UERJ - Instituto de Fı́sica
Programa de Pós-Graduação em Fı́sica.
Prova escrita de admissão ao Mestrado - Julho de 2006.
Problema 1:
Mecânica Quântica (Em folhas separadas dos outros problemas, com seu nome em
todas as folhas)
1. Qual a principal diferenç a entre os espectros de energia de duas partı́culas (uma dimensão), a
primeira submetida a um potencial harmônico, a segunda presa a um poço de potencial retangular de
altura infinita?
2. Considere o degrau de potencial:
V (x) =
0, se x ≤ 0;
V0, se x > 0.
Para E < V0 encontre o coeficiente de reflexão R.
3. Prove que, para um observável Q, a derivada do seu valor esperado num estado qualquer obedece à
equação:
d
i
∂Q
< Q >= < [H, Q] > + <
>.
dt
h̄
∂t
4. Um elétron se encontra num poço retangular infinito unidimensional. Qual a largura do poço para que
a separação de energia entre o estado fundamental e o primeiro estado excitado seja igual à de um fóton
na região do infravermelho correspondente a uma energia de 50 meV. Massa do elétron: m = 9, 1 × 10−31
kg; constante de Planck: h̄ = 1, 06 × 10−34 J.s; carga do elétron: e = 1, 6 × 10−19C.
Problema 2:
Mecânica Estatı́stica (Em folhas separadas dos outros problemas, com seu nome em
todas as folhas)
Escolha UMA das questões:
1. O movimento rotacional de uma molécula diatômica é especificado por duas coordenadas angulares
0 ≤ φ ≤ 2π e 0 ≤ θ ≤ π e seus respectivos momentos conjugados Pθ , Pφ. Se a parte rotacional da
hamiltoneana desta molécula diatômica é
Hrot =
Pφ2
Pθ2
+
2I
2Isen2 θ
a) Mostre que a função partição rotacional por molécula é R(T ) =
2IkT
.
h̄ 2
b) Calcule a entropia e o calor especı́fico do sistema.
2. Em 0, 3 mg de 238U temos 7, 6 × 10−17 átomos. A probabilidade de que um núcleo desintegre por
segundo (emitindo uma partı́cula α) é 4, 9 × 10−18. Supondo que o decaimento de diferentes átomos não
seja correlacionado
a) Discuta por que a distribuição de Poisson é uma boa aproximação para o processo se podemos descrevelo admitindo-se uma distribuição binomial.
b) Qual a probabilidade de que em 1s nenhum átomo decaia?
c) Qual a probabilidade de que em 5s pelo menos 5 átomos decaiam?
WN (n) =
nn −n
N
pn (1 − p)N −n ∼
e .
(N − n)
n
p - probabilidade de um evento (decaimento/segundo);
Problema 3:
das as folhas)
N - no. de núcleos;
n = N p.
Eletromagnetismo (Em folhas separadas dos outros problemas, com seu nome em to-
Uma casca esférica de raio interno a e raio externo b e constante dielétrica k tem uma polarização elétrica
uniforme P~ = P0~k = P0 (e~r cosθ − e~r senθ).
a) Discuta qualitativamente a origem do campo elétrico gerado por este sistema.
b) Calcule o potencial e o campo elétrico em todas as regiões do espaço.
(Sugestão: Utilize a solução da equação de Laplace
V (r, θ) =
X
(An rn + Bn r−(n+1) )Pn (cosθ)
n
onde Pn (cosθ) = 1,
P1(cosθ) = cosθ,
~ = −∇V ,
Formulário: E
P2 (cosθ) = 12 (3cos2θ − 1).
~ = 0 E
~ + P~ .
D
Problema 4:
Mecânica Analı́tica (Em folhas separadas dos outros problemas, com seu nome em
todas as folhas)
1. Considere um oscilador harmônico de massa unitária (m=1).
(a) Escreva a Hamiltoniana.
(b) Encontre as equações de Hamilton e resolva as equações para o momento p(t) e posição q(t) em termos
dos valores iniciais p0 e q0 em t = 0.
(c) Seja p1 , q1 os valores de p e q num dado instante posterior t1 . Mostre que o elemento de volume do
espaço de fase em relação ao instante inicial não mudou, ou seja, dp0 dq0 = dp1dq1 .