Resolução das atividades complementares
Matemática
M6 — Função Modular
p. 89
1 De acordo com a definição, calcule:
a) | 3 2 5 | 2
b) | 23 1 5 | 2
c) | 23 2 5 | 8
d) | 21 | 1 | 26 | 7
Resolução:
a) | 3 2 5 | 5 | 22 | 5 2
b) | 23 1 5 | 5 | 12 | 5 2
c) | 23 2 5 | 5 | 2 8 | 5 8
d) | 21 | 1 | 26 | 5 11 1 6 5 7
2 Aplicando a definição, determine o valor numérico de:
a) 2x 2 | x |, quando x 5 24 212
b)
Resolução:
a) 2x 2 | x | → 2 ⋅ (24) 2 | 24 | 5 28 2 4 5 2 12
b)
3
4 x 1 1
, quando x 5 21
7
5 2 2x
4 ( –1 ) 1 1 – 4 1 1 – 3
4 x 1 1
3
→
5
5
5
7
5 2 2x
5 – 2 ( –1 )
5 1 2
7
3 Utilizando a definição de módulo, escreva a expressão algébrica que representa A 5 | x | 1 | x 1 2 |,
sem os módulos, quando:
a) x  22 22x 2 2
b) 22 < x  0 2
Resolução:
A5|x|1|x12|
| x | 5 2x, se x  0
| x | 5 x, se x > 0
| x 1 2 | 5 2(x 1 2), quando x  22
| x 1 2 | 5 x 1 2, quando x > 22
a) x  22 ⇒ A 5 2x 2 (x 1 2) 5 22x 2 2
b) 2 2 < x  0 ⇒ A 5 2 x 1 (x 1 2) 5 2
c) x > 0 ⇒ A 5 x 1 (x 1 2) 5 2x 1 2
c) x > 0 2x 1 2
4 Construa o gráfico das funções, determinando o domínio e o conjunto imagem:
a) f(x) 5 | x 1 2 |
b) f(x) 5 | 1 2 x |
c) f(x) 5 | x2 1 x |
Resolução:
a) x 1 2 5 0 ⇒ x 5 22
y
se x > 22, então f(x) 5 | x 1 2 | 5 x 1 2
2
se x  22, então f(x) 5 | x 1 2 | 5 2x 22
D5R
Im 5 R1
1
–3
–2
0
x
b) 1 2 x 5 0 ⇒ x 5 1
y
se x  1, então f(x) 5 | 1 2 x | 5 2(1 2 x) 5 x 2 1
se x < 1, então f(x) 5 | 1 2 x | 5 1 2 x
D5R
Im 5 R1
1
x2 1 x, se x2 1 x > 0
2
c) f(x) 5 |x 1 x | 5
2x2 2 x, se x2 1 x , 0
0
1
x
2
g(x) 5 x2 1 x
a0
�
�
0
�1
x2 1 x 5 0
x’ 5 21 e x” 5 0
x
�
Então:
se x < 2 1 ou x > 0,
se 21  x  0,
y
temos f(x) 5 x2 1 x
temos f(x) 5 2x2 2 x
2
x f(x)
22 2
21 0
0 0
1 2
x
21
2
y
1
1
4
–2
0
–1
x
–1 – 1 0
2
1
x
x
.
x Resolução:
x
(x ≠ 0)
x
x
2x
se x  0, y 5 5 1 ou se x  0, y 5
5 21
x
x
y5
0
D5R
Im 5 R1
0
1
1
2
2
4
0
5 (Faap2SP) Esboce o gráfico de y 5
f(x)
6 Seja a função f(x) 5
2
.
x 2 3
a) Há algum valor de x ∈ R com o qual a função não se define? sim, x 5 3
 1 4
b) Calcule o valor de f   .
 2 5
c) Qual o valor de x, tal que f(x) 5 1? x 5 1 ou x 5 5
Resolução:
2
, para x 5 3 a função não se define
 x 2 3
 1
2
2
4
5
5
b) f   5
 2
5
1
5
23
2
2
2
a) f(x) 5
c) f(x) 5 1
2
5 1 ⇒ x 2 3 5 2
 x 2 3
x 2 3 5 2 ou x 2 3 5 22
x 5 5 ou x 5 1
7 (Mackenzie2SP) O número de soluções reais da equação x2 5 1 2 | x | é:
a) 2
b) 0
c) 1
d) 4
e) 3
Resolução:
Considerando a equação t2 5 1 2 t, com t 5 | x |, temos t2 1 t 2 1 5 0.
Resolvendo essa equação, obtemos:
t5
21 2
2
5
ou t 5
Como
21 2
2
5
Como
21 1
2
5
21 1
2
, 0, a equação | x | 5
21 2
2
5
. 0, a equação | x | 5
21 1
2
5
8 (UFG) Os zeros da função f(x) 5
a) 27 e 28
5
admite duas soluções reais e distintas.
2x 2 1
2 3 são:
5
b) 7 e 28
c) 7 e 8
Resolução:
2x 2 1
2x 2 1
2350⇒
53
5
5
2x 2 1
2x 2 1
5 3 ou
5 23
5
5
x 5 8
não admite solução.
x 5 27
d) 27 e 8
e) n.d.a.
9 Resolva as seguintes equações modulares:
a) | x 2 3 | 5 5
b) | 3x 1 1 | 5 6
{22, 8}  7 5 
2 , 
 3 3
Resolução:
c) | x2 1 6x 21 | 5 6
{27, 25, 21, 1}
d) | x2 2 x 21 | 5 1
{21, 0, 1, 2}
a) x 2 3 5 5 ⇒ x 5 8
ou x 2 3 5 2 5 ⇒ x 5 2 2
S 5 {2 2, 8}
b) 3x 1 1 5 6 ⇒ x 5
 7 5
S 5 2 , 
 3 3
5
3
c) x2 1 6x 21 5 6
ou
3x 1 1 5 26 ⇒ x 5 2
ou
x2 1 6x 2 1 5 26
x2 1 6x 2 7 5 0
<
x2 1 6x 1 5 5 0
<
x’ 5 27
∆ 5 16
x” 5 1
∆ 5 64
7
3
x’ 5 21
x” 5 25
S 5 {27, 25, 21, 1}
d) x2 2 x 2 1 5 21
ou
<
x2 2 x 5 0
x2 2 x 2 1 5 1
x2 2 x 2 2 5 0
<
x’ 5 0
∆59
x” 5 1
x’ 5 2
x” 5 21
S 5 {21, 0, 1, 2}
10 Resolva as equações:
1 
a) | 2x 25 | 5 x 1 4  , 9 
3 
Resolução:
a) Devemos ter: x 1 4 > 0, isto é, x > 24.
Aplicando2se a definição, vem:
2x 2 5 5 1(x 1 4) ou 2x 2 5 5 2(x 1 4)
x 5 9
x5
b) | x2 | 5 5x {0, 5}
b) Devemos ter: 5x > 0, isto é, x > 0.
Aplicando a definição, vem:
x2 5 5x ⇒ x 5 0 e x 5 5
ou x2 5 25x ⇒ x 5 0 e x 5 25
este valor não serve, pois devemos ter x > 0
S 5 {0, 5}
1
3
1 
S 5  , 9
3 
 3 2 17 3 1 17

11 Dada a função f(x) 5 | x2 2 3x |, ache x de modo que f(x) 5 2. 
,
, 1, 2 

Resolução:
2
2

| x2 2 3x | 5 2
x2 2 3x 5 2
ou
x2 2 3x 2 2 5 0
∆ 5 17
<
x2 2 3x 5 22
x2 2 3x 1 2 5 0
3 1 17
2
∆51
3 2 17
x’’ 5
2
<
x’ 5
x’ 5 2
x” 5 1
 3 2 17 3 1 17

,
, 1, 2 
S5 
2
2


12 Resolva as equações modulares:
 9 
b) | 5x 1 1 | 5 | 3x 1 17 | 2 , 8 
 4 

1
a) | 2x 2 1 | 5 | 4x 1 3 | 2 2, 2 
3

Resolução:
a) 2x 2 1 5 1(4x 1 3)
ou
x 5 2 2

1
S 5 2 2, 2 
3

b) 5x 1 1 5 1(3x 1 17)
ou
x 5 8
2x 2 1 5 2(4x 1 3)
1
x52
3
5x 1 1 5 2(3x 1 17)
x52
 9 
S 5 2 , 8 
 4 
13 Ache o conjunto verdade das equações:
a) | x |2 2 | x | 2 20 5 0 {25, 5}
9
4
b) | x |2 2 3 | x | 1 2 5 0 {22, 21, 1, 2}
Resolução:
a) Fazemos | x | 5 y, com y> 0
y2 2 y 2 20 5 0
|x| 5 y
y’ 5 5
|x| 5 5 ⇔ x 5 5 ou x 5 25
y” 5 24 ⇒ não serve, pois devemos ter y > 0 S 5 {25, 5}
b) | x |2 2 3| x | 1 2 5 0
Fazemos | x | 5 y, com y > 0 ⇒ y2 2 3y 1 2 5 0
y’ 5 2 e y” 5 1
Daí, temos: | x | 5 y
Para y 5 2 ⇒ | x | 5 2 ⇔ x 5 2 ou x 5 22
Para y 5 1 ⇒ | x | 5 1 ⇔ x 5 1 ou x 5 21
S 5 {22, 21, 1, 2}
14 Resolva a equação | x 2 1 | 1 | x 2 2 | 5 5. {21, 4}
Resolução:
| x 2 1| 1 |x 2 2| 5 5
x2150⇒x51
x2250⇒x50
para x  1, temos: 2(x 2 1) 2 (x 2 2) 5 5
22x 1 3 5 5
x 5 21
para 1 < x  2, temos: (x 2 1) 2 (x 2 2) 5 5
1 5 5 (falso)
para x > 2, temos: (x 2 1) 1 (x 2 2) 5 5
x54
S 5 {21, 4}
15 Determine o conjunto solução da equação | x 2 1|2 2 3 | x 2 1 | 1 2 5 0. {21, 0, 2, 3}
Resolução:
A equação dada é: | x 2 1 |2 2 3 | x 2 1 | 1 2 5 0
Fazendo | x 2 1 | 5 y, com y > 0, temos: y2 2 3y 1 2 5 0
Daí, temos:
|x 2 1| 5 2 ⇒ x 2 1 5 2
ou
x 2 1 5 22
x 5 21
x 5 3
|x 2 1| 5 1 ⇒ x 2 1 5 1
ou
x 2 1 5 21
x50
x 5 2
<
y’ 5 2
y” 5 1
S 5 {21, 0, 2, 3}
p. 91
{
16 Ache o conjunto solução da inequação |x2 2 2x 1 3| < 4. x ∈ R | 1 2 2 < x < 1 1 2
}
Resolução:
24 < x2 22x 1 3 < 4
(I)
(II)
(I) x 2 2x 1 3 < 4
x’ 5 1 1 2
x2 2 2x 21 < 0
x” 5 1 2 2
2
(I)
<
1–
2
S 5 {x ∈ R | 1 2
1–
2
�
1�
�
2
�
1� 2
2 <x<11
1�
2 x
x
1� 2
(II)
(I) � (II)
(II) x2 2 2x 1 3 > 24
x2 2 2x 1 7 > 0
a0e∆0
∀ x ∈ R satisfaz (II)
2}
17 (UFRJ) Resolva a inequação 1 2
4x
 3.
5


5
 x  R% x  2 ou x  5 
2


Resolução:
4x
. 3
5
5
x,2
2
(I) 1 2
ou
(II) 1 2
4x
, 23
5
–
(I)
5
2
5
(II)


5
S 5  x  R% x  2 ou x  5 
2


(I) � (II)
–
5
2
5
18 Resolva as inequações modulares:
a)
x14


2
 1  x  R% x  2 ou x  6 
2x 2 2
3


b)
x12

1
1
 1 x  R%2  x  3 e x  
2x 2 1
3
2

Resolução:
a) 21 
x14
 1
2x 2 2
x14
x14
3x 1 2
 21 Æ
11 0 Æ
 0
2x 2 2
2x 2 2
2x 2 2
f(x) 5 3x 1 2
�
3x 1 2 5 0
2
x5 2
3
2
–
3
�
g(x)
�
�
�
�
�
�
�
2x 2 2 5 0
x51
1
�
x
�
2
–
3
�
2
3
1
f(x)
g(x)
g(x) 5 2x 2 2
–
�
f(x)
x
1


2
S I 5  x  R% x  2 ou x  1  (I)
3


x14
x14
2x 1 6
1 Æ
21 0 Æ
 0
2x 2 2
2x 2 2
2x 2 2
h(x) 5 2x 1 6
2x 1 6 5 0
6
x56
�
h(x)
�
x
�
�
g(x)
SI
2
3
SI � SII
�
2
3
1
{
1
1
–
�
�
�
�
�
6
S II 5 x  R% x  1 ou x  6
6
SII
6
1
h(x)
g(x)
–
�


2
S 5  x  R% x  2 ou x  6 
3


6
} (II)
b)
x12
x12
 1 ou
 21
2x 2 1
2x 2 1
f(x) 5 2x 13
f(x)
�
2x 1 3 5 0
x12
2x 1 3
1 Æ
 0
2x 2 1
2x 2 1
3
x
�
g(x)
x53
f(x)
g(x)
g(x) 5 2x 2 1
x
1
2
�
h(x) 5 3x 1 1
3x 1 1 5 0
�
SII
�
�
�
�
3
1
2
1
� – 3
�
g(x)
�
�
�
�
�
1
2
�
–
�
1
2
1
3
3
1
–
3
–
1
2
�
�

1
1
S II 5  x  R% 2  x  
3
2

1
2
SI � SII
�
h(x)
h(x)
g(x)
x
1
–
3
1
x52
3
SI
3


1
S I 5  x  R%  x  3 
2


x12
3x 1 1
 21 Æ
0
2x 2 1
2x 2 1
�
�
�
2x 2 1 5 0
1
x5
2
�

1
1
S 5  x  R%2  x  3 e x  
3
2

3
1
2
1
3
19 Resolva as inequações modulares:
a) 1  | x |  4
{x  R | 2 4  x  21 ou 1  x  4}
b) 2  | x 1 2 |  6
{x ∈ R | 2 8  x  24 ou 0  x  4}
Resolução:
a) (I) | x |  1 ⇒ x  1 ou x  21
(II) | x |  4 ⇒ 24  x  4
�1
(I)
(II)
(I) � (II)
1
4
�4
�4
(II)| x 1 2 |  6 ⇒ 26  x 1 2  6
x 1 2  26 ⇒ x  28
x126⇒x4
SII 5 {x ∈ R| 28  x  4} (II)
�1
1
SII
4
SI � SII
S 5 {x ∈ R| 24  x  21 ou 1  x  4}
0
4
�8
�8
�4
0
4
S 5 {x ∈ R| 2 8  x  24 ou 0  x  4}
b) (I) | x 1 2 |  2 ⇒ x 1 2  22 ⇒ x  24
x122⇒x0
�4
SI
S1 5 {x ∈ R| x  24 ou x  0}
20 Resolva a inequação
12
1 1  x. S 5 {x ∈ R| x  4 e x ≠ 0}
x
Resolução:
12
1 1  x (I) ou
x
12
1 1 2x (II)
x
Se x  0, temos:
Obs.: para todo x  0, a inequação se verifica, fato que será considerado nas soluções de (I) e de (II).
(I)
12
12
2x 2 1 x 1 12
1 1 x Æ
1 1 2 x0 Æ
 0
x
x
x
y1 5 2x2 1 x 1 12
y2 5 x
�
�
�
y1
y2
y1
y2
(II)
4
�3
�
�3
�
�
�
�
�
x
4
y2
y1
y2
�
�
�
�
�
0
�
�
0
�3
x  23 ou 0  x  4 ou
4
12
12
x 2 1 x 1 12
1 1 2x Æ
1 1 1 x0 Æ
 0
x
x
x
y1 5 x2 1 x 1 12
y2 5 x
y1
0
�
�
�
�
�
�
�
�
x
�
0
�
�
�
x
0
0
x0
(I)
�3
0
4
0
4
(II)
(I) �
(II)
x4ex≠0
S 5 {x ∈ R| x  4 e x ≠ 0}
x
21 (FGV2SP) Seja f(x) 5 | 2x2 2 1 |, x ∈ R. Determinar os valores de x para os quais f(x)  1.
{x ∈ R | 2 1  x  1 e x ≠ 0}
Resolução:
f(x) 5 | 2x2 2 1 |
f(x)  1
21  2x2 2 1  1
(I) 2x2 2 1  21
e
(II) 2x2 2 1  1
x2  0
x2  1
x2 5 0 ⇒ x’ 5 x” 5 0
x2 5 1 ⇒ x 5 ±1
0
(I)
1
�1
(II)
(I) � (II)
�1
0
1
S 5 {x ∈ R | 21  x  1 e x ≠ 0}
22 Ache o conjunto solução da inequação 1 2
x 21
 4. {x ∈R | 25 < x < 11}
2
Resolução:
12
x 21
x 21
 4 Æ 24  1 2
 4
2
2
(I) 24 < 1 2
x 21
2
e
(II) 1 2
x 21
<4
2
28 < 2 2x 1 1
22x11<8
x < 3 1 8
2x < 8 2 3
x < 11
2x < 5 (21)
x > 25
�
11
�
(II)
�5
�
x
11
(I)
�
x
�5
{x ∈ R | 25 < x < 11}
(I) � (II)
10
23 (Mackenzie2SP) O conjunto solução de 1  | x 2 3 |  4 é o conjunto dos números x tais que:
a) 4  x  7 ou 21  x  2
d) 0  x  4
b) 21  x  7 ou23  x  21
e) 21  x  4 ou 2  x  7
c) 21  x  7 ou 2  x  4
Resolução:
4
1  | x 2 3|  4
(I) | x 2 3| . 1
x 2 3  1 ⇒ x  4 ou
x2321⇒x2
2
(I)
4
2
�1
(II) | x 2 3 |  4 ⇔ 2 4  x 2 3  4
x 2 3  2 4 ⇒ x  21 e
x234⇒x7
7
(II)
7
�1
2
(I)
(II)
(I) � (II)
4
7
�1
2
�1
4
7
S 5 {x ∈ R | 21  x  2 ou 4  x  7}
24 (FGV2SP) O domínio da função f(x) 5 x 1 2 é:
a) x < 22
b) x ≠ 0
c) o campo real
d) x > 2
e) n.d.a.
Resolução:
Sabemos que
x 1 2 só é possível em R se:
|x|12>0
| x | 1 2 > 0 ⇒ | x | > 22
Como | x | > 0 para todo x real, o conjunto solução da inequação modular | x | > 22 é R, ou seja, o
campo real.
11
25 (FEI2SP) Se | x 1 1| < | 2x 2 3|, então:
2
3
2
b) x < ou x > 4
3
d) não existe x ∈ R que satisfaça a desigualdade
a) x >
e) 0 < x <
3
3
c) x < 0 ou x > 3
Resolução:
| x 1 1 | < | 2x 2 3|
• se x  21: 2x 2 1 < 2 2x 1 3 ⇒ x < 3 1 1 ⇒ x < 4
�1
4
(I)
• se 2 1 < x <
�1
2
3
: x 1 1 < 2 2x 1 3 ⇒ 3x < 2 ⇒ x <
3
2
3
2
�1
2
3
(II)
• se x >
2
3
�1
3
: x 1 1 < 2x 2 3 ⇒ 2 x < 2 4 ⇒ x > 4
2
3
2
4
(III)
4
(I)
(II)
�1
2
3
4
(III)
(I) � (II) � (III)
2
3
S5 x∈R|x<
12
4
2
ou x > 4
3
p. 92
26 (FGV2SP) A soma dos valores inteiros de x que satisfazem simultaneamente as desigualdades:
| x 2 5 | , 3 e | x 2 4 | > 1 é:
a) 25
b) 13
c) 16
Resolução:
De | x 2 5 |  3, temos: 23  x 2 5  3
∴2x8 I
De | x 2 4 | > 1, temos: x 2 4 > 1 ou x 2 4 < 21
∴ x > 5 ou x < 3 II
2
d) 18
8
e) 21
I
Então:
3
II
5
Assim, os valores inteiros de x que satisfazem simultaneamente as desigualdades são tais que
2  x < 3 ou 5 < x  8, ou seja, os valores de x são 3, 5, 6 e 7.
Logo, a soma pedida é 3 1 5 1 6 1 7 5 21.
Em questões como a 27, as alternativas verdadeiras devem ser marcadas na coluna I e as falsas, na II.
27 (Unicap2PE) O conjunto solução da inequação | 2x 2 3 | , 2, no conjunto dos reais, é:
I – II


1
0 –
0 A 5  x ÑR%  x  2 
2




1 – 1 B 5  x ÑR% 1  x  5 
2
2

2 –
2C5
{ x ÑR% x  3 }

1
3 –
3 D 5  x ÑR% x  
2



1
5

4 – 4 E 5  x ÑR% x     x ÑR%x  
2
2


Resolução:
00. (Falsa)
22  2x 2 3  2
→
2x 2 3  2
e
2x  5
Logo, S 5 x ∈ R |
5
1
x
2
2
x
5
2
11. (Verdadeira)
22. (Falsa)
33. (Falsa)
44. (Verdadeira)



1
5
1
5
 x ÑRH  x   5  x ÑRH x .    x ÑRH x , 
2
2
2
2



13
2x 2 3  22
2x  1
x
1
2
28 (UDESC) Considere os conjuntos:
A 5 {x ∈ NH %x 21%< 4} e B 5 {x ∈ H %x 12% 3}.
O conjunto C 5 A  B é:
a) {2, 3, 4, 5}
b) {6, 7}
c) {..., 28, 27, 26}
d) {0, 1, 2, 3, 4, 5}
e) {0, 1}
Resolução:
H x 21H < 4 ∫ 24 < x 21 < 4 ∫ 23 < x < 5
A 5 { 0, 1, 2, 3, 4, 5}
H x 1 2 H  3 → x 1 2  3 ou x 1 2  2 3
x  1 ou x  25
B 5 {2, 3, 4, 5, 6, ...}
C 5 A  B → C 5 { 2, 3, 4, 5}
29 (FGV2SP) Seja f(x) uma função definida no intervalo [24, 1∞[, cujo gráfico está representado no
plano cartesiano da figura abaixo.
y
f(x)
Considere a função g(x), tal que g(x) 5 1 2f(x 1 2).
–4
a) Construa o gráfico de g(x) no mesmo plano cartesiano
onde está representada f(x).
–2
x
b) Determine o domínio e a imagem da função g(x).
–2
Resolução:
a)
y
y
f(x 1 2)
f(x)
f(x)
3
2
2
–6
–4
1
–2
–2
x
26
–2
24
x
–1
–2
g(x) 5 1 2 f(x 1 2)
–f(x 1 2)
b) Do gráfico, temos:
D 5 [26, 1∞[
Im 5 ]2∞, 3]
Resposta: Domínio: [26, 1∞[
imagem: ]2∞, 3]
14
30 (IBMEC2SP) O gráfico que melhor representa a função real expressa por f(x) 5 x 2 | 2 1 x | é:
a)
d)
f(x)
f(x)
22 21
22
0
x
22
22
b)
e)
f(x)
f(x)
23 22
0
x
0
22
22
x
22
c)
0
x
24
f(x)
2
22
0
x
22
Resolução:
Se x  22, temos:
f(x) 5 x 2 [2 (2 1 x)] → f(x) 5 2x 1 2
Se x > 22, temos:
f(x) 5 x 2 (2 1 x) → f(x) 5 22
Logo:
y
–3 –2 –1
x
–2
–4
15
31 (ITA2SP) Determine todos os valores reais de a para os quais a equação (x 2 1)2 5 | x 2 a | admita
exatamente três soluções distintas.
a 5 1, a 5
Resolução:
3
5
,a5
4
4
Se (x 2 1)2 5 H x 2 aH , então:
1) Para x > a ⇒ (x 2 1)2 5 x 2 a ⇒ x2 2 3x 1 a 1 1 5 0 (I)
2) Para x < a ⇒ (x 2 1)2 5 2x 1 a ⇒ x2  x 1 1 2 a 5 0 (II)
3) Os discriminantes das equações (I) e (II) são:
∆I 5 (23)2 24 ⋅ 1 ⋅ (a 1 1) ⇒ ∆I 5 5 24a
∆II 5 (21)2 24 ⋅ 1 ⋅ (1 2 a) ⇒ ∆II 5 4a 23
4) A equação (x 2 1)2 5 H x 2 aH terá exatamente três soluções distintas se:
1o) a 5 1
2o) ∆I  0 e ∆II 5 0 ⇒ 5 2 4a  0
4a 2 3 5 0
3o ∆I 5 0 e ∆II  0 ⇒ 5 2 4a 5 0
4a 2 3  0
3
4
⇒a5
5
4
⇒a5
De fato, para a 5 1, as raízes são 0, 1 e 2;
para a 5
3
1 32 2 31 2
as raízes são ,
;
,
4
2
2
2
e para a 5
5
12 2 11 2 3
as raízes são
,
e .
4
2
2
2
Pelo traçado dos gráficos das funções f 5 (x 2 1)2 e g 5H x 2 aH pode2se concluir que a equação
f 5 g terá exatamente três soluções distintas nos seguintes casos:
f
1 a5 5
4
f
g
x
a51
f
g
a5
3
4
16
1
x
g
x
32 (UNI2RIO/Ence2RJ) Considere f: [0, 1] → R uma função definida por f(x) 5 1 2H 2x 2 1H .
a) Construa o gráfico da função f.
b) Explicite a função g: [0, 1] → R tal que g 5 f  f.
Resolução:
1
a) Se x > , temos:
2
f(x) 5 1 2 (2x 2 1) → f(x) 5 22x 1 2
1
Se x  , temos:
2
f(x) 5 1 2 [2 (2x 21)] → f(x) 5 2x
Portanto:
1
2 2 2x, se x >
2
1
2x, se x 
2
f(x) 5
O gráfico de f(x) é:
f(x)
1
0
x
1 1
2
b) g(x) 5 (f  f) (x) 5 f(f(x)) 5 1 2H 2(f(x))21H 5 1 2H 2(12H 2x 21H ) 21H 5 1 2H 1 2H 4x 2 2%
33 (FGV2SP) Multiplicando os valores inteiros de x que satisfazem simultaneamente as desigualdades
H x 2 2H < 3 e H 3x 2 2H . 5, obtemos:
a) 12
b) 60
c) 212
d) 260
e) 0
Resolução:
Resolvendo, em R, as inequações, temos:
H x 2 2H < 3 (I)
H 3x 2 2H  5 (II)
23 < x 2 2 < 3
3x 2 2  5 ou 3x 2 2  2 5
7
21 < x < 5
x  ou x  21
3
O conjunto de valores que satisfaz as duas desigualdades é dado por (I ∩ II)
(I)
(II)
(I � II)
5
–1
–1
x
7
3
7
3
x
5
x
Assim, os valores inteiros de x que pertencem a (I ∩ II) são 3, 4 e 5. Portanto, o produto pedido é 60.
17