Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 2
CAPÍTULO 15 – OSCILAÇÕES
22. Ligam-se duas molas e no extremo de uma delas prende-se um bloco de massa m, como está
mostrado na Fig. 27. Não há atrito entre as superfícies. Se as molas separadamente tiverem
constantes de força k1 e k2, mostre que a freqüência da oscilação do bloco será
k1k2
ν 1ν 2
1
=
ν =
2π ( k1 + k2 ) m
ν 12 +ν 22
onde ν1 e ν2 são as freqüências em que o bloco oscilaria se fosse conectado somente à mola 1
ou à 2. (O análogo elétrico deste sistema é uma combinação em paralelo de dois capacitores).
(Pág. 20)
Solução.
Considere o seguinte esquema:
F
k1
F1
F2
k2
m
Sejam as seguintes relações, em que x1 e x2 são os estiramentos das molas k1e k2, respectivamente:
(1)
F1 = − k1 x1
F2 = −k2 x2
(2)
A partir destas equações, temos:
F
x1 = − 1
k1
x2 = −
(3)
F2
k2
(4)
Vamos imaginar que a associação em série de molas mostrada na Fig. 27 possa ser substituída por
uma mola equivalente de constante k’, de tal forma que as características do movimento imprimido
ao bloco não seja alterado.
F’
k’
m
As Eqs. (1)-(4) sugerem que:
F ' = −k ' x
(5)
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Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996.
Cap. 15 – Oscilações
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Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
F'
(6)
k'
Nas Eqs. (5) e (6), x corresponde à distância de compressão ou estiramento da mola k’ e F’ é a força
elástica correspondente gerada pela mola. O importante é observar que:
(7)
x= x1 + x2
x= −
F=
F=
F= F '
1
2
(8)
Substituindo-se (3), (4) e (6) em (7):
−
F F
F'
=
− 1− 2
'
k
k1 k2
Aplicando-se a relação (8), temos:
1 1
k +k
F'
= F  − = F 1 2
'
k
k1k2
 k1 k2 
 k +k 
F' = k'  F 1 2 
k1k2 

Comparando-se (5) e (9), temos:
k +k
F 1 2 = −x
k1k2
F= −
(9)
k1k2
x
k1 + k2
Logo:
k' =
k1k2
k1 + k2
(10)
A freqüência de oscilação do sistema vale:
ω'
1
=
2π 2π
k'
m
Substituindo-se (10) em (11):
ν =' ν=
ν' =
1
2π
(11)
k1k2
( k1 + k2 ) m
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Cap. 15 – Oscilações
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