Anais do 14° Encontro de Iniciação Científica e Pós-Graduação do ITA – XIV ENCITA / 2008
Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP, Brasil, Outubro, 20 a 23, 2008.
ANÁLISE DE ESTABILIDADE EM ESTEIRAS DE CORPOS ROMBUDOS
BIDIMENSIONAIS
Bruno Araújo de Albuquerque Maranhão
Instituto Tecnológico de Aeronáutica – ITA / CTA
12228-462 – São José dos Campos, São Paulo, Brasil
Bolsista PIBIC-CNPq
Correio Eletrônico: [email protected]
Marcos Aurélio Ortega
ITA – IEAA
Praça Mal. Eduardo Gomes, 50, Vila das Acácias
São José dos Campos – SP
Correio Eletrônico: [email protected]
Resumo: Neste artigo é mostrado um estudo sobre a análise de estabilidade de um escoamento em torno de um corpo rombudo, em
especial na sua esteira. A partir das equações da Dinâmica dos Fluidos e a introdução de uma perturbação inicial no escoamento é
possível obter a equação de estabilidade de Rayleigh, para o caso de fluido não viscoso. Tal equação é resolvida para o caso de perfis
com velocidade linear, onde a estabilidade do escoamento é analisada através da relação de dispersão do problema. Em seguida, é
introduzido outro método de análise de estabilidade, o qual utiliza transformada de Laplace e de Fourier, bem como a teoria de Função
de Green. O sucesso de tal método depende principalmente da solução de integrais complexas e da escolha do caminho de integração. A
análise mais completa se faz de maneira não linear, chamada de análise de Floquet, que envolve os conceitos matemáticos abordados,
porém de forma numérica.
Palavras chave: Estabilidade, Corpos Rombudos, Esteiras, Análise de Floquet.
1. Introdução
Este projeto tem como objetivo o estudo da estabilidade de escoamentos em torno de corpos rombudos. (Por “corpo
rombudo” entende-se uma geometria tal que a espessura da esteira descolada é bem maior que uma espessura característica
do corpo.) O estudo da estabilidade de fluidos viscosos em torno de um cilindro tem sido efetuado por muito tempo, haja
vista sua importância prática e teórica. Desde as primeiras observações de Rayleigh, que apontavam que a formação de
vórtices estava relacionada com uma instabilidade na esteira do cilindro, até estudos mais recentes, que mostram que a
fronteira de estabilidade está diretamente ligada à relação de dispersão do sistema, é possível notar que a análise de
estabilidade nem sempre é uma tarefa fácil, devido a grande complexidade do escoamento turbulento, representado pelas
equações da dinâmica dos fluidos.
r r
Para analisar a estabilidade de um escoamento, inicialmente obtemos o campo de velocidade U ( x , t ) e o campo de
r
pressão P ( x , t ) , necessários para determinar o escoamento básico. Esses campos são obtidos como solução das equações
da dinâmica dos fluidos. Com o escoamento definido, introduz-se uma perturbação na esteira (média) do cilindro. A
resposta do escoamento a esse impulso vai então dizer se o dado escoamento é estável, neutro, ou instável.
O escoamento será estável se a perturbação se extinguir assintoticamente; neutramente estável se o impulso persistir
com amplitude semelhante; ou instável se a perturbação crescer a ponto de induzir uma transição qualitativa do escoamento
— em geral transição laminar-laminar ou laminar-turbulenta. Além disso, há uma distinção no caráter da instabilidade do
escoamento. Este é dito absolutamente instável se uma perturbação de pequena amplitude cresce exponencialmente e em
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todos os sentidos a partir do local da geração do impulso. Se, por outro lado, a perturbação crescer, mas for transportada
pelo próprio fluido para longe do local onde foi gerada, deixando o escoamento assintoticamente não-perturbado, é dito que
o escoamento é convectivamente instável.
Matematicamente é possível fazer uma análise de estabilidade estudando a relação de dispersão do sistema
perturbado. Nas equações de Navier-Stokes introduzimos os termos de perturbação de pressão e velocidade. Usando uma
análise linear, desprezamos os termos quadráticos (pois se assume que as perturbações são pequenas) e chegamos a um
sistema de equações diferenciais que nos dá a chamada relação de dispersão, que é função dos parâmetros: freqüência ( ω ),
números de onda ( α , β ) e número de Reynolds (Re). O estudo das singularidades desta relação possibilita a distinção do
caráter estável, convectivamente instável ou absolutamente instável.
Para obter-se a chamada relação de dispersão do sistema, são utilizados métodos de resolução de equações
diferencias, como no caso da equação de Rayleigh (caso não viscoso), ou da equação de Orr-Sommerfeld (caso viscoso). A
dificuldade de se obter cada relação está relacionada ao perfil de velocidade utilizado. Para o caso de perfis lineares, ou
lineares por partes, a solução torna-se relativamente simples. Já em perfis de velocidades mais complexos, a solução pode
ser obtida utilizando transformadas de Fourier e Laplace, e posteriormente a Função de Green do problema. Este método
não avalia a estabilidade diretamente pela relação de dispersão, mas sim pela análise da própria função de corrente,
resolvida na equação diferencial.
2. Resultados Obtidos
2.1 Equações da Dinâmica dos Fluidos
As equações básicas da dinâmica dos fluidos são de fundamental importância para o estudo de estabilidade linear de
um corpo submetido a um escoamento. Tem-se um conjunto de 3 equações: equação da continuidade, equação da
conservação da quantidade de movimento (equação vetorial) e equação da energia. Estas equações são deduzidas a partir de
princípios físicos e mostradas abaixo, em sua forma diferencial, pois tem aplicação direta no problema proposto. Sendo
o vetor velocidade, com componentes
ρ ( x, y , z , t )
ur
V
u ( x, y, z , t ) , v( x, y, z , t ) e w( x, y, z , t ) , p( x, y, z , t ) a pressão estática e
a densidade, tem-se:
r ∂ρ
∇ ( ρV ) +
=0
∂t
(1)
r
∂ ( ρu )
∂p
+ ∇ ρ uV = −
∂t
∂x
(2)
r
∂ ( ρv)
∂p
+ ∇ ρ vV = −
∂t
∂y
(3)
r
∂ ( ρ w)
∂p
+ ∇ ρ wV = −
∂t
∂z
(4)
(
(
(
)
)
)
Para um fluido incompressível, isto é, tal que a densidade seja praticamente invariável em relação a variações de
pressão, as equações de momento e continuidade são suficientes para modelar um escoamento, pois temos duas equações
r
para duas incógnitas, p e V . No entanto, ao tratarmos de fluidos compressíveis, introduzimos mais uma incógnita, a
densidade, ρ, e precisamos de mais uma equação no sistema. Tal equação é a da energia, que envolve também mais duas
variáveis, a energia interna e a temperatura (relacionadas pelas chamadas equações constitutivas).
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r
⎡ ⎛ V 2 ⎞ r⎤
∂ ⎡ ⎛ V 2 ⎞⎤
+
+
∇
⋅
+
=
−∇
⋅
ρ
e
ρ
e
V
(
ρ
V
)
⎢ ⎜
⎢ ⎜
⎟⎥
⎟ ⎥
∂t ⎣ ⎝
2 ⎠⎦
2 ⎠ ⎦
⎣ ⎝
(5)
(Nas equações apresentadas acima, os termos de viscosidade foram desprezados, bem como as forças de campo e
transferência de calor).
e . Uma equação extra para a energia interna
pode ser obtida através da termodinâmica. Por exemplo, se o gás é “caloricamente” perfeito, então e = cvT , ou seja, a
A equação da energia introduz uma nova variável, a energia interna,
energia é proporcional à temperatura, com uma constante chamada calor específico a volume constante. Se, além disso, o
gás é “termicamente” perfeito, temos como equação de estado, p = ρ RT , sendo R a constante específica do gás. Assim,
dispomos de sete equações independentes (continuidade, três de momento, energia, e as duas relações acima) para sete
incógnitas a serem determinadas,
ρ , p, u , v, w, e e T , possibilitando o completo estudo do escoamento.
2.2 Equação de Rayleigh
Dado um escoamento incompressível conhecido (chamado normalmente de escoamento de base), estamos
interessados em analisar a sua estabilidade quando o submetemos a uma perturbação inicial. Sendo os componentes de
velocidade do escoamento de base (considerado estacionário e bidimensional) indicados por U, V, e a pressão por P, e ainda
% , é evidente que:
chamando as quantidades correspondentes de perturbação por u% , v% e p
u = U + u%
v = V + v%
p = P + p%
(6)
Aqui consideraremos que as perturbações impostas são pequenas em relação às condições de velocidade e pressão
iniciais. Consideraremos, inicialmente, tanto o escoamento básico quanto as perturbações como bidimensionais. Ainda,
simplificaremos as equações considerando que a velocidade média do escoamento de base seja dada por
U = U ( z) e
V = 0 . Assim, temos escoamento paralelo ao plano xy. As perturbações são tomadas como dependentes de x, z, e do
% ( x, z , t ) .
tempo: u% ( x, z , t ), v% ( x, z , t ), p
Assim temos o movimento resultante descrito por
u = U + u%; v = v%;
p = P + p% ;
(7)
Substituindo (6) nas equações de Euler (2, 3 e 4), desprezando termos quadráticos de perturbações, pois estas são
pequenas em relação à velocidade inicial, e considerando que o escoamento não-perturbado foi obtido como solução das
equações de Euler, resulta que:
∂u%
dU 1 ∂p%
⎧ ∂u%
⎪ ∂t + U ∂x + v% dz + ρ ∂x = 0
⎪
∂v% 1 ∂p%
⎪ ∂v%
+
=0
⎨ +U
∂x ρ ∂z
⎪ ∂t
⎪ ∂u% ∂v%
=0
⎪ +
⎩ ∂x ∂z
(8)
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Supõe-se
agora
ψ ( x, z , t ) = φ ( z )e
que
i (α x −ω t )
a
função
de
corrente
representativa
das
perturbações
seja
da
forma:
. Tal perturbação pode ser expandida em série de Fourier, com cada um dos termos
λ = 2π / α é o comprimento de onda da
perturbação. A quantidade ω é, em geral, um complexo, ω = ωR + iωI , com ωR sendo a freqüência angular da oscilação
parcial, e ωI é um fator de amplificação, que determina o grau de amortecimento ou ampliação da perturbação. As
oscilações serão amortecidas se ωI < 0 e ampliadas se ωI > 0 . Introduzindo a definição da função de corrente, tem-se:
representando uma oscilação parcial. Na equação acima, α é um número real e
∂ψ
= φ '( z )ei (α x −ωt )
∂z
∂ψ
v% = −
= −iαφ ( z )ei (α x −ωt )
∂x
u% =
(9)
(10)
Com esses valores de u% e v% introduzidos nas equações (8), e após eliminar a pressão, chegamos à equação de OrrSommerfeld para fluido incompressível e não-viscoso:
(U − c ) (φ ''− α 2φ ) − U ''φ = 0
O valor de c é definido como:
c=
(11)
ω
α
Esta equação também é conhecida como equação de estabilidade sem fricção, ou equação de Rayleigh.
A equação de Rayleigh acima foi resolvida para casos em que o perfil de velocidade apresenta forma linear, ou linear
por partes, resultando em uma maneira relativamente fácil de se obter a relação de dispersão do problema. Isto se deve ao
fato de que a segunda derivada da velocidade é nula para um perfil linear. A equação de Rayleigh é resolvida juntamente
com condições especiais, chamadas condições de compatibilidade ou continuidade, mostradas a seguir.
2.3 Relações de Dispersão
O problema de autovalor definido pela equação de Rayleigh é difícil de ser resolvido no caso de perfis de velocidade
contínuos, pela própria dificuldade em se resolver a equação diferencial na forma geral. No entanto, como mostrado por
Drazin (2004), para perfis de velocidade lineares por partes (isto é, formados pela união de retas), a solução da equação de
Rayleigh é do tipo exponencial ou hiperbólica. Essas soluções devem satisfazer as chamadas condições de compatibilidade
nas descontinuidades de U(z) ou U’(z). Supondo que U ou U’ seja descontínuo no ponto
∆f = f ( z0 +) − f ( z0 −) como sendo o salto (descontinuidade) da função
duas condições de compatibilidade:
1ª condição:
z = z0 , e denotando
f no ponto z = z0 , serão apresentadas as
∆[(U − c)φ '− U 'φ ] = 0 em z = z0
⎡ φ ⎤
= 0 em
2ª condição: ∆ ⎢
⎣U − c ⎥⎦
z = z0
Para ilustrar o método de obtenção das relações de dispersão, foram analisados dois tipos de escoamentos,
mostrados abaixo:
⎧z ,
⎪
a) U ( z ) = ⎨ z
⎪z ,
⎩
z <1
z >1
(12)
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z0 = 1 e z0 = −1 . A equação de Rayleigh para este caso
αz
−α z
fica: (U − c)(φ ''− α φ ) = 0 . A solução geral é da forma φ ( z ) = c1e + c2 e , que é expressa em três partes (dois
pontos de descontinuidade). Levando em conta que no infinito temos solução nula, isto é, lim φ ( z ) = 0 , podemos
Neste escoamento, existem duas descontinuidades, em
2
z →±∞
expressar mais convenientemente a solução como sendo:
⎧ Ae −α ( z −1) ,
⎪
φ = ⎨ Be −α ( z −1) + Ceα ( z +1) ,
⎪ α ( z +1)
,
⎩ De
z >1
z <1
(13)
z < −1
Aplicando as condições de compatibilidade em z0 = 1 e z0 = −1 , chega-se a um sistema de equações
algébricas, cujas incógnitas são as constantes A, B, C e D. O sistema é da forma M.X = 0, e portanto para existir solução é
necessário que Det[M]=0. O cálculo do determinante resulta na seguinte relação de disperão:
c2 =
[(1 − 2α ) 2 − e −4α ]
4α 2
(14)
O segundo escoamento tem a seguinte expressão:
⎧1 , (b < z ≤ 1)
⎪z
⎪
=
U
(
z
)
⎨ , ( z < b)
b)
⎪b
⎪⎩−1 , (−1 ≤ z < −b)
(15)
A solução de (11) para este caso pode ser tomada da forma:
(b < z ≤ 1)
⎧ A sinh[α (1 − z )] ,
⎪
φ ( z ) = ⎨ B sinh(α z ) + C cosh(α z ) , ( z < b)
⎪ D sinh[α (1 + z )] ,
( − 1 ≤ z < −b )
⎩
(16)
A solução acima satisfaz as condições de contorno em z = -1 e z = 1. Aplicando as condições de compatibilidade nos
pontos de descontinuidade (z = - b e z = b), temos um sistema algébrico homogêneo, semelhante ao anterior, com quatro
equações e quatro incógnitas (A, B, C e D). O cálculo do determinante desse sistema nos dá a seguinte relação de
dispersão, que é representada de forma simplificada como:
c2 = 1 −
α b(1 + X 2 )Y 2 + 2α bXY − XY 2
α 2b 2 [(1 + X 2 )Y + X (1 + Y 2 )]
⎧ X = tanh α b
, onde ⎨
⎩Y = tanh[α (1 − b)]
(17)
Os exemplos acima ilustram o método de obtenção da relação de dispersão para perfis de velocidade lineares por
partes, resumido a seguir:
i)
Definir o perfil de velocidade linear por partes, com suas respectivas descontinuidades;
ii)
Resolver a equação de Rayleigh, que terá soluções exponenciais ou hiperbólicas;
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iii)
Aplicar as condições de compatibilidade nos pontos de descontinuidade do perfil;
iv)
Montar um sistema linear algébrico, cujas incógnitas são as constantes da solução geral da EDO de
Rayleigh;
v)
Como o sistema é homogêneo, calcular o determinante do sistema e igualá-lo a zero, para finalmente obter a
relação de dispersão do problema;
Segundo Triantafyllou (1993), uma maneira de prever o caráter absoluto ou convectivo da instabilidade é estudando
as raízes duplas da relação de dispersão na forma
D(ω , α ) = 0 . Se a parte imaginária de qualquer raiz dupla é positiva, a
instabilidade é absoluta. Caso contrário é convectiva. Isto é fácil de constatar, pois para perturbações na forma
ei (α x + β z )−iωt , se tivermos qualquer um dos parâmetros complexos α , β ou ω com parte imaginária positiva, o impulso
crescerá exponencialmente e o sistema se tornará absolutamente instável. Para simplificar o estudo, adotaremos
β = 0,
isto é, uma perturbação apenas na direção transversal ao perfil de velocidade.
Uma raiz dupla da relação de dispersão satisfaz as seguintes relações:
D(ω , α ) =
∂D (ω , α )
=0
∂α
Substituindo
c=
(18)
ω
, e aplicando a equação (18) nas relações de dispersão mostradas acima, tem-se:
α
Para a relação definida por (14):
4ω 2 + 2α + (1 + 2α ) e −4α − 1
=0
2α 3
Resolvendo para ω , temos duas raízes em função de
temos a seguinte equação em α :
−1 +
α . Substituindo tais raízes na relação de dispersão D(ω , α ) ,
1 − e −4α
=0
2α
(19)
α = 0.398406 . Substituindo na equação de ω = ω (α ) , tem-se que as raízes
duplas da relação de dispersão definida por (14) são ω = −0.201186i .
A solução de (19) dá um valor de
Como a parte imaginária da raiz acima é negativa, tem-se uma instabilidade convectiva para o escoamento com perfil
de velocidade definido por (12).
Para analisar o caráter de estabilidade ou instabilidade do escoamento com perfil de velocidade dado por (15), tem-se
c 2 dado por (17) quando α → 0 , tem-se
c 2 → 2b − 1 e quando α → ∞ , c 2 → 1 . Como c 2 é uma função monótona crescente na variável α , o escoamento será
1
2
instável se c < 0 , ou seja, b < .
2
que levar em conta o valor da constante b. Tomando o limite da expressão de
2.4 Método das Transformadas
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Uma maneira alternativa de se resolver o problema proposto envolve o uso do chamado método de Laplace-Fourier,
como mostrado por Case (1960). Este método nada mais é do que aplicar transformada de Laplace e posteriormente a
transformada de Fourier nas equações linearizadas das perturbações. Estas transformações levam a uma equação diferencial
ordinária não homogênea, que é resolvida através do uso da função de Green associada. Após a resolução da EDO, são
aplicadas as transformadas inversas de Laplace e Fourier para a determinação da função de corrente.
O uso de transformadas integrais é utilizado para facilitar a solução de equações diferenciais, pois leva um problema
de solução difícil a um problema no espaço transformado, cuja solução é relativamente fácil. Achando a solução no espaço
transformado, aplica-se a transformada inversa e obtém-se a solução no espaço original.
Define-se a transforma da Laplace da função f, com respeito à variável t, como:
∞
F ( s ) = L{ f (t )} = f s = ∫ f (t )e− st dt
(20)
0
A transformada inversa é dada por:
∞
f (t ) = F −1 ( s ) = ∫ F ( s )e st ds
(21)
0
A transformada de Fourier da função f, com respeito à variável x, será definida da seguinte forma:
F (ω ) = TF{ f ( x)} = fω =
1
2π
∞
∫
f ( x)eiω x dx
(22)
−∞
A função f, ou seja, a transformada inversa é dada por:
f ( x) = TF −1{ f ( x)} =
1
2π
∞
∫ F (ω )e
− iω x
dω
(23)
−∞
Outro tópico matemático importante são as funções do tipo impulso. Na realidade, este é um conceito mais
generalizado de função, chamado distribuição. Um tipo de distribuição muito útil é o Delta de Dirac, pois este pode
representar uma perturbação imposta sobre o escoamento, na forma de um pulso, isto é, de curta direção e alta intensidade.
O Delta de Dirac é definido da seguinte forma:
δ ( x − a) = 0 , x ≠ a
∞
(24)
∫ δ ( x − a)dx = 1
−∞
A transformada de Fourier do Delta de Dirac é: TF {δ ( x − a )} =
eiω a
2π
Os conceitos de transformadas integrais acima foram aplicados para a obtenção da solução das equações diferenciais
da perturbação inicial. Para resolver o problema de valor inicial, toma-se a transformada de Laplace das equações (8), com
respeito a t, e em seguida a transformada de Fourier com respeito a x. As equações assumem a seguinte forma, se adotarmos
a seguinte notação:
TF{L{ f ( x, z , t )}} = f sω ( z ) =
1
2π
⎡∞
⎤ iω x
− st
∫−∞ ⎢⎣ ∫0 f ( x, z, t )e dt ⎥⎦ e dx
∞
Primeiramente aplicando a transformada de Laplace com respeito a t:
(25)
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∂u%s
1 ∂p% s
⎧
⎪ su%s − u% ( x, z , 0) + U ( z ) ∂x + U '( z )v%s + ρ ∂x = 0
⎪
∂v%s 1 ∂p% s
⎪
+
=0
⎨ sv%s − v% ( x, z , 0) + U ( z )
∂x ρ ∂z
⎪
⎪ ∂u%s ∂v%s
+
=0
⎪
⎩ ∂x ∂z
(26)
Em seguida, aplicando a transformada de Fourier com respeito a x:
iω
⎧
⎪( s − iωU ( z ))u%sω + U '( z )v%sω − u%0ω ( z ) = ρ p% sω
⎪
1 ∂p% sω
⎪
⎨( s − iωU ( z ))v%sω − v%0ω ( z ) = −
ρ ∂z
⎪
⎪
1 ∂v%sω
⎪u%sω =
iω ∂z
⎩
(27)
Acima foi utilizada a seguinte notação para a perturbação inicial:
TF{u% ( x, z , 0)} = TF{u%0 ( z )} = u%0ω ( z )
TF{v% ( x, z , 0)} = TF{v%0 ( z )} = v%0ω ( z )
(28)
p% sω da 1ª equação e substitui-se na 2ª equação, posteriormente substituindo a expressão de
u%sω . Chegamos à seguinte equação diferencial ordinária não homogênea, com relação à z, da função v%sω :
Do sistema (27), isola-se
⎡ ∂ 2 v%0ω
⎤
⎤
∂ 2 v%sω
U ''( z )
1
2 ⎡
2
%
−
+
=
v
ω
1
s
ω
⎢ 2 − ω v%0ω ⎥
⎢
⎥
2
2
∂z
s − iωU ( z ) ⎣ ∂z
⎣ iω s + ω U ( z ) ⎦
⎦
(29)
Para resolver a EDO (29), faz-se uso da função de Green, uma técnica importante para a solução de equações
diferenciais não homogêneas.
2.5 Função de Green
Retomando a EDO não homogênea (27), temos o seguinte operador diferencial :
L[v%sω ] =
d ⎛
d ⎞
⎤
U ''( z )
2 ⎡
⎜ p ( z ) ⎟ v%sω + q ( z ) , onde temos p ( z ) = 1 e q ( z ) = −ω ⎢1 +
⎥
2
dz ⎝
dz ⎠
⎣ iω s + ω U ( z ) ⎦
Tomemos o domínio do problema como sendo
duas fronteiras rígidas situadas em
z ∈ [ z1 , z2 ] ,supondo um escoamento bidimensional paralelo entre
z = z1 e z = z2 , como esquematizado abaixo:
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z2
Perfil de velocidade qualquer
z1
Tal domínio poderá ser especificado posteriormente para o caso de escoamento bidimensional paralelo com
fronteiras no infinito.
Temos o seguinte Problema de Valor de Contorno:
L [ v%sω ] = − f ( z ) , com f ( z ) =
Condições de Contorno:
⎡ ∂ 2 v%0ω
⎤
1
2
⎢ 2 − ω v%0ω ⎥
iωU ( z ) − s ⎣ ∂z
⎦
v%sω ( z1 ) = v%sω ( z2 ) = 0
z2
Usando Função de Green, a solução é da forma: v%sω = ∫ G ( z , z0 ) f ( z0 ) dz0
z1
Podemos denotar f ( z0 ) =
z2
v%sω = ∫ G ( z , z0 )
z1
V ( z0 ;0 )
V ( z0 ;0 ) corresponde à perturbação inicial na direção z. Assim:
iωU ( z0 ) − s , onde
V ( z0 ;0 )
dz0
iωU ( z0 ) − s
(30)
Construindo a função de Green para o problema, temos:
⎧ φ2 ( z0 ) φ1 ( z )
, z1 < z < z0
⎪−
⎪ W (φ1 , φ2 ; z0 )
G ( z , z0 ) = ⎨
⎪− φ1 ( z0 ) φ2 ( z ) , z < z < z
0
2
⎪ W (φ , φ ; z )
1
2
0
⎩
Onde W (φ1 , φ2 ; z0 ) é o Wronskiano calculado no ponto
W (φ1 , φ2 ; z0 ) =
As funções φ1 e φ2
contorno
(31)
z0 :
φ1 ( z0 ) φ2 ( z0 )
φ1 ' ( z0 ) φ2 ' ( z0 )
⎡
⎤
U ''( z )
∂ 2φ
φ = 0 , com condições de
− ω 2 ⎢1 +
são as soluções da EDO homogênea
⎥
2
2
∂z
⎣ iω s + ω U ( z ) ⎦
φ1 ( z1 ) = φ1 ( z2 ) = 0 e φ2 ( z1 ) = φ2 ( z2 ) = 0 , respectivamente.
Pode-se escolher
φ1 e φ2
de maneira conveniente para termos W
(φ1 , φ2 ; z0 ) = 1 .
Com a solução da EDO, devem-se tomar as transformadas inversas de Fourier e Laplace, para obter-se a solução do
problema no espaço original, isto é, obter v% ( x, z , t ) e analisar seu comportamento ao longo do tempo e espaço. Desta
maneira, determina-se se dado escoamento perturbado com um pulso inicial será estável ou instável.
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No entanto, a inversão das transformadas exige atenção especial, pois o cálculo de integrais complexas de Fourier e
Laplace requer que seja escolhido um caminho de integração no campo dos complexos. A razão disso é a existência de
singularidades no integrando.
3. Conclusões
É importante citar que há outras maneiras de se resolver o problema de estabilidade, envolvendo tópicos de
matemática como transformada de Fourier-Laplace, obtenção da função de Green e integração no campo dos complexos. O
método da relação de dispersão para o caso de fluido não viscoso com perfil de velocidade linear foi aplicado, indicando
uma instabilidade convectiva para o escoamento com perfil (12), e uma estabilidade dependente da constante b no caso do
escoamento de perfil (15). O método de Fourier-Laplace, que também envolve a aplicação da função de Green para a
solução de um EDO, foi abordado. No entanto, a inversão das transformadas se mostrou bastante complicado devido à não
especificação do circuito de integração. Em geral, tanto um método quanto o outro apresentam dificuldades para o caso de
um perfil de velocidade genérico, que em casos reais são não lineares.
Uma completa análise do escoamento em torno de um corpo rombudo exige o conhecimento detalhado de muitos
conceitos matemáticos. Como mostrado, apenas um método geral foi apresentado, sendo necessária uma aplicação numérica
para perfis de velocidade não lineares. A escolha do método de análise também é importante, devido à simplificações
eventuais dependendo de cada escoamento.
A aplicação de um método de análise de estabilidade não linear ou de Floquet envolve assuntos como transformadas
de Fourier-Laplace e integração no campo dos números complexos. Por isso a importância do estudo de tais tópicos. Porém,
o cálculo de integrais e solução de equações diferenciais não lineares é feito numericamente.
4. Agradecimentos
Agradeço ao CNPq pela bolsa PIBIC a mim concedida.
5. Referências
Anderson Jr., John D., "Fundamentals of Aerodynamics”, Third Edition, McGraw-Hill.
Triantafyllou, George S., “On the formation of vortex sheets behind stationary cylinders”, J. Fluid Mech., vol. 170, 1986.
Triantafyllou, George S., “Note on the Kelvin-Helmholtz instability of stratified fluids”, Phys. Fluids, vol. 6, January 1994.
Drazin, P. G. and Reid, W. H., Hydrodynamic Stability, Cambridge University Press, 2004.
Case, K. M., “Stability of and Idealized Atmosphere. I. Discussion of Results”, The Physics of Fluids, vol. 3, 1960;
Case, K. M., “Stability of Inviscid Plane Couette Flow”, The Physics of Fluids, vol. 3, 1960;