ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI
UNITAU
APOSTILA
ANÁLISE COMBINATÓRIA
PROF. CARLINHOS
NOME DO ALUNO:
Nº
blog.portalpositivo.com.br/capitcar
TURMA:
1
ANÁLISE COMBINATÓRIA
A Análise Combinatória é uma parte da Matemática que estuda e desenvolve
métodos para a resolução de problemas que envolvem contagem.
A origem dos problemas de contagem está ligada a jogos de loterias, ainda no
século XVII. As primeiras publicações a respeito pareceram com Blaise Pascal
e Pierre de Fermat. Alem desses ilustres personagem, muitos outros
posteriormente desenvolveram estudos, com destaque para os suíços Jaques
Bernoulli e Leonhard Euler e para o alemão Gottfried W. Leibniz. Esta nossa
primeira aula não consiste, em dar absolutamente uma maneira formal para a
resolução de problemas de contagem por meio de fórmulas, mas sim algumas
técnicas de contagem de todos os casos possíveis de um acontecimento, como
a árvore das possibilidades e o princípio fundamental da contagem. Vejamos
alguns problemas.
Ex: 1) Para a eleição da associação de Pais e Mestres da Escola, há três
candidatos a presidente e dois a vice-presidente .
Arnaldo (A)

Candidatos a presidente  Fábio (F)
Candidatos a vice - presidente
 Carmem (C)

Quais e quantos são os possíveis resultados dessa eleição ?
Beatriz (B)

 Dárcio (D)
Vamos fazer um esquema de resolução para representar os possíveis
resultados, ao qual daremos o nome de árvore das possibilidades.
Ex: 2) Uma moeda tem duas faces: cara(K) e coroa(C). Lança-se a moeda três
vezes consecutivas e observa-se qual face ficou voltada para cima. Quais e
quantos são os resultado possíveis ?
Construindo a árvore das possibilidades , temos:
blog.portalpositivo.com.br/capitcar
2
São possíveis 8 resultados.
Ex: 3) Quais e quantos são os números de três algarismos distintos que
podemos formar usando os algarismos 2, 5 e 7 ?
Construindo a árvores das possibilidades, temos:
São 6 os possíveis resultados.
blog.portalpositivo.com.br/capitcar
3
Ex: 4) Fabíola, Gerson, Hélio, Ivelise e Jacira disputam 2 vagas no conselho da
escola. Quantas comissões de 2 pessoas podem ser formadas com os 5
alunos.
Construindo a árvore das possibilidades, temos:
São 10 comissões de dois alunos, pois as comissões FG = GF, FH = HF,
HG = GH, FI = IF, GI =IG, IH = HI, FJ = JF, GJ = JG, HJ = JH e IJ = JI
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
Vamos aprender agora a determinar o número de possibilidades de ocorrência
de evento , sem a necessidade de descrever todas as possibilidades.
Considere a seguinte situação:
André tem 2 Bermudas ( preta e cinza) e 4 camisetas (branca, verde, amarela e
roxa).
blog.portalpositivo.com.br/capitcar
4
De quantas maneiras diferentes ele poderá se vestir usando uma bermuda e
uma camiseta ?
Construindo a árvore das possibilidades, temos:
Observe que :
ACONTECIMENTO
Escolha da bermuda
Escolha da camiseta
DESCRIÇÃO
DAS NÚMERO
POSSIBILIDADES
POSSIBILIDADES
P, C
2
B, V, A , R
4
DE
Há duas possibilidades de escolher uma bermuda. Para cada uma delas,
quatro possibilidades de escolher uma camiseta. Logo, o número total de
maneiras diferentes de André se vestir é 2 . 4 = 8.
Como o número de resultados foi obtido por meio de multiplicação, dizemos
que foi aplicado o princípio multiplicativo. Vamos enunciá-lo:
Se um acontecimento ocorrer por várias etapas sucessivas e independente, de
tal modo que:
p1 é o número de possibilidade da 1ª etapa, p2 o número de possibilidades da
segunda etapa, ...., pk é o número de possibilidades da k-ésima etapa, então:
p1.p2....pk é o número de possibilidades total de um acontecimento ocorrer.
blog.portalpositivo.com.br/capitcar
5
EXEMPLOS
Ex: 1) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de carne,
5 variedades de bebida e 3 de sobremesa diferentes. Uma pessoa deseja
comer uma salada, uma carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas
maneiras distintas ela pode fazer o pedido ?
Acontecimentos
Descrição
das
possibilidades
Escolha de uma salada
S1, S2
Escolha de um prato de C1, C2, C3, C4
carne
Escolha de uma bebida
B1, B2, B3, B4, B5
Escolha de uma sobremesa
So1, So2, So3
Número
possibilidades
2
4
das
5
3
Usando o princípio multiplicativo, o número de maneiras de o pedido ser feito é
igual a:
2. 4. 5. 3 = 120 maneiras
Ex: 2) Os números de telefones de uma cidade têm 8 algarismos. Determine a
quantidade de telefones a serem instalados, sabendo que os números não
devem começar com zeros.
9
10
P1
10
P2
10
P3
10
P4
10
P5
10
P6
10
P7
P8
Usando o princípio multiplicativo, o número máximo de telefones é:
9. 10.10.10.10.10.10.10 = 90 000 000
EXERCÍCIOS FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM
1) Determine quantos números de 3 algarismos podemos formar com os
algarismos 0,2,3 e 4 ? resp: 18
2) Determine quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar
com os algarismos 3,4,5,6 e 7 ? resp: 48
3) Numa prova de automobilismo disputaram 20 carros. Quantos são as
possibilidades de classificação para os três primeiros lugares? resp: 6840
4) Quantos resultados diferentes podemos obter lançando uma moeda quatro
vezes? resp: 16
5) De quantas formas diferentes podemos dispor 6 pessoas em fila. resp: 720
blog.portalpositivo.com.br/capitcar
6
6) Quantos números múltiplos de 5 de quatro algarismos distintos podemos
formar com os algarismos 1, 2, 3 , 4, 5 e 6. resp: 120
7) As atuais placas de licenciamento de automóveis são compostas de sete
símbolos, sendo 3 letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de 4 algarismos.
Determine o número de automóveis que podem ser licenciados com esse
sistema sem repetir a placa. resp 175760000
8) Três homens e uma mulher estão numa sala, onde há um banco de três
lugares. De quantas formas diferentes os homens podem se sentar, nunca
deixando em pé a mulher. resp: 18
9) O segredo de um cofre é composto de um número de quatro algarismos,
sendo que o 1º algarismo é um número ímpar e o último algarismo um número
par. Se um ladrão demora um minuto para testar cada segredo, qual o tempo
máximo que ele levaria para abrir esse cofre. Resp: 41h 40mim
10) De quantos modos distintos podem sentar-se nove pessoas em um banco,
de modo que os lugares extremos sejam ocupados pelo mais novo e pelo o
mais velho ? resp: 10080
Vamos estudar agora problemas de contagem relacionados a algumas formas
de organizar ou agrupar elementos de um conjunto.
Arranjo Simples: é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de
outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.
Fórmula do arranjo simples: An , p =
n!
(n − p )!
Ex: Quatro pessoas ( Arnaldo, Bento, Carlos, Daniel) disputam uma corrida.
Supondo que todas terminem a prova, quantas são as possibilidades de
chegada para os três primeiros lugares ?
Resolução: n = 4 e p = 3
An , p =
n!
4!
4!
=
= = 24
(n − p )! (4 − 3)! 1!
Existem 24 possibilidades diferentes de chegada para os três primeiros
lugares.
Combinação Simples: É o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente
de outro apenas pela natureza dos seus elementos componentes.
Fórmula da Combinação Simples: C n; p =
n!
p!(n − p )!
blog.portalpositivo.com.br/capitcar
7
Ex: Quatro pessoas ( Arnaldo, Bento, Carlos, Daniel) disputam 3 vagas no
conselho da escola. Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas
com os 4 alunos ?
Resolução: n= 4 e p = 3
Cn; p =
n!
4!
4!
=
=
=4
p!(n − p )! 3!(4 − 3)! 3!.1!
Podemos formar 4 comissões.
Permutação Simples: É o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente
de outro apenas pela ordem de seus elementos.
Fórmula da permutação simples: Pn = n!
Ex: Determine quantos são os anagramas da palavra ROMA ?
Resolução: Pn = n! = 4! = 24
Portanto existem 24 anagramas.
Permutação com elementos repetidos: Se tivermos n elementos dos quais, α
são iguais A, β são iguais B ,δ são iguais a C e etc....
O número de permutações distintas dos n elementos será:
Pn
α , β ,δ ...
=
n!
α !. β !. δ !....
Ex: Quantos anagramas tem a palavra ARITMÉTICA ?
Resolução: n = 10, a letra A, repete 2 vezes (α = 2), a letra I repete 2 vezes
(β = 2) e a letra T repete 2 vezes ( δ = 2 ), portanto:
P102, 2, 2 =
10!
= 453600 anagramas
2!. 2!. 2!
EXERCÍCIOS FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM
1) Considere a palavra MACACO.
a) Quantos anagramas são formados com as letras dessa palavra ? resp: 180
b) Quantos deles começam pela letra M ? resp: 30
c) Quantos deles começam pela letra O e terminam pela letra M ? resp: 6
blog.portalpositivo.com.br/capitcar
8
2) O professor Miguel de educação física dispõe 12 alunos para escalar o seu
time de voleibol. De quantas maneiras diferentes poderá escalar o seu time ?
resp: 924
3) Um campeonato de futebol é disputado por 10 times com turno e returno.
Calcule o número total de jogos desse campeonato. resp: 90
4) Um grupo de 5 rapazes e 8 moças deseja participar de uma comissão de 5
membros. Quantas dessas comissões tem no mínimo 2 rapazes ? resp: 881
5) De quantos modos diferentes se podem organizar, em uma fila de 10
cadeiras, 4 brasileiros, 3 japoneses e 3 bolivianos, de modo que as pessoas de
mesma nacionalidade fiquem sempre juntas ? resp: 5184
6) Sobre duas reta paralelas marcam-se 13 pontos, sendo 8 sobre uma e 5
sobre a outra. Quantos triângulos tendo como vértices os pontos considerados
podemos formar ? resp: 220
7) (FMTM)) Pretende-se colorir um prato dividindo-o em 4 partes iguais, por
dois diâmetros, com cada parte recebendo uma cor diferente. Dispondo-se de 6
cores, de quantas maneiras distintas o prato pode ser colorido ? resp: e
a) 80 b) 60 c) 90 d) 120 e) 360
8) Calcule o número de anagramas da palavra CLARA em que as letras AR
aparecem:
a) Juntas resp: 48 b) Juntas e nessa ordem resp: 24
9) Um campeonato de futebol é disputado por várias equipes, jogando entre si,
turno único, num total de 136 partidas. Determine o número de equipes
participantes. resp: 17
10) (ITA-SP) Listando-se em ordem crescente todos os algarismos distintos,
formados com os elementos do conjunto {1,2,4,6,7}, o número 62417 ocupa o
n-ésimo lugar. Então n é igual a: Resp: d
a) 74º b) 75º c) 79º d) 81º e) 92º
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
blog.portalpositivo.com.br/capitcar
9