Cálculo II
Edézio 1
UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA
Lista 2 de Cálculo II - Prof. Edézio
1. Exercı́cios ı́mpares de 1 a 29 da seção 15.2 do livro texto;
2. Exercı́cios ı́mpares de 1 a 27 da seção 15.3 do livro texto;
3. Exercı́cios ı́mpares de 1 a 31 da seção 15.4 do livro texto;
RR
4. Calcular
f (x, y) dxdy, onde:
R
a) f (x, y) = 1 + 4xy; R é o retângulo 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 3; Resp. 10
b) f (x, y) = (2x + y)8 ; R é o retângulo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2. Resp. 261,632/45
c) f (x, y) = xsen y; R = [0, 2] × [0, π/2]. Resp. 2
5. Calcular as integrais duplas:
Z Z
a)
(6x2 y 3 − 5y 4 )dA, R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1} Resp. 21/2
R
Z Z
xy 2
dA, R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, −3 ≤ y ≤ 3} Resp. 9 ln 2
b)
2
R x +1
Z Z
2
c)
xyex y dA, R = [0, 1] × [0, 2] Resp. (e2 − 3)/2
R
6. Calcular o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 3x + 2y + z = 12 e acima do
retângulo R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 3}. Resp. 47,5
7. Esboçar
Z 1 Za2xregião de integração e calcular
Z 2 Zasyintegrais iteradas seguintes:
a)
(2x + 4y)dxdy;
b)
(xy 2 + x)dxdy;
0
x
Z eZ
0
Z
1
x dydx;
c)
Z
e)
Z
2
Z
x+1
g)
Z
2
x dydx;
−1
Z
2
c)
0
x + y dxdy;
Z
π
sen x
Z
0
x2
f (x, y)dydx;
Z
f (x, y)dydx;
1
1
x3
0
ex
√
0
0
0
x dydx;
y dydx.
0
Z
0
4−x2
1−x2
y
h)
8. Inverter a ordem de integração
Z 4Z y
Z
2
a)
f (x, y)dxdy;
b)
0
Z
1
f)
x2
Z
√
−1
2xy dydx;
0
1
d)
ln x
√
Z
x
1
1
−y
√
Z
3
Z
−x2 +2x+3
d)
f (x, y)dydx.
−1
0
9. Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por z = 4 − 2x2 − 2y 2 . Resp. 4π
unidades de volume
Cálculo II
Edézio 2
10. Calcular o volume do sólido delimitado pelas superfı́cies z = x2 + 1, z = 0, y = 0, x = 0
x = 4 e y = 5. Resp. 380/3 u.v.
11. Calculara área da região D delimitada porx = y 2 + 1 e x + y = 3. Resp. 9/2 unidades de área
Z Z
12. Calcular
(1 + x + y)dxdy, onde D é delimitada pelo triângulo (1, 1), (1, 2) e (2, −1). Resp.
D
3/2
Z Z
e2(x
13. Calcular
2 +y 2 )
dxdy, sendo D a região delimitada por x2 + y 2 ≤ 4.
D
Z Z
p
14.
Resp.
π 2
[e
2
− 1]
4
dxdy, D sendo a região do primeiro quadrante limitada pela circunferência
1 + x2 + y 2
√
x2 + y 2 = 4, pela reta y = x e pelo eixo x. Resp. ( 5 − 1)π
Z Z
1
p
15.
dxdy, D sendo a região do semi-plano x ≥ 0 interna à circunferência de centro
2
x + y2
D
na origem e raio 1.
Z Z
(x + y)3 dxdy, D sendo o paralelogramo de vértices A(1, 0),
B(1, 1),
16.
D
D
C(2, 4), e D(0, 1). Resp. 63 34
Z Z
2
2
e−(x +y ) dA, sendo D a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências de
17.
D
2
2
centros em 0 e raios a e b (0 < a < b). Resp. (e−a − e−b ) π4 .