ⇒ E =
5
2
2. e
(m – 2n)2 = m2 – 2 ⋅ m ⋅ (2n) + (2n)2 s
s (m – 2n)2 = m2 – 4mn + 4n2
3. b
É a expressão que representa o desenvolvimento da diferença de
dois cubos.
20. e
2
2
 a + 1
 1
a +1 1
sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ 
 +   = 1⇒ 2 + 2 = 1
 a
a
a
 a 
1± 3
2
2
⇒ a + 1+ 1 = a ⇒ a − a − 2 = 0 ⇒ a = 2 ⇒
a = −1 ⇒ sen x = 0 e cos x = −1\ x = π

s 
3
1
π
e cos x = \ x =
a = 2 ⇒ sen x =

2
2
3
4. e
A2 – B2 = (A + B)(A – B)
(x3 – 54 + 54 – x3)(x3 – 54 – 54 + x3) = 0
5. e
( m − 2n)
( m − 2n)
3
3
= m3 + am2 n + 2bmn2 − 8n3 
 ⇒ a = − 6 e b = 6 \ b − a = 12
= m3 − 6m2 n + 12mn2 − 8n3 
19
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10/14/10 2:11:43 AM
6. e
I. (F) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
II. (F) (3x + 2)(3x – 2) = 9x2 – 4
III. (F) (x – 2)2 = x2 – 4x + 4
18. d
(2x – y)2 – 4x(x – y) =
= (2x)2 – 2 · 2x · y + y2 – 4x2 + 4xy =
= 4x2 – 4xy + y2 – 4x2 + 4xy = y2
7. [(m + n) + (p + q)]2 = (m + n)2 + 2 ⋅ (m + n) ⋅ (p + q) + (p + q)2
[(m + n) + (p + q)]2 =
= m2 + 2mn + n2 + 2 ⋅ (mp + mq + np + nq) + p2 + 2pq + q2
[(m + n) + (p + q)]2 =
= m2 + n2 + p2 + q2 + 2 ⋅ (mn + mp + mq + np + nq + pq)
19. a
a2 – b2 = 21 s (a + b) ⋅ (a – b) = 21
(I) 21 = 7 ⋅ 3
ou
(II) 21 = 21 ⋅ 1
Se usarmos 21 = 7 ⋅ 3, teremos:
(a + b) ⋅ (a – b) = 7 ⋅ 3
Temos
8. d
x + y = 9 s (x + y)2 = 92 s x2 + 2xy + y2 = 81
x2 + 2 ≈ 20 + y2 = 81 s x2 + y2 = 81 _ 40 s x2 + y2 = 41
a + b = 7

a − b = 3
9. c
(x + 1) · (x2 – x + 1) = (x + 1) · (x2 – x · 1 + 12) =
= x3 + 13 = x3 + 1
) (
(
)
(
)
2
= 50 s
a + b = 21

 a − b = 1
2a = 22
s 52 x − 75 = 50 s 52 x = 125 s 52 x = 53 s 2x = 3
3
\ x =
2
a = 11 e b = 10
a2 + b2 = 121 + 100 = 221
11. c
(2x − 3a)
(2x − 3a )
= 4 x 2 − 12ax + 9a2 
s
= 4 x 2 − 24 x + 36 
s 9a2 = 36 e 12a = 24 \ a = 2
2
2
20. b
− 3 x − 3y
( x + y) − 3 ⋅ ( x + y) s
sE =
x + y −3
( x + y − 3)
( x + y) ⋅ ( x + y) − 3
x + y ) ⋅ ( x + y − 3)
(
sE =
sE =
sE = x+y
3
+
−
x
y
(
)
( x + y − 3)
22. d
Distância entre:
a) Carrancas e Traituba = x
b) Rios de Minas e Lagoa Dourada = x + 1
c) Lagoa Dourada e São João del Rey = x + 2
d) Catas Altas e Mariana = x + 3
e) Conceição do Mato Dentro e Morro do Pilar = x + 4
(x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4)2 = 25.600
(5x + 10)2 = (160)2 s 5x + 10 = 160
x = 30
x + 3 + x + 4 = 67 quilômetros
14. b
a + b = 10
20ab = 60 s 2ab = 6
(a + b)2 = 102 s a2 + 2ab + b2 = 100
a2 + 6 + b2 = 100 s a2 + b2 = 94
Atividades extras
23. 11...1222...25 = +11
...11111
...1 + 1111
...


 



11 + 3 =
3
 19 
19
⇒ ( x + y )3 =   s
15. ( x + y ) =
15
 15 
n −1
x 3 + y3
x 3 + y3
x 3 + y3
n
1
n
1
= 11
...
11
...1111
...11


 +3=


 + 111
6.859
3.375
6.859
+ 3 xy( x + y ) =
s
3.375
2 19 6.859
+ 3· ·
=
s
5 15 3.375
38 6.859
s
+
=
25 3.375
6.859 38
=
−
s
3.375 25
6.859 − 5.130 1.729
=
=
3.375
3.375
n + 1 vezes
2 n vezes
x 3 + 3 x 2y + 3 xy2 + y3 =
x 3 + y3
2
21. a4 – 64 = (a2)2 – 82 =
= (a2 – 8) · (a2 + 8) = [a2 – ( 8 )2] · (a2 + 8) =
= (a – 2 2 ) · (a + 2 2 ) · (a2 + 8)
4x2y (3y2 – 4xy + 5x2)
4a(2a – c) + 3b(2a – c) = (2a – c) · (4a + 3b)
(x2)2 – (y2)2 = (x2 – y2) · (x2 + y2) =
= (x – y) · (x + y) · (x2 + y2)
(m + 3n2)2
(3x)3 – 3 · (3x)2 · 2y + 3 · (3x) · (2y)2 – (2y)3
(3x – 2y)3
x 3 + y3
( x + y)
2
E =
12. d
x + y = 4 s (x + y)2 = 16
x2 + 2xy + y2 = 16
x2 + y2 + 2 · 10 = 16
x2 + y2 = – 4
∴ x2 + 5xy + y2 = –4 + 5 · 10 = 46
13. a)
b)
c)
d)
e)
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
10. c
2
5 x − 5 3 ⋅ 5 x + 5 3 = 50 s (5x ) − 5 3
2a = 10
a = 5 e b = 2 e
a2 + b2 = 25 + 4 = 29
Se usássemos 21 = 21 ⋅ 1, teríamos:
(a + b) ⋅ (a – b) = 21 ⋅ 1
...
Sabendo que 111

 
1 =
n vezes
10n − 1
, temos:
9
102n − 1 10n + 1 − 1
102n − 1+ 10n + 1 − 1+ 27
+
+3 =
=
9
9
9
2
2n
n
n
2
n
10 + 5 
10 + 10 · 10 + 25 (10 + 5)
=

=
= 
2
9
3
 3 
que é um quadrado perfeito.
Por exemplo:
Para n = 2
1.225 = 352 (quadrado perfeito)
Para n = 3
112.225 = (335)2 (quadrado perfeito)
11...1222...25 =
16. c
3752 – 3742 = (375 – 374) · (375 + 374) = 1 · 749
em que a soma dos algarismos é 20.
24. b
9x2 – 63x + c = (x + a)3 – (x + b)3
9x2 – 63x + c = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 – x3 – 3x2b – 3xb2 – b3
17. d
225 · 223 = (224 + 1) · (224 – 1) = 2242 – 12
20
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10/14/10 2:11:49 AM
9x2 – 63x + c = (3a – 3b)x2 + (3a2 – 3b2)x + (a3 – b3)
I. 3a – 3b = 9 s a – b = 3 s b = a – 3
II. 3a2 – 3b2 = – 63 s a2 – b2 = –21
Substituindo I em II:
a2 – (a – 3)2 = – 21 s a2 – a2 + 6a – 9 = –21 s
s 6a = –12 s a = –2 e b = –5
III. c = a3 – b3 s c = (–2)3 – (–5)3 s
s c = –8 + 125 = 117
|a + |b| – c| = |–2 + 5 – 117| = 114
MA.02
1. c
a3 – 2a2 – a + 2 = a2(a – 2) – (a – 2) =
= (a – 2)(a2 – 1) = (a – 2)(a – 1)(a + 1)
Soma: a – 2 + a – 1 + a + 1 = 3a – 2
10. b
1
1
x3
x2
x + 1 + x − 1 + x + 1 − x − 1 =
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
3. e
 a2 + 4a + 4 
a+2
(a + 2)2
(a + 2)
=
=
+

+
 3a + 9  a2 − 9 3(a + 3) (a + 3)·(a − 3)
2
(a + 2) ⋅ (a − 3) + 3(a + 2)
=
=
3(a + 3) ⋅ (a − 3)
= (a + 2) ⋅ [(a + 2) ⋅ (a − 3) + 3] =
3(a + 3) ⋅ (a − 3)
Voltando à expressão
E2 =
(
)
2
( x 2 + 2)·( x 2 − 1) ( x + 2)· ( x + 1) ·( x − 1)
=
= x2 + 2
( x + 1)·( x − 1)
( x + 1) · ( x − 1)
3
s
s E 2 = 32 + 10 7 + 2 ⋅ 32 + 10 7 ⋅ 32 − 10 7 + 32 − 10 7 s
s E 2 = 64 + 2 ⋅
(32 + 10 7) ⋅ (32 − 10 7) s
s E 2 = 64 + 2 322 − (10 7) s E 2 = 64 + 2 1.024 − 700 s
s E 2 = 64 + 2 ⋅ 324 s E 2 = 64 + 2 ⋅ 18 s
E = −10 (Não convém.)

2
s E = 100 s ou
u

E = 10
 4 
64
=
= 32
 =
3
2
 2 
12. e
x−
1
= 10 ⇒
x
3
2
x − 3 x ⋅
5. Sejam a e b esses números naturais:
(a + b)3 – (a3 + b3) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 – b3 =
= 3a2b + 3ab2 = 3ab(a + b)
Se a ou b forem pares, temos que a · b é par.
Como, 3 vezes um número par é múltiplo de 6, D é múltiplo de 6.
Se a e b forem ímpares, temos que (a + b) é par.
Como, 3 vezes um número par é múltiplo de 6, D é múltiplo de 6.
6. E =
x − 2 ⋅ x ⋅ 3y + (3y )
x − 6 xy + 9y
s
sE =
2
x 2 − 9y2
x 2 − (3y )
sE =
2
2
2
( x − 3y )2
sE
( x − 3y ) ⋅ ( x + 3y )
=
( x − 3y )
( x + 3y )
3
 3 3 + 2 3 3 − 2
 3 3 + 2 − 3 3 + 2
= (a − b)3 = 
−
 =
 =
3
3
3




2
2
2


3
2
2
x4 + x2 − 2
, temos:
( x + 1)·( x − 1)
11. e
a3 – b3 + 3ab2 – 3a2b = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 =
2
32 + 10 7 + 32 − 10 7
( x − 1) x 3 + ( x + 1) x 2 + ( x − 1) − ( x + 1)
=
( x + 1)· ( x − 1)
x 4 − x3 + x3 + x2 + x − 1− x − 1
x4 + x2 − 2
=
=
( x + 1)·( x − 1)
( x + 1)·( x − 1)
Fatorando a equação x4 + x2 – 2, temos:
x2 = t s t2 + t – 2
Resolvendo a equação t2 + t – 2 = 0, temos:
t1 = –2 s x2 = –2 s x2 + 2 = 0
t2 = 1 s x2 = 1 s x2 – 1 = 0
(a + 2) ⋅ (a2 − a − 6 + 3) (a + 2) ⋅ (a2 − a − 3)
=
3(a + 3) ⋅ (a − 3)
3(a + 3) ⋅ (a − 3)
4. c
Seja E = 32 + 10 7 + 32 − 10 7
Assim:
=
x3 − 3x +
3
x −
13.
x3 −
CADERNO 1
2. e
(x4)2 + 2 ⋅ x4 ⋅ 5 + 52 = (x4 + 5)2
=
9. c
I. a2 – 2bc – b2 – c2 = 40
a2 – (2bc + b2 + c2) = 40
a2 – (b2 + 2bc + c2) = 40
a2 – (b + c)2 = 40
(a – b – c)(a + b + c) = 40
II. a – b – c = 10
Substituindo (II) em (I), temos:
(a – b – c) · (a + b + c) = 40 s 10 · (a + b + c) = 40
a + b + c = 4
3

1
 x − x  = 1.000
1
1
1
+ 3 x ⋅ 2 − 3 = 1.000
x
x
x
3
1
−
= 1.000
x x3

1
1
− 3  x −  = 1.000
x

x3
1
1
− 3 ⋅ 10 = 1.000 ⇒ x 3 − 3 = 1.030
x3
x
2
2
x 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2y + 3 ⋅ x (2y )2 − (2y )3 ( x − y )( x + xy + y )
+
x 2 − 2 ⋅ 2xy + (2y )2
x 2 + xy + y2
( x − 2y )3
+ ( x − y ) = x − 2y + x − y = 2x − 3y
( x − 2y )2
x = 2,2 e y = 0,6 s E = 2,2 − 3 ⋅ 0,6 \ E = 1
2,2 + 3 ⋅ 0,6
10
14. d
7. e
a3 − a2b
a2 (a − b)
=
=
3a5 − 6a4 b + 3a3b2 3a3 (a2 − 2ab + b2 )
=
1
a (a − b )
=
3a3 (a − b)2 3a(a − b)
2
( x + y )2 ⋅ (3 x 2 − 3 xy + 3y2 )
=
3 x 5 − 3 x 3y2 + 3 x 2y3 − 3y5
=
=
8. b
x9 – x = x ⋅ (x8 – 1) = x ⋅ (x4 + 1) ⋅ (x4 – 1) =
= x ⋅ (x4 + 1) ⋅ (x2 + 1) ⋅ (x2 – 1) =
= x ⋅ (x4 + 1) ⋅ (x2 + 1) ⋅ (x + 1) ⋅ (x – 1)
=
( x + y )2 ⋅ 3 ⋅ ( x 2 − xy + y2 )
3 x 3 ( x 2 − y2 ) + 3 y3 ( x 2 − y2 )
=
( x + y )2 ⋅ ( x 2 − xy + y2 )
=
( x 2 − y2 ) ( x 3 + y3 )
( x + y ) ( x + y ) ( x 2 − xy + y2 )
( x + y ) ( x − y ) ( x 3 + y3 )
=
1
x −y
21
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10/14/10 2:11:58 AM
=
24. 332 – 216 = (316)2 – (28)2 = (316 – 28) · (316 + 28) =
= [(38)2 – (24)2] · (316 + 28) = (38 – 24)(38 + 24) · (316 + 28) =
= [(34)2 – (22)2] · (38 + 24) · (316 + 28) =
= (34 – 22)(34 + 22) · (38 + 24) · (316 + 28) =
= [(32)2 – 22] · (34 + 22) · (38 + 24) · (316 + 28) =
= (32 – 2)(32 + 2) · (34 + 22) · (38 + 24) · (316 + 28) =
= 7 · 11 · (34 + 22)(38 + 24)(316 + 28), que é divisível por 7 e 11.
(c.q.d.)
x − 2 2.009 − 2 2.007
=
=
x − 1 2.009 − 1 2.008
16. a) a2 + b2 = 4
a2 + b2
1
1
= 1 s 4 = a2b2
+
=1 s 2
a ⋅ b2
a2 b2
b)
MA.03
1. c
a
(ab)2 = 4 s ab = 2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 s (a + b)2 = 4 + 2 · 2
(a + b)2 = 8 s a + b = 2 2
3
2a
2a − 3 = 40 s 6a − 2a = 120
x 2 ( x 2 + 3)
x 4 + 3x 2
=
= 2
2
x − 5 x + 3 x − 15
x ( x − 5) + 3 ( x − 5)
4a = 120 s a = 30 e b = 20
O número é a + b = 50
3
=
( x − 5) ( x + 3)
2
x2
( x − 5)
2. b
y ⋅ x2 = 2 ⋅ 1 = p ⋅ 4 = 8m2
p ⋅ 4 = 2 ⋅ 1 s p = 1
2
19. d
E=
8m2 = 2 ⋅ 1 s 8m2 = 2 s m2 = 1 s m = 1
4
2
( x 2 + 2 x + 4)
x 2 + 2x + 4
1
−1
=
=
= ( x − 2)
3
x −8
( x − 2) ( x 2 + 2x + 4) x − 2
3. a) Área da praça = 150 · 50 = 7.500 m2 = 75.000.000 cm2
número de pessoas que podem ocupar essa área:
20. b
y2 − x 2
1
1
− 2
2
(y − x )( y + x )· xy
x 2 · y2
y−x
x
y
=
=
=
=
y+ x
1 1
x .y
( x ·y ) 2 ( y + x )
+
x y
x ·y
=
2a
3
De 2a – b = 40, vem:
18. e
x 2 ( x 2 + 3)
b
b
e a − = 20 s 2a − b = 40
2
2
Temos: b =
17. d
x3 + x2 – 4x – 4 = x2(x + 1) – 4(x + 1) =
= (x + 1)(x2 – 4) = (x + 1)(x – 2)(x + 2)
=
=
75.000.000
= 30.000 pessoas
2.500
b) Seja x o número de habitantes da cidade.
Então:
3
56 · 30.000
· x = 30.000 s x =
56
3
x = 560.000 habitantes
6,25 − 16
,
4,65
=
= 0,465
6,25·16
,
10
4. c
As duas grandezas são diretamente proporcionais, pois, quanto
maior é o valor de x, maior também é o valor de y.
y está relacionado com x pela função linear y = 5x.
21. e
I) x10 + y15 = 7 s (x10 + y15)2 = 72 s
s x20 + 2 · x10 · y15 + y30 = 49 s
s x20 + 2 · (x2 · y3)5 + y30 = 49 s x20 + 2 · 35 + y30 = 49 s
s x20 + 486 + y30 = 49 s x20 + y30 = –437
5. a : b :
x 20 + y30
x 20 + y30
x10 y15
+3=
+ 10 + 3 = 10
+3=
5
y15
x
x ⋅ y15
( x 2 y3 )
437
292
= −
+3=
243
243
c : d w a + b + c + d = 450
II) 900
11
1.350
b = 3x =
11
\ a = 2x =
22. e
450
11
2.250
c = 5x =
11
450
d=
11
2x : 3x : 5x : x w 11x = 450 s x =
( x + 1)2 − ( x − 1)2
( x − 1)( x + 1)
x 2 + 2x + 1 − x 2 + 2x − 1 4 x
=
=2
=
x − 1+ x + 1
2x
2x
( x + 1)( x − 1)
6. a : b :
c
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
15. a
Seja 2.009 = x
Então, temos:
( x − 2) ⋅ ( x + 2)
x2 − 4
=
x2 + x − 2
( x − 1) ( x + 2)
w a + b + c = 170
2 + 5 + 10
5
2
10
= 170
:
:
w
x
x
x
x
17
1
\
= 170 w x =
x
10
Atividades extras
23. M = −2 +
a4 + 2a2b2 + b4
a2 b2
+
+ 2 s M = −2 +
s
a2 ⋅ b2
b2 a2
(a2 + b2 )
2
s M = −2 +
sM =
(ab)2
a = 2 = 2 = 20 1
x
10
a2 + b2
s M = −2 +
s
ab
(a − b )
a − 2ab + b2
sM =
s
ab
ab
2
2
2
 2 
4
2
 3
6
(0,002)


10
sM =
s M = 10
s
sM =
sM =
998
998
0,998
0,998 ⋅ 1
103
103
4 103
2
sM = 3
s
sM = 6 ⋅
10 998
10 ⋅ 449
1
1
sM =
\
= 249.500
249.500 M
(0,998 − 1)
2
b=
c =
10 10
=
= 100
1
x
10
5
5
=
= 50
1
x
10
7. c
Temos dois galões, um com quantidade a e outro com quantidade b.
Do enunciado, temos:
a + b = 72 (I)
2b 3b
a +
=
s 5a + 2b = 3b s b = 5a (II)
5
5
Substituindo II em I, temos:
22
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10/14/10 2:12:11 AM
8. b
Se os dois corpos tiverem massa m, então a força de atração graviG ⋅ 0,015 ⋅ M ⋅ m
e a força de atração gra1.9202
G⋅M ⋅m
vitacional na Terra FT =
.
6.4002
Logo:
tacional na Lua será FL =
G ⋅ 0,015 ⋅ M ⋅ m
(1.920)2
(6.400)2
F
FL =
s L =
⋅ 0,015
G⋅ M⋅ m
FT
FT
(1.920)2
2
(6.400)
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
2
⇒
s
Considerando que o número de horas de trabalho diário é de 6 horas, temos um total de 45 horas de trabalho.
13. a
1
do tanque em uma hora.
15
1
A torneira (II) enche
do tanque em uma hora.
18
1
1
6 + 5 11
Juntas, as torneiras enchem
do tanque em
+
=
s
15 18
90
90
A torneira (I) enche
uma hora.
Estando ambas abertas durante 5 horas, teremos 5 · tanque cheio, faltando
FL 100
F
1
=
⋅ 0,015 \ L =
FT
9
FT
6
9. d
Seja t o acréscimo de tempo a cada 50 km a mais percorridos por
esse veículo.
x
x 6
50
t
x
1
t = 50· 6 s t = 50· horas s
x
6
s t = 48 + 2 \ t = 8 horas e 20 minutos
6
10. e
x + 11.350 + 132 + 17.100 + 5.250 + 18.000 + y + 3.650
= 7.372,75
8
s x + y + 55.482 = 8 ⋅ 7.372,75 s x + y = 3.500
y 2
2x
x = 5 s y = 5
2x
7x
= 3.500 s
= 3.500 \ x = 2.500
5
5
Assim, a quantidade necessária, e suficiente, para produção de 1 kg
de arroz é 2.500 litros de água. Portanto, para produzir 1,5 toneladas de arroz necessário, e suficiente, serão (2.500 · 1.500) litros de
água, ou seja, 3,75 · 106 litros de água.
11 11
do
=
90 18
7
de sua capacidade para encher.
18
Assim, a segunda torneira demorará 7 horas para completá-lo.
14. As pessoas receberão A, B e C.
a)
2
FL  6.400 
F
 10 
⋅ 0,015 ⇒ L =   ⋅ 0,015
=
FT
FT
3
 1.920 
x +
x = 15 ⋅ 6 ⋅ 4 s x = 7,5 dias
8 6
A B C
e A + B + C = 1.280
=
=
8
5 7
Então:
B=
A + B + C = 1.280 s A + 5 A + 7A = 1.280 s
8
8
5A
7A
eC=
8
8
s A + 12 A = 1.280 s A + 3 A = 1.280 s
8
2
s 2A + 3A = 2.560,00 s 5A = 2.560 s
s A = R$ 512,00; B = R$ 320,00; C = R$ 448,00
b) 5A = 2B = 10C e A + B + C = 1.280
Então:
CADERNO 1
a + 5a = 72 s 6a = 72
a = 12 litros e b = 60 litros
Ou:
V1 e V2, V1 < V2
V1 + V2 = 72
2
3
Se
· V2 são transferidos para V1, restam
· V2. Se os volumes
5
5
se tornam iguais:
12
3
·V2 = 36 s V2 = 60 litros 5
V1 = 12 litros 5A
5A
A
eC=
=
2
10
2
B=
A + B + C = 1.280
A+
A + 3A = 1.280
4A = 1.280 s A = R$ 320,00, B = R$ 800,00 e
C = R$ 160,00
5A A
= 1.280
+
2
2
15. e
AB
EF
x +2
20
x +2
5 x +2 5
s
s
= s
=
=
=
x −1 4
CD GH 2x − 2 32 2( x − 1) 8
5x – 5 = 4x + 8 s x = 13
Logo, AB = 13 + 2 = 15 e CD = 2x – 2 = 24.
16. c
11. b
A + B + C = 8.600.000
10A = 12B = 18C
Assim: B =
G.I.P.
10 A 5 A
10 A 5 A
=
; C =
e
=
18
9
12
6
Velocidade
Tempo
70
2,5 h
x
3,5
A + B + C = 8.600.000
Então:
70 · 2,5 = x · 3,5 s x =
5A 5A
A +
+
= 8.600.000
6
9
x = 50 km/h
18A + 15A + 10A = 18 · 8.600.000
43A = 18 · 8.600.000
A = R$ 3.600.000,00
12. b
pessoas
6
8
horas
4
6
70·2,5
3,5
dias
15
x
17. a
1
P, Q e R realizam
do serviço por unidade de tempo.
x
1
1
1
P, Q e R realizam separadamente
, respectivamen,
e
x + 6 x + 1 2x
te, por unidade de tempo.
Então:
23
OPV11TP1M.indd 23
10/14/10 2:12:24 AM
1
1
1
1
+
+
=
x + 6 x +1
2x
x
2x(x + 1) + 2x(x + 6) + (x + 6) · (x + 1) = 2(x + 6) · (x + 1)
2
2
2x + 2x + 2x2 + 12x + x2 + 7x + 6 = 2x + 14x + 12
3x2 + 7x – 6 = 0 s x1 = – 3 (Não convém.) ou x2 =
Velocidade
Tempo gasto
12 km/h
x+1
18 km/h
x – 1 (G. I. P.)
12(x + 1) = 18(x – 1) s 2(x + 1) = 3(x – 1) s
s 2x + 2 = 3x – 3 s x = 5 horas
Novamente fazendo uma regra de três:
Velocidade
tempo gasto
12 km/h
6
k
5
12 · 6 = 5k s k = 14,4 km/h
2
3
18. b
Oito bordadeiras fabricam 360 toalhas em 15 dias. O prazo de entrega é de 18 dias.
22. a) Existem 8 espaços, no mapa, entre Paraguaçu e Piripiri.
G.I.P.
G.D.P.
N° de
bordadeiras
N° de
toalhas
N° de dias
8
360
15
5
x
18
Assim, cada intervalo:
47 − 13
km = 4,25 km, ou seja, 425.000
8
centímetros. Logo a escala 1 : X corresponde a 1 : 425.000.
b) Usando as informações do item (a), o posto está localizado no
quilômetro 13 + ( 5 · 4,25), ou seja, no quilômetro 34,25.
c) Nessa nova escala, 500.000 centímetros de distância representam 1 centímetro no mapa. Considerando que a distância entre
as cidades é de 34 quilômetros, ou seja, 3.400.000 centímetros
e, sendo d a distância entre as cidades no mapa, tem-se:
1
d
3.400.000
=
sd =
\ d = 6,8 cm
500.000 3.400.000
500.000
8
5
·15 = ·18 s x = 270 toalhas. Portanto, faltarão 90 toalhas.
360
x
Três bordadeiras foram chamadas.
Atividades extras
23. V – F – F – V
N° de
bordadeiras
N° de
toalhas
N° de dias
8
360
15
3
90
x
8·15·90
8
3
= x
·15 =
·x s
90
360·3
360
x = 10 dias
Se a encomenda foi entregue em 30/10, as três bordadeiras começaram a trabalhar 10 dias antes, ou seja, 21/10.
2 x
x
m2
⋅
=
3 2 3
Nos dois dias, os cinco voluntários pintarão: 40 · 15 = 600 m2
Assim:
s x = 450 m2 (sábado)
Portanto, cada voluntário pintará
150
= 30 m2, no domingo.
5
Tempo
gasto (min.)
4
120
3
(F) f(n) = n(n + 6)
A = (1; 2; 3; 4; 5; ...) B = (7; 16; 27; ...)
(V) g(n) = 7n
A = (1; 2; 3; 4; 5; ...) B = (7; 14; 21; 28; 35; ...) 10y = 9x s y =
20. c
Em duas horas o mecânico regula três automóveis e o seu auxiliar
regula um, ou seja, juntos, regulam quatro automóveis em duas
horas.
N° de
automóveis
(2)
(3)
(4)
A : n = 9 x 
 s 9 x = 10y
B
: n = 10y 
Juntos, A e B fazem o serviço gastando 5 horas.
Assim, temos:
5x + 5y = n
Deveria ser assim, mas são assentados 10 tijolos a menos por hora.
Então, temos:
n = 5x + 5y – 5 · 10 (I)
Temos também que:
n = 9x e
x
= 600 s 4x = 1.800 s
3
∴ x = 150 m2 (domingo)
3
(V)
24. c
Consideremos que:
A assenta x tijolos por hora.
B assenta y tijolos por hora.
Deverão ser assentados n tijolos em todo o muro.
Fazendo o serviço separadamente, temos:
19. e
No sábado, os 5 voluntários pintarão x m2 e, no domingo, pintarão
x +
1 4
6
9
=
=
=
3 12 18 27
(F) 3 = 8 s 1 = 8 s x = 32
12 x 4 x
(1)
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
G.I.P.
G.D.P.
9x
10
Substituindo em (I):
5·9 x
− 50
9 x = 5x +
10
9x
4x =
− 50
2
8x = 9x – 100
x = 100 e
n = 900
x
G.D.P.
MA.04
1. Seja C o capital que está sendo aplicado.
Assim:
4x = 120 · 3
120·3
x =
4
x = 90 minutos
  1 1 
1
1
· C + 12% ·
· C + 6% · 1 −  +   · C = x% · C s
3
4
  3 4 
5C
C
C
x
s 0,09 ⋅ + 0,12 ⋅ + 0,06 ⋅
=
⋅ C (× 1200) s
12 100
3
4
9% ·
21. c
A meta a ser alcançada é a de chegar após x horas.
24
OPV11TP1M.indd 24
10/14/10 2:12:33 AM
Temos:
(1,1x – 121) +
2. e
Em 2004: 42% de 180 milhões = 0,42 ⋅ 180.000.000 =
= 75.600.000
Em 2008: 52% de 187,5 milhões = 0,52 ⋅ 187.500.000 =
= 97.500.000
Crescimento populacional: 97.500.000 – 75.600.000 =
= 21.900.000
Crescimento porcentual:
21.900.000
 0,2897  29%
75.600.000
3. b
Seja S, em reais, o salário anual integral de João.
p% de 28.000 + (p + 2)% de (S – 28.000) = (p + 0,25)% de S
( p + 2)
p
⋅ 28.000 +
⋅ ( S − 28.000) =
100
100
( p + 0,25)
100
⋅Ss
s p ⋅ 28.000 + (p + 2) ⋅ (S – 28.000) = (p + 0,25) ⋅ S s
s p ⋅ 28.000 + pS − p ⋅ 28.000 + 2S − 56.000 = pS + 0,25S s
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
s175
, ⋅ S = 56.000 ⇒ S =
56.000
\ S = R$ 32.000,00
175
,
4. b
Seja x a população.
Doentes: 0,1x
Saudáveis: 0,9x
• 0,1 · 0,1x = 0,01x se recuperaram, ficando ainda doentes
(0,1 – 0,01)x = 0,09x
• 0,1 · 0,9x = 0,09x contraíram a doença, ficando saudáveis
(0,9 – 0,09)x = 0,81x
Portanto: total de saudáveis: 0,01x + 0,81x = 0,82x
10
(1,1x – 121) = 121
100
1,1x – 121 + 0,11x – 12,1 = 121 s 1,21x – 133,1 = 121
1,21x = 254,10 s x = 210
10. d
Seja C o capital total inicial de João e x a parcela aplicada no fundo B.
Assim:
(C – x) ⋅ 1,50 ⋅ 1,20 + x ⋅ 1,30 ⋅ 1,20 = C ⋅ 1,632 s
s 1,80 ⋅ C – 1,80 ⋅ x + 1,56 ⋅ x = 1,632 ⋅ C s
s 0,24 ⋅ x = 0,168 ⋅ C s x =
0,168
⋅Cs
0,24
s x = 0,70 ⋅ C ∴ x = 70% de C
11. d
Seja x, em quilômetros quadrados, a camada de gelo no Ártico no
ano de 1979.
Assim:
13
,
20% de x = 13
, s 0,20 x = 13
, sx =
\ x = 6,5
0,2
12. a
Seja a população dessa cidade de x habitantes.
30 · x têm idade para frequentar o ensino fundamental.
100
30
20 30
24 x
⋅ x−
·
⋅ x =
é o total da população que frequen100
100 100
100
ta o ensino fundamental.
75 24 x
18
·
=
= 18% são atendidos pela rede pública.
100 100 100
5. c
Marcos consegue receber
80
· 200.000 = 160.000, por meio
100
de seu advogado, que cobrará 15 · 160.000 = 24.000.
100
Portanto, Marcos receberá: 160.000 – 24.000 = R$ 136.000,00.
6. d
A
inicial
:
B⋅H
2
, ⋅ B ) ⋅ (0,90 ⋅ H )
(110
0,99 ⋅ ( B ⋅ H )
⇒
⇒ Afinal =
2
2
s Afinal = 0,99 ⋅ Ainicial ∴ Afinal = 99% da Ainicial
Ocorrerá, portanto, uma diminuição, em relação à area inicial, de 1%.
Afinal =
7. c
(x ⋅ 1,10) ⋅ 1,10 + x ⋅ 1,10 = 46.200 s
s 1,21x + 1,10x = 46.200 s
s 2,31x = 46.200 ∴ x = R$ 20.000
Portanto a soma dos algarimos da parte inteira do número x é
igual a 2.
8. a) C = 19.000
15
L=
· 19.000 = 2.850
100
2.850 = 0,95V – 19.000
0,95V = 21.850
\ V = R$ 23.000,00
b) 3.000 =
20
· V s V = 15.000
100
0,95 · 15.000 – C = 3.000
14.250 – 3.000 = C
C = R$ 11.250,00
9. c
Seja x o preço à vista do objeto.
13. a) Vamos fazer o cálculo comprando no Magazine Lúcia:
3.025
M = C(1 + i)t s 3.025 = C(1,1)2 s C =
s C = 2.500
121
,
Como ele pagou R$ 2.000,00 no ato, temos que o preço à vista
é de 2.000 + 2.500 = R$ 4.500,00.
b) Pagando R$ 1.980,00 pela primeira prestação, ao final do primeiro mês, temos:
4.500 + 450 – 1.980 = 2.970
A segunda prestação será de: 2.970 + 297 = R$ 3.267,00
CADERNO 1
s 36 ⋅ C + 36 ⋅ C + 30 ⋅ C = 12 ⋅ C x ⇒ 12x = 102 \ x = 8,5
A aplicação deve ser feita a uma taxa mensal de 8,5%.
14. e
Tirando x litros da mistura, ficaremos com (40 – x) litros da mistura
no tanque, em que
25
40 − x
é álcool.
⋅ (40 − x ) =
100
4
Devemos ter:
40 – x + 4 x
40 – x
60
+x =
· 40 s
= 24
4
4
100
3x + 40 = 96 s 3x = 56 s x =
x =
56
3
54 2
2
2
+ s x = 18 + = 18 litros
3 3
3
3
15. d
Seja P o total de pacientes e, se 60% são mulheres, 40% são homens.
Total de obesos:
30% de 60% de P + 50% de 40% de P =
= 0,30 ⋅ 0,60 ⋅ P + 0,50 ⋅ 0,40 ⋅ P =
= 0,38 ⋅ P = 38% de P
16. e
Preço por grama em cada uma das situações:
Situação(inicial):
100
,
= 0,005 R$/g
200
25
OPV11TP1M.indd 25
10/14/10 2:12:41 AM
Situação(final):
165
,
= 0,010 R$/g
165
Situação(final) − Situação(inicial)
Situação(inicial)
=
13E + 13T + 13G = 10E + 20T + 70G s 3E – 7T – 57G = 0
III. 0,02 · 20.800 = 416
A folha deverá ser de 20.800 – 416 = R$ 20.384.
Um estagiário passará a ganhar R$ 396,00.
Um técnico passará a ganhar R$ 776,00.
Um gerente passará a ganhar R$ 2.660,00.
Então:
396E + 776T + 2.600G = 20.384
a) De (I), temos:
E + 2T + 7G = 52
E + T + G + T + 6G = 52
E + T + G = 52 – T – 6G
Logo: E + T + G < 52
b) A demonstração é o item (III).
0,010 − 0,005
=1
0,005
Variação percentual: 100%
17. c
Sendo o valor do salário igual a x, temos:
Sacumulado = x(1, 2)3 = 1,728x = x + 0,728x = x + 72,8% x
Teve um aumento de 72,8%.
18. a
Seja, em 2007, C o número de candidatos e V o número de vagas.
C
= 5,5
V
118
, ⋅ C  118
,  C 59 C 59
Em 2008:
=
⋅ =
⋅ =
⋅ 5,5 = 5,9
110
, ⋅ V  110
,  V 55 V 55
MA.05
1. c
Seja x kg a massa de bacalhau Saither que a dona de casa comprou.
Logo, de bacalhau Noruega, ela comprou (1 – x) kg.
Assim:
9 · x + 23 · (1 – x) = 14,60 s 9x + 23 – 23x = 14,60 s
s –14x = – 8,40 s x = 0,6 kg
\ x = 600 g
Assim
19. a
J = C · i · t
2.520 = 8.000 · i · 7
i =
2.520
36
s i =
8.000 · 7
800
2. e
Seja c, em reais, o custo de um litro de álcool.

reais 
litros ⋅


litro : 34 ⋅ 2,20 = 37 ⋅ c ⇒ c = 140

,
259
 quilômetros  374


Portanto: R$ 1,40/litro
i = 0,045 s i = 4,5% a.m.
20. c
30 rapazes
20
· 30 são fumantes s 6 rapazes são fumantes.
100
3. b
Sejam N, M e V os valores correspondentes ao que receberam,
respectivamente, a filha mais nova, a filha do meio e a filha mais
velha.
30 moças
30
· 30 são fumantes s 9 moças são fumantes.
100
Assim, na turma, 15 são fumantes e 45 não são fumantes. Portanto,
N
s N = 2M
2
N+M
2M + M
3M
V =
sV =
sV =
2
2
2
3M
N + M + V = 270.000 s 2M + M +
= 270.000 s
2
9M
s
= 270.000 s M = 60.000
2
3M
3 ⋅ 60.000
V =
sV =
\ V = 90.000
2
2
M =
o percentual de não fumantes da turma é de 45 = 0,75 = 75%.
60
21. c
Sejam: V, preço de venda anunciado e C, preço de catálogo. Assim:
75% de V = 130% de 75% de C s
⇒ 0,75 ⋅ V = 130
, ⋅ 0,75 ⋅ C ⇒
s V = 1,30 ⋅ C ∴ V = 130% de C
Atividades extras
22. d
DP w variação do preço
Portanto: R$ 90.000,00
4. c
Sejam F a quantia que Fernando possui, B a quantia que Bete possui
e R a quantia que Rosa possui.
F + B = R s F = R – B
2F – B + R = 30 s 2F + F = 30 s 3F = 30 s F = 10
DV w variação da quantidade vendida
DP1
DP2 0,08 0,14
=
s
=
s DV2 = 24,5%
DV2
DV1 DV2 0,14
R
F + R = 20 s 10 + R = 20 s
= 10 s R = 30
3
3
3
23. Sejam p o preço original de cada camiseta e x% o desconto que faria
com que o desconto fosse equivalente ao desconto promocional.
Assim:
p + 0,90 ⋅ p + 0,80 ⋅ p = 1 − x  ⋅ 3 ⋅ p ⇒
 100 
De F = R – B, vem:
10 = 30 – B s B = 20
F + B + R = 10 + 20 + 30 = 60
2,70 ⋅ p =  100 − x  ⋅ 3 ⋅ p ⇒ 100 − x = 2,70 ⇒
100
3
 100 
5. e
100 − x
= 0,90 ⇒ 100 − x = 90 \ x = 10
100
O desconto aplicado igualmente a todas as camisetas que seria
equivalente ao desconto promocional é de 10%.
⇒
2
1 7 
2n n
⋅ n + ⋅  ⋅ n + 300 = n ⇒
+ + 300 = n ⇒
9
7 9 
9 9
3n
2n
− n = −300 ⇒
= 300 ⇒ n = 450
⇒
9
3
24. Salário de um estagiário = R$ 400,00
Salário de um técnico = R$ 800,00
Salário de um gerente = R$ 2.800,00
I. 400E + 800T + 2.800G s E + 2T + 7G = 52
II.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Receita: 450 ⋅ 20.000 = 9.000.000
Portanto: R$ 9.000.000,00 ou 9 milhões de reais.
6. d
Sejam n a idade dos gêmeos e m a idade do filho caçula (n > m > 1).
49,50 + 4,55 ⋅ (2n + m) = 95,00 s 2n + m = 10
n = 1 s m = 8 (Não convém.)
400E + 800T + 2.800G
10E + 20T + 70G
= 520 s
= 13 E +T +G
E +T +G
26
OPV11TP1M.indd 26
10/14/10 2:12:50 AM
13. a) I =
n = 2 s m = 6 (Não convém.)
n = 3 s m = 4 (Não convém.)
n = 4 s m = 2
n = 5 s m = 0
Portanto, a idade do filho caçula é 2 anos.
64
= 25
(16
, )2
Classificação segundo a tabela: levemente obesa.
b) 97,2 < 30
h2
7. e
Seja n o número de anos vividos por Diofanto.
n
n
n
n
+
+ + 5 + + 4 = n ( × 84 ) s
6 12 7
2
s 14n + 7n + 12n + 420 + 42n + 336 = 84n s
s 9n = 756 ∴ n = 84
h2 >
2
97,2
324
s h2 > 3,24 s h2 >
s h2 >  18 
 10 
30
100
8. b
Seja n o número de lápis.
– 1,8
1
Custo de cada lápis:
de real.
3
2
Receita de cada lápis:
de real.
5
Lucro proporcionado por um lápis:
2 1
1
de real
− =
5 3 15
1,8
Logo:
h < –1,8 (Não convém.)
h > 1,8
Assim: h > 1,80 m
Portanto, a altura mínima deverá ser de 1,80 m.
Assim:
1
= 50 \ n = 750 lápis
15
9. c
Sejam x o número de meses em que ele foi pontual e 30 – x o número de meses em que ele não foi pontual.
Temos:
3x – 5(30 – x) = 50 s 3x – 150 + 5x = 50
8x = 200 s x= 25 meses
10. Sejam n o número inicial de alunos e x a quantia que inicialmente
cada um deles deveria desembolsar.
Assim:
135 ⋅ n = (135 + 27) ⋅ (n – 7) s
s 135n = 162n – 1.134 s 27n = 1.134 ∴ n = 42
Logo, a despesa é igual a 42 ⋅ 135, ou seja, R$ 5.670,00.
Descontando-se os R$ 630,00 doados pelo diretor, cada um dos 35
alunos restantes deve pagar uma importância igual
5.760 − 630
35
ou seja, R$ 144,00.
11. c
Seja P o preço atual da mercadoria. Então:
2x
x 
2xP 
P +
⋅P −
P+
= P
100
100 
100 
14. e
Sejam x o número de questões que o candidato acertou e 25 – x o
número de questões que ele errou. Temos:
2x – (25 – x) = 17
2x – 25 + x = 17
3x = 42
x = 14
15. a
 5n
5
= s 40n = 20m + 15n s 20m − 25n = 0

4
3
8
m
+
n

 m − 2 = 3 s 32m − 64 = 12m + 9n s 20m − 9n = 64
 4m + 3n 32
(II)
(II) – (I) : –9n – (–25n) = 64 s 16n = 64 ∴ n = 4
em (I): 20m – 25 ⋅ 4 = 0 s 20m = 100 ∴ m = 5
Logo: m + n = 9
16. e
x2 + px+ q = 0 possui raízes simétricas, então: x1 = – x2 s x1 + x2 = 0
– p = 0 s p = 0
O produto x1 · x2 = – x2 · x2 deverá ser negativo, ou seja: q < 0
17. a
Na equação dada, temos:
2Px
Px
2Px 2
100 − 100 − 10.000 = 0
a + b = −
Px
2Px 2
−
=0
.000
100
10
2
100Px – 2Px = 0
2Px (50 – x) = 0 s 2Px = 0 ou 50 – x = 0 s x = 50
a · b =
12. a) O preço do combustível no primeiro posto custa 111,80 : 52 =
= R$ 2,15
Para encontrarmos o preço do combustível no segundo posto,
vamos fazer uma regra de três:
Distância
Consumo
16 km
1L
180 km
x
16x = 180 s x = 11,25 litros
Portanto, o preço no segundo posto é dado por: 24,75 : 11,25 =
= R$ 2,20
b) Ele ainda precisa percorrer 300 km de rodovia, fazendo
16 km/L, e x quilômetros na cidade, fazendo 12 km/L.
Então:
300 x
+
= 52 litros
16 12
75 x
225 + x
624
+
= 52 s
=
s x = 399 km
4 12
12
12
(I)
CADERNO 1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
n ⋅
( −3)
2
=
3
e
2
( −2)
= −1
2
Na equação procurada, temos:
3
7
(a + 1) + (b + 1) = a + b + 2 = + 2 =
e
2
2
(a + 1) · (b + 1) = ab + a + b + 1 = –1 +
3
3
+1=
2
2
Assim:
(a + 1) + (b + 1) =
7
3
s (a + 1) · (b + 1) =
2
2
cuja equação pode ser: 2x2 – 7x + 3 = 0
18. a
x2 + y2 + 2xy + x + y – 6 = 0 s
s x2 +2xy + y2 + x + y – 6 = 0 s
s (x + y)2 + (x + y) – 6 = 0
Fazendo-se x + y = m, tem-se:
m2 + m – 6 = 0 s m = –3 ou m = 2
Assim: x + y = – 3 ou x + y = 2
Sendo x e y números reais positivos, então x + y = 2.
27
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19. D < 0
25 – 4 · 2(– 2c) < 0
25 + 16c < 0
16c < –25
25
16
2. c
a)
20. e
Sendo x1 e x2 as raízes da equação, temos:
x1 + x2 = 3m e x1 = 2x2
Assim:
2x2 + x2 = 3m s 3x2 = 3m
x2 = m e x1 = 2m
Temos, também:
x1 · x2 = 5m
2m2 = 5m s 2m2 – 5m = 0 s m(2m – 5) = 0
5
m = 0 ou m =
2
A
f
1
2
b)
A
B
0
f
1
2
c)
A
2
Não é função de A em B.
2
B
f
t − 8t + 16
− 9 ⋅ 2t − 8 t + 16 + 1 + 32 = 0
b) 4
Façamos t2 – 8t + 16 = y
Então temos:
4y – 9 ⋅ 2y + 1 + 32 = 0 s 22y – 9 · 2y ⋅ 2 + 32 = 0 s
s 22y – 18 ⋅ 2y + 32 = 0
Façamos 2y = x.
Então temos:
x2 – 18x + 32 = 0
I. x = 2 s 2y = 2 s y = 1 s t2 – 8t + 16 = 1 s t2 – 8t + 15 = 0
t = 3 ou t = 5
II. x = 16 s 2y = 16 s y = 4 s t2 – 8t + 16 = 4 s
s t2 – 8t + 12 = 0 s t = 2 ou t = 6
S = {2; 3; 5; 6}
Não é função de A em B.
2
1
21. a) x2 – 18x + 32 = 0 s x = 2 ou x = 16
x2 – 8x + 15 = 0 s x = 3 ou x = 5
x2 – 8x + 12 = 0 s x = 2 ou x = 6
S = {2; 3; 5; 6; 16}
0
1
É função de A em B.
1
2
d)
2
A
B
0
1
Não é função de B em A.
1
2
2
22. a
∆ < 0 s 4 – 12a < 0 s
s –12a < – 4
12a > 4 s a >
0
1
2
B
e)
B
A
0
1
Não é função de B em A.
1
4
1
sa>
12
3
2
2
Como a ∈ Ω*, o menor valor inteiro possível para a é 1.
3. c
I. x2 – 1 > 0 s x < –1 ou x > 1
II. x – 4 ≠ 0 s x ≠ 4
Df(x) = {x 3 ® / x < –1 ou x > 1 e x ≠ 4}
Atividades extras
23. c
O taxista precisa recuperar R$ 2.464,00. Temos que:
Preço da gasolina: R$ 2,00 por litro
Preço do álcool: R$ 1,00 por litro
Se o taxista gasta 40 litros de gasolina por dia, então ele gastará
1,3 ⋅ 40 = 52 litros de álcool por dia. O seu gasto diário será:
I. Usando gasolina: 40 ⋅ 2 = R$ 80,00
II. Usando álcool: 52 ⋅ 1 = R$ 52,00
Sua economia diária será de R$ 28,00.
Finalmente, 2.464 : 28 = 88 dias.
Portanto, ele demorará 88 dias para recuperar o valor investido em
um carro flex.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
c < −
(02) V, pois, para qualquer valor de x entre – 4 e –2, a sua imagem
f(x) está acima do eixo das abscissas.
(04) V, pois, para valores da imagem f (x) de –1 até 3, verificamos
que x está entre –5 e 5.
(08) F, pois, se x < – 4, teremos também f (x) < 0.
4. b
I. f(1 + 1) = f(1) + f(1) s f(2) = 3 + 3 s f(2) = 6
II. f(2 + 5 ) = f(2) + f( 5 ) = 6 + 4 = 10
5. e
x ·( x – 1)
2
( x + 1)·( x + 1– 1) ( x + 1)· x
f ( x + 1) =
=
2
2
·(x)
f (x) =
24. b
x ⋅ n = 3.250
(I)
(x + 3) ⋅ (n – 75) = 3.250
x ⋅ n − 75 x + 3n − 225 = 3.250
3n = 75x + 225 s n = 25x + 75 (II)
(II) w (I): x ⋅ (25x + 75) = 3.250 s
s 25x2 + 75x – 3.250 = 0 (: 25) s
 x = −13 (Não convém.)
⇒ x 2 + 3 x − 130 = 0 
 x = 10 (númerro inicial de pessoas)
f (x + 2) = (x + 2) · (x + 2 – 1)
f (x + 2) = (x + 2) · (x + 1) · x
2·x
2
·(x)
s f ( x + 2) =
( x + 2)· f ( x + 1)
x
6. d
x3 – 4x > 0
x(x2 – 4) > 0
I. x = 0
II. x2 – 4 = 0 s x = ±2
MA.06
1. Soma = 7 (01 + 02 + 04)
(01) V, pois f(x) > 3 se, e somente se, x > 5.
28
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– – – – – – – – – –
+ + + + + + + + + + +
0
++++++++ – – – – –
–
–2
–2
+ + + + + +
– – –
–
+
0
2
+
I
II
I · II
2
– 2 < x < 0 ou x > 2
7. c
24 + 2x – x2 > 0
– x2 + 2x + 24 > 0
–4
V. (F) Pois, por exemplo, para x = 4, f(x) > 0 e g(x) = 0, implicando f(x) > g(x).
6
15. a
Seja x + 1 = t. Então: x = t – 1
Daí temos:
P(x + 1) = 3x2 + x + 7 s P(t) = 3(t – 1)2 + t – 1 + 7 s
s P(t) = 3t 2 – 6t +3 + t + 6 s P(t) = 3t2 – 5t + 9
Daí, P(x – 1) = 3(x – 1)2 – 5(x – 1) + 9 =
= 3x2 – 6x + 3 – 5x + 5 + 9 = 3x2 – 11x + 17
Então: P(x+1) – P(x–1) = 3x2 + x + 7 – 3x2 + 11x – 17 = 12x – 10
16. e
b
= – 5 s − 4a − b = −10 

2

b
II. f(3) = 5 s 3a +
=5 s
9a + b = 15 
3
I. f(–2) = –5 s –2a –
Resolvendo o sistema, temos: a = 1 e b = 6
Logo: a + b = 7
8. d
I. F, pois –1 < x < 0, f(x) > 0
II. V
f(1) = 2 e f(3) = –2 e f(4) = 0
f(1) + f(3) = 2 – 2 = 0 = f(4) III. V
18. a
x3 –
9. a) f(3) = f(1 + 2) = 2f(1) + f(1) = 3f(1) = 6 s f(1) = 2
b) f(5) = f(3 + 2) = 2f(3) + f(1) = 2 · 6 + 2 = 14
10. d
a)
b)
c)
d)
e)
17. h(t) = 35,6 s 1,5t – 9,4 = 35,6 s 1,5t = 45 ∴ t = 30
t = 30 s p(30) = 3,8 ⋅ (30)2 – 72 ⋅ 30 + 246
∴ p(30) = 1.506 gramas
x4 – x2 – 2 = 0
x2 = t
t2 – t – 2 = 0 s ∆ = 1 + 8 = 9
t =
(V) f(4) = 4 e f(5) = 3
f(4) > f(5) (V) Imf 2 [–1; 4] (V) f(x) < 0 se –2 < x < 1
Logo, para –2 < x < 0 também.
(F) f(1) = 0
f(f(1)) = f(0) = –1 (V) Uma reta horizontal, passando por y = 3,
corta o gráfico em dois pontos.
19. Quando o pai voltar à Terra, ele terá a mesma idade do filho. Assim,
sendo t o tempo transcorrido para o filho e T o tempo para o pai,
teremos: t + 10 = T + 30, ou seja, t – 20 = T.
IV.
2
v 
2⋅c
2⋅c
1−   s
−1=
⋅
v
v
c
2
v 
1−  
c
c
= m e substituindo na equação anterior, tem-se:
v
2

2
2
1
1 
2

2m − 1 = 2m ⋅ 1−   s (2m − 1) = 2m ⋅ 1−    s

m
m 




1
2
2
2
s 4m − 4m + 1 = 4m ⋅ 1− 2  s 4m − 4m + 1 = 4m2 − 4 s
 m 
s − 4m = − 5 s m =
7
10
III.
40 ⋅ c
40 ⋅ c
− 20 =
⋅
v
v
Fazendo
12. e
f(x – 1) = x2 + 2
f(x – 1) = (x – 1 + 1)2 + 2
f(3) = (3 + 1)2 + 2 = 16 + 2 = 18
II.
1± 3
2
t1 = – 1 (Não convém.)
t2 = 2 s x2 = 2 s x = ± 2
11. g(0) = f(0) + 2 = 0 + 2 = 2
h(0) = f(0 + 2) = f(2) = –2
13. b
I. x – 7 > 0 s x > 7
II. 2x – 20 ≠ 0 s 2x ≠ 20 s x ≠ 10
III. 4 – 2x > 0 s –2x > –4 s x < 2
IV. x ≠ 0
I.
2
= x s x4 – 2 = x2
x
CADERNO 1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Os números inteiros que pertencem ao domínio são: –3; –2; –1; 0; 1;
2; 3; 4; 5, cuja soma é 9.
2
0
I % II % III % IV = ∅
14. V – F – F – F – F
I. (V)
II. (F) Pois, por exemplo, para x = 0, f(x) < 0 e g(x) > 0, implicando f(x) < g(x).
III. (F) Pois, por exemplo, para x = 3,5, f(x) > 0 e g(x) > 0, implicando f(x) ∙ g(x) > 0.
IV. (F) Pois, por exemplo, para x = 2, f(x) = 0 e g(x) > 0, implicando f(x) + g(x) > 0.
5 c 5
4
s = \v = ⋅c
4 v 4
5
20. e
P = 0,50 x + 0,10y + 2 s
5x y
+
+2s
sP =
10 10
5x + y
+2
sP =
10
21. e
9x − 4 = m ⇒ x =
m+4
9
m+4
x +4
\ f (x) =
9
9
 x + 4 1
1
1 x +4 1
3
⋅
f
(
x
)
−
=
3
⋅
−
⇒ 3 ⋅ f (x ) − =
− s


3
3
3
3
 9  3
f (m) =
s 3 ⋅ f (x ) −
1 x + 4 −1
1 x +3
1 x
=
s 3 ⋅ f (x ) − =
\ 3 ⋅ f (x ) − = + 1
3
3
3
3
3 3
22. a
3x
3x
2t + 16
−8 = t s
= t + 8 s 3 x = 2t + 16 s x =
2
2
3
29
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10/14/10 2:13:17 AM
2
V (reais)
2
 2t + 16 
 2 ⋅ 1 + 16 
− 1 s g (1) = 
g (t ) = 
 − 1
3
 3 

g(1) = 36 – 1 = 35
Vx(n) = 50 + 1,20 · n
98
92
Vy(n) = 56 + 0,9 · n
74
Atividades extras
23. c
Nenhuma curva pode representar uma função, pois a abscissa 0 tem
duas imagens.
56
50
40
24. f(ax) = af(x)
f(4) = 2
g(x) = f(x – 1) + 1
a) g(3) = f(3 – 1) + 1 = f(2) + 1
Temos que f(4) = 2 s
s f(2 ⋅ 2) = 2 s 2f(2) = 2 s f(2) = 1
∴ g(3) = 1 + 1 = 2
b) Do enunciado, temos que:
f(4) = 2
Então: f(a ⋅ 4) = af(4) s f(4a) = 2a
Então:
De g(x) = 8, temos:
f(x – 1) + 1 = 8 s
S = {15}
20
30
40
n (quilômetros)
5. e
Em y = ax + b, temos:
I. x = 100 e y = 170
170 = 100a + b
II. x = 120 e y = 198
198 = 120a + b
Resolvendo o sistema:
170 = 100a + b
−

198 = 120a + b
−28 = −20a x
x −1
e f(x – 1) =
2
2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
c) Do item b, temos que: f(x) =
10
Assim, a afirmação verdadeira é aquela que informa que, para exatamente 20 quilômetros, os valores são iguais.
 x
x
x
f 4 ⋅  = 2 ⋅ ⇒ f ( x ) =
4
2
 4
0
7
e b = 30
5
7x
Logo: y =
+ 30 e para x = 180, teremos:
5
7 ⋅ 180
y =
+ 30 = 282
5
a =
x −1
= 7 s x – 1 = 14 s x = 15
2
6. c
MA.07
1. f(x) = ax + b
Preço (R$)
16.000
a + b = 2


− a + b = 8
x
2b = 10 s b = 5 e a = –3
∴ f(x) = – 3x + 5
4,5
2. d
Seja V(t) = at + b a sentença do 1o grau que determina o valor do
imóvel em função do tempo t (dado em anos), sendo t = 0 o instante
inicial.
Tem-se:
12 t (anos)
f(x) = ax + b
I. f(0) = 16.000 s b = 16.000
II. f (12) = 0 s 12a + b = 0 s 12a + 16.000 = 0 s
4.000
s 12a = −16.000 s a = −
3
Então:
4.000
f (x) = −
⋅ x + 16.000
3
4.000 9
\ f (4,5) = −
⋅ + 16.000
3
2
f (4,5) = − 6.000 + 16.000

V (0) = a ⋅ 0 + b = 280.000 ⇒ b = 280.000
s
V (3) = a ⋅ 3 + 280.000 = 325.000 ⇒ a = 15.000
s V(t) = 15.000t + 280.000
t = 4 anos e 3 meses = 4,25 anos.
V(4,25) = 15.000 ⋅ 4,25 + 280.000 s
s V(4,25) = R$ 343.750,00
f (4,5) = 10.000
3. c
Eletricista A
f(x) = ax + b, em que x é a quantidade em metros utilizada para o
serviço.
I. f(15) = 65 s 15a + b = 65
II. f(20) = 80 s 20a + b = 80
Fazendo II – I, temos:
5a = 15 s a = 3 e b = 20
Então f(x) = 3x + 20
Eletricista B
f(x) = 3,5x
Alternativa c, pois 3 · 40 + 20 = 3,5 · 40 = 140.
7. d
De acordo com os dados do gráfico, tem-se que R(x) = ax, sendo a
uma constante.
E mais:
R(960) = C(960) s a ⋅ 960 = 2.400 + 5,5 ⋅ 960 s
s 960a = 7.680 s a = 8 ∴ R(x) = 8x
O lucro pode ser determinado pela sentença dada por:
L(x) = R(x) – C(x) s L(x) = 8x – (2.400 + 5,5x) s L(x) = 2,5x – 2.400
x = 2.000 s L(2.000) = 2,5 ⋅ 2.000 – 2.400 ∴ L(2.000) = 2.600
8. e
f(x) = 8 + (x – 10) com x >10
f(17) = 8 + 7 = R$ 15,00
4. a
Para n quilômetros percorridos, os valores cobrados pelas locadoras
X e Y são dados por:
X: Vx(n) = 50 + 1,20 ⋅ n
Y: Vy(n) = 56 + 0,9 ⋅ n
9. b
y = 1,6x + 154,80, em que x é o número de unidades produzidas
e y é a despesa.
Lucro = receita – despesa
30
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0 = receita – despesa s receita = despesa
3,4x = 1,6x + 154,80
1,8x = 154,80
x = 86
11. d
a) Trajeto de 260 km
Locadora B
y = 330 + 260 · 0,9 = 330 + 234 = R$ 564,00
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Pela locadora B, o quilômetro rodado custa: 564 = R$ 2,17
260
b) Trajeto de 80 km
Locadora A
80
= 450 + 40 = R$ 490,00
2
y = 450 +
Pela locadora A, o quilômetro rodado custa:
490 = R$ 6,12
80
c) Trajeto de 130 km
Locadora A
y = 450 + 130 = 450 + 65 = R$ 515,00
2
Pela locadora A, o quilômetro rodado custa:
515
= R$ 3,96
130
d)
Trajeto de 1.280 km
Locadora B
y = 330 + 1.280 · 0,90 = R$ 1.482,00
Pela locadora B, o quilômetro rodado custa:
1.482
= R$ 1,16
1.280
e)
Trajeto de 640 km
Locadora B
y = 330 + 640 · 0,90 = R$ 906,00
Pela locadora B, o quilômetro rodado custa:
906
= R$ 1,41
640
y
3
x–1
2
y=
2
C
A
–2
0
–1
2
3
x–1
2
y=2
x
B
b⋅h
4 ⋅3
S
=
⇒ S ABC =
\ S ABC = 6
ABC
2
2
14. c
Seja S(t) = a ⋅ t + b a sentença que representa a superfície de gelo
marinho em função do tempo, dado em anos.
Tem-se:
S(2.008) = a ⋅ 2.008 + b = 4,7

S(2.038) = a ⋅ 2.038 + b = 1
(I)
(II)


37
⋅ t + 252,35
 s S(t ) =−
300
37

⋅ 2.038 + b = 1 s b H 252,35
em (II): −

300
(II): − (I): 30 ⋅ a = − 3,7 s a = −
37
300
t = 2.014 ⇒ S(2.014) = − 37 ⋅ 2.014 + 252,35 \ S(2.014) H 3,96
300
15. Sejam x o tempo da ligação em minutos e y o valor a ser pago em
reais.
Plano A: y = 50 + 0,25x
y = 40, se 0 < x < 50
Plano B: 
y = 40 + 1,5(x – 50), se x > 50
CADERNO 1
10. Q(x) = ax + b, em que x é a distância percorrida.
I. 8,25 = 3,6a + b
II. 7,25 = 2,8a + b
Fazendo I – II, temos:
1 = 0,8a s a = 1,25 e b = 3,75
Então:
Q(x) = 1,25x + 3,75
a) Q(0) = R$ 3,75
b) Em 10 corridas, a parte fixa será de 10 · 3,75 = R$ 37,50.
\ Q(x) = 1,25x + 37,50
75 = 1,25x + 37,50
1,25x = 37,50
x = 30 km
y=–
a) Plano A:
y = 50 + 0,25 · 30 = R$ 57,50
Plano B:
y = R$ 40,00
b) yB > yA
40 + 1,5(x – 50) > 50+0,25x
40 + 1,5x – 75 > 50+0,25x
1,25x > 85 s x > 68
Portanto, a partir de 68 minutos.
16.
I. y = x + 320 s x = y – 320, sendo x o mínimo de anos decorridos a partir de 1960 e y a média de concentração de CO2 na
atmosfera em ppm.
II. g =
x
(h em centímetros)
5
Substituindo I em II, temos:
g =
y − 320
5
Sendo y = 400 ppm, temos:
g =
400 − 320
s = 16 cm
5
Terá aumentado, em média, 16 cm.
12. d
Clube A:
y = 1.000 + 50x
Clube B:
y = 1.900 + 45x
em que y é o aluguel pago por cada clube e x o número de alunos
em cada clube.
Devemos ter: yB < yA
1.900 + 45x < 1.000 + 50x
900 < 5x s 5x > 900 s x > 180
Portanto, o número mínimo de alunos será 181, que está entre 150
e 190.
13. c
Considerem-se os gráficos das funções:
17. F – V – F – F – V
I. (F) R(x) = 10 x II. (V) C(x) = 800 + 6x
Recebe pela venda 10x.
Lucro: 10x – (800 + 6x) = 4x – 800
III. (F) L(x) = 4x – 800
L(500) = 4 · 500 – 800 = R$ 1.200,00
IV. (F) L(x) = 4x – 800
2.500 = 4x – 800 s 3.300 = 4x s x = 825
V. (V) L(x) > 0 s 4x – 800 > 0 s 4x > 800 s x > 200
18. Seja V(t) = at + b a sentença do 1o grau que determina o volume de
água, em milhares de m3, em função do tempo t (dado em anos),
sendo t = 0 o instante inicial.
31
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10/14/10 2:13:29 AM
Tem-se:
V (0) = a ⋅ 0 + b = 8 ⇒ b = 8 

3
3  ⇒ V (t ) = − ⋅ t + 8
8
V (8) = a ⋅ 8 + 8 = 5 ⇒ a = − 
8
V (t ) = 2 ⇒ −
3
3
⋅ t + 8 = 2 ⇒ − ⋅ t = − 6 \ t = 16 anos
8
8
total para o usuário dessa locadora passa a ser: CS = 30 + c ⋅ x ,
e esse custo, ainda que seja o maior possível, será sempre
mais econômico que o da locadora Mercúrio se o novo gráfico
de custos passar pelo ponto de coordenadas (200; 90).
Assim:
CS = 30 + c ⋅ x s 90 = 30 + c ⋅ 200 s 200 ⋅ c = 60 s
s c = R$ 0,30/quilômetro rodado.
A represa terá 2 mil m3 de água, após 16 anos de sua inauguração.
24. V – V – F – V – F
Sejam y o preço a ser pago em reais e x a quantidade de minutos
utilizados.
a) Telefone convencional:
40, se 0 < x < 170
y=
40 + 0,03( x − 170), se x > 170
19. c
40 litros
O consumo de combustível:
= 0,40 litro/km
100 km
Custo por quilômetro: 0,40 ⋅ 4,00 = R$ 1,60/km
Sendo D(x) a despesa e R(x) o rendimento, ambos em função de x
quilômetros rodados, têm-se: D(x) = 1.150 + 1,60x e R(x) = 2x.
Devemos ter:
D(x) < R(x) s 1.150 + 1,60x < 2x s 0,40x > 1.150 ∴ x > 2.875
20. S(h) = 3 ⋅ 40 + (h – 40) · 4,50
S(h) = 120 + (h – 40) ⋅ 4,50
I. (V) y = 40 + 0,03(200 – 170)
y = 40 + 0,03 · 30
y = 40 + 0,9 = R$ 40,90
II. (V) y = 20 + 0,3(170 – 100)
y = 20 + 0,3 · 70
y = 20 + 21 = R$ 41,00
No convencional ela pagaria R$ 40,00.
III. (F) Veja o item b.
IV. (V) Convencional
y = 40 (para uso de 167 minutos)
Social:
y = 20 + 0,3(167 – 100)
y = 20 + 0,3 · (67)
y = 20 + 20,1 = R$ 40,10
V. (F) De 167 minutos até 170 minutos, não.
21. 0,15 ⋅ 12 + 0,5 ⋅ 8 + 0,9 ⋅ 10 + 2 ⋅ 1 =
= 1,8 + 4 + 9 + 2 = R$ 16,80
Atividades extras
22. Sejam y o valor a ser pago e x o número de quilômetros rodados.
Caminhão:
y = 125 + 0,5x
Trem por toneladas:
y = 8 + 0,015x
a) 500 : 20 = 25
Precisará de 25 caminhões.
Caminhão:
y = 25(125 + 0,5 · 300)
y = 25(125+150) s y = 25 · 275 = 6.875
Portanto, de caminhão, gastará R$ 6.875,00.
Trem:
y = 500(8 + 0,015 · 300)
y = 500(8 + 4,5)
y = 500 · 12,5 = 6.250
Portanto, de trem, gastará R$ 6.250,00.
b) 500(8 + 0,015x) < 25(125 + 0,5x)
20(8 + 0,015x) < 125 + 0,5x
160 + 0,3x < 125 + 0,5x
35 < 0,2x s 0,2x > 35
x > 175 km
MA.08
1. Soma = 9 (01 + 08)
p(x) = x2 – 2x – 8
x2 – 2x – 8 = 0
∆ = 4 + 32 = 36
x =
2±6
2
x1 = –2 e x2 = 4
xv = 1 e yv = –9
23. a) Sendo CS e CM os custos por x quilômetros rodados para as locadoras Saturno e Mercúrio, respectivamente, tem-se:
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
b) Telefone social:
20, se 0 < x < 100
y=
20 + 0,3( x − 100), se x > 100
y
90, se 0 < x < 200
CS = 30 + 0,40x e CM = 
90 + 0,60 ⋅ ( x − 200) , se x > 200
–2
0
1
4 x
Custo de locação (R$)
y
210
CM
180
CS
–8
150
–9
120
90
q(x) = –x2 + 5x – 4 = 0
–x2 + 5x – 4 = 0
∆ = 25 – 4(–1)(–4)
∆ = 25 – 16 = 9
−5 ± 3
x =
−2
x1 = 4 e x2 = 1
5
x =
v
2
60
30
0
50
100 150 200 250 300 350
Distância percorrida (km)
400
x
b) Pela análise do gráfico, a locadora Saturno tem plano mais barato para quem roda menos de 150 km ou mais de 300 km
diários.
Considerando-se que o novo custo, por quilômetro rodado, na
locadora Saturno seja c reais, a função que determina o custo
yv =
9
4
32
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10/14/10 2:13:35 AM
y
6. a
−20
av =
= 10
−2
Lv = –100 + 200 – 5 = 95
9
4
1
5
2
4
x
–4
Para p(x) = q(x), temos:
x2 – 2x – 8 = –x2 + 5x – 4
2x2 – 7x – 4 = 0
∆ = 49 – 4 ⋅ 2(–4)
x =
9 unidades:
C = 5 + 9 · (12 – 9)
C = 5 + 9 · 3 = 32
15 unidades:
C= −
3
35
· 15 + 40 =
= 17,5
2
2
Portanto, o custo para as 24 unidades será de:
32 + 17,5 = R$ 49,50
b) f(x) = 5 + x(12 – x) = 5 + 12x – x2
7± 9
4
−1
x1 = e x2 = 4
2
Por meio dessas resoluções, observa-se:
(01) V (4 é a raiz comum de p(x) e q(x))
(02) F (p admite ponto de mínimo e q admite ponto de máximo)
(04) F, pois 4 ∉ (–2; 4)
(08) V (Veja o gráfico de q(x))
(16) F, pois p(–1) = 1 + 2 – 8 = –5
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
7. a)
−12
=6
−2
xv =
O custo máximo será quando produzir seis unidades.
8. d
y
11
2. c
f(x) = a(x + 1) · (x – 5)
Da figura temos que: f(0) = 3
Então:
f(0) = a(0 + 1) · (0 – 5) s 3 = –5a s a = −
2
3
5
3
3
· (x + 1) · (x – 5) s f(x) = − · (x2 – 4x – 5) s
5
5
3 x 2 12x
s f(x) = −
+
+3
5
5
12
−
5 =2
xv =
6
−
5
3
12
· 2+3
yv = − · 4 +
5
5
12 24
12
27
+
+3 =
+3 =
yv = −
5
5
5
5
f(x) = −
3. d
Seja x o número de pessoas que vão à excursão, em que 0 < x < 40.
Temos:
y = 60x + 3 · (40 – x) · x
y = 60x + 120x – 3x2
y = –3x2 + 180x
xv =
−180
= 30
−6
yv = –3 · 302 + 180 · 30
yv = –2.700 + 5.400
yv = R$ 2.700,00
4. c
f (x ) = 16 x − x 2 e x = − b ⇒ x = −16 ⇒ x = 8
V
V
V
2a
2 ⋅ ( −1)
0
x
y = (x – 3)2 + 2
y = x2 – 6x + 9 + 2
y = x2 – 6x + 11
x2 – 6x + 11 = 0
D = 36 – 44 = – 8
xV =
−b 6
=
=3
2a 2
yV = 32 – 6 · 3 + 11
yV = 9 – 18 + 11 = 2
9. c
Seja A(x) a arrecadação, em reais, dada em função do número x de
pessoas que comparecem à apresentação.
Assim:
A(x) = px s A(x) = (800 – 4x) ⋅ x ∴ A(x) = –4 ⋅ x2 + 800 ⋅ x
A sentença que representa a arrecadação por apresentação é, graficamente, uma parábola de concavidade voltada para baixo e, portanto, o seu vértice representa o valor máximo dessa função.
Assim:
Amáx. = yV e yV =
s Amáx. =
−D
s
4a
− [8002 − 4 ⋅ (−4) ⋅ 0]
\ Amáx. = R$ 40.000,00
4 ⋅ (−4)
10.
Sendo a parábola de concavidade voltada para baixo, o seu valor
máximo ocorrerá para x = xV e, dentre os valores disponíveis no domínio dessa função, o valor mais próximo de x = 8, que é a abscissa
do vértice, é x = 7.
Assim:
fmáx. = f(7) s fmáx. = 16 ⋅ 7 – 72 ∴ fmáx. = 63
5. c
f(x) = x2 – 6x + 8
6
xv =
= 3 em centenas de unidades.
2
Deverão ser produzidos 300 sapatos.
3
CADERNO 1
0
60
x
y
80
3 ⋅ (80 − x )
y
80 − x
3
\ y = − x + 60
60 = 80 ⇒ y =
4
4
 3

3
A
= x ⋅ y ⇒ Aespelho = x ⋅  − ⋅ x + 60 \ Aespelho = − ⋅ x 2 + 60 ⋅ x
espelho
4
 4

33
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10/14/10 2:13:44 AM
A área máxima do espelho ocorrerá para x = xV.
Assim:
3
−b
A(x ) = − ⋅ x 2 + 60 ⋅ x e xV =
⇒ xV =
4
2a
parábola e que a abscissa do vértice é a média aritmética das raízes,
tem-se que;
−60
⇒ xV = 40 \ x = 40 cm
 3
2 ⋅ − 
 4
Pode-se, a partir das raízes, apresentar a função na sua forma fatorada. Assim: f(x) = a ⋅ (x + 1) ⋅ (x – 4)
3
3
⋅ x + 60 ⇒ y = − ⋅ 40 + 60 \ y = 30 cm
4
4
Aespelho = x ⋅ y s Aespelho = 40 ⋅ 30 ∴ Aespelho = 1.200 cm2
y=−
 3  25
3 
⇒ = a ⋅  + 1
f   =
4
 2
2 
11. b
f(x) = x2 + kx + p
Dessa forma, a sentença que representa a função é dada por:
f(x) = –(x + 1) ⋅ (x – 4) ∴ f(0) = 4
I. f(2) = f(4) s xv =
2+4
=3
2
15.
3k + p = −9
−  k + p = 3

M
x
P
A 20 – 2x
2k = −12 s k = −6 e p = 9
∴ p – k = 9+6 = 15
(
b) Im ⊃ {y ∈ ® / y > 1} s
)
xv =
16. e
s m2 – 4 > 0 ∴ m < –2 ou m > 2
2
f (x ) = − x + 2x e xV =
−b
−2
⇒ xV =
⇒ xV = 1
2a
2 ⋅ (−1)
A abscissa do vértice é por onde passa o eixo de simetria da pará-
Além disso, para que f(x) seja crescente para x ≥ 0, o xV deverá
estar à esquerda da origem. Assim:
bola e, sendo assim, tem-se: x A = 1 −
−m
<0 sm>0
2
a
, sendo a o lado do quadra2
do. Tem-se, também:
2
 a
 a
 a
f ( x A ) = a s f 1−  = a s − 1−  + 21−  = a s
 2
 2
 2
Concluindo, devemos ter m = 2.
d) y > 2, x > 0 e m = 2 s f(x) = y s x2 + 2x + 2 = y s
s x 2 + 2x + 2 − y s x =
−10
−2
∴ x = 5 cm
8 − m2
< 1 s 8 − m2 < 4 s
4
8 − m2
c) Im = {y ∈ ® / y > 1} s
= 1\ m = −2 ou m = 2
4
B
2x
(20 − 2x ) ⋅ x
y=
2
y = 10x – x2
y = –x2 + 10x

−b
−m
⇒ xV =
 xV =

2a
2
12. a) f ( x ) = x + mx + 2 ⇒ 
− m2 − 8

8 − m2
−D
⇒ yV =
⇒ yV =
yV =
4
4
4a
2
C
D
II. f(1) = 4 s 1 + k + p = 4 s k + p = 3
III. De I e da observação do gráfico, temos f(3) = 0 s
s 9 + 3k + p = 0 s 3k + p = –9
De II e III, temos:
3
 25
−25a 25
⋅  − 4 =
⇒
=
⇒ a = −1
4
4
4
2

−2 ± 2 y − 1
s
2
s − 1 + a −
m.)
 x = −1 − y − 1 (Não convém
s 
 x = −1 + y − 1
s a =
13. d
No ponto de intersecção dos gráficos, deve-se ter f(x) = g(x).
f(x) = g(x) s 4 – x2 = x2 – 4x + m s 2x2 – 4x + (m – 4) = 0
Considerando-se que essa equação admite uma única solução, deve-se ter, nessa equação, ∆ = 0.
∆ = 0 s (–4)2 – 4 ⋅ 2 ⋅ (m – 4) = 0 s
s –8m + 48 = 0 s m = 6
x = k e m = 6 s f(k) = g(k) s 4 – k2 = k2 – 4k + 6 s
s 2k2 – 4k + 2 = 0 s k2 – 2k + 1 = 0 s k = 1
m = 6 e k = 1 ∴ m + k = 7
a2
4
+ 2 − a = a ×
→ a2 + 4a − 4 = 0 s
4

−4 ± 4 2 a = −2 − 2 2 (Não convém.)
s
2
a = −2 + 2 2 \ a = 2 2 − 1
(
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
−1 + x2 3
= ⇒ −1 + x2 = 3 \ x2 = 4.
2
2
)
17. d
O gráfico da função f(x) = a ⋅ (x2 – x) segue o modelo que se vê a
seguir.
y
Xp
14. b
0
y
1
25
4
–2
–1
x
yp
0
3
2
x2
x
y = –2
O ponto P estará numa distância mínima até a reta y = –2 quando
estiver exatamente sobre o vértice da parábola.
Assim:
 3 25 
Considerando  ;
o ponto que representa o vértice dessa
 2 4 
xp = xV =
1
(média aritmética das raízes)
2
34
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10/14/10 2:13:53 AM
yP − ( −2) =
1
15
⇒ yP = yV = −
8
8
1
15 
Logo, o ponto de coordenadas  ; −
pertence ao gráfico da
8 
2
função f(x) e, em particular, é o seu vértice. Portanto:
 1 2 1 
 1
 1
15
15
15
15
⇒ a ⋅   −  = −
\a =
f   = −
⇒ a ⋅ −  = −
8
2
8
8
2
 2
 4
 2

18. a
L(x)
4.000
8.000
12.000
x
t1 = 6 e t2 = 24
Do item a, temos que: 0 < t < 10 s
∴ t = 6 s
23. Considere x o número de minutos e y o valor da conta em reais.
Plano α
0 < x < 100 s y = 0,70x
100 < x < 400 s y = [0,70 – 0,001(x – 100)]x =
= 0,70x – 0,001x2 + 0,10x
y = 0,8x – 0,001x2
x > 400 s y = 0,40x
Plano β
0 < x < 87 s y = 50
x > 87 s y = 50 + 0,80(x – 87) = 50 + 0,80x – 69,6
= 0,8x – 19,6
yβ < yα
Observe o gráfico a seguir:
p(t)
yβ
300,4
Analisando o gráfico, concluímos que a única alternativa falsa é a a.
70
50
49
7
9
yV = –
+ 7 ⋅ − 10 =
4
2
4
0
20. d
Sendo A(x) a área, em função de x, a ser removida, tem-se:
A(x ) = x 2 +
yα
160
−7 7
xV =
=
−2 2
(14 + x ) ⋅ (12 − x ) s A(x ) = x
Amín. s x = xV s x =
2
− (−1)
 1
2⋅ 
2
2
2
α( x ) . b( x ) s 0,7x . 50 s x .
21. d
As raízes dessa função são os números (–2) e 1 e, portanto, a sentença que define a função f é dada por f(x) = a ⋅ (x + 2) ⋅ (x – 1).
Além disso, a imagem do elemento 0 é – 4.
Logo:
f(0) = a ⋅ (0 + 2)(0 – 1) = –4 s –2a = –4 ∴ a = 2
Assim sendo, pode-se escrever a função f definida pela sentença
f(x) = 2 ⋅ (x + 2) ⋅ (x – 1), ou seja, na sua forma desenvolvida que
é: f(x) = 2x2 + 2x – 4.
500
I. 0 < x < 100
− x + 84
\ x =1
400
87
100
50
50 500
s x.
=
7
0,7
7
10
II. 100 < x < 400
a(x) > β(x) s 0,8x – 0,001x2 > 0,8x – 19,6
0,001x2 < 19,6 s x2 < 19.600 s x > – 140 ou x < 140
III. x > 400
Observa-se nesse caso que:
α(x) < β(x), o que não convém.
∴ yβ < yα se
t
CADERNO 1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
19. b
500
< x < 140
7
24. a
10
24
Atividades extras
22. O gráfico da função p(t) = 0,5t2 – 15t + 100 é dado por:
p(t)
100
34 – x
24
x
10
34 – x
x
15
10
y = área da praça de alimentação
20
t
y = 342 –
a) p(t) é decrescente e 0 < p(t) < 100
Verifica-se pelo gráfico que nesse intervalo temos 0 < t < 10 s.
b) Devemos ter p(t) = 28
1
· t 2 – 15 · t + 100 = 28
2
1
· t 2 –15 · t + 72 = 0 s t 2 – 30t + 144 = 0
2
24 ⋅ 24 10(34 − x ) x ⋅ x 10 ⋅ (34 − x )
−
−
−
2
2
2
2
y = 1.156 – 288 – 170 + 5x –
x2
+ 10x + 528
2
−10
xv =
 1
2 ⋅ − 
 2
x2
– 170 + 5x
2
y = −
35
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xv = 10
\ x = 10
10
24
8. b
3x + 10° = x + 50° s 2x = 40° s x = 20°
3x + 10° = 3 · 20° + 10° = 70°
Cada ângulo mede 70°.
24
b
a
9. a
24
60°
50°
10
c
d
10
24
10
60°
Aplicando Pitágoras em cada triângulo, temos:
a = 26; c = 26; b = 24 2 ; d = 10 2
a + b + c + d = 52 + 34 2
50°
x = 60° + 50° = 110°
10. d
MG.01
1.
2x
e x são ângulos colaterais externos.
3
α
Logo, são congruentes.
Assim, temos:
α + β = 90°
β
2
β
2
α
2
α b α + b 90º
+ =
=
= 45º
2
2
2 2
2x
+ x = 180° s 5x = 540 s x = 108°
3
y = 2x = 2 ⋅ 108 = 72°
3
3
α
2
11. e
Seja a a medida do explemento de 250°, assim: 250° – a = 180° s
s a = 70°.
A medida do complemento de a é igual a 90° – a, ou seja, 20°.
(c.q.d.)
2. e
x +
2x
e y são ângulos alternos externos.
3
5x
= 180° s 8x = 540 s x = 67,5°
3
12. c
2a + (180° – a) = 4 · (90° – a) s
s 2a + 180° – a = 360° – 4a s
s 5a = 180° s a = 36°
A medida do complemento de a é 90° – a, ou seja, 54°.
Temos, ainda, que:
180° – 67,5° = 112,5°
O maior ângulo mede 112,5°.
3. c
(2x + 50°) + (x + 10°) = 180° s
s 3x = 120° ∴ x = 40°
13. e
4. e
Seja θ o complemento de α e, assim, θ = 90º – α.
B = 90º – 39º = 51º
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Logo, são suplementares.
β
A
13
s 17A = 1.170º – 13A s 30A = 1.170º s A = 39º e
=
90º− A 17
180° − A 180° − 39° 141° 47
=
=
=
180° − B 180° − 51° 129° 43
90°
89° 59' 60"
–72° 36' 28" s –72° 36' 28" s q = 17° 23' 32"
17° 23' 32"
14. e
Seja α o ângulo e, assim, 90º – α é o seu complemento e 180º – α,
o seu suplemento.
Logo:
Fazendo θ + β, tem-se:
17° 23' 32"
+32° 54' 52" s q + b = 49° 78' 24" s q + b = 50° 18' 24"
49° 77' 84"
3 ⋅ (90° − α) =
5. c
Ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
1
⋅ (180° − α) s
3
s 270° − 3α = 60° − α s
3
α
s 3α − = 270° − 60° s
3
6. b
Qualquer ângulo agudo medirá: 72º = 36°
2
s
Portanto, um ângulo obtuso medirá:
180° – 36° = 144°
3 ⋅ 210°
8α
= 210° s α =
s
8
3
s a = (78, 75)° ∴ a = 78°45’
7.
 x + 2y = 90 
s
 s x = 10º e y = 40°
x + 4y + 10o = 180o  x + 4y = 170o 
x + 2y = 90
o
o
15. d
Observe a figura:
36
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10/14/10 2:14:10 AM
Atividades extras
23.
30°
10°
A
B
A
30°
B
x
10°
60°
60°
y
a = 10° + 60° = 70°
16.
O
I. p + 10º = n
p
= m s 28º + p = 2m
2
p
p
III. p + 10º + 14º +
= 90º s p + 24º +
= 90º
2
2
II. 14º +
17. b
y + 30° = 130° s y = 100°
x e y são opostos pelo vértice.
Assim: x = 100°
Portanto: 2x + 3y = 2 ⋅ 100° + 3 ⋅ 100° = 500°
(I)
(II)
24. a
18. b
a + b = 180° e b = 4a
Daí:
5a = 180° s a = 36° e b = 144°
Daí: b – a = 144° – 36° = 108°
30°
z
70°
19. b
Observe a figura:
s
v
r // s // z
15°
r
t
15°
30°
MG.02
1. b
O pentágono possui cinco lados.
60°
s
β
120°
d =
20. d
360°
= 18° s n = 20
n
d =
t
45°
v // t
r
50°
50°
45°
5 (5 − 3)
=5
2
2. b
120° + b = 180° s b = 60°
a = 15° + 30° = 45°
3a + b = 135° + 60° = 195°
130°
u
α = 70° + 30° = 100°
30°
45°
r
70°
30°
30°
CADERNO 1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
2p + 48º + p = 180º s 3p = 132º s p = 44º
Substituindo III em I e em II, temos:
n = 54º e m = 36º
Temos que:
AÔX ≡ AÔB + BÔX
BÔY ≡ BÔX + XÔY
Fazendo I – II, temos:
AÔX – BÔY = AÔB – XÔY
Do enunciado, temos que:
AÔB e XÔY são congruentes.
Então: AÔB ≡ XÔY
Voltando à equação, temos:
AÔX – BÔY = AÔB – AÔB s
s AÔX – BÔY = ângulo nulo
∴ AÔX = BÔY
c.q.d.
20 · 17
n( n − 3)
sd =
s d = 170
2
2
3. e
A
x
130°
α
2
C
2α
9
a + 50° + 45° = 180° s a = 85°
22. d
I. y + 60° = 120° (ângulos alternos internos)
y = 60°
II. x + y + 60° = 180° s x + 60° + 60° = 180°
x = 180° – 120° s x = 60°
α
s // r
u
21. c
68 – x + 4x = (2x + 90°)
68 + 3x – 2x – 90 = 0
x = 22°
B
α
2
M
2α + 2α = 360° s 20α = 360 · 9 s
9
s ai = α = 162°
ai + ae = 180°
ae = 18° s
s n = 360 = 20 lados
18
37
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10/14/10 2:14:17 AM
(6 – 2) · 180° = 4 · 180° = 720°
(8 – 2) · 180° = 6 · 180° = 1.080°
(13 – 2) · 180° = 11 · 180° = 1.980°
(9 – 2) · 180° = 7 · 180° = 1.260°
Sabe-se, também, que para um polígono convexo, a soma dos ângulos internos é dada por S1 = (n – 2) ⋅ 180°. Então, em particular,
nesse caso, tem-se:
(n – 2) ⋅ 180° = 2 ⋅ 130° + (n – 2) ⋅ 128° s
s (n – 2) ⋅ 180° – (n – 2) ⋅ 128° = 260° s
s (n – 2) ⋅ (180° – 128°) = 260° s
s (n – 2) ⋅ 52° = 260° s n – 2 = 5
∴ n = 7
5. c
De cada vértice de um polígono convexo de n lados, partem n – 3
diagonais.
Então:
n – 3 = 25 s n = 28
6. a)
b)
c)
d)
(8 − 2) ⋅ 180

8
(9 − 2) ⋅ 180
9
(15 − 2) ⋅ 180
15
(30 − 2) ⋅ 180
30
14. b
I. Verdadeiro
n ( n − 3)
n−3
d = n s
=1sn–3=2sn=5
= ns
2
2
II. Falso
n ( n − 3)
n−3
d = 4n s
= 4 s n – 3 = 8 s n = 11
= 4n s
2
2
= 135°
= 140°
III. Verdadeiro
n ( n − 3) n − 3
d
=
=
2n
2
n
n – 3 = 2k (k 3 ˜) s n = 2k + 3
∴ n é ímpar.
= 156°
= 168°
7. Sejam (x − 3r; x − r; x + r; x + 3r) as medidas dos ângulos internos
do quadrilátero, temos:
x − 3r + x − r + x + r + x + 3r = 360° s
s 4x = 360° s x = 90°
De acordo com o enunciado, x + 3r = 5(x − 3r) s
s 90° + 3r = 5(90° − 3r) s 90° + 3r = 450° −15r s
s 18r = 360° s r = 20°
Assim, os ângulos possuem as medidas:
(30°; 70°; 110°; 150°)
15. O polígono que possui 20 diagonais passando pelo seu centro é o
polígono que possui 20 · 2 = 40 lados.
Si = (n – 2) · 180° = 180° · 38 = 6.840°
16. c
B
36°
8. c
13 ⋅ (13 − 3) 13 ⋅ 10
x =
s x = 65
=
2
2
108°
A
D
9. c
Sejam n, n + 1 e n + 2 os números de lados dos três polígonos.
Do enunciado, temos que:
n( n − 3) ( n + 1)( n − 2) ( n + 2)( n − 1)
+
+
= 28
2
2
2
2
2
2
n – 3n + n – n – 2 + n + n – 2 = 56 s 3n2 – 3n – 60 = 0
n2 – n – 20 = 0 s
s n1 = – 4 (Não convém.) ou n2 = 5
Portanto, o polígono com maior número de lados tem 5 + 2 = 7 lados.
C
I. AD ≡ BD s ∆ABD é isósceles de base AB
 é um ângulo interno de um pentágono
ADB
 ) = 108°, ABD
 ≡ DÂB ≡ 36°
Como med ( ADB
II. BD ≡ CD s
s †BCD é isósceles de base BC
 é um ângulo interno de um hexágono.
ADC
 )=
 ) = 120o e med ( BDC
Então, med ( ADC
= 360° – 108° – 120° = 132°
 ) ≡ med (DCB
 ) = 24°
Então, med (DBC
 ) = 36° + 24° = 60°
Assim: med ( ABC
10. c
O triângulo ABC é isósceles e med(Bˆ ) =
180° · (5 − 2)
= 108° .
5
ˆ ≡ DCE
ˆ ≡ 36°
Daí: BCA
ˆ ) = 108° – 36° – 36° = 108° – 72° = 36°
Logo: med(ACE
17. d
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é
dada por S1 = (n – 2) ⋅ 180°, ou seja, é sempre um múltiplo de 180°.
O próximo múltiplo de 180 maior que 1.900 é 1.980 e esse número pode ser a soma do n ângulos internos desse polígono. Sendo
assim o ângulo desconhecido mede 80°.
Para o próximo múltiplo de 180 maior que 1.900, faria a medida do
ângulo desconhecido superar 180° e, assim, o polígono deixaria de
ser convexo.
Portanto o ângulo procurado mede 80°.
11. e
ae =
360
360
s ae =
s ae H 51°
n
7
12. Soma = 13 (01 + 04 + 08)
(01) (V) x = 180(4 – 2) = 360°
5 (5 − 3)
(02) (F) y =
= 5
2
(04) (V) z =
18. a) A figura abaixo ilustra os dados do problema:
6 (6 − 3)
=3⋅3=9
2
C
B
(08) (V) m = 180(6 – 2) = 720°
(16) (F) p =
36°
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
4. a)
b)
c)
d)
3 (3 − 3)
= 0
2
A
R
D
ai
ai
ai
S
E
(32) (F) q = 180(3 – 2) = 180°
13. b
Considere-se um polígono de n lados e, portanto, n ângulos internos,
dos quais dois deles medindo 130° e os outros (n – 2) medindo 128°.
Assim a soma desses n ângulos é dada por 2 ⋅ 130° + (n – 2) ⋅ 128°.
72°
P
38
OPV11TP1M.indd 38
10/14/10 2:14:28 AM
b) ai = 156° s
( n − 2) ⋅ 180°
n
= 156° s
s 180n – 360 = 156n s 24n = 360 s
d=
24. e
De cada vértice de um polígono de n lados partem n – 3 diagonais.
Assim: n – 3 = 15 s n = 18
360°
360°
a =
s ae =
s ae = 20°
e
n
18
ai + ae = 180° s ai + 20° = 180° s ai = 160°
p rad
180°
ai
160°
160° ⋅ π
8π
ai =
s ai =
rad
180°
9
O polígono PRBCDS é um hexágono.
Então: 3ai + 90° + 90° + 72° = (6 – 2) · 180° s
s 3ai + 252° = 720° s 3ai = 468° s
s ai = 156°
n ( n − 3)
2
15 ⋅ 12
d=
2
MG.03
1. Os lados do quadrado A valem 4 m, e os do quadrado B valem 6 m.
Observe que os lados do quadrado C valem A + B, ou seja, 10 m.
Os lados do quadrado D valem B + C, ou seja: 10 + 6 = 16 m
Logo, o perímetro do quadrado D é: 4 · 16 = 64 m
d = 90 diagonais
19. d
5π
5π
⋅3=
cm
9
3
, =
3. d
Observe a figura:
A
21. d
d = 3n ⇒
n ⋅ ( n − 3)
2
a
= 3n ⇒ n − 3 = 6 \ n = 9
B
x+2
a
6
6
S1 = (n – 2) ⋅ 180° s S1 = (9 – 2) ⋅ 180° ∴ S1 = 1.260°
180° – 2a
22. b
Seja o primeiro polígono com n lados e o segundo com
n + 6 lados.
d1 =
n · ( n − 3)
2
d2 =
( n + 6) · ( n + 3)
2
D
k
x
P
No triângulo ADP, temos:
180° – 2α + α + k = 180° ⇒ k = α
Logo, o triângulo ADP é isósceles e x = 6.
Daí, o perímetro do paralelogramo é dado por:
2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 8 = 12 + 16 = 28 cm
( n + 6) · ( n + 3) n·( n − 3)
=
+ 39
2
2
n2 + 9n + 18 = n2 – 3n + 78 s 12n = 60 s n = 5
O polígono possui 5 lados e 5 diagonais.
O segundo polígono possui 11 lados e 44 diagonais.
Soma dos vértices e diagonais = 5 + 11 + 5 + 44 = 65
20
Atividades extras
23. a) A medida de um ângulo interno de um hexágono regular é
ˆ 30°
120°. Logo: CBG
Pela lei dos cossenos, no triângulo BCG, temos:
(2 + 3 ) ⋅ (2 + 3 )
(CG )
(CG )
=4+2 3 –2
(CG )
3
= 4 + 2 3 – 2 2+ 3 ⋅
2
2
2
=2+
3 +2+
3 –2
(2 + 3 )
2
(
⋅ cos 30°
3
⋅
2
)
(CG ) = 4 + 2 3 – 2 3 – 3
(CG )2 = 1 s CG = 1
ˆ = 30°, de
b) O triângulo BCG é isósceles de base CG e CBG
acordo com o item a.
 ) = med ( BCG
 ) = 75°
Assim: med ( BGC
�
�
Logo: ICG = 120° – 75° = 45°; CGI = 90° – 75° = 15° e
CIG = 120°
Aplicando a lei dos senos no triângulo CGI, temos:
GI
CG
GI
1
=
s
=
s
sen 45° sen120°
3
2
2
2
2
6
s GI =
s GI =
3
3
2
C
4. a
Observe a figura:
Temos:
2
2
CADERNO 1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
20. b
Ao fazermos tais combinações, a soma dos ângulos combinados deverá perfazer 360°. Tomando-se dois octógonos, teremos como
soma 270°; logo, para 360°, faltam nos ainda 90°, ou seja, o outro
polígono será um quadrado.
2. c
De acordo com as definições do paralelogramo, temos:
(I) Falso
(II) Verdadeiro
(III) Verdadeiro
x
y
Temos:
x 3
3y
= sx =
y 4
4
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da figura,
temos:
9y2
+ y2 s 6.400 = 25y2
16
3 ⋅ 16
y2 = 256 ∴ y = 16 e x =
∴ x = 12
4
400 = x2 +y2 s 400 =
5. d
A
D
40°
β
F
180° – β
180° – α
α
B
E
C
39
OPV11TP1M.indd 39
10/14/10 2:14:43 AM
O ângulo C é reto, pois ABCD é um retângulo. No quadrilátero AFCE:
90° + 40° + 180° – α + 180° – β = 360°
∴ α + β = 130o
I. sen 30° =
30 1 30
s =
s y = 60 m y
2
y
6. d
II. cos30° =
x
3
x
s
=
s x = 30 3 m
y
2
60
A
III. AB = DC − CE = 120 − 30 3
Perímetro: 120 + 60 + 120 − 30 3 + 30 = 330 − 30 3 m
(
x
12
)
Comprimento do arame: 3 ⋅ (330 − 30 3 ) = (990 − 90 3 ) =
c
5
(
)
= 90 11− 3 m
B
x
11. b
Observe a figura:
A
Aplicando Pitágoras no triângulo ABC, temos:
x2 = 122 + 52
x2 = 144 + 25 s x2 = 169 s x = 13
Perímetro = 4 · 13 = 52 cm
60
80
E
x
k
80
60
7. d
D
y
60
B
C
F
θ
B
I. Aplicando Pitágoras no triângulo EFC, temos que k = 100.
II. Do enunciado temos que:
60 + x + y = 80 + 120 s x + y = 140 s y = 140 – x
III. Aplicando Pitágoras no triângulo ECD, temos:
1002 = x2 + y2 s 10.000 = x2 + (140 – x)2 s
s 10.000 = x2 + 19.600 – 280x + x2 s
s 2x2 – 280x + 9.600 = 0 s
s x2 – 140x + 4.800 = 0
Daí: x1 = 60 e x2 = 80
Como x > y, temos que x = 80.
θ
D
4 cm
θ
θ
C
O triângulo ABC é equilátero; logo: AB = BC = AD = CD = AC = 4 cm
8. d
As diagonais de um retângulo têm a mesma medida e interceptam-se nos respectivos pontos médios, formando, portanto, triângulos
isósceles.
12. a
a
3x
A
D
2x
b
3x
2x
E
α
x
28°
x
28°
B
C
x
O ângulo α é externo ao triângulo EBC e, portanto, a sua medida
é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes a ele. Assim,
α = 28° + 28°, ou seja, α = 56°.
Sendo x a medida do lado do menor quadrado, tem-se a = 5x e
b = 3x.
Assim:
a 5x
a 5
=
\ =
b 3
b 3 x
9. c
ˆ )=α
ˆ )=med(ACD
13. AB / / CD s med(BAC
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
A
10
A
B
α
13
x
13
β
β
15
15 – 10
ˆ , ou
ˆ ≡ BCD
AD = BC s O trapézio ABCD é isósceles e, portanto, ADC
seja, 2α = b s α = b .
2
10.
E
D
†ACD : α + 2b = 180° s
x
30°
30
A
α
α
C
D
132 = x2 + 52
x = 12
Portanto, o diâmetro mede 12 cm e o raio 6 cm.
θ
C
b
+ 2b = 180° \ b = 72°
2
ˆ é 72°.
A medida do ângulo ADC
y
14. Sendo x a medida dos lados não paralelos, temos que:
12 + 8 + 2x = 40 s
s 2x = 20 s x = 10 m
B
40
OPV11TP1M.indd 40
10/14/10 2:14:53 AM
A
15. Observe a figura:
B
α
x
x + 25°
β
C
D
α − b = 44°
⇒ α = 112° e b = 68°

α + b = 180°
x
Portanto, o menor ângulo desse paralelogramo mede 68°.
x + x + 25° = 180°
2x = 155°
x = 77,5° = 77° 30’
x + 25° = 102,5° = 102° 30’
19. c
�
� 2
2
16. d
Observe a figura:
D
α
A
x
y
y
�
� 2
2
C
� 2
2
x
�
B
Quadrado maior: perímetro 4,
2p = 4,
Temos:
x + y + α = 180° s
s x + y = 180° – α
med(Aˆ ) + med(Dˆ ) + med(Bˆ ) + med(Cˆ ) = 360º s
s med(Aˆ ) + med(Dˆ ) + 2x + 2y = 360º s
s med(Aˆ ) + med(Dˆ ) + 2( x + y ) = 360º s
(
º− α ) = 360º s
s med(Aˆ ) + med(Dˆ ) + 2180
s med(Aˆ ) + med(Dˆ ) + 360º− 2α = 360º s
s med(Aˆ ) + med(Dˆ ) = 2α
Quadrado menor: perímetro 4 ·
2p 2
= p 2
2
4, = 2p s
20. e
Observe a figura:
17. a
Observe a figura:
A
a
x
M
h
a
a
2
a
a
2
Aplicando o teorema de Pitágoras em um dos triângulos retângulos,
temos:
Strap =
a2
3a2
a 3
s h2 =
sh=
4
4
2
18. a
OPV11TP1M.indd 41
8
C
B
A
x
110°
P
x – 15°
3a 3a
;
2 2
α
β
α
Logo:
Strap
Sret
8–x
21. a
Observe a figura:
(2a + a) ⋅ a 3 3a2 3
=
4
4
3a2 3
2 3
3
4
=
=
=
3a2
4
2
2
N
Os triângulos AMN e ABC são equiláteros (duas retas paralelas cortadas por uma transversal).
Devemos ter:
3x = x + 8 – x + 8 – x + 8
4x = 24
x = 6
Observe que a corda em questão mede 5a.
Assim, as dimensões do retângulo serão:
a; a;
x
x
8–x
a
B
a2 = h2 +
4
 2
⋅ 2
=
2
2
CADERNO 1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
�
D
β
C
No triângulo CPD, temos:
α + β + x – 15° = 180° s α + β = 195° – x
No quadrilátero ABCD, temos:
2α + 2β + 110 + x = 360° s 2(α + β) + 110 + x = 360° s
41
10/14/10 2:15:03 AM
s 2(195° – x) + 110° + x = 360°
390° – 2x + 110° + x = 360°
–x + 500° = 360° s x = 140°
Ainda:
x + 2β = 180° s 2β = 180° – 140° s 2β = 40°
ˆ = 40°
∴ BCD
No triângulo ABC, temos que MN é a base média; logo, MN // AC
e MN =
AC
.
2
No triângulo ACD, temos que PQ é a base média; logo PQ // AC e
PQ =
22. b
AC
.
2
Como MN é paralelo a PQ e MN é congruente a PQ, temos que
MNPQ é um paralelogramo.
x
MG.04
1. Seja a a medida de cada um dos lados congruentes.
M
A
N
B
a
a
2x
AB é a base média.
MN é a mediana de Euler.
MN =
2a + 6,8 = 30 (perímetro) s
s 2a = 23,2 ∴ a = 11,6 m
2x − x
x
=
2
2
2. e
Seja α a medida do ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos
opostos ao ângulo dado.
3x x
Do enunciado, temos:
+ = 12 s 2x = 12 s x = 6
2
2
Atividades extras
23. c
80°
3
α
6
3
α
45
25°
25°
α
25°
25°
6
45
α + 2 ⋅ 25° = 180° ∴ α = 130°
45
6
3. b
Observe a figura:
45
6
3
3
4x
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
6,8 m
2x + x 3 x
AB =
=
2
2
I
Para ser quadrado: a = 45°
• Cada triângulo retângulo da figura deve ser isósceles, o que não
ocorre.
• É um losango, mas não um quadrado.
3x
y
y
II
5x
z
6x
z III 2x
24. Na figura, ABCD é um quadrilátero.
Dos triângulos I e II, temos:
3x + 4x = 5x + z s z = 2x
Dos triângulos II e III, temos:
5x + y = 6x + 2x s y = 3x
Substituindo os valores de y e z encontrados, no triângulo II, temos:
5x + y + z = 180° s 5x + 3x + 2x = 180° s
s 10x = 180° s x = 18°
A
Q
M
D
4. b
B
C
P
α
α
N
140°
C
x
Os pontos M, N, P e Q são, respectivamente, os pontos médios dos
lados AB, BC, CD e AD.
A
α
α
B
42
OPV11TP1M.indd 42
10/14/10 2:15:13 AM
α + α + 140° = 180° s 2α = 40° ∴ α = 20°
2α + 2α + x = 180° s 4 ⋅ 20° + x = 180° ∴ x = 100°
Os ângulos são 100°, 40° e 40°
5. d
A
α
10. O triângulo ABD é isósceles, portanto:
A D̂B = x
CB̂D = 2x (externo do †ABD)
B D̂C = 180° – 4x
Então:
y + B D̂C + A D̂B = 180° s y + 180° – 4x + x = 180° s y = 3x
11. b
χ
D
β
53°
β
α
A
55°
C
2a + 90° = 180° s 2a = 90° s a = 45°
a + b + 55° = 180° s 45° + b + 55° = 180° s b = 80°
x + 2b = 180° s x + 2 · 80° = 180° s x = 20°
85°
2
53°
1
α
127°
6. b
32°
A
No triângulo 1, o suplementar do ângulo de medida 127° é o ângulo de medida 53°. Ainda nesse triângulo são conhecidos dois
ângulos internos e a soma deles é a medida do ângulo externo não
adjacente a eles. Esse ângulo externo do triângulo 1, cuja medida
é 85°, é um dos ângulos internos do triângulo 2.
No triângulo 2, temos:
α + 85° + 53° = 180° ∴ α = 42°
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
a
a
B
C
a
Lembrete: Num triângulo equilátero o baricentro, o circuncentro, o
incentro e o ortocentro coincidem num mesmo ponto.
Seja a medida do lado do triângulo equilátero e r a medida do raio
do círculo que o circunscreve, em centímetros, temos:
r =
( )
3a = πr 2 s 3 r 3 = πr 2 s πr = 3 3 \ r =
7. d
a + x + b = 180°
II. PN é a base média do triângulo ABC.
Resolvendo o sistema, temos:
2x − 2y + 7 = 0

3 x − 2y + 1 = 0
–x + 6 = 0 s x = 6 e y = 9,5
(I)
(II)
Substituindo (II) em (I), temos:
a + b + x = 180° s x + x = 180° s 3x = 360° s x = 120°
2
13. b
Sendo um triângulo equilátero, a altura também é baricentro (intersecção das medianas) e, assim, o raio r do círculo circunscrito corresponde a dois terços da mediana.
Logo:
r =
8. I. x + 3 > 7 s x > 4 
 s 4 < x < 10
II. 3 + 7 > x s x < 10
AC
2y − 7
⇒ 2x = 2y – 7 s 2x – 2y + 7 = 0
sx=
2
2
PN = BC s y = 3 x + 1 s 2y = 3x + 1 s 3x – 2y + 1 = 0
2
2
3 3
π
x = 2a + 2b ⇒ x = 2 (a + b) s a + b = x 2
MN =
2 a 3
a 3
3r
⋅
⇒r =
⇒a=
\a = r 3
3 2
3
3
De acordo com o enunciado, tem-se:
12. b
I. MN é a base média do triângulo ABC.
CADERNO 1
r
2
2
⋅ h s r = ⋅ 3 3 \ r = 2 3 cm
3
3
14. c
Observe a figura:
Os valores de x são 5, 6, 7, 8 e 9.
9. Observe a figura:
A
A
I
124°
α
115°
α
B
B
 A + B = 115º

 A − B = 21º
2 A = 136º
\ A = 68º e B = 47º
C
β
β
C
I. α + β + 124o = 180o
α + β = 56°
II. Â + 2α + 2β = 180°
 + 2(α + β) = 180°
 + 2 · 56o = 180°
 + 112° = 180°
 = 68°
43
OPV11TP1M.indd 43
10/14/10 2:15:21 AM
15. d
Observe a figura:
Em um triângulo equilátero, a mediana e a bissetriz interna coincidem.
Assim: a = 30°
D
19. e
Observe a figura:
50°
C
50°
A
80°
25°
A
x
25°
x
B
Assim: x + 80° + 25° = 180° s x = 75°
D
180° – 2x
16. d
I. (V)
II. (V) caso ALA de congruência
III. (F) semelhantes
IV. (V) caso LAAo de congruência
y
x
17. b
Observe as figuras:
x
a
a
P
C
y = 180° − (180° − 2x)
y = 180° − 180° + 2x
y = 2x
z = 180° − (90° − x) − y
z = 180° − (90° − x) − 2x
z = 180° − 90° + x − 2x
z = 90° − x
Logo, o triângulo BCD é isósceles de base BC.
Assim: BD = AD = CD
P
∴
b
a
Z
z
b
0 a
g
Y
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
x
Y
90° – x
B
AD
=1
CD
20.
Z
A
D
60°
ˆ =β
Como PO H YO, temos que: YPO
50°
20°
10°
x
70°
a
110°
50°
60°
C
x
B
b
b
b
Y
O triângulo ABC é isósceles de base BC.
Assim:
50° + x + 50° + x + 20° = 180°
2x + 120° = 180°
2x = 60°
x = 30°
2b
2b
a
g
Z
21. c
I. α + γ = 2β
II. 3β + γ = 180° s γ = 180° – 3β
Substituindo II em I, temos:
α + 180° – 3β = 2β s α = 5β – 180°
No triângulo XYZ, temos:
2α + 2β + γ = 180° s
s 2(5β – 180°) + 2β + 180° – 3β = 180° s
s 10β – 360° + 2β + 180° – 3β = 180° s
s 9β = 360° s β = 40°
Daí: α = 5β – 180° = 200° – 180° s
s α = 20°
8ˆ
d
7ˆ
6ˆ
d
2ˆ
1ˆ a
a
c
c
5ˆ
b
b
3ˆ
18. c
O triângulo ADC é isósceles.
Então: DÂC = 30° e A D̂C = 120°
ˆ = 60°
Em consequência disso: ADB
Como o triângulo ABD também é isósceles, conclui-se que
ˆ = 60°, o que nos leva a concluir que o triângulo ABD é equiABD
látero.
4ˆ
I. a + b + c + d = 360°
ˆ + 2ˆ ) ; b = 180° − (3ˆ + 4ˆ ) ; c = 180° − (5ˆ + 6ˆ ) ; II. a = 180° − (1
ˆ + 8ˆ )
d = 180° − (7
Substituindo (II) em (I), temos:
ˆ + 2ˆ + 3ˆ + 4ˆ + 5ˆ + 6ˆ + 7
ˆ + 8ˆ = 360°
1
44
OPV11TP1M.indd 44
10/14/10 2:15:29 AM
22. c
I. (V) Teorema.
II. (F) Deve ser sempre menor que a soma dos outros dois.
III. (V) a + b = 180° s
2
b + b = 180° s 5b = 540° s b = 108°
3
IV. (V) ai = 150° e ae = 30°
360
= 12
30
n( n − 3) 12 ⋅ 9
=
= 54 diagonais
d =
2
2
n =
Atividades extras
23. b
I. x + 7 > 12 s x > 5
II. 7 + 12 > x s x < 19
Sendo o triângulo escaleno, temos os seguintes valores inteiros para x:
6, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, num total de onze.
Ou:
Professor, ângulos opostos de quadriláteros inscritos são suplementares.
Portanto:
128° + x = 180°
∴ x = 52°
ˆ ) = 140° = 70° (ângulo inscrito)
3. a) med (DBC
2
80°
ˆ
(
)
= 40° (ângulo inscrito)
med ACB =
2
ˆ )]
xˆ = 180° − [med (DBC
ˆ ) + med ( ACB
xˆ = 180° − (70° + 40°)
xˆ = 70°
b)
A
D
30°
x
60°
24. V – V – V – F
Observe a figura:
E
P
C
B
6
)
med ( 
AB) + med (CD
 ) = 120°
= 60° s med( 
AB) + med(CD
2
)
med ( 
AB) − med (CD
 ) = 60°
II.
= 30° s med ( 
AB) − med (CD
2
 ) = x = 30°
Resolvendo o sistema, temos: med (CD
D
k
60°
α
3
y
β
A
x
tg α =
x
y
; tg b =
y
x
B
Como tg a é o dobro da tg b, temos que:
I. (V) Aplicando Pitágoras no triângulo ABD, temos:
32 = x2 + y2 s 9 = x2 +
4. Um dos ângulos do triângulo em questão é o inscrito em relação a
uma semicircunferência (180°).
Portanto, esse ângulo tem a metade da medida dessa semicircunferência.
Sendo  esse ângulo, temos:
180º
= 90º
Aˆ =
2
x 2y
x2
s 2y2 = x 2 s y2 =
=
y
x
2
I.
CADERNO 1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
C
2
x
s 18 = 3x2 s x2 = 6
2
x = 6 s AB = 6 II. (V) Do item anterior, temos:
AB = 6 e AD = 3
Então:
AB
3
sen b =
s sen b =
BD
3
III. (V) Aplicando a lei dos cossenos no triângulo BCD, temos:
k2 = 32 + 62 – 2 ⋅ 3 ⋅ 6 ⋅ cos 60°
k2 = 9 + 36 – 18
k2 = 27
k = 3 3 IV. (F) AB + BC + CD + AD =
= 6 + 3 3 + 6 + 3 = 6 + 6 + 4 3
Portanto, esse triângulo é retângulo.
5. b
ˆ = 90°
O triângulo ABC está inscrito na semicircunferência \ ACB
Pitágoras: AB2 = AC2 + BC2
4 = 3 + BC2 s BC = 1
Como OB = OC = BC = 1, o †OBC é equilátero \ a = 60°
6.
120°
30°
60°
30°
120°
30°
MG.05
1. c
y =
50o − 30o
= 10o
2
x = 50o
x + y = 60o
2. d
 mede 2 · 128° = 256°.
O arco BCD
 mede 360° – 256° = 104°.
Consequentemente, o arco BAD
O ângulo x mede
med(BÂD)
= 52°.
2
x = 60°
y = 30°
7. d
�
I. TS = 2q
�
UT = x
x + 2q = 180º
II.2q − x = 25º s 2q − x = 50º
2
45
OPV11TP1M.indd 45
10/14/10 2:15:40 AM
Somando (I) e (II), temos:
4θ = 230°
θ = 57,5° = 57° 30’
8. b
ˆ é inscrito de medida 110º = 55°.
O ângulo ADC
2
ˆ é inscrito de medida 45°.
O ângulo CAD
 mede 90°.
Logo, o arco DC
Em consequência, o arco 
AD mede: 360° – 110° – 90° = 160°
x=
med ( 
AC ) 96
=
= 48°
2
2
14. d
 ) − med ( EB
)
med (CD
2
Temos:
 ) + med ( EB
)
med (CD
 ) + 40º s med (CD
 ) = 60º
50º =
s 100º = med (CD
2
60º− 40º
Assim: x =
= 10º
2
x=
med ( 
ABD ) − med ( 
AD ) 200º−160º
=
= 20º
2
2
9. e
( )
med CD = 40º
70º =
med ( 
AC ) = 96°
)
med ( 
AB) + med (CD
s 140º = med ( 
AB) + 40º s med ( 
AB) = 100º
2
15. c
C


 ) = med ( AB) − med (CD ) = 100 − 40 = 30º
med ( AMB
2
2
2x
B
2x
10.
A
80°
a
x
x
D
O
A
B
b
O
ˆ ) = x e med(CBO
ˆ ) = med(BOA
ˆ ) = 2x (ângulo
DABO: AB = OB ⇒ med(BAO
externo)
a
ˆ
ˆ
DBOC: OB = OC = raio ⇒ med(CBO) = med(OCB) = 2x
ˆ
ˆ
ˆ
DAOC: med(COD ) = med(CAO) + med(ACO) s
C
40°
E
α
s α = x + 3 x ⇒ α = 3 x \ x = 3
ˆ ) + 2x = π ⇒ med(ABO
ˆ )+
DABO: med(ABO
D
16. d
Observe a figura:
80°
= 40° s α = 40°
2
 ) + med ( BE
 ) = 180° s 40° + med ( BE
 ) = 180° s
II. med (CE

s med ( BE ) = 140°
ˆ )=
I. med ( ACB
B
60°
A
AC ) e med ( 
AC ) = 360° – 80° – 140° – 40° s
β = med ( 
s β = 100°
40°
80°
80°
40°
80°
20°
C
O 80°
11. a
 ) = 70o
med ( BC
ˆ )=
med ( ADC
2α
2α
= π \ med(ABˆ O) = π −
3
3
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
) =
Assim: med ( APD
 ) = 360° = 36°
med ( BC
10
)
o
o
180o + med ( BC
ˆ ) = 180 + 70 s
s med ( ADC
2
2
ˆ ) = 125o
s med ( ADC
�
ABO = 180° – 80° – 40° = 60°
12. c
17. b
( )
 )+med ( R

 ) = 360o
 ) +med ( RS
ˆ ) = med PS e med (PS
Q )+med (PQ
med (PQS
2
 ) + 2 ⋅ 38° + 2 ⋅ 18o + 2 ⋅ 45° = 360°
med (PS
A
B
 ) + 76° + 36° + 90° = 360°
med (PS
π
3


o
o
o
med (PS ) + 202 = 360 s med (PS ) = 158
a
ˆ ) = 158° = 79°
\ med (PQS
2
a
O
13. d
360°
med ( 
AB) =
= 60°
6
C
46
OPV11TP1M.indd 46
10/14/10 2:15:54 AM
S ABC =
B
x
π
( ˆ )
med ( ACB
ˆ ) = med AOB ⇒ med ( ACB
ˆ ) = 3 \ med ( ACB
ˆ )= π
6
2
2
C
108°
 π
1
1
1
a2
⋅ a ⋅ a ⋅ sen   ⇒ S ABC = ⋅ a ⋅ a ⋅ \ S ABC =
4
2
2
2
 6
k
y
108°
A
D
108°
18.
z
E
C
D
E
I. x + y = 216° s x = 216° – y
II. y + z = 216° s z = 216° – y
III.
k+y
= 108º s k + y = 216° s k = 216° – y
2
IV. x + y + z + k = 360°
Substituindo I, II, III em IV, temos:
216° – y + y + 216° – y + 216° – y = 360° s 2y = 288° s y = 144°
A
B
O
22. x = 360o – 120o – 72o – 144o
x = 24o
AB = 2r s AB = 4
O triângulo ABE está inscrito numa semicircunferência e, portanto, é
um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice E.
AE corresponde à altura do triângulo ABC.
Logo: AE =
4 3
\ AE = 2 3
2
b =
120o + 24o 144
=
= 72o
2
2
120o − 24o
96
=
= 48o
2
2
Atividades extras
23. a
C
19. a
A
CADERNO 1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
α =
30°
30°
R
O
R
R
D
60°
h
m
B
60°
C
A
3–1
Considerando-se uma circunferência, de centro O e raio R, circunscrita ao triângulo ABC, tem-se:
OB = OC = BC = R = 3 − 1, pois OBC é um triângulo equilátero.
h =
R
(
3
⇒h=
)
3 −1 3
2
2
⇒h=
3− 3
2
S ABC =
1
⋅
2
(
 3 + 1
 s S ABC =
3 − 1 ⋅ 

 2 
)
( 3)
2
s S ABC =
3− 3
⇒ AM =
2
x2 = 2R2 – 2R2 ·
−1
4
2
\ S ABC =
)(
3 −1 ⋅
4
)s
3 +1
O
R
R
B
1
2
1
2
24. c
Em 45 voltas completas, o ângulo de observação em relação à horizontal aumenta em 45 · 0,5 = 22,5o.
Observe a figura:
D
20. d
Unindo B com C, teremos o triângulo retângulo ABC, retângulo em C, e
�
B = 60° (inscrito, de 120°).
Assim, temos:
cos 30° =
60°
x2 = 2R2 – R2
x2 = R2 s x = R
3 +1
2
(
E
α
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo DOE, temos:
x2 = R2 + R2 – 2 ⋅ R ⋅ R · cos 60°
AM = OA + OM s AM = R + h s
⇒ AM = 3 − 1 +
60°
α
R
t=
3+1–
2
h
E
60°
C
AC
3
AC �
s
=
s AC = 15 3 m
AB
2
30
60°
t
22
,5°
30°
21. e
Observe a figura:
A
B
47
OPV11TP1M.indd 47
10/14/10 2:16:03 AM
5. c
Observe a figura:
No triângulo CDE, temos:
sen 60o =
DE
3
DE
h 3
s
=
s DE =
h
2
h
2
A
a
CE 1 CE
h
cos 60o =
s =
s CE =
h
2
h
2
No triângulo ABC, temos:
x
t
1
t
sen 30 =
s =
s BC = 2t
BC 2 BC
No triângulo BDE, temos:
o
D
a
h 3
h 3
2
2
s 2 −1=
2 −1=
h
CE + BC
+ 2t
2
DE
BE
B
x + 6 18 x + 6
=
s
=3s
6
18
18
h 3 = ( 2 − 1)h + ( 2 − 14
) t
s x + 6 = 54 s x = 48
h 3 − h( 2 − 1) = 4t ( 2 − 1)
h ⋅ (3
+
1−
2 ) = 4t ( 2 − 1) s h ⋅ t = 4 ⋅ t ⋅ ( 2 − 1) s h = 4 ( 2 − 1)


t
6. Seja x a altura do obelisco.
Temos:
MG.06
1. e
x + 7α = 180°
 s 15α = 180º s α = 12° \ x = 96°
x = 8α

P
e BD = 20,8 − 10 = 10,8
Portanto, o perímetro do quadrilátero BCDE é:
16 + 9,6 + 8 + 10,8 = 44,4
C
7
6
β
β
8
A


 †PAB  :
 †PAC 
x
12
=
s x = 20 m
1 0,6
7. e
10 DE
16 ⋅ 10
=
s DE =
s DE = 8
20 16
20
10 10,4
=
s AB = 20,8
20
AB
Assim, temos:
BC = 16; CE = 20 − 10,4 = 9,6; DE = 8
2. c
γ
C
Os triângulos ABC e BDC são semelhantes.
Então:
h 3
2 −1=
h + 4t
α
18
6
8. AE = AC + CE s 10 = 6 + CE
∴ CE = 4
Os triângulos ABC e DEF são semelhantes e, portanto:
B
PA AB PB
PA 8 PC + 7
=
=
⇒
= =
PC AC PA
PC 6
PA
B
5
PA 8
PC 6
PC 3 
= ⇒
= ⇒
= 
PC 6
PA 8
PA 4  ⇒

PC + 7 8
PC
7
4 
= ⇒
+
=
PA
PA PA 3 
6
A
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
tg 22,5 =
D
3
7
4
7
4 3
7
7
+
= s
= − s
=
\ PA = 12
4 PA 3 PA 3 4 PA 12
PC 3
PC 3
= ⇒
= \ PC = 9
PA 4
12 4
⇒
C
4
E
3. c
4,8
y
F
DE
EF
DC + 4 4,8
=
⇒
=
⇒ DC + 4 = 5,76 \ DC = 176
,
AC
AB
6
5
6
9. Observe a figura:
9
C
3
5
O
(XY)2 = 152 + 82 s (XY)2 = 289 s XY = 17 m
4. d
Sendo x o maior lado do triângulo cujo perímetro é 60 cm, temos:
120°
M
A
C’
5 3 + 4 + 5 5 12 5 1
=
s =
s = s x = 25 cm
x
60
x
60 x 5
B
48
OPV11TP1M.indd 48
10/14/10 2:16:14 AM
ˆ ) = 120
Do enunciado temos: med(BAC

 = 240° – 180° = 60°
’B) = 240° e med(BC’)
Daí: med(CC
ˆ ’) = 30° (ângulo inscrito)
Assim: med(BCC
MO é a base média do triângulo BCC’.
ˆ ) = 90°
Então †MOC ∼ †BCC’, logo: med(CMO
No triângulo MCO, temos:
sen 30° =
14. a
A
MO 1 MO
1
s =
s MO =
OC
2
1
2
70
70
10. c
Chamemos x o lado BD.
B
8
4
8
1
= s
= s x + 4 = 16 s x = 12 cm
x +4 8 x +4 2
11. b
D
30
30
x
y
x
m
x
=
s
=
p m
p
y
E
C
Os triângulos ABC e DEC são semelhantes pelo caso AA.
Assim:
30
70
=
s 900 + 30 x = 70 x s 40 x = 900
30 + x
x
900
s x = 22,5 cm
x =
40
15. c
12. a
Observe a figura: C
30 m
A
B
D
x
10 cm
50 m
20 cm
(AB)2 = (AC)2 + (BC)2 s 202 = 122 + (BC)2 s
s 400 = 144 + (BC)2 s + (BC)2 = 256 ∴ BC = 16
16 m
CADERNO 1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
E
12 cm
DE BD DE 10
AC = BC s 12 = 16 \ DE = 7,5
16 80
=
x
30
16 ⋅ 30
x =
80
x = 6
Portanto, sendo x o diâmetro do disco voador, o raio é de 3 m.
13. a
S ADEC = S ABC − SBDE s S ADEC =
12 ⋅ 16 7,5 ⋅ 10
−
\ S ADEC = 58,5
2
2
16. e
Os triângulos ABC e FGC são semelhantes.
Temos, então:
C
A
C
12 – h
5
~
12
4
D
x
G
F
3
2
h
A
b
3–b
B
F
E
C
3
3
BE BD DE 3 − b h 2
=
=
s
= =
BC BA AC
3
4 5
3
3−b
3 1
9
21
= 2 s3− b = 3⋅ ⋅ s b = 3−
\b =
3
5
2 5
10
10
B
16
12
16
=
s 12x = 1612
( − h)
x
12 − h
( − h)
412
( − h) 48 − 4h
x = 1612
sx =
=
12
3
3
17. e
W
5,7 km
3,7 km
T
b
3
h
3 1
12
= 2 s h = 4 ⋅ ⋅ \ h =
4 5
2 5
10
21 12
252
63
SDECF = b ⋅ h s SDECF =
⋅
s SDECF =
\ SDECF =
10 10
100
25
Z
b
b
b
X
5,7 km
Y
49
OPV11TP1M.indd 49
10/14/10 2:16:26 AM
ˆ ) = med(TYX
ˆ ) = b e XY =
Traçando-se TY // XW , tem-se med(TWX
= WT = 5,7 km, pois XYTW é um paralelogramo.
ˆ ) = 2b e med(XYT
ˆ ) = b s med(TYZ
ˆ ) = b, ∆TYZ é isósceles de
med(XYZ
base TY. Dessa forma YZ = TZ .
YZ = TZ s YZ = WZ – WT s YZ = 9,4 – 5,7 ∴ YZ = 3,7 km
II.
18.
6
C
x
D
h
1,8
E
2x
A
B
Os triângulos ABC e DCE são semelhantes.
H 2x
H
h = x s h = 2 s
s h = H
2
0,6
1,5
Pessoa
Poste
x
18
,
=
s x = 0,45 m
15
,
6
∴ x = 45 cm
Atividades extras
23. a)
19. e
B
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
A
30
α
D
γ
120°
β
C
γ
E
C
 1
AB2 = 900 + 2.500 − 3.000  − 
 2
AB2 = 3.400 + 1.500
AB2 = 4.900 s AB = 70 m
α
B
BC
AC 16 20
=
s
=
s DE = 8 cm
DE
AD DE 10
BC
AB 16
AB
s AB = 20,8 cm
=
s
=
AE
8 10,4
DE
BD = AB – AD s BD = 20,8 – 10 s BD = 10,8 cm
CE = AC – AE s CE = 20 – 10,4 s CE = 9,6 cm
Perímetro: BC + CE + DE + BD = 16 + 9,6 + 8 + 10,8 = 44,4 cm
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABC, temos:
AB2 = 302 + 502 – 2 · 30 · 50 · cos 120o
D
35
B
70
20. a
n− x
x
=
s mn − mx − nx + x 2 = x 2 s
x
m−x
s mx + nx = mn s x(m + n) = mn s x =
x
E
mn
m+n
Por semelhança de triângulos, temos:
35 + 70 70
105
7
=
s
=
x + 50
50
x + 50 5
b)
2 4
= s 4x = 4 s x = 1
x
2
22. b
I.
h
1,8
0,6
2
Pessoa
Poste
50
A
C
21. d
A
50
7x + 350 = 525
7x = 175 s x = 25 m
\ CE = 25 m
Ainda por semelhança de triângulos, usando o item anterior, temos:
DE BC
DE 30
=
s
=
s
EA CA
75 50
75 ⋅ 30
s DE = 45 m
50
ˆ = π
FED
3
π

 = 15π cm
FD = ⋅ 45 s FD
3
s DE =
Portanto, o perímetro de T3 é: 15π + 45 + 45 = 90 + 15π =
= 15(6 + π ) m
24. I. C
F
x
C
F
G
G
1+x
1
h
2
=
sh=6
18
,
0,6
H
4
I
50
OPV11TP1M.indd 50
10/14/10 2:16:39 AM
12
5
b m
(04) (V) b2 = a · m s b · b = a · m s
=
a
b
(02) (V) b · c = a · h s 3 · 4 = 5 · h s h =
Por semelhança de triângulos, temos:
1+ x
4
1
= s 4 x = 1 + x s 3 x = 1 s x = cm
x
3
1
F
II. (08) (V) a2 = b2 + c2 s a2 = 32 + 42 s a2 = 9 + 16 s
s a2 = 25 s a = 5
2
A
3
D
y
A
3. b
Observe a figura II.
No triângulo ACD, temos:
D
y+2
AD2 = CD2 + AC 2
Por semelhança de triângulos, temos:
3 y+2
2 = y s 3y = 2y + 4 s y = 4
G
1
E
3
B
z
2+z
B
Por semelhança de triângulos, temos:
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
AC = 12
Logo: AB= 8
No triângulo APB, temos:
AP 2 = AB2 + PB2
Sendo AP = x, temos que: PB = 16 − x
Assim:
x2 = 82 + (16 − x)2
x2 = 64 + 256 – 32x + x2
32x = 320 s x = 10 s PB = 6
Enfim, no triângulo ADP, temos:
DP2 = AP2 + AD2 s DP2 = 100 + 400
DP2 = 500
DP = 10 5
\ AD = 4 cm
III. 400 = 256 + AC 2
3 2+ z
=
s 3 z = 2 + z s 2z = 2 s z = 1
1
z
\ EB = 1cm
IV. Considere os triângulos FCG e ACB.
Por semelhança de triângulos, temos:
4. b
O
a–x
AC
AD + 5 + EB
AC = AB s
=
FC
FG AC − AF
FG
b–x
P
x
Aplicando Pitágoras no triângulo:
Q
x
F
x
B
A
A
D
2
Temos: AF 2 = 32 + 62 s AF = 45 s AF = 3 5 cm
Então:
AC
4 + 5 +1
=
s AC = 10( AC − 3 5 )
1
AC − 3 5
AC = 10 AC − 30 5 s 9 AC = 30 5
Aplicando Pitágoras no triângulo OPQ, temos:
x2 = (a – x)2 + (b – x)2
x2 = a2 – 2ax + x2 + b2 – 2bx + x2
x2 – 2x(a + b) + (a2 + b2) = 0
∆ = 4(a + b)2 – 4(a2 + b2)
∆ = 4(a2 + 2ab + b2) –4a2 – 4b2
∆ = 4a2 +8ab + 4b2 –4a2 – 4b2
∆ = 8ab
2(a + b) ± 2 2ab
x =
2
x = (a + b) ± 2ab
10 5
AC =
cm
3
a) AD = 4 cm e EB = 1cm
x = a + b – 2ab , pois a – x e b – x deverão ser maiores que zero.
1
cm
3
10 5
cm
AC =
3
b) x =
c)
CADERNO 1
5. a
Observe a figura:
P
MG.07
1.
A
y
12
A
B
x
y
C
Q
B
Sendo R o raio da circunferência, temos:
I. y – x = 7 s y = 7 + x
II. 122 = x ⋅ y s x(7 + x) = 144 s x2 + 7x – 144 = 0 s x = 9 e
y = 16
A hipotenusa mede 25 cm.
2. Soma = 14 (02 + 04 + 08)
(01) (F) h2 = m · n s h2 = 2 · 3 s h2 = 6 s h =
x
6
2πR
= 10π s R = 10 cm
2
Logo: QB = 20 – x
Das relações métricas no triângulo retângulo, temos:
y2 = x(20 – x)
y2 = 20x – x2
51
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10/14/10 2:16:53 AM
6. a
x – r + x + x + r = 57 s 3x = 57 s x = 19
Sendo (x + r) a hipotenusa, o maior cateto é x.
A
B
A
n
m
I. (BC)2 = 5x2 s BC = x 5
II. x2 = x 5 ⋅ n s n =
C
8
5
x
x 5
5
III. 4x2= x 5 ⋅ m s m =
13. c
2x
h
4x 5
5
C
14. a)
7. A diagonal do quadrado ABCD, que é lado do triângulo equilátero
ACE, mede 2 2 cm. Portanto, o triângulo ACE possui altura igual a
BE = hACE –
54
A
=
Pipa
24
 3
:
h=
2
3
C
Por Pitágoras, temos:
82 = 52 + x2 = 64 – 25
x2 = 39 s x = 39
4x 5
m
= 5 =4
n
x 5
5
2 2⋅
h=
2
Logo:
H
B
6 cm
d
2 2
s BE = 6 –
= ( 6 – 2 ) cm
2
2
H
B
A w posição do 1o irmão
B w posição do 2o irmão
C w posição da pipa
H w sombra da pipa
C
b)
8.
a
a
2
24
a
h
54
A
a
2
H
CH = AH ⋅ HB
CH 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
CH 2 = 24 ⋅ 34 s CH 2 = 64
CH = 36 m
15. Temos a figura do seguinte triângulo retângulo:
2
 a
3 ⋅ a2
a2
a⋅ 3
⇒ h2 =
\h =
h2 +   = a2 ⇒ h2 = a2 −
4
4
2
 2
B
a⋅ 3
a⋅
2
a⋅h
2 \S = a ⋅ 3
SD =
⇒ SD =
D
2
2
4
8
9. a
O triângulo é retângulo em C.
AB = 10; BC = 6 e por Pitágoras temos que: AC = 8 cm
S =
O
x
h
A
C
10
AC ⋅ BC
8⋅ 6
=
= 24 cm2
2
2
10. a
x ⋅ 2x = 8 ⋅ x 5
x = 4 5
A hipotenusa mede: x 5 = 4 5 ⋅
B
2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
x
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABO, temos:
102 = 82 + x2 s x2 = 100 – 64 = 36
x = 6 cm
Usando a relação bc = ah, vem:
8 ⋅ 6 = 10h s h = 4,8
\ BC = 4,8 cm
5 = 20
11. a
Sejam b e c as medidas dos catetos desse triângulo e a a hipotenusa, sendo a = 25.
Temos as projeções: m = 9 e n = 16
Usando as relações:
I. b2 = am s b2 = 25 ⋅ 9 s b = 15
II. c2 = an s c2 = 25 ⋅ 16 s c = 20
16. b
12. b
Sejam os lados desses triângulos medindo:
x – r; x e x + r
Temos:
b2 + a2 = (3a ) ⇒ b2 + a2 = 9a2 ⇒ b2 = 8a2 \ b = 2 2a
a
3a
b
2
 hip 
3a
3
2 3 2

:
=
⋅
=
4
 cat  2 2a 2 2 2
52
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10/14/10 2:17:06 AM
17. Soma = 26 (02 + 08 + 16)
Por Pitágoras, temos que: BD = 5
Das relações métricas no triângulo retângulo, temos:
C
2
3 = 5DE s DE =
8
x
30°
Da mesma forma: BF =
3
60°
A
H
5 =
(02) (V) sen 30o =
8 3 1 8 3
s =
s AC = 16 3 cm
AC
2
AC
o
(04) (F) sen 60 =
8 3
3 8 3
s
s
s BC = 16 cm
BC
2
BC
9
9
18
7
+ EF + s EF = 5 −
s EF = s EF = 14
,
5
5
5
5
21. Observe a figura:
A
2
2
2
2
(08) (V) AB = AC + BC s AB = 768 + 256
AB2 = 1.024 s AB2 = 210 s AB = 32 cm
26 cm
26 cm
b
32 ⋅ 8 3
S=
= 128 3 cm2
2
h
(16) (V) AB + BC + AC = 32 + 16 + 16 3 =
= 16(3 + 3 ) cm
B
M
10
10
C
18. e
DABD: ( BD ) = ( AB) + ( AD ) s ( BD ) = 2 + (2) s
2
2
2
2
2
s ( BD ) = 5 \ BD =  5
2
2
S ABCD = 5 ⋅ SBEF s 2 ⋅ SBCD = 5 ⋅ SBEF \
SBEF
2
=
SBCD
5
2
Os triângulos BCD e BEF são semelhantes e, portanto,
Logo:
2
2
BF
 BF 
=
 BD  = 5 ⇒
 5
2
5
\ BF =  2
SBEF
 BF 
=
.
SBCD  BD 
Aplicando Pitágoras no triângulo AMC, temos:
262 = b2 + 102
b2 = 576
b = 24
Da relação bc = ah, temos no triângulo ABM que:
10 ⋅ b = 26 · h
10 · 24 = 26 · h
h=
CADERNO 1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
9
5
BD = DE + EF + FB
B
8 3
3 8 3
o
s
=
s x = 24 cm (01) (F) tg 30 =
x
3
x
9
5
240 120
120
=
cm y AB =
cm
26
13
13
22. a)
19. Situação I
6
x
25 dm
5
x
12 cm
2
2
2
2
2
x + 5 = 6 s x + 25 = 36 s x = 11 ⇒ x = 11
O retalho semicircular pode ser usado para retirar-se a tira de
10 cm ⋅ 2,5 cm, pois x = 11 , ou seja, x > 2,5 .
b)
7 dm
Aplicando Pitágoras, temos:
252 = 72 + x2 s x2 = 576
x = 24 dm
Situação II
6
6 cm
5
d
3
16 cm
25 dm
15 dm
y
Aplicando Pitágoras, temos:
252 = 152 + y2 s 625 – 225 = y2 s 400
y = 20
d = x – y = 24 – 20 = 4 dm
x 3
6⋅ 3
= sx =
s x = 2,25
6 8
8
O retalho triangular não pode ser usado para retirar-se a tira de
10 cm ⋅ 2,5 cm, pois x = 2,25, ou seja, x < 2,5.
Atividades extras
23. a
Professor, na figura, O é o centro do círculo.
C
20. b
4
A
B
F
H
3
3
A
E
D
C
3
M x O
5–x
B
O é o centro do círculo.
∴ AO = BO s 3 + x = 5 – x s x = 1 cm.
Logo, o raio do círculo é 4.
53
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10/14/10 2:17:19 AM
3.
Então: CO = 4
Sejam CH = y e OH = 4 – y
Temos:
CM2= AM ⋅ BM s CM2 = 3 ⋅ 5 s CM = 15
2
Aplicando Pitágoras no triângulo MCH, temos: MH = 15 − y
Os triângulos MCH e OMH são semelhantes.
Então:
CM
HC
=
OM
MH
15
y
=
1
15 − y2
y = 15 ⋅ 15 − y2
D
4
2
A
P
M
2
B
4
r–2
C
2
2
( r + 2) ⋅ ( r − 2) = 4 ⋅ 4 s r − 4 = 16 s r = 20 \ r = 2 5
4. d
2
B
7
A
5
16y = 225
2
225
16
15
y=
4
15
HC =
4
C
y2 =
E
4
6
3
G
D
24. Observe a figura:
F
b
x
I. EA ⋅ EB = EC ⋅ ED
12 ⋅ 5 = 4(4 + 3 +GC)
15 = 7 + GC s GC = 8
II. GA ⋅ GF = GD ⋅ GC
6 ⋅ GF = 3 ⋅ 8
GF = 4
x
d
y
y
B
y =
5.
I. y + b + y = B s 2y = B – b
T
B−b
2
12
II. Por uma propriedade de quadriláteros circunscritos, temos:
A
B
B+b
x + x = B + b s 2x = B + b s x =
2
PA ⋅ PB = PT2 s 20 · 32 = PT2 s PT = 8 10
Aplicando Pitágoras em um desses triângulos retângulos, temos:
x2 = y2 + d2, em que d = 2r é o diâmetro do círculo e r é o raio.
Assim:
2
P
20
6. d
Tem-se: AB = AD = a; AC = b e OA = x s OE = OC = b + x.
(AB) ⋅ (AD) = (AC) ⋅ (AE) s a ⋅ a = b ⋅ (b + 2x) s
2
 B + b 
 B − b
2
 2  =  2  + (2r )
s a2 = b2 + 2bx s 2bx = a2 − b2 s x =
B2 2Bb b 2 B2 2Bb b 2
+
+
=
−
+
+ 4r 2
4
4
4
4
4
4
4Bb
= 4r 2 s 4r 2 = Bb
4
(2r)2 = Bb
d2 = Bb s d = Bb (c.q.d)
s x =
a2 − b2
⇒
2b
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
y = 225 − 15y
O
2
y2 = 15 (15 − y2 )
2
r+2
N
a2 b2
a2 b
−
\ x =
−
2b 2b
2b 2
7. b
C
b
MG.08
1. c
Temos:
EC = 3AE
EC ⋅ EA = EB ⋅ ED
3AE ⋅ AE = 8 ⋅ 6 s (AE)2 = 16 s AE = 4 cm
AC = AE + CE s AC = AE + 3AE
AC = 4AE
AC = 4 ⋅ 4 = 16 cm
A
a
2
D
a
2
B
2R – b
E
a a
⋅
= b(2R − b)
2 2
2
a
= 2bR − b2 s
4
a2
s 2bR =
+ b2 s
4
a2 + 4b2
s 2bR =
s
4
2
2
a + 4b
s R =
8b
2. c
2
PA ⋅ PC = ( PB )
Queremos o valor de PA. Assim, temos:
PA ⋅ (PA + 2r ) = (2PA)2
PA ⋅ (PA + 18) = 4PA2
PA + 18 = 4PA
3PA = 18
PA = 6 m
54
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10/14/10 2:17:29 AM
8. 1 · 9 = x2 s x2 = 9 s x = 3
14. b
PC ⋅ PB = (PA)2
PC ⋅ PB = (3PC)2
PC ⋅ PB = 9PC 2 s PB = 9PC
9. e
PA · PB = PC · PD
45 · 24 = PC · 40
PC = 27
CD = PC + PD = 27 + 40 = 67 m
15. c
O
x
C
D
x
x
r
A
r
10
C
4
A
8
P
16. d
8 ⋅ 21 = 12x
x =
PA · PB = PC · PD
8 · 18 = 4 · (4 + 2r)
36 = 4 + 2r s 2r = 32 s r = 16 cm
8 ⋅ 21
s x = 14
12
2 ⋅ (2 + 12 + x) = 3(3 + y)
2 ⋅ (2 + 12 + 14) = 3(3 + y)
56 = 9 + 3y
11. d
3y = 47 s y =
B
x + y = 14 +
N
47
3
47
89
=
3
3
17. c
Observe a figura:
A
M
B
1
AC · AD = AB2
x · 3x = 1
3x2 = 1
1
3
x2 = s x =
3
3
CADERNO 1
O
B
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
D
x
10. Observe a figura:
A
P
8–x
C
MB = MN + NB
 MB = MN + NA
NB = NA

MC = MP + PC 
 MC = MN + PA
PC = PA

8–x
7–x
x
B
Perímetro: MN + NA + MN + PA =
= MB + MC = MB + MB =
= 2 · MB = 2 · 18 = 36 cm
x
C
7–x
8 – x + 7 – x = 9
2x = 6
x = 3
18. a
12. c
18
18
−2
(x + 2) · 10 = 12 · 3 s x + 2 =
s x=
5
5
x=
C
4
8
5
A
14 – x
B
x
P
O
6
13.
D
5
A
O
D
P
7
5
B
5
C
5
5
PA · PB = PC · PD s x(14 – x) = 6 · 4 s 14x – x2 = 24 s
s x2 – 14x + 24 = 0
s x1 = 2 e x2 = 12
E
4
2
12
(PB)2 = (BE)2 + (PE)2 s (PB)2 = 52 + 122 s (PB)2 = 169 s PB = 13 cm
(PD) · (PB) = (PC)2 s (PD) · 13 = 72
7
O
1
5
5
6
49
(PD) · 13 = 49 s PD =
cm
13
55
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10/14/10 2:17:39 AM
21. c
(BC)2 = (AC) ⋅ (CD) s (BC)2 = 25 ⋅ 9 s (BC)2 = 225
∴ BC = 15
No triângulo AMO, temos:
R2 = 72 + 12 s R2 = 50
15 ⋅ 16
DE
AD DE 16
s
s DE =
=
=
15 25
25
BC
AC
48
\ DE =
5
M
1
O
7
A
R
22. c
2 ⋅ (3 + 3 + 2) = (AT)2
16 = (AT)2 s AT = 4
∴ NT = 2
O triângulo NOT é retângulo em T.
Assim, por Pitágoras, temos:
(ON)2 = (NT)2 + (OT)2
(ON)2 = 4 + 9
ON = 13
A área do círculo é dada por:
S = πR2
S = π ⋅ 50
S = 50π
19. c
1
2
D
1
2
C
Atividades extras
23. c
B
O
x
10
D
y
O
2
B
E
−1 ± 5
2
Seja AD = x; CD = 16 – x; OD = y e DF = 10 – y .
Por Pitágoras, no triângulo AOD:
x2 = y2 + 102 s y2 = x2 – 100
DF · DE = DA · DC
(10 – y) · (10 + y) = x (16 – x)
102 – y2 = 16x – x2
100 − x 2 + 100 = 16 x − x 2 16x = 200 ∴ x = 12,5
Com a > 0, temos:
−1 + 5
2
20. c
A
10
10
BC ⋅ BD = ( AB )
a ⋅ (a + 1) = 1 s a2 + a – 1 = 0
D = 1 + 4 = 5
a =
C
10 – y
A
a =
16 – x
F
a
1
2
N
O
24. Observe a figura:
B
Q
P
A
B
M
P
D
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
1
A
C
AD = AN + DN s 10 = 6 + DN s DN = 4 cm
DN = DQ s DQ = 4 cm
BC = BM + CM s 15 = 6 + CM s CM = 9 cm
CM = CQ s CQ = 9 cm
CD = CQ + DQ s CD = 4 + 9 s CD = 13 cm
C
O ângulo  é comum aos triângulos ABD e APB.
ˆ ≡ ABP
ˆ .
AB ≡ 
AC , temos que ADB
Como 
Logo, pelo caso ângulo – ângulo, os triângulos são semelhantes.
56
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10/14/10 2:17:45 AM