Sistemas
de
Numeração
Profª. Lizlane Aparecida Trevelin
Disciplina: Matemática
E. E. Jesuíno de Arruda
São Carlos/SP
Introdução sobre a origem dos números
Na pré
história,
será que
o
homem
já
contava?
Para descobrir sobre a origem dos números,
precisamos estudar um pouco da história humana.
Os historiadores são auxiliados por diversas
descobertas:
o estudo das ruínas de antigas civilizações
• estudos de fósseis,
• o estudo da linguagem escrita
• e a avaliação do comportamento de
diversos grupos étnicos desde o princípio
dos tempos.
O Início do processo de
contagem
Os homens primitivos não tinham
necessidade de contar, pois o que
necessitavam para a sua
sobrevivência era retirado da
própria natureza.
A necessidade de contar começou
com o desenvolvimento das
atividades humanas, quando o
homem foi deixando de ser
pescador e coletor de alimentos
para fixar-se no solo
O homem começou a produzir
alimentos, construir casas e
domesticar animais, aproveitandose dos mesmos através do uso da lã
e do leite, tornando-se criador e
desenvolvendo o pastoreio, o que
trouxe profundas modificações na
vida humana.
Olhando ao redor, podemos observar
como é grande a presença dos
números.
As primeiras formas de
agricultura de que se tem notícia,
desenvolveram-se há cerca de dez
mil anos na região hoje
denominada Oriente Médio.
A agricultura passou a exigir o
conhecimento do tempo, das
estações do ano e das fases da Lua
e assim começaram a surgir as
primeiras formas de calendário.
No pastoreio, o pastor usava várias formas
para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele
soltava os seus carneiros e analisava ao final
da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido,
se perdido do rebanho ou se havia sido
acrescentado um novo carneiro ao rebanho.
Assim eles tinham a correspondência um a
um, onde cada carneiro correspondia a uma
pedrinha que era armazenada em um saco.
No caso das pedrinhas, cada animal que saía
para o pasto de manhã correspondia a uma
pedra que era guardada em um saco de
couro.
No final do dia, quando os animais voltavam
do pasto, era feita a correspondência
inversa, onde, para cada animal que
retornava, era retirada uma pedra do saco.
Se no final do dia sobrasse alguma pedra,
é porque faltava algum dos animais e se
algum fosse acrescentado ao rebanho, era
só acrescentar mais uma pedra.
A palavra que usamos hoje, cálculo, é
derivada da palavra latina calculus, que
significa pedrinha.
A correspondência unidade a unidade não
era feita somente com pedras, mas eram
usados também nós em cordas, marcas nas
paredes, talhes em ossos, desenhos nas
cavernas e outros tipos de marcação.
Os talhes nas barras de madeira, que eram
usados para marcar quantidades,
continuaram a ser usados até o século
XVIII na Inglaterra. A palavra talhe
significa corte.
Representação numérica
Com o passar do tempo, as
quantidades foram representadas por
expressões, gestos, palavras e
símbolos, sendo que cada povo tinha a
sua maneira de representação.
A faculdade humana natural de
reconhecimento imediato de
quantidades se resume a, no máximo,
quatro elementos.
O senso numérico não pode ser
confundido com contagem, que é um
atributo exclusivamente humano que
necessita de um processo mental.
Os egípcios usavam um sistema de agrupamento simples, com base
10.
Numeração Egípcia
Numeração Maia
Este senso numérico que é a faculdade
que permite reconhecer que alguma
coisa mudou em uma pequena coleção
quando, sem seu conhecimento direto,
um objeto foi tirado ou adicionado, à
coleção.
O senso numérico não pode ser
confundido com contagem, que é um
atributo exclusivamente humano que
necessita de um processo mental.
"Distinguimos, sem erro e numa
rápida vista um, dois, três e
mesmo quatro elementos. Mas aí
para nosso poder de identificação
dos números." História Universal
dos Algarismos, Georges Ifrah.
Temos também alguns animais,
ditos irracionais, como os rouxinóis
e os corvos, que possuem este senso
numérico onde reconhecem
quantidades concretas que vão de
um até três ou quatro unidades.
Existe um exemplo célebre sobre
um corvo que tinha capacidade de
reconhecer quantidade:
Um fazendeiro estava disposto a
matar um corvo que fez seu ninho
na torre de observação de sua
mansão. Por diversas vezes,
tentou surpreender o pássaro,
mas em vão: à aproximação do
homem, o corvo saía do ninho.
Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro,
mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saía
do ninho. De uma árvore distante, ele esperava
atentamente até que o homem saísse da torre e só
então voltava ao ninho.
De uma árvore distante, ele esperava atentamente
até que o homem saísse da torre e só então voltava ao
ninho.
Um dia, o fazendeiro tentou um ardil: dois homens
entraram na torre, um ficou dentro e o outro saiu e
se afastou. Mas o pássaro não foi enganado:
manteve-se afastado até que o outro homem saísse
da torre. A experiência foi repetida nos dias
subseqüentes com dois, três e quatro homens, ainda
sem sucesso.
Manteve-se afastado até que o outro
homem saísse da torre. A experiência foi
repetida nos dias subsequentes com dois,
três e quatro homens, ainda sem sucesso.
Finalmente, foram utilizados cinco homens
como antes, todos entraram na torre e um
permaneceu lá dentro enquanto os outros
quatro saíam e se afastavam. Desta vez o
corvo perdeu a conta. Incapaz de
distinguir entre quatro e cinco, voltou
imediatamente ao ninho.
Alguns símbolos antigos
No começo da história da escrita de algumas civilizações como a egípcia, a babilônica e outras, os
primeiros nove números inteiros eram anotados pela repetição de traços verticais:
I II
III
IIII
IIIII
IIIIII
IIIIIII
IIIIIIII
IIIIIIIII
12
3
4
5
6
7
8
9
Depois este método foi mudado, devido à dificuldade de se contar mais do que quatro termos:
I II
III
IIII
IIII
I
12
3
4
5
IIII
II
IIII
III
IIII
IIII
IIII
IIII
I
6
7
8
9
Um dos sistemas de numeração mais antigos
que se tem notícia é o egípcio. É um sistema
de numeração de base dez e era composto
pelos seguintes símbolos numéricos:
Outro sistema de numeração muito
importante foi o da Babilônia, criado a
aproximadamente 4 mil anos.
Algumas das primeiras formas de contagem
foram utilizadas com as partes do corpo
humano, sendo que em algumas aldeias os
indivíduos chegavam a contar até o número
33.
O Ábaco
O ábaco, em sua forma geral, é uma moldura retangular com
fileiras de arame, cada fileira representando uma classe
decimal diferente, nas quais correm pequenas bolas.
No princípio, os sistemas de numeração
não facilitavam os cálculos, logo, um dos
instrumentos utilizados para facilitar os
cálculos foi o ábaco muito usado por
diversas civilizações orientais e
ocidentais. No Japão, o ábaco é chamado
de soroban e na China de suánpan, que
significa bandeja de calcular.
O Sistema de numeração Indo-Arábico
Nosso sistema de numeração surgiu na Ásia, há
muitos séculos no Vale do rio Indo, onde hoje é o
Paquistão.
O primeiro número inventado foi o 1 e ele
significava o homem e sua unicidade, o segundo
número 2, significava a mulher da família, a
dualidade e o número 3 significava muitos,
multidão.
Observemos uma curiosidade que não pode ter
ocorrida por acaso:
Português Inglês Francês Latim Grego Italiano
Três
three trois
ter
treis ter
Espanhol
tres
Sueco Alemão Russo Polonês Hindu
tre
drei
tri
trzy
tri
Notas históricas sobre a atual notação posicional
Foi no Norte da Índia, por volta do século V da
era cristã, que nasceu o mais antigo sistema de
notação próximo do atual, o que é comprovado
por vários documentos, além de ser citado por
árabes (a quem esta descoberta foi atribuída por
muitos anos).
Antes de produzir tal sistema, os habitantes da
Índia setentrional usaram por muito tempo uma
numeração rudimentar que aparece em muitas
inscrições do século III antes de Cristo.
Esta numeração tinha uma característica do sistema
moderno. Seus nove primeiros algarismos eram
sinais independentes:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
O que significava que um número como o 5 não era
entendido como 5 unidades mas como um símbolo
independente.
Estes algarismos por muito tempo, foram
denominados de uma forma errada, algarismos
arábicos.
Ainda existia nesta época a dificuldade posicional e os
hindus passaram a usar a notação por extenso para
os números, pois não podiam exprimir grandes
números por algarismos.
Sem saber, estavam criando a notação posicional e
também o zero.
Cada algarismo tinha um nome:
1= eka
2= dvi 3= tri 4= catur
6=sat 7= sapta 8= asta
5= pañca
9= nava
Quando foi criada a base 10, cada dezena
recebia um nome assim como cada centena e
milhar, mas ao invés de fazer como hoje, de
acordo com as potências decrescentes de 10, os
hindus escreviam os números em ordem
crescente das potências de 10 por volta do
século IV depois de Cristo. Eles começavam
pelas unidades, depois pelas dezenas, pelas
centenas e assim por diante. O número 3.709
ficava:
nove sete centos três mil
nava sapta sata ca trisahasra
Os hindus tinham nomes individuais para:
10 = dasa
100 = sata
1.000 = sahasra
10.000 = ayuta
100.000 = laksa
1.000.000 = prayuta
10.000.000 = koti
100.000.000 = vyarbuda
1.000.000.000 = padma
Poderiamos escrever o número 12.345 como
pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta
pois
12.345 = 5 + 40 + 300 + 2.000 +
10.000
logo:
5 = pañca
40 = catur + dasa
300 = tri + sata
2.000 = dvi + sahasra
10.000 = ayuta
Esta já era uma forma especial.
Em virtude da grande repetição que ocorria com
as potências de 10, por volta do século V depois de
Cristo, os matemáticos e astrônomos hindus
resolveram abreviar a notação retirando os
múltiplos de 10 que apareciam nos números
grandes, assim o número 12.345 que era escrito
como:
Notas históricas sobre a criação do zero
Tendo em vista o problema na construção dos
números como 31 e 301, os hindus criaram um
símbolo para representar algo vazio (ausência de
tudo) que foi denominado sunya (a letra s tem um
acento agudo e a letra u tem um traço horizontal
sobre ela).
Dessa forma foi resolvido o problema da ausência de
um algarismo para representar as dezenas no número
301 e assim passaram a escrever:
301 = 1 + ? x 10 + 3 x 100
301 = dasa sunya tri
Os hindus tinham acabado de descobrir o zero.
Porém estas notações só serviam para as palavras e
não para os números, mas reunindo essas idéias
apareceram juntos o zero bem como o atual sistema
de notação posicional.
Um dos primeiros locais onde aparece a notação
posicional é um tratado de cosmologia denominado:
Lokavibhaga, publicado na data de 25 de agosto de
458 do calendário juliano, por um movimento
religioso hindú para enaltecer as suas qualidades
científicas e religiosas.
Neste texto, aparece o número 14.236.713 escrito
claramente:
O Sistema Romano de Numeração
O sistema de numeração Romano é um sistema decimal, ou
seja, sua base é dez.
Este sistema é utilizado até hoje em representações de
séculos, capítulos de livros, mostradores de relógios antigos,
nomes de reis e papas e outros tipos de representações oficiais
em documentos. Estas eram as primeiras formas da grafia
dos algarismos romanos.
Este sistema não permite que sejam feitos cálculos, não se
destinavam a fazer operações aritméticas mas apenas
representar quantidades. Com o passar do tempo, os
símbolos utilizados pelos romanos eram sete letras, cada uma
com um valor numérico:
Letra:
I
V
X
L
C
D
M
Valor:
1
5
10
50
100
500
1000
Leitura: Um
Quinhentos Mil
CincoDez Cinquenta Cem
Estas letras obedeciam aos seguintes três
princípios:
Todo símbolo numérico que possui
valor menor do que o que está à sua
esquerda, deve ser somado ao maior.
VI
=
5 + 1
=
6
XII
= 10 + 1 + 1 = 12
CLIII = 100 + 50 + 3 = 153

Todo símbolo numérico que possui valor menor ao que está à sua direita, deve ser subtraído do
maior.
9
IX = 10 - 1 =
XL = 50 - 10 = 40
VD = 500 - 5 = 495
Essa idéia de agrupar marcas foi utilizada nos sistemas
mais antigos de numeração.
Os egípcios da Antiguidade criaram um sistema muito
interessante para escrever números, baseado em
agrupamentos.
1 era representado por uma marca que se parec ia com um
bastão |
2 por duas marcas ||
E assim por diante:
Trocavam esse agrupamento por um símbolo novo, que
parecia um pedaço de corda enrolada:
Juntando vários símbolos de 100, escreviam o 200, o 300,...
etc, até o 900.
Dez marcas de 100 eram trocadas por um novo símbolo, que
era a figura da flor de lótus:
Um grande avanço: o valor posicional
No ábaco, as bolinhas são todas iguais, mas o
valor de cada bolinha depende do arame em
que ela está. Certamente, foi esta
característica do ábaco que fez surgir a idéia
de dar valores diferentes a um mesmo
algarismo, dependendo do lugar em que ele
está escrito.
Por exemplo, em 3333, o algarismo 3 assume
diferentes valores: