Maiores de 23
Teste sumativo 1
(trigonometria elementar e geometria analı́tica no plano)
Data: 07.abril.2014
Nome:
UTAD — ECT — Maiores de 23
Matemática: preparação para acesso
Teste sumativo 1 (1h30min + 30min); 07.abril.2014
Número de CC:
• As cotações [em 200 pontos] estão assinaladas no final de cada
questão.
• Os processos desenvolvidos para construir qualquer resposta
devem ficar registados.
• Não é permitida a consulta de quaisquer apontamentos pessoais ou dispositivos eletrónicos.
• Bens pessoais: devem estar reservados em local próprio (dentro da sala de prova e à vista de todos).
• Não é permitida a saı́da da sala, antes de terminado o tempo
fixado para a realização da prova.
3. Num referencial ortonormado Oxy, considere a figura
na qual estão representados um retângulo [ABCD] e
uma circunferência de centro O e raio k. Os pontos
A e B pertencem à circunferência; e α = ∠(COB),
α ∈]0, π2 [.
y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
A
1. Considere as funções f e g abaixo definidas:
f : [0, 3π] −→ R,
f (x) = −2 − 32 sen(x),
g : [0, 3π] −→ R,
g(x) = −2 + 32 cos(x).
(a) Em referenciais retangulares Oxy distintos, esboce os gráficos das funções f e g.
(b) Algebricamente, identifique os maximizantes da
função f .
(c) Algebricamente, identifique os minimizantes da
função g.
(d) Algebricamente, identifique as coordenadas dos
pontos de interseção do gráfico de f com o de g.
.................................
[20] + [10] + [10] + [20]
2. Num referencial retangular Oxy, considere os pontos
A(4, 2), B(8, 5) e C(2, 8).
(a) Construa a equação geral da mediatriz do segmento de reta [AB].
b
b
O
D
[20] + [10] + [20] + [10]
b
C
~ · OD
~ = k 2 cos2 α.
(a) Mostre que OA
(b) O valor numérico da área do retângulo [ABCD]
é função de k e de α. Seja A(k, α) tal valor.
Construa A(k, α).
(c) Tomando α = π4 rad, identifique a equação reduzida da reta conduzida por A e tangente à
cincunferência.
......................................
[20] + [20] + [20]
4. Dois lados de um triângulo medem x cm e y cm; e a
altura relativa ao lado x mede h cm.
Seja α o ângulo oposto ao terceiro lado do triângulo.
b
y
(c) Construa a equação reduzida da circunferência
conduzida pelos pontos A, B e C.
.................................
x
α
b
(b) Construa a equação reduzida da mediatriz do
segmento [AC].
(d) Escreva equações paramétricas de três quartos
da circunferência referida na alı́nea precedente.
B
b
h
α
b
x
(a) Escreva a expressão para o valor numérico da
área do triângulo.
(b) Admita que α = π6 rad e que x excede y em 3
unidades. Seja S o sólido gerado por rotação de
uma volta do triângulo em torno do lado x.
Construa a função que representa o volume de
S.
...........................................
[10] + [10]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fim