1 - Conceituação e importância do estudo da matemática financeira
É o ramo da matemática que tem como objeto de estudo o comportamento do
dinheiro ao longo do tempo. Avalia-se a maneira como este dinheiro está sendo ou
será empregado de maneira a maximizar o resultado, que se espera positivo. Com
as ferramentas adequadas pode-se também comparar entre duas ou mais
alternativas, aquela que mais benefícios nos trará, ou menos prejuízo acarretará.
Na atual economia, que se diz globalizada, não se concebe qualquer projeto, seja
de que área for, em que o aspecto financeiro não seja um dos mais relevantes
para sua execução. No dia-a-dia das famílias ocorre o mesmo fenômeno. Discutese cada vez mais o último IGP, a inflação ou deflação, a taxa de juros básicos da
economia a famosa SELIC divulgada após longas reuniões do COPOM. Enfim,
números, índices e taxas que em são fundamentais para o entendimento da
matemática financeira.
Abaixo situações em que a matemática financeira está envolvida:
Imagine a decisão entre comprar aquele fogão em 10 vezes “sem juros” ou
pouparmos o dinheiro para comprarmos o mesmo produto à vista. Quais os custos
envolvidos nessa decisão? Como avaliar monetariamente a decisão? Pois é.
Quantas vezes já não nos vimos diante deste e de outros dilemas, que podem
parecer simples, mas, se você não possuir alguns conhecimentos básicos,
parecem insolúveis?
Então, a matemática financeira se ocupa em estudar e fornecer as tais
ferramentas adequadas para a tomada de decisão com a maior precisão possível.
Se na vida pessoal já temos que tomar decisões que nos afetarão por um bom
tempo, imagine na vida de uma empresa cujo faturamento, na maioria das vezes é
bastante superior a renda de uma família. Note que as decisões são, basicamente,
as mesmas. O que muda são os efeitos e o grau de precisão com que os cálculos
devem ser feitos.
Assim o estudo da matemática financeira se reveste de vital importância para
qualquer pessoa que almeje entender o mundo atual tal qual ele se apresenta:
Fluxos de capital em corrente pelo mundo, tornando economias, hoje estáveis, em
instáveis de uma hora para outra. Decisões de cunho social, sendo tomadas
considerando como mais relevantes aspectos financeiros. Enfim, o dinheiro
ditando as regras em quase todos, senão todos os aspectos de nossas vidas.
Já não cabe discutir se isso é bom ou mau, até porque não dá para se discutir
aquilo que não entendemos. Cabe-nos tentar compreender essa nova realidade,
da melhor maneira possível para, aí sim tentarmos alterá-la para o que julgamos
melhor.
2. Elementos básicos em Matemática Financeira
Por mais práticos que possamos querer ser, alguns princípio básicos devem ser
seguidos. Assim iniciaremos nosso estudo da maneira tradicional e iremos aos
poucos demonstrando a aplicação dos conceitos nas atividades da empresa.
Apresento a seguir os termos mais comumente encontrados nos relacionamentos
financeiros:
Capital
Valor aplicado através de alguma transação financeira. Nas operações de crédito
pode ser conhecido como Principal. Também pode ser tratado como Valor Atual,
Valor presente ou Valor Aplicado.
Note que o mais importante não é a maneira como ele é chamado, mas sim o fato
de que é sobre ele que incidirão os encargos financeiros, também conhecidos
como juros.
Juros
Juros representam a remuneração do capital empregado, seja pelo Banco seja
pela Empresa. Quando você aplica um capital em algo, está tomando uma decisão
de adiar um consumo, certo? Assim, você espera obter de alguma forma um
prêmio por ter deixado de consumir e ter poupado. Esse prêmio é representado
pelo juro que você recebe, caso aplique num CDB de um Banco ou empreste o
dinheiro a algum amigo.
Montante
Montante é a soma do capital com os juros. Pode também ser chamado de valor
futuro (capital empregado mais à soma dos juros no tempo correspondente). As
notações mais comumente apresentadas pelas publicações são representadas
abaixo.
A seguir monenclaturas da matemática financeira. Antes de efetuar os cálculos é
interessante o conhecimento delas.
C = Capital
n = número de períodos (dias, meses, anos ou simplesmente nº. de parcelas)
j = juros simples decorridos n períodos
J = juros compostos decorridos n períodos
r = taxa percentual de juros
i = taxa unitária de juros (i = r/100)
P = principal ou valor atual
M = Montante de capitalização simples
S = Montante de capitalização composta.
Obs: Notem que existem notações em letras maiúsculas e minúsculas e que
tem sentidos diferentes.
Sempre que possível, utilizaremos os termos com os quais identificamos os
valores no dia-a-dia. Como:
Taxa: representação do juro em sua forma porcentual. Ex: 4,50% ao mês
Montante: valor do principal mais encargos, independente do tipo de capitalização.
Prazo: tempo decorrido
Principal: valor total financiado
Parcelas: número de prestações ou períodos de pagamento
3. Tipos de juros
Juros simples
São calculados apenas sobre o principal.
Juros compostos
Após cada período, o valor dos juros é incorporado ao Capital (a partir de agora
utilizaremos a notação Principal que é como os Bancos chamam).
Compatibilidade dos dados
Para que possamos efetuar os cálculos os dados devem estar expressos de forma
compatível. Ou seja, se uma taxa está representada de forma anual, o prazo
também deverá estar. Da mesma forma se estiver representada de forma mensal.
Fórmulas básicas
Existe proporcionalidade em relação as variáveis C, i e n. A variação de qualquer
uma ou mais (aumentando ou diminuindo), causará variação (mais ou menos) nos
juros.
Por isso podemos escrever:
j =C x i x n
Todas as fórmulas se desenvolvem supondo a existência destas três variáveis:
Exemplo:
a) Fórmula do montante - Juros simples:
M=C+j
M = C(1 + in)
b) Fórmula do montante - juros compostos:
M = C (1 + i)n
c) Fórmula da prestação - anuidade
PMT = PV x (1 + i)n x 1
(1 + i)n – 1
Taxas Proporcionais
Duas taxas são proporcionais quando seus valores são diretamente proporcionais
aos seus respectivos tempos.
Exemplo:
As taxas de 12% ao ano e de 1% ao mês são proporcionais, pois
12% / 12 = 1
1% / 1 = 1
3.1 JUROS SIMPLES
No conceito de juros simples, o resultado é sempre obtido sobre o valor principal,
sem incorporação ao capital para efeito de cálculo dos juros de um período sobre
o período seguinte. Vamos tomar o seguinte exemplo: Capital de R$10.000,00,
juros de 2% ao mês, e prazo de 6 meses.
Verifique a tabela abaixo.
Capital [C]
Taxa de Juros [i]
Prazo [t]
Juros [J]=[i]x[C]
Montante
M=C+J
10.000,00
2%x1=2%
1 mês
10.000,00 x 2% =
200,00
10.200,00
10.000,00
2%x2=4%
2 meses
10.000,00 x 4% =
400,00
10.400,00
10.000,00
2%x3=6%
3 meses
10.000,00 x 6% =
600,00
10.600,00
10.000,00
2%x4=8%
4 meses
10.000,00 x 8% =
800,00
10.800,00
10.000,00
2%x5=10%
5 meses
10.000,00 x 10% = 1.000,00
11.000,00
10.000,00
2%x6=12%
6 meses
10.000,00 x 12% = 1.200,00
11.200,00
Ex.1 Imagine que você tome emprestado, a juro simples, a importância de
R$ 5.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 5% ao mês. Qual será o valor que
você deverá pagar como juro, decorrido este período de tempo? Qual o montante
a ser pago?
Resolução
Juros Simples
A fórmula do Juro Simples é: j = C. i. t
Capital Aplicado (C) : R$ 5.000,00
Tempo de Aplicação (t) : R$ 3 meses
Taxa (i): 5% ou 0,05 ao mês (a.m.)
j = C . i. t → J = 5.000 x 3 x 0,05 → R$ 750,00
A fórmula do Montante é:
Capital Aplicado (C) : R$ 5.000,00
Tempo de Aplicação (t) : R$ 3 meses
Taxa (i): 5% ou 0,05 ao mês (a.m.)
M = C x (1 + i.n)
M = 5.000,00 x (1 + 0,05 x 3)
M = 5.000,00 x (1 + 0,15)
M = 5.000,00 x (1,15)
M = 5.750,00
Ex2. Um capital de $ 4.000,00 foi aplicado durante 3 meses, à juros simples, à
taxa de 18% a.a. Pede-se:
a) Juros
1)
b) Montante.
j = Cin
Solução:
2)
M=C+j
C = 4000,00
a) j = Cin
J = 4000 {[(18/100)/12]x3}
J = 4000 {[0,18/12]x3}
J = 4000 {0,015 x 3}
J = 4000 x 0,045
J = 180,00
3)
M = C +Cin
4)
M = C (1+ in)
5)
j= M-C
i = 18% a.a.
b) M = C + j
M = 4000 + 180
M = 4.180,00
Obs.: Não esqueça de transformar o período da taxa no mesmo período do
tempo (18% a.a. – 0,18 a.a. / 12 = 0,015 a.m.)
Ex3. Um capital de $ 19.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 39% a.a.,
pelo prazo de 56 dias. Obtenha os juros comerciais e exatos para esta aplicação.
Solução:
C: 19000
n = 56 dias
i: 39% a.a.
j = Cin Juros Comercias
j=19000 x {[(39/100)/360] x 56}
j = 19000 x { [0,39/360] x 56 }
j = 19000 x { 0,001083333 x 56 }
j = 19000 x 0,060666667
j = 1.152,67
j = Cin Juros Exatos
j = 19000 x {[(39/100)/365] x 56 }
j = 19000 x { [0,39/365] x 56 }
j = 19000 x { 0,001068493 x 56 }
j = 19000 x 0,059835616
J = 1.136,88
Obs.:
Juros comerciais – são juros calculados utilizando o período comercial - prazo comercial .
Mês – 30 dias
Ano – 360 dias
Juros Exatos – São juros calculados utilizando o período exato- prazo exato.
Mês – 31dias ex : dezembro ; 30 dias ex: junho ; 28 ou 29 dias ex:fevereiro
Ano – 365 ou 366 dias
3.2 JUROS COMPOSTOS
Ex1. Um capital de R$ 300,00 foi aplicado em regime de juros compostos com
uma taxa de 10% ao mês. Calcule o Montante desta aplicação após dois meses.
M = C x (1 + i)n
Resumindo os dados do problema:
Capital ou Principal - P = 300
Taxa – i = 10% = 0,1
Períodos de Capitalização – n = 2
Primeiramente calcule o montante:
Substituindo temos: M = 300 x (1 + 0,1)²
M = 300 x (1,1) ²
M = 300 x (1,21)
M = 300 x 1,21 = 363,00
Então, o Montante da aplicação fornecida neste problema após 02 meses é de R$
363,00.
Ex2. Um dono de empresa consegue um empréstimo de R$ 30.000,00 que deverá
ser pago, no fim de um ano, acrescidos de juros compostos de 3% ao mês.
Quanto o dono da empresa deverá pagar ao final do prazo estabelecido?
M = C x (1 + i) n
Resumindo os dados do problema:
Capital ou Principal - P = 30.000,00
Taxa – i = 3% = 0,03
Períodos de Capitalização – n = 12 meses
Primeiramente calcule o montante:
Substituindo temos : M = 30.000 x (1 + 0,03)12
M = 30.000 x (1,03) 12
M = 30.0000 x (1,4257)
M = 30.000. x 1,4257 = 42.771
Então, o dono da empresa deverá pagar ao final do prazo o valor de R$ 42.771,00
Ex3. Calcule o capital que aplicado à taxa composta de 4% a.m. que dará origem
a um montante de R$ 4.650,00 no fim de 08 meses
M = C x (1 + i) n
Resumindo os dados do problema:
M = 4.650
i = 4% = 0,04
n=8
Assim, é necessário calcular o capital que, isolando a partir da fórmula matriz,
temos:
C=
M
P = (1 + i)n
Explicando a fórmula acima - O Capital ou Principal é igual ao Montante dividido
por (1 + i)n
Substituindo os dados:
C = 4.650 / (1 + 0,04)8
C = 4.650 / (1,04)8
C = 4.650 / (1,3685)
C = 4.650 / (1,3685)
C = 3.397,88
Então, o capital procurado é de R$ 3.397,88.
4. Fluxo de Caixa
Ex.1: Você entrou numa loja para comprar uma geladeira. O vendedor lhe informa
que o preço à vista da geladeira é $ 1.500,00. Informa também que o pagamento
pode ser financiado em quatro pagamentos iguais mensais de $400,00 através de
uma instituição financeira (IF). Você faz a compra e opta pelo financiamento, de
modo que terá quatro desembolsos mensais sucessivos de R$ 400,00; é o seu
fluxo de caixa dessa operação. A instituição financeira (IF) pagará para a loja o
valor à vista de $ 1.500,00 e receberá de você as quatro prestações mensais. A
Figura 3 representa graficamente as entradas e saídas de dinheiro para cada um
dos agentes envolvidos; isso é um fluxo de caixa.
Fluxo de caixa é uma sucessão de entradas e saídas de dinheiro (ou ativos
expressos pelo seu valor monetário) no tempo.
Figura: Entradas e saídas de dinheiro no tempo.
Essas entradas e saídas podem ser representadas por um diagrama, denominado
diagrama de fluxo de caixa, como mostrado na figura acima, a partir do qual se
apontarão as convenções utilizadas para a sua elaboração.
Regras para desenhar um fluxo de caixa:
No eixo das abscissas (horizontal) representam-se os períodos de tempo; e
No eixo das ordenadas (vertical) representam-se os valores das entradas e
saídas de dinheiro.
Essas entradas e saídas são representadas por flechas orientadas, indicativas dos
valores considerados:
Entrada de dinheiro: flechas com orientação positiva,
Saída de dinheiro: flechas com orientação negativa.
Diagrama de fluxo de caixa é a representação gráfica ou em tabela de um fluxo
de caixa.
A dimensão dessas flechas não considera a proporcionalidade entre elas e os
valores representados; as figuras são meramente qualitativas.
Na figura acima tem-se para:
A instituição financeira: uma saída de caixa de 1.500,00 no tempo n = 0
(zero) e quatro entradas de caixa sucessivas no valor de 400,00;
Você: quatro saídas de caixa sucessivas de 400,00 (seu benefício como
contrapartida foi a aquisição da geladeira). Mais rigorosamente, você
receberia R$ 1.500,00 da IF e os repassaria à loja;
loja: recebeu à vista o valor de 1.500,00 pela venda que lhe fez da
geladeira.
Referência
PUCCINI,
E.
C.
Matemática
Financeira.
Disponível
em
http://www.proativams.com.br/files_aberto/Livro%20de%20MForiginal.pdf. Acesso
em 15 out 2010
_________________Senac. Apostila de Matemática Financeira. Editora Senac,
2000.