Capítulo 3: Referenciais Móveis, Gradientes e Multiplicadores
de Lagrange.
3.1 Derivadas de Parametrizações e Referenciais Móveis.
O que são vetores? O vetor deslocamento é o mais simples de se entender e a velocidade
de uma partícula é seu deslocamento por unidade de tempo. Dela derivam muitas das
grandezas vetoriais, como o momento linear, a aceleração e a força na teoria newtoniana.
Talvez todos vetores sejam, de alguma forma, deslocamentos (concretos ou imaginados).
O que você acha?
Partiremos da idéia de velocidade vetorial de uma partícula que se move, primeiro no
espaço ¡ n depois sobre um objeto geométrico definido como a imagem de uma
parametrização (3.1) ou como o conjunto de nível de um campo escalar (3.2).
Construiremos daí estruturas lineares tangentes e normais aos tais objetos geométricos.
Também depararemos com referenciais e co-referenciais móveis. Os conceitos
desenvolvidos terão várias aplicações, dentre elas a obtenção dos máximos e mínimos de
funções de várias variáveis. Também calcularemos comprimento e área de curvas e
superfícies e obteremos os caminhos mais curtos (geodésicas) para quem se move em
alguns tipos de superfície.
Nosso ponto de vista é de que a geometria importa da Física o conceito de velocidade
vetorial e de espaço, sendo construída a partir destes. Ademais, de que a geometria,
tendo como objeto de estudo algo tão concreto como as formas e o espaço, deveria ser
classificada como ramo da física, como o faziam os gregos.
Comecemos então, por considerar uma partícula que se move no ¡ 3 , descrita por
f : (a , b) ⊂ ¡ → ¡ 3 , t a f ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ,
esta parametrização associa cada instante à posição correspondente da partícula no
espaço tridimensional, como vimos no início do capítulo 1, a imagem de f corresponde
à curva que pretendemos descrever.
Fixemos então um instante
t0 ∈ ( a, b ) do movimento e consideremos pequenas
variações ∆ t = t − t0 do parâmetro, que serão vistas no que segue como a única
variável. Isto é, t0 é fixo e ∆t é a variável.
As variações correspondentes da posição da partícula,
∆ f = f ( t0 + ∆ t ) − f ( t 0 ) =
= ( x ( t0 + ∆ t ) , y ( t0 + ∆ t ) , z ( t0 + ∆ t ) ) − ( x ( t 0 ) , y ( t0 ) , z ( t 0 ) ) = ( ∆x, ∆y, ∆z )
∆x = x( t0 + ∆t ) − x ( t 0 ) etc... são variações de uma função vetorial da tal
variação temporal ∆t , que é uma variável real. Podemos efetuar a razão incremental
com
f ( t 0 + ∆ t ) − f ( t 0 )  ∆x ∆y ∆z 
∆f
=
=
,
, ,
∆t
∆t
 ∆t ∆t ∆t 
que é um vetor proporcional a
∆f (vide figura 1).
Interpretamos ∆ f / ∆ t como a velocidade vetorial média da tal partícula, cujas
componentes ∆ x / ∆ t ,
partícula nas três direções
∆y / ∆ t
e ∆z / ∆ t representam as velocidades médias da
2
z
¡1
t0
f (t 0 )
t = t0 + ∆t
f (t )
f
x
y
A seqüência natural é passarmos ao limite quando ∆ t → 0 , pelo teorema 1 do capítulo
2 temos
lim
x→ 0
∆f 
∆x
∆y
∆z 
=  lim
,lim
,lim

x
→
0
x
→
0
x
→
0
∆t 
∆t
∆t
∆t 
e o limite a esquerda existe se e somente se os três à direita também existem. Então tal
limite corresponderá à velocidade vetorial instantânea da partícula, sendo suas três
componentes
as
velocidades
instantâneas
nas
três
direções,
x ' ( t0 ) = lim
∆ t→0
Chamamos
x ( t0 + ∆t ) − x ( t 0 )
etc...
∆t
(
f ' (t 0 ) = x ' (t 0 ) , y ' ( t0 ) , z ' (t0 )
)
de derivada de f em t = t 0 .
Se tomamos um a seqüência de incrementos ∆ t1 , ∆ t2 , ∆ t3 , ∆ t4 ,... cada vez menores,
isto é, ∆ t → 0 . Quando f (t ) é uma
curva
contínua,
a
seqüência
correspondente de variações vetoriais
f ' ( t0 )
∆ f1 , ∆ f2 , ∆ f 3 ... também tende a zero.
Entretanto a seqüência de razões
incrementais pode não tender a zero,
mas a um vetor que intuitivamente
(vide figura 2) definiria o que
entendemos por direção tangente à
∆f
∆t
curva no ponto f (t 0 ) , além de
representar a velocidade vetorial
instantânea da partícula que percorre a
curva
t a f (t )
em
t = t0 .
Baseados nas noções intuitivas acima seguimos com algumas definições e proposições,
Def. 1: Seja uma curva parametrizada
existe o limite
f ' ( t 0 ) = lim
∆t → 0
f : ( a, b ) ⊂ ¡1 → ¡n e t0 ∈ ( a, b ) . Se
f ( t0 + ∆t ) − f ( t0 )
∆t
3
afirmamos que f tem derivada em t = t 0 e chamamos o vetor
f ' ( t0 ) de derivada da
curva parametrizada em t = t 0 .
Prop.1: Seja tal f dada por
f (t ) = ( x1 ( t) , x2 ( t ) ,..., xn ( t) ) sendo x j : ( a ,b ) ⊂ ¡1 → ¡1
j = 1,2,...n as funções componentes de f . Então f tem derivada em t = t0 se e
somente se cada função componente também tem e
f ' ( t ) = ( x1 ' ( t ) , x2 '( t ) ,..., xn ' (t ) ) .
Prova: Basta notarmos que
f ( t 0 + ∆ t ) − f ( t0 )  x ( t0 + ∆ t ) − x ( t 0 )
x ( t + ∆t ) − x ( t0 ) 
∆f
=
=
,..., n 0

∆t
∆t
∆t
∆t


e aplicarmos o teorema 1 do capítulo 2.
f '( t 0 )
f (t 0 )
Def.2: Seja
se
f como acima, com derivada em t0 dada por f ' ( t0 ) . Se f ' ( t0 ) ≠ 0 e
f tem derivada f ' ( t
)
aberto contendo t 0 no qual
em todos os pontos
t ∈ ( t 0 − δ , t0 + δ ) de um intervalo
t a f ' ( t ) é uma função contínua dizemos que f é
C 1 regular em t 0 .
Def.3: Seja então f C1 regular em t = t 0 . Definimos
(i) reta tangente à curva parametrizada
por
f (t
) em f (t0 ) , como sendo a reta que passa
f (t 0 ) e tem f ' ( t0 ) como vetor diretor,
(ii) plano normal à curva parametrizada
f (t
)
em
f (t 0 ) , como sendo o plano que
passa por f ( t0 ) e tem f ' ( t0 ) como vetor nomal.
Exemplo 1. Consideremos, por exemplo, o lançamento de projétil (terra plana,
g = 10m / seg 2 , sistema MKS) a partir do ponto (1, −1,0) com velocidade inicial
( −1/2,1,20) que é dado pela curva parametrizada
f (t ) = (1 − 0 , 5t , −1 + t ,20t − 5t 2 )
4
z
Então a velocidade vetorial é dada por
f ' (t ) = ( −1/2,1,20 − 10t ) ,não
f ( 2)
nula e contínua para todo t .
f '(2)
O ponto mais alto da trajetória ocorre
em t = 2 quando f ( 2 ) = ( 0,1,20)
é a posição do projétil e sua velocidade
é dada por f ' ( 2 ) = ( −1/2,1,0) ,
com a terceira componente nula, o que
torna a velocidade paralela ao plano
horizontal.
y
x
Em tal ponto o plano normal à trajetória é dado pela equação
〈( x, y, z ) − f (2), f ' ( 2)〉 = 0,
ou seja, − x / 2 + y− 1 = 0 . Enquanto que a reta tangente pode ser parametrizada por
s a g ( s ) , com
 1

g ( s ) = f ( 2 ) + s f ' ( 2 ) =  − s ,1 + s ,20 
 2

Agora consideramos a superfície
S = Im f , parametrizada por
f : ¡ 2 → ¡3
f (s , t ) = ( x (s , t ) , y (s , t ) , z (s ,t ) )
Em cada ponto
f ( s0 , t0 ) ∈ S = Im f temos, como
vimos no capítulo 1, duas curvas:
(i) o paralelo t = t 0 , parametrizado por
s através de
f ( t0 , s )
f ( s, t 0 )
s a ft 0 ( s ) = f ( s, t0 ) , sendo
f ( s , t0 ) = ( x (s , t0 ) , y (s , t0 ) ,z (s ,t0 ) )
(ii)
figura 5
t a f ( s0 , t ) = f ( x ( s0 , t ) , y ( s0 , t ) , z ( s0 , t ) ) ,
o
meridiano s = s0 ,
parametrizado por t .
Derivando o paralelo com respeito ao parâmetro
s , obtemos a velocidade vetorial de
uma partícula hipótética que o percorreria, f 't 0 ( s ) . O vetor f 't 0 ( s0 ) é tangente ao
paralelo no ponto
f t 0 ( s0 ) = f ( t0 , s0 ) . Este vetor é chamado de derivada parcial de
f com respeito a s no ponto ( s0 , t 0 ) e denotado por
∂f
( s0 , t0 ) B f 't ( s0 )
∂s
0
5
analogamente definimos a derivada parcial de f com respeito a t em
( s0 , t0 ) por
∂f
( s0 , t0 ) B f 's (t 0 ) ,
∂t
0
correspondente à velocidade de uma partícula hipotética que estaria a perco rrer o
meridiano, passando por f s 0 (t 0 ) = f ( t0 , s0 ) no instante t = t 0 , tal velocidade é um
vetor tangente ao meridiano no ponto referido.
Quando os vetores
∂f
( s0 , t0 ) e
∂s
∂f
( s0 , t0 ) assim obtidos forem
∂t
linearmente independentes, definem um
plano passando por
∂f
∂s
∂f
∂t
f ( t0 , s0 ) que
intuitivamente é o que devemos chamar
de plano tangente à superfície S no
ponto
P0 = f ( s0 , t0 ) ∈ S .
Exemplo 2. Consideramos a parametrização da esfera
pelos ângulos azimutal e equatorial,
f :[ 0,π ] × ¡1 → ¡3 dada
f (θ ,ϕ ) = ( Rsenθ cos ϕ , Rsenθ senϕ , R cosθ )
Por
f (θ 0 , ϕ 0 ) passa o paralelo
f (θ 0 , ϕ ) e o meridiano f (θ , ϕ 0 ) ,
parametrizados respectivamente pelos
ângulos equatorial e azimutal.
∂f
∂ϕ
∂f
∂ϕ
Efetuamos as derivadas destas curvas
com respeito aos respectivos
parâmetros.
Primeiro consideremos o paralelo
θ = θ 0 , temos a parametrização
∂f ∂θ
fθ 0 : ¡ → ¡ ,
1
3
fθ0 ( ϕ ) = f (θ 0 ,ϕ ) = ( Rsenθ0 cos ϕ , Rsenθ0 senϕ , R cos θ ) , com derivada dada
por
fθ0 '( ϕ ) = ( − Rsenθ 0 senϕ , Rsenθ 0 cos ϕ , 0) , ou seja
∂f
(θ 0 ,ϕ 0 ) = ( − Rsenθ 0 senϕ 0 , Rsenθ 0 cosϕ 0 ,0)
∂ϕ
Consideramos então o meridiano ϕ
= ϕ0 , parametrizado agora por θ , por
f ϕ0 : [ 0,π ] → R , f ϕ0 (θ ) = f (θ , ϕ0 ) = ( Rsenθ cos ϕ, Rsenθ senϕ , R cos θ )
3
com derivada
f ϕ0 ' (θ ) = ( R cosθ cos ϕ0 , R cosθ senϕ0 , −Rsenθ )
6
∂f
(θ 0 , ϕ 0 ) = ( R cos θ 0 cos ϕ 0, R cos θ 0senϕ 0 , − Rsenθ 0 ) .
∂θ
∂f
Notamos que a terceira componente de
é negativa, pois θ aumenta ao “descermos
∂θ
portanto,
∂f
é nula, pois “o paralelo é
∂ϕ
1
paralelo ao plano horizontal (xy)”. Notamos que para (θ 0 , ϕ0 ) ∈ ( 0, π ) × R os
∂f
∂f
vetores
(θ 0 , ϕ 0 ) e (θ 0 ,ϕ0 ) são linearmente independentes (e até ortogonais)
∂θ
∂ϕ
definindo um plano tangente à esfera no ponto f (θ 0 , ϕ 0 ) .
o meridiano” enquanto que a terceira componente de
Tomando
r
N
(θ 0 , ϕ0 ) = (π 6 ,π 4 ) ,
temos
R 2 R 2 R 3
f π 6 , π 4 = 
,
,

4
4 
 4
(
)
 R 2 R 2 
∂f π π
,
=
6 4  − 4 , 4 , 0 
∂ϕ


R 6 R 6
∂f π π
R
,
=
,
,
−


6 4  4
∂θ
4
4 

(
)
(
)
e portanto o vetor
i
r ∂f ∂f
R 6
N=
×
=
∂θ ∂ϕ
4
R 2
−
4
j
R 6
4
R 2
4
k
R R2 2
R2 2
R2 3
− =
i+
j +
k
2
8
8
4
0
é ortogonal aos plano tangente à esfera no ponto
(
)
f π 6 ,π 4 .
7
A proporcionalidade entre
(
)
r
N e
f π 6 , π 4 , isto é,
r R
N = f π ,π
6 4
2
(
é
tangente
ponto
f π 6 ,π 4
(
à
)
esfera
no
)
f (θ ,ϕ )
era esperada (vide o semiplano
ϕ = π 4 na figura 9), e o plano com
equação
r
( xyz ) − f ( π6 , π4 ) , N
r
N
=0
f : ¡1 → ¡3 , f (ϕ , t ) = (t cos ϕ , tsenϕ , t ) , sendo a
sua parametrização. Mantendo ϕ constante e derivando com respeito a t obtemos
Exemplo 3 Agora o cone, com
∂f
∂f
= ( cos ϕ , senϕ ,1) . Fixando t e derivando em ϕ ,
= ( −tsenϕ , t cos ϕ ,0 ) .
∂t
∂ϕ
Para cada (ϕ0 ,t0 ) com t0 ≠ 0 o par
de vetores
∂f
∂t
∂f ∂ϕ (ϕ 0, t0 ), ∂f ∂t (ϕ0, t 0)
determina o plano tangente ao cone no
ponto
f (ϕ0 , t0 ) .
Com ϕ0
∂f
∂ϕ
= π 6 e t = 1 temos
 3 1 
f π 6 ,1 = 
, ,1 
 2 2 
 1 3 
∂f π
,1
=
, 0 
 − ,
6
∂ϕ
 2 2

(
)
(
)
 3 1 
∂f π
,1 = 
, ,1
∂t 6
2
2 

(
)
Portanto
i
r ∂f ∂f
1
N=
×
=−
∂ϕ ∂t
2
3
2
j
k
3
2
1
2
0=
1
3
1
i+ j−k
2
2
8


é ortogonal ao plano tangente ao cone no ponto  3 , 1 ,1 , que portanto tem
2
2


equação
( x, y, z ) − (
ou seja
) (
3 2,1 2 , 1 ,
)
3 2,12, −1 = 0
3x + y − 2 z = 0 .
As derivadas parciais de superfícies parametrizadas que efetuamos encerram duas
operações, primeiro deixamos uma das variáveis livre, fixando a outra variável, em
seguida derivamos na tal variável livre. A definição seguinte generaliza a idéia,
Def.4. Sejam
e 1 = (1,0,...0) , e2 ( 0,1,0...0) ,...en ( 0,...,0,1) os versores da base
canônica do ¡ n e seja
f : D f ⊆ ¡n → ¡m dada por
f ( x1 ,..., xn ) = ( f 1 ( x1 ,..., x n ) , f 2 ( x1 ,..., xn ) ,...... f n ( x1 ,..., xn ) ) .
Para P0 ∈ int D f , definimos a i-ésima derivada parcial de
P0 por
f com respeito a xi em
f ( P0 + ∆xi ei ) − f ( P0 )
∂f
( P0 ) = ∆lim
x
→
0
∂ xi
∆xi
quando tal limite existe.
O incremento efetuado em P0 ,
∆xi ei = ( 0,0,...,0, ∆xi ,...,0) ,
mantém todas as variáveis inalteradas, exceto a i-ésima. Na derivada parcial, derivamos
com respeito a xi , deixando todas as outras fixas. Notamos que empregando as
componentes de
f = ( f 1 , f 2 ,..., f m ) obtemos
f ( P0 + ∆xi ei ) − f ( P0 )
∆ xi
 f ( P + ∆xi ei ) − f 1 ( P0 )
f ( P + ∆xi ei ) − f m ( P0 ) 
= 1 0
,..., m 0

∆ xi
∆ xi


e passando ao limite, com o emprego do teorema 1 do capítulo 2, temos
Proposição 2 Nas condições acima a derivada parcial com respeito a xi de f existe se
e somente se existem as derivadas parciais das funções componentes
então
∂f
( P0 ) =
∂ xi
f1 , f 2 ,..., f m e
 ∂ f1

∂f
P0 ) ,..., m ( P0 )  .
(

∂ xi
 ∂ xi

Def. 5 Definimos então a matriz Jacobiana de f em P0 é definida como sendo a matriz
m × n, que tem como elementos as derivadas parciais das várias funções componentes
de f ,
9
∂f1
 ∂f1

 ∂x ( P0 ) K ∂x ( P0 ) 
n
 1


f ' ( P0 ) = 
M
O
M


 ∂f m ( P ) L ∂f m ( P ) 
0
0 
 ∂x
∂x n
 1

contendo n colunas, cada uma delas uma das derivadas parciais de f na forma de vetor
coluna e m linhas, cada uma delas com todas as derivadas parciais possíveis de uma das
componentes de f .
Para o caso em que m = n = 1 , a matriz 1 × 1 é identificada com sua própria entrada,
que é a derivada de f . No capítulo seguinte veremos que a matriz Jacobiana é a matriz
corr espondente uma transformação linear que generaliza o conceito de derivada para as
funções vetoriais de várias variáveis. A Jacobiana da composta será o produto das
Jacobianas e a Jacobiana da inversa será o inverso da Jacobiana, generalizando e
estendendo vários teoremas do Cálculo das funções de uma variável. De fato
acabaremos por identificar a Jacobiana com a derivada, é bom que o estudante vá se
acostumando com esta idéia e calculando a Jacobiana das várias funções que
aparecerem.
(
)
Quando f representa uma curva parametrizada, t a f x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) , tem uma
Jacobiana que é a representação, na forma de matriz coluna, da velocidade vetorial,
 x '(t) 


f ' (t ) =  y ' ( t )  .


 z '( t ) 
Para as superfícies parametrizadas, das quais vimos exemplos logo acima, dadas pela
(
)
imagem de ( s, t ) a f ( s, t ) = x ( s, t ) , y ( s , t ) , z (s ,t ) , a Jacobiana tem três
linhas e duas colunas, correspondendo estas últimas às derivadas parciais tangentes à
superfície em cada ponto,
 ∂x
 ∂s

∂y
f ' ( s, t ) = 
 ∂s
 ∂z

 ∂s
∂x 
∂t 

∂y 
∂t 
∂z 

∂t 
e aliás é sobre tais parametrizações que versa a próxima definição...
f : D f ⊆ R2 → R3 a parametrização da superfície S = Im f dada por
( s, t) → f ( s, t ) e P0 = ( s0 , t0 ) ∈ int Df . Suponhamos ainda que as derivadas
Def. 6 Seja
parciais
∂f ∂s ( s0 , t0 ) , ∂f ∂t ( s0 , t0 ) existam em todos os pontos de Bδ ( P0 ) ⊆ Df
para algum
δ > 0 , e que neste domínio as funções ( s , t ) a
∂f
( s ,t ) ,
∂s
10
∂f
( s, t ) sejam contínuas. Se ainda mais
∂s
r
∂f
∂f
N ( s0 , t0 ) B
( s 0, t0 ) × ( s 0, t0 ) ≠ 0 ,
∂s
∂t
1
dizemos que f é C -regular em ( s0 , t0 ) ou que a superfície S = Im f é regular em
( s, t ) a
f ( s0 , t 0 ) .
Notamos que então as duas derivadas parciais são linearmente independentes (ou,
equivalentemente, que a matriz Jacobiana tem posto 2, o maior valor possível). Quanto à
afirmação de que a superfície é regular no ponto, lembra mos que uma superfície pode
ser descrita por várias parametrizações distintas, algumas regulares e outras não, no
ponto em questão. A afirmação que fizemos tem caráter inclusivo, isto é, basta que
exista uma parametrização regular no ponto para que neste a superfície seja considerada
regular. Consideremos por exemplo a parametrização usual da esfera, que não é regular
nos pólos norte e sul. Ainda assim a esfera é regular nestes pontos, para tanto basta
tomar uma outra parametrização (centrada num outro eixo norte-sul) em que tais pontos
sejam regulares. A mesma convenção é empregada para curvas, apesar da parábola
y = x2 ter a parametrização t a ( t 3 , t 6 ) , não regular em t = 0 , tal parábola é
considerada regular no ponto
( 0,0 ) , dada a existência da parametrização t a ( t , t 2 ) .
É natural que façamos a seguintes definições,
Def. 7. Nas condições acima (regularidade), definimos:
(i) plano tangente à superfície parametrizada em
r
ponto normal ao vetor N ( s0 , t0 ) e
(ii) reta normal à superfície parametrizada em
r
com vetor diretor N ( s0 , t0 ) .
r
N
∂f
∂f ∂ s
∂t
No caso de um sistema de coordenadas
f ( s0 , t0 ) , como o plano por este
f ( s0 , t0 ) , como a reta por este ponto
Não é tão fácil a prova precisa de que
os planos tangentes e retas normais a
uma superfície definidos por várias
parametrizações regulares distintas
coincidem. Fica para um curso de
Análise, posterior a este (de Cálculo)
em que faremos apenas um esboço da
prova no capítulo seguinte. A mesma
observação vale para as retas tangentes
e os planos normais às curvas
parametrizadas. Faça experimentos, não
seja tão ateu e por indução acredite...
f : D f ⊆ R3 → R3 , dado por
( u, v, w) a f ( u, v, w) = ( x (u , v, w) , y (u , v, w) , z (u , v , w) ) , cada ponto da
11
imagem R = Im f , que corresponde a região parametrizada, está no cruzamento de
três curvas coordenadas, parametrizadas cada uma delas por um dos três parâmetros ou
coordenadas
curvilíneas.
.
Passa por
∂f
∂v
curva
u = u0 , v = v0
∂f
∂u
f ( u0 , v 0 , w0 ) a curva
coordenada v = v0 , w = w0 ,
parametrizada através de
u a f ( u , v0 , w0 ) = ( x( u, v0 , w0 ),
y (u , v0 , w0 ), z (u , v0 ,w0 )),
sendo sua velocidade a derivada
∂f
∂w
curva
v = v0 , w = w0
curva
u = u 0 , w = w0
∂f
∂x
( u0 , v 0, w0 ) = ( ( u0 , v 0, w 0 ) ,
∂u
∂u
∂x
( u0 , v 0, w0 ) , ∂z ( u0 , v 0, w 0 )).
∂u
∂u
∂f ∂v , ∂ f ∂ w , são
vetores tangentes às curvas v a f ( u0 , v , w0 ) , w a f ( u0 , v0 , w) .
Analogamente temos pelo mesmo ponto as velocidades vetoriais
Def. 8 Dizemos que o sistema de coordenadas acima descrito é C 1 -regular em
P0 = ( u0 , v 0, w0 ) ∈ int Df se existem e são contínuas ∂f ∂u , ∂f ∂v , ∂f ∂w em
Bδ ( P0 ) para algum δ > 0 e ainda mais se
∂f
∂f
∂f
( u0 , v0 , w0 ) , ( u0 , v0, w0 ) × ( u0 , v 0, w0 ) ≠ 0 .
∂u
∂v
∂w
As três derivadas parciais são chamadas de referencial móvel associado ao sistema de
coordenadas. Notamos que nos pontos regulares correspondem a três vetores
linearmente independentes, formando uma base móvel, os pontos não regulares são
chamados de pontos singulares do sistema de coordenadas. Podemos dizer que nos
pontos regulares a Jacobiana é inversível ou tem posto maximal (no caso, três). No tamos
que para um sistema de coordenadas, sua matriz Jacobiana é três por três, sendo cada
coluna uma das derivadas parciais de f , na forma de vetor coluna,
 ∂x
 ∂u

∂y
f ' ( u, v , w ) = 
 ∂u

 ∂z
 ∂u

∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
∂x 
∂w 

∂y 
,
∂w 

∂z 
∂w 
sendo o seu determinante igual ao produto escalar triplo dos três vetores.
Dado um sistema de coordenadas, temos ao nosso dispor uma base móvel, variando
ponto a ponto do espaço e adaptada à simetria do sistema, tal base pode ser empregada
para decompor campos vetoriais etc... Para melhor empregá -la é útil ter-se à mão os seis
12
produtos escalares abaixo, que contém informações sobre os comprimentos dos vetores
da base móvel e os ângulos entre eles,
g11 ( u , v, w) =
∂f ∂f
,
∂u ∂u
g12 (u , v , w ) =
∂f ∂f
,
∂u ∂v
g13 (u , v , w ) =
∂f ∂f
,
∂u ∂ w
g 21 (u , v, w ) =
∂f ∂f
,
∂v ∂u
g 22 ( u , v, w ) =
∂f ∂f
,
∂v ∂v
g 23 ( u , v, w ) =
∂f ∂f
,
∂v ∂w
g 31 ( u , v, w ) =
∂f ∂f
,
∂w ∂u
g 32 ( u , v, w) =
∂f ∂f
,
∂w ∂v
g 33 ( u , v, w) =
∂f ∂f
,
∂w ∂w
Ora, porque foram escritos nove? Além de mais bonito o arranjo, ele é muito sugestivo,
pois tais funções são agrupadas numa matriz três por três chamada de tensor métrico
associado ao sistema de coordenadas, as funções são chamadas então de componentes do
tensor métrico. Esta matriz pode ser escrita como o produto da transposta da jacobiana
pela jacobiana do sistema de coordenadas,
g (u ,v , w) =  f '( u , v , w)  f '( u , v, w)
T
,pois
 g11
g =  g21
 g31
g12
g22
g32
g13   − ∂f ∂u −   Ι
Ι
Ι 




g23  =  − ∂f ∂v −  ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂w 
g33   − ∂f ∂w −   Ι
Ι
Ι 
dadas as regras do produto matricial e o fato de que as derivadas parciais são as colunas
da jacobiana.
Para alguns sistemas de coordenadas as derivadas parciais são vetores ortogonais entre
si, dizemos então que o sistema é ortogonal, ou que é um sistema de coordenadas
curvilíneas ortogonais, nestes sistemas o tensor métrico é diagonal. Para eles costuma-se
definir os chamados coeficientes métricos,
hU = g11 =
∂f
∂f
∂f
, hV = g 22 =
, hW = g33 =
∂u
∂v
∂w
e a base ortonormal associada,
1 ∂f
1 ∂f
1 ∂f
.
, eU =
, eU =
hU ∂u
hU ∂u
hU ∂u
eU =
w
¡3
z
f
v
u
Im f
eW
eV
x
eU
y
13
Exemplo 4. O sistema cilíndrico de coordenadas é dado pela parametrização
f :[0, ∞) × ¡1 × ¡1 → ¡3 , com
f ( ρ ,ϕ , z ) = ( ρ cos ϕ , ρ senϕ , z )
e para ρ ≠ 0 temos
∂f ∂ρ = ( cosϕ , senϕ , 0) ,
∂f ∂ϕ = ( − ρ senϕ , ρ cosϕ , 0) e ∂f ∂ z = ( 0,0,1) , o produto escalar triplo da
base móvel diferente de zero em
¡3 − {eixoz} , de fato
∂f ∂f ∂f
,
×
=ρ.
∂ρ ∂ ϕ ∂z
Nesta região o sistema cilíndrico é um sistema ortogonal, pois
∂f ∂f
∂f ∂f
∂f ∂f
,
=
,
=
,
= 0,
∂ρ ∂ϕ
∂ϕ ∂z
∂z ∂ρ
tem coeficientes métricos
hρ =
∂f
∂f
∂f
= 1, hΦ =
= ρ , hz =
=1
∂ρ
∂ϕ
∂z
e base ortonormal móvel associada
z
eϕ
eρ =
1 ∂f
= ( cos ϕ , senϕ ,0 )
hρ ∂ρ
eΦ =
1 ∂f
= ( −senϕ ,cos ϕ ,0 )
hΦ ∂ϕ
ez =
1 ∂f
= ( 0,0,1)
hz ∂z
eρ
Notamos que
eρ × eΦ = ez , eΦ × e z = eρ , e z × eρ = eΦ , ou seja, se ordenamos as
variáveis cilíndricas nesta ordem, a base ortonormal é positivamente orientada. Por tudo
isto diz-se por aí que o sistema cilíndrico ou sistema de coordenadas cilíndricas é
regular, ortogonal e positivamente orientado fora do eixoz.
A jacobiana e o tensor métrico deste sistema são respectivamente
cos ϕ
f ' ( ρ ,ϕ , z ) =  senϕ
 0
− ρ senϕ
ρ cos ϕ
0
0
0  , g ( ρ , ϕ , z ) =
1 
Exemplo 5 O sistema esférico de coordenadas com f
por
1
0

 0
0
ρ
2
0
0
0  .
1 
:[0, ∞ ) × [ 0,2π ] × ¡1 → ¡3 ,
f ( r ,θ , ϕ ) = ( r s enθ cos ϕ , rsenθ senϕ , r cos θ ) ,é
C1 -regular
em
¡3 − {eixoz} ,quando r = 0 ou θ = 0, π
∂f
∂f
= ( senθ cos ϕ, senθ senϕ,cos θ )
= ( r cos θ cos ϕ, r cos θ senϕ, − rsenθ )
∂r
∂θ
∂f
= ( −rsenθ senϕ , rsenθ cos ϕ , 0 )
∂ϕ
14
∂f ∂f ∂f
,
×
∂r ∂ θ ∂ϕ
de forma que
ortogonal, dado que
= r 2 senθ , formando as derivadas uma base móvel e
∂f ∂f
∂f ∂f
∂f ∂f
,
=
,
=
,
= 0.
∂r ∂θ
∂θ ∂ϕ
∂ϕ ∂r
Obtemos então os coeficientes métricos
e a base ortonormal móvel,
eR
eϕ
θ
eθ
∂f
∂f
∂f
= 1, hθ =
= r , hr =
= rsenθ
∂r
∂θ
∂r
1 ∂f
er =
= ( senθ cos ϕ, senθ senϕ,cos θ )
hr ∂r
1 ∂f
eθ =
= ( cosθ cos ϕ,cosθ senϕ , −senθ )
hθ ∂θ
1 ∂f
eϕ =
= ( − senϕ ,cos ϕ ,0 )
hr ∂ϕ
hr =
Verifica-se, como no caso do sistema cilíndrico que a base ortonormal, com as variáveis
na ordem acima, é positivamente orientada,
er × eθ = eϕ , eθ × eϕ = er , eϕ × er = eθ
e o sistema esférico é regular, ortogonal e positivamente orientado.
É de bom alvitre associar a cada base de um espaço vetorial n-dimensional, digamos
¡ n , uma matriz n × n que tem como vetores coluna os vetores da tal base,
 Ι ... Ι 
( v1 ,..., vn ) a V = v1 ... vn  ,
 Ι ... Ι 
nos referimos então à matriz como se esta fosse a base, representando-a por um objeto
único. A condição de que a base seja ortonormal, agora toma a forma V tV
− v1
M M

− vn
1
−  Ι L Ι  
0
M  v1 L v2  = 
M
−   Ι L Ι  
0
0
1
M
0
L
L
O
L
= Ι , ou seja,
0
0
M

1
e a condição de que a base seja positivamente orientada tem a forma, no caso em que a
matriz é qu adrada, pode ser colocada da forma det V = 1 .
As matrizes 3 × 3 que tem estas duas propriedades, V tV = Ι e det V = 1 , quando
agem no espaço tridimensional efetuam rotações (caso você não as tenha encontrado,
aconselho que espie o testo Linear Algebra, a geometric approach, do Banchoff,
publicado na coleção UTM da Spriger). O conjunto das rotações tridimensionais é
{
}
denotado por SO ( 3 ) = A ∈ M (3 × 3 ) t. q. At A = Ι edet A = 1 .