Lista de Cálculo Numérico: EDOs
Prof: Fernando Tosini
{
1. Dado o problema de valor inicial:
y ′ = y cos(x)
y(0) = 1
Determinar aproximações para solução, pelo método de Runge-Kutta de primeira ordem, com
0 ≤ x ≤ 1 e n = 4;
2. Dado o problema de valor inicial:
{
y′ = 1 +
y
x
y(1) = 2
(a) Determinar aproximações para solução, pelo método de Runge-Kutta de segunda Ordem,
com 1 ≤ x ≤ 2 e n = 4;
(b) Determinar a solução exata;
(c) Determine o erro local;

y2 − 1
 dy
= 2
3. Dado o problema de valor inicial:
dx
x +1

y(0) = 1
(a) Determinar aproximações para solução, pelo método de Runge-Kutta de Segunda Ordem,
com x ∈ [0; 1] e n = 4;
(b) Compare os resultados com a solução exata: y(x) =
1−x
;
1+x
(c) Determine o erro local;
4. Em uma reacão quı́mica, uma molécula de A se combina com uma molécula de B para formar
uma molécula do produto quı́mico C. Sabe-se que a concentração, y(t), no tempo t, é a solução
do problema de valor inicial:
{
y ′ = k(a − y)(b − y)
y(0) = 0
Onde k é uma constante positiva e a e b são as concentrações iniciais de A e de B, respectivamente.
Suponha que k = 0.01, a = 70 milimoles/litro e b = 50 milimoles/litro. Use o método de RungeKutta de terceira ordem com n = 4 para encontrar a solução em [0; 2].
5. Um mı́ssil com uma massa inicial de 200 Kg é disparado no instante t = 0, sendo a partir daı́
acelerado por uma força constante de 2000 N . Como essa força é gerada por jacto de gases a
partir do mı́ssil, a sua massa decresce à taxa de 1 Kg/s. Usando o método de Runge Kutta de
quarta ordem com h = 10 s, encontre a velocidade no instante t = 50 s, sabendo que o mı́ssil
está sujeito a uma força de resistência do ar Fr = 2v.
Resolução:
Massa do mı́ssil no instante t:
1
m(t) = m0 − kt
Como a massa inicial é m0 = 200 kg e a taxa de decrescimento é k = 1, então:
m(t) = 200 − t
Força constante de 2000 N , sujeito a uma força de resistência do ar de Fr = 2v, então a força
resultante é dada por:
F = Fg − Fr ⇒ F = 2000 − 2v
Pela segunda Lei de Newton:
F = m(t) · a ⇒ F = m(t) · dv/dt ⇒ F = m(t) · v ′ ⇒ v ′ = F/m(t)
Como resultado obtem-se o seguinte Problema do Valor Inicial (PVI) :

 dv = 2000 − 2v
dt
200 − t
 y(0) = 0
y
+ log(x + 1) sujeita a condicão inicial y(0) = 1. Considere
x+1
o intervalo de integração igual [0; 2]. Solucione a equação diferencial pelo método de Runge-
6. Seja a equação diferencial y ′ =
Kutta de ordem [2 com n = 4. Sabendo
que a solução exata da equação diferencial ordinária é
]
(ln(x + 1))2
y(x) = (x + 1)
+ 1 , compare os resultados obtidos em cada uma das iterações
2 ln(10)
com os valores obtidos com a solução exata.
Fórmulas de Runge Kutta de ordem 2:
yn+1 = yn +
h
(K1 + K2 ) ∀ n = 0, 1, 2, ..., n − 1
2
K1 = f (xn ; yn ) e
K2 = f (xn + h; yn + h · K1 )
(a) Complete a tabela:
[
]
(ln(xn + 1))2
y(xn ) = (xn + 1)
+1
2 ln(10)
n
xn
yn
K1
K2
0
0
1
− − −−
− − −−
1
2
3
4
(b) Faça no mesmo plano o gráfico dos pontos da solução exata e aproximada;
2
|y(xn ) − yn |
7. Seja a equação diferencial ordinária y ′ = x2 + y com condicão inicial y(0) = 1. Considere
o intervalo de integração igual [0; 2]. Solucione a equação diferencial pelo método de RungeKutta de ordem 2 com n = 5. Sabendo que a solução exata da equação diferencial e y(x) =
3ex − x2 − 2x − 2, compare os resultados obtidos em cada uma das iterações com os valores
obtidos com a solução exata.
Fórmulas de Runge Kutta de ordem 2:
yn+1 = yn +
h
(K1 + K2 ) ∀ n = 0, 1, 2, ..., n − 1
2
K1 = f (xn ; yn ) e
K2 = f (xn + h; yn + h · K1 )
(a) Complete a tabela:
n
xn
yn
0
0
1
K1
− − −−
K2
y(xn ) = 3exn − x2n − 2xn − 2
|y(xn ) − yn |
− − −−
1
2
3
4
5
(b) Faça no mesmo plano o gráfico dos pontos da solução exata e aproximada;
dy
= yx + x3 com condicão inicial y(0) = 1. Considere
dx
o intervalo de integração igual [0; 1.8]. Solucione a equação diferencial pelo método de Runge-
8. Seja a equação diferencial ordinária
Kutta de ordem 4 com h = 0.45. Sabendo que a solução exata da equação diferencial e y(x) =
2
x2 − e0.5x + 2, compare os resultados obtidos em cada uma das iterações com os valores obtidos
com a solução exata.
Fórmulas de Runge Kutta de ordem 4:
yn+1 = yn +
h
(K1 + 2K2 + 2K3 + K4 ) ∀ n = 0, 1, 2, ..., n − 1
6
K1 = f (xn ; yn )
K2 = f (xn +
h
h
; yn + · K 1 )
2
2
K3 = f (xn +
h
h
; yn + · K 2 )
2
2
K4 = f (xn + h; yn + h · K3 )
3
(a) Complete a tabela:
n
xn
yn
0
0
1
K1
− − −−
K2
2
y(xn ) = x2n − e0.5xn + 2
− − −−
1
2
3
4
(b) Faça no mesmo plano o gráfico dos pontos da solução exata e aproximada;
(c) Prove por meio de um método analı́tico a solução exata;
4
|y(xn ) − yn |
Respostas
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
5