Cônicas
1. (Uepg 2014) Uma reta e uma parábola se interceptam nos pontos (4,  5) e (1,  2). Se a
abscissa do vértice da parábola vale 2, assinale o que for correto.
01) A reta intercepta o eixo x no ponto (–1, 0).
02) A reta forma com o eixo x um ângulo de 135°.
04) A parábola não intercepta o eixo x.
08) A ordenada do vértice da parábola vale 1.
16) A parábola tem a concavidade voltada para baixo.
2. (Fuvest 2014) Considere a circunferência λ de equação cartesiana x2  y2  4y  0 e a
parábola α de equação y  4  x2 .
a) Determine os pontos pertencentes à interseção de λ com α.
b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência λ e a parábola α.
Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos (x,y), que satisfazem, simultaneamente, as
inequações x2  y2  4y  0 e y  4  x2 .
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3. (Unesp 2014) A figura mostra um plano cartesiano no qual foi traçada uma elipse com eixos
paralelos aos eixos coordenados.
Valendo-se das informações contidas nesta representação, determine a equação reduzida da
elipse.
4. (Uema 2014) Uma família da cidade de Cajapió – MA comprou uma antena parabólica e o
técnico a instalou acima do telhado. A antena projetou uma sombra na parede do vizinho, que
está reproduzida abaixo, coberta com uma folha quadriculada.
Note que a figura projetada na parede é uma cônica. Considerando as medidas mostradas e o
sistema cartesiano contido na folha quadriculada, a equação que representa a cônica será
a)  y  2  7  2x  1 .
2
b)  y  2  7  2x  1 .
2
c)  y  3   12  x  1.
2
1

2
d)  y  2   7  2x   .
7


12
2
e)  y  3  
 x  1.
7
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5. (Unifor 2014) Uma bola é jogada dentro de uma cesta cuja superfície é obtida girando a
parábola y  x2 em torno do eixo y. O centro da bola ocupa um ponto de altura y  3. O raio
da bola é:
a) 11
b)
c)
d)
e)
11
2
11
3
11
4
11
5
6. (Espcex (Aman) 2014) Sobre a curva 9x2 + 25y2 – 36x + 50y – 164 = 0, assinale a
alternativa correta.
a) Seu centro é (– 2,1).
b) A medida do seu eixo maior é 25.
c) A medida do seu eixo menor é 9.
d) A distância focal é 4.
e) Sua excentricidade é 0,8.
7. (Fgv 2014) No plano cartesiano, há dois pontos R e S pertencentes à parábola de equação
y  x2 e que estão alinhados com os pontos A(0,3) e B(4,0).
A soma das abscissas dos pontos R e S é:
a) -0,45
b) -0,55
c) -0,65
d) -0,75
e) -0,85
8. (Udesc 2013) A área delimitada por uma elipse cuja equação é
x2
a2

y2
b2
 1 é dada por
A  abπ. Então, a área da região situada entre as elipses de equações 16x2  25y2  400 e
16x2  9y2  144 é:
a) 12π u.a.
b) 20π u.a.
c) 8π u.a.
d) 256π u.a.
e) π u.a.
9. (Epcar (Afa) 2013) Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse
de equação x2  9y2  8x  54y  88  0 é correto afirmar que
a) tem raio igual a 1.
b) tangencia o eixo das abscissas.
c) é secante ao eixo das ordenadas.
d) intercepta a reta de equação 4x – y  0.
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10. (Uem 2013) Sobre a cônica de equação x2  4y2  9, assinale o que for correto.
01) Trata-se de uma elipse.
02) A cônica intercepta o eixo das abscissas em (3,0) e (−3,0).
04) Se A e B são pontos da cônica que não são colineares com os focos D e E da cônica, os
triângulos ADE e BDE possuem o mesmo perímetro.
08) A circunferência centrada na origem e de raio 2 tangencia essa cônica.
1

16) O ponto  2 2,  pertence à cônica.
2


11. (Ufpe 2013) A seguir, estão ilustradas partes dos gráficos das parábolas A e B, com
equações respectivas y  x2  8x  13 e y  x2 – 4x – 3.
Analise as proposições abaixo, acerca dessa configuração.
( ) Um dos pontos de interseção das parábolas A e B tem coordenadas (1,–6).
( ) O vértice da parábola A é o ponto (4,2).
( ) A reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas A e B tem equação
y  2x – 6.
(
(
) A distância entre os vértices das parábolas A e B é 102.
) A parábola B intercepta o eixo das ordenadas no ponto com coordenadas (0,–3).
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12. (Enem 2013) Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja
fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de
cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:
I. é a circunferência de equação x2 + y2 = 9;
II. é a parábola de equação y = – x2 – 1, com x variando de –1 a 1;
III. é o quadrado formado pelos vértices (–2, 1), (–1, 1), (–1, 2) e (–2, 2);
IV. é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2);
V. é o ponto (0, 0).
A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha
quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada,
obtendo uma figura.
Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?
a)
b)
c)
d)
e)
13. (Esc. Naval 2013) A equação 4x2  y2  32x  8y  52  0, no plano xy, representa
a) duas retas
b) uma circunferência
c) uma elipse
d) uma hipérbole
e) uma parábola
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14. (Ufrn 2013) Um arquiteto projetou, para um salão de dimensões 22 m por 18 m, um teto de
gesso em formato de elipse com o eixo maior medindo 20 m e o eixo menor, 16 m, conforme
ilustra a figura abaixo.
O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a elipse, desde que o arquiteto informasse
as posições dos focos.
Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou que, na direção do eixo maior, a
distância entre cada foco e a parede mais próxima é de
a) 3 m.
b) 4 m.
c) 5 m.
d) 6 m.
15. (Ita 2013) Sobre a parábola definida pela equação x2  2xy  y2  2x  4y  1  0 pode-se
afirmar que
a) ela não admite reta tangente paralela ao eixo Ox.
b) ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo Ox.
c) ela admite duas retas tangentes paralelas ao eixo Ox.
d) a abscissa do vértice da parábola é x  1.
2
e) a abscissa do vértice da parábola é x   .
3
16. (Ufpe 2013) Para cada número real a, analise as proposições a seguir, referentes à
representação geométrica da equação x2  ay2  2x  2ay  0 em um sistema de coordenadas
cartesianas xOy.
( ) Se a  1, a equação representa uma circunferência.
( ) Se a  0, a equação representa uma reta.
( ) Se a  3, a equação representa uma hipérbole.
( ) Se a  2, a equação representa uma elipse.
( ) Se a  1, a equação representa a união de duas retas.
17. (Fgv 2013) Sendo m o maior valor real que x pode assumir na equação analítica
(x  2)2  4(y  5)2  36, e n o maior valor real que y pode assumir nessa mesma equação,
então, m  n é igual a
a) 8.
b) 7.
c) 6.
d) 4.
e) 3.
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18. (Esc. Naval 2012) Considere a sequência (a,b,2) uma progressão aritmética e a sequência
(b,a,2) uma progressão geométrica não constante, a,b  . A equação da reta que passa pelo
ponto (a,b) e pelo vértice da curva y2  2y  x  3  0 é
a) 6y  x  4  0
b) 2x  4y  1  0
c) 2x  4y  1  0
d) x  2y  0
e) x  2y  0
19. (Espcex (Aman) 2012) A representação no sistema cartesiano ortogonal da equação
9x2  y2  36x  8y  11 é dada por
a) duas retas concorrentes.
b) uma circunferência.
c) uma elipse.
d) uma parábola.
e) uma hipérbole.
20. (Ufpe 2012) Esta questão refere-se à parábola com equação y  x2  5 e à reta não
vertical com inclinação m e passando pelo ponto (0,1), que será designada por rm . Abaixo,
ilustramos o gráfico da parábola e o gráfico das retas y  2x  1, y  4x  1 e y  6x  1.
Admitindo esses dados, analise as afirmações seguintes.
( ) Uma equação de rm é y  mx  1.
( ) rm intercepta a parábola em um único ponto se e somente se m  4.
( ) Se 4  m  4, então, rm não intercepta a parábola.
( ) Se m  4, então, rm intercepta a parábola em dois pontos diferentes.
( ) Se m  4, então, rm intercepta a parábola em um único ponto.
21. (Ime 2012) É dada uma parábola de parâmetro p. Traça-se a corda focal MN, que possui
uma inclinação de 60° em relação ao eixo de simetria da parábola. A projeção do ponto M
sobre a diretriz é o ponto Q, e o prolongamento da corda MN intercepta a diretriz no ponto R.
Determine o perímetro do triângulo MQR em função de p, sabendo que N encontra-se no
interior do segmento MR.
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22. (Uepb 2012) Deseja-se construir uma praça em forma de elipse em um terreno retangular
de dimensões x metros e y metros, com x  y, de perímetro 300 m e área 5000 m2 , conforme
nos mostra a figura.
Estando previstas as instalações de duas torres de iluminação, uma em cada foco da elipse,
F1 e F2 , local de melhor distribuição e aproveitamento das mesmas, concluímos que a
distância em metros entre as torres é
a) 100 3
b) 25 3
c) 50 3
d) 40 3
e) 30 3
23. (Uftm 2012) Os pontos P e Q estão na parábola dada por y = 4x2 + 7x – 1, e a origem do
sistema de coordenadas cartesianas está no ponto médio de PQ. Sendo assim, P e Q são
pontos que estão na reta
15x
a) y 
.
2
b) y  7x.
13x
.
2
d) y  6x.
c) y 
e) y 
11x
.
2
y2  3
 1
. A equação da
24. (Espcex (Aman) 2012) O ponto P  a,  pertence à parábola x 
3
 3
reta perpendicular à bissetriz dos quadrantes ímpares que passa por P é:
a) 27x  27y – 37  0
b) 37x  27y – 27  0
c) 27x  37y – 27  0
d) 27x  27y – 9  0
e) 27x  37y – 9  0
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25. (Espcex (Aman) 2012) Num estádio de futebol em forma de elipse, o gramado é o
retângulo MNPQ, inscrito na cônica, conforme mostra a figura. Escolhendo o sistema de
coordenadas cartesianas indicado e tomando o metro como unidade, a elipse é descrita pela
equação
x2

y2
362 602
retângulo MNPQ.
 1. Sabe-se também que os focos da elipse estão situados em lados do
Assim, a distância entre as retas MN e PQ é
a) 48 m
b) 68 m
c) 84 m
d) 92 m
e) 96 m
26. (Espm 2012) Para efeitos práticos, a relação entre as grandezas x e y que, teoricamente,
x2
e cujo gráfico cartesiano se vê abaixo, em linha tracejada, foi
4
substituída pela relação linear representada pela reta que passa por A e B.
seria dada por y  1 
Dessa forma, a diferença dy, que se obtém quando x = 6, vale:
a) 1,5
b) 2,0
c) 2,5
d) 3,0
e) 3,5
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TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
O vento solar é uma emissão contínua, em todas as direções, de partículas carregadas que
têm origem na coroa solar. As partículas emitidas podem ser elétrons, prótons ou neutrinos. A
velocidade dessas partículas varia entre 400 km/s e 800 km/s.
Essa emissão contínua gera uma distribuição de íons, prótons e elétrons em todo o espaço do
sistema solar. Esse plasma de partículas carregadas é comumente denominado mar de
prótons, ou mar de elétrons. Ao se aproximarem da Terra, esses íons sofrem alterações em
suas trajetórias devido à presença do campo magnético terrestre. Na região do espaço que
circunda a Terra, a densidade desse plasma é de aproximadamente 10 partículas por
centímetro cúbico. O bombardeamento da atmosfera terrestre pelo vento solar tem efeitos
profundos, uma vez que as partículas e a radiação solar interagem com os gases presentes na
atmosfera, tais como H2, N2, O2, CO2, CO, NO2, N2O, SO2.
planeta
Mercúrio
Vênus
Terra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Netuno
Plutão
distância média do Sol, em 106 km
57,9
108
150
228
778
1.430
2.870
4.500
5.900
27. (Unb 2012)
A figura acima ilustra a situação em que um cometa (C) percorre uma órbita elíptica de centro
na origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy. Nessa órbita elíptica, o
Sol (S) aparece em um dos focos. Considere que a elipse seja representada pela equação
x2

y2
 1, em que a > b > 0, e tenha excentricidade igual a 0,96. Nesse caso, se a distância
a2 b2
mínima desse cometa ao Sol for igual a 0,58 UA (unidade astronômica), em que 1 UA = 150 
106 km é a distância média da Terra ao Sol, então a distância máxima do cometa ao Sol, em
milhões de km, será
a) inferior a 3.700.
b) superior a 3.700 e inferior a 4.000.
c) superior a 4.000 e inferior a 4.300.
d) superior a 4.300.
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28. (Ufpb 2011) A secretaria de infraestrutura de um município contratou um arquiteto para
fazer o projeto de uma praça. Na figura a seguir, está o esboço do projeto proposto pelo
arquiteto: uma praça em formato retangular medindo 80 m x 120 m, onde deverá ser construído
um jardim em forma de elipse na parte central.
Estão destacados na figura os segmentos AC e BD que são, respectivamente, o eixo maior e o
menor da elipse, bem como os pontos F1 e F2, que são os focos da elipse onde deverão ser
colocados dois postes de iluminação.
Com base nessas informações, conclui-se que a distância entre os postes de iluminação será,
aproximadamente, de:
a) 68 m
b) 72 m
c) 76 m
d) 80 m
e) 84 m
29. (Ufpr 2011) Alguns telescópios usam espelhos parabólicos, pois essa forma geométrica
reflete a luz que entra para um único ponto, chamado foco. O gráfico de y = x2, por exemplo,
tem a forma de uma parábola. A luz que vem verticalmente, de cima para baixo (paralelamente
ao eixo y), encontra a parábola e é refletida segundo a lei de que o ângulo de incidência é igual
ao ângulo de reflexão. Essa lei implica que os raios de luz verticais, encontrando a parábola no
ponto (a,a2), serão refletidos na direção da reta
4ay + (1 – 4a2)x = a.
Sendo assim, calcule o ponto em que os raios de luz verticais refletidos em (1,1) e (2,4) se
encontrarão.
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30. (Unesp 2010) A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades.
Essas ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de largura.
Vamos admitir que:
I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de
excentricidade 0,943;
II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua;
III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas
e pista).
Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a
distância, em metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente:
Dado: 0,9432 ≈ 0,889 e
0,111
a) 35.
b) 30.
c) 25.
d) 20.
e) 15.
31. (Ime 2010) Seja M um ponto de uma elipse com centro O e focos F e F' . A reta r é
tangente à elipse no ponto M e s é uma reta, que passa por O, paralela a r. As retas suportes
dos raios vetores MF e MF' interceptam a reta s em H e H' , respectivamente. Sabendo que o
segmento FH mede 2 cm, o comprimento F'H' é:
a) 0,5 cm
b) 1,0 cm
c) 1,5 cm
d) 2,0 cm
e) 3,0 cm
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
01 + 02 + 04 + 08 + 16 = 31.
A equação da reta é
y  ( 2) 
5  ( 2)
(x  1)  y  x  1.
4 1
Se k é a ordenada do vértice da parábola e a é um número real não nulo, então a equação da
parábola é y  a(x  2)2  k. Por outro lado, sabendo que os pontos (4,  5) e (1,  2)
pertencem ao gráfico da parábola, temos
a(4  2)2  k  5
2
a(1  2)  k  2


4a  k  5
a  k  2
a  1
.
k  1
[01] Correto. De fato, pondo y  0, vem 0  x  1, o que implica em x  1.
[02] Correto. Sabendo que a medida do ângulo formado pela reta com o eixo das abscissas
pertence ao intervalo [0, 180[, e que o coeficiente angular da reta é 1, tal ângulo só
pode ser 135.
[04] Correto. A equação da parábola é y  (x  2)2  1. Portanto, como y  0 para todo x
real, segue-se que a parábola não intersecta o eixo das abscissas.
[08] Correto. De fato, pois k  1.
[16] Correto. Com efeito, pois a  1.
Resposta da questão 2:
a) Resolvendo o sistema formado pelas equações de λ e α, obtemos
 x 2  y 2  4y  0


 y  4  x 2
 x 2  4  y
 2
 y  5y  4  0
 x 2  4  y

 y 2  5y  4  0
 x 2  4  y

 y  1 ou y  4
 (  3, 1) ou (0, 4).
b) Completando os quadrados, obtemos
x2  y2  4y  0  (x  0)2  (y  2)2  4.
Logo, λ possui centro em (0, 2) e raio 2.
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Por outro lado, a equação canônica de α é y  (x  0)2  4. Assim, o ponto de máximo do
gráfico de α é (0, 4). Além disso, de (a) sabemos que α intersecta λ em (  3, 1) e
( 3, 1).
Portanto, o conjunto dos pontos (x, y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações
x2  y2  4y  0 e y  4  x2 pertencem à região sombreada da figura abaixo.
Resposta da questão 3:
Centro da elipse: C(2,3)
Semieixo paralelo ao eixo x: a = 2
Semieixo paralelo ao eixo y: b = 3
Logo, a equação da elipse será dada por:
(x  2)2
22

 y  3 2
32
(x  2)2  y  3 

1
4
9
2
 1
Resposta da questão 4:
[A]
Desde que F  (3, 2) e a diretriz da parábola é a reta x  4, temos p  3  (4)  7. Por
 1 
conseguinte, sendo V    , 2  , a equação da parábola é
 2 

 1 
(y  2)2  2  7   x       (y  2)2  7(2x  1).
 2 

Resposta da questão 5:
[B]
Seja r o raio da bola.
A equação da circunferência de centro (0, 3), tangente à parábola y  x2 , é dada por
x2  (y  3)2  r 2 . Daí, segue que
x2  (x2  3)2  r 2  x 4  5x2  9  r 2  0.
Tomando x2  t, obtemos t2  5t  9  r 2  0. Assim, como o discriminante dessa equação
deve ser igual a zero, vem
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( 5)2  4  1 (9  r 2 )  0  r 2 
11
4
11
.
2
r 
Resposta da questão 6:
[E]
9x2 + 25y2 – 36x + 50y – 164 = 0
9(x2 – 4x + 4) + 25(y2+ 2y + 1) = 164 + 36 + 25
9(x – 2)2 + 25(y + 1)2 = 225
(x  2)2 (y  1)2

1
25
9
Equação de uma elipse com centro no ponto (2, –1), eixo maior igual a 10, eixo menor igual a
6, distância focal igual a 8 e excentricidade e = 4/5 = 0,8.
Portanto, a afirmação [E] é a verdadeira.
Resposta da questão 7:
[D]
Seja t a reta que passa por A(0, 3) e B(4, 0). Tem-se que a equação de t é
x y
3
  1  y   x  3.
4 3
4
As abscissas de R e S correspondem às abscissas dos pontos de interseção de t com a
parábola y  x2 . Logo,
3
3
x2   x  3  x2  x  3  0.
4
4
Portanto, pelas Relações de Girard, a soma pedida é 
3
 0,75.
4
Resposta da questão 8:
[C]
Reescrevendo as equações das elipses, obtemos
16x2  25y2  400 
x2
52

y2
42
1
e
16x2  9y2  144 
x2
32

y2
42
 1.
Logo, traçando os gráficos dessas elipses, vem
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e, portanto, a área sombreada é dada por
π  (5  4  4  3)  8π u.a.
Resposta da questão 9:
[B]
x2  9y2  8x  54y  88  0 
x2 – 8x + 16 + 9  (y2 – 6y + 9) = –88 + 16 + 81
(x – 4)2 + 9  (y – 3)2 = 9
(x  4) (y  3)2

1
32
12
Como o eixo maior da elipse mede 6 (3 + 3), concluímos que a circunferência de menor raio
possível que circunscreve a elipse possui centro no (4, 3) e raio 3; portanto, tangente ao eixo x.
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Resposta da questão 10:
01 + 02 + 04 + 16 = 23.
[01] Correto. Reescrevendo a equação, obtemos
x2
32

y2
3
 
2
2
 1,
3
que é a equação de uma elipse centrada na origem, com a  3 e b  .
2
[02] Correto. De (01), segue que a elipse intersecta o eixo das abscissas nos pontos
(a, 0)  (3, 0) e (a, 0)  (3, 0).
[04] Correto. Pela definição de elipse, temos AD  AE  BD  BE. Logo, como DE é lado
comum, segue o resultado.
[08] Incorreto. De [01], sabemos que a elipse intersecta o eixo das ordenadas no ponto de
3
ordenada y  . Por outro lado, a circunferência centrada na origem e de raio 2
2
intersecta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada
2. Daí, como
3
2  1,4  1,5  ,
2
concluímos que a elipse e a circunferência não se intersectam.
[16] Correto. Temos
2
 1
(2 2)2  4     8  1  9.
2
Resposta da questão 11:
V – F – F – F – V.
Resolvendo o sistema formado pelas equações das parábolas, encontramos:
2


 y   x  8x  13
x  1 e y  6

.

2
x5ey2

y

x

4x

3



Logo, os pontos de interseção das parábolas são (1,  6) e (5, 2).
A reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas tem por equação
y  2  6  2  (x  5)  y  2x  8  2x  6.
1 5
Completando o quadrado, obtemos:
y A  x2  8x  13  (x  4)2  3,
donde concluímos que o vértice da parábola A é o ponto (4, 3)  (4, 2).
Completando o quadrado, vem
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yB  x2  4x  3  (x  2)2  7.
Daí, segue que o vértice da parábola B é o ponto (2,  7).
A distância entre os vértices das parábolas A e B é dada por
(4  2)2  [3  ( 7)]2  104  102.
A parábola B intersecta o eixo das ordenadas no ponto em que x  0, ou seja, (0,  3).
Resposta da questão 12:
[E]
A circunferência de equação x2  y2  9 possui centro no ponto (0, 0) e raio igual a 3.
A parábola de equação y  x2  1, com x variando de 1 a 1, possui concavidade voltada
para baixo e vértice no ponto (0,  1).
Portanto, a única alternativa possível é a alternativa [E].
Resposta da questão 13:
[D]
4x2  y 2  32x  8y  52  0
4x2  32x  64  (y 2  8y  16)  52  64  16  4(x  4)2  (y  4)2  4  (x  4)2 
 y  4 2
4
1
Que representa a equação de uma hipérbole.
Resposta da questão 14:
[C]
Adotando convenientemente um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no ponto
médio do segmento F1F2 , considere a figura.
Temos A1  (10, 0), A2  (10, 0), B1  (0, 8), B2  (0,  8), F1  (c, 0) e F2  (0, c), com
c  0. Logo, da relação fundamental da elipse, vem
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2
2
2
B1F2  OF2  OB1  102  c 2  82
 c  6.
Portanto, a distância pedida é dada por
OP2  OF2  11  6  5 m.
Resposta da questão 15:
[B]
Suponhamos que exista uma reta de equação y  k, que seja simultaneamente tangente à
parábola e paralela ao eixo Ox. Desse modo, a equação
x 2  (2k  2)x  k2  4k  1  0
deve ter uma e somente uma raiz real, isto é,
  0  (2k  2)2  4  1 (k 2  4k  1)  0
 4k 2  8k  4  4k 2  16k  4  0
 k  0.
Portanto, a parábola admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo Ox.
Resposta da questão 16:
V – F – F – F – V.
Completando os quadrados, obtemos:
x 2  ay2  2x  2ay  0  (x  1)2  a(y  1)2  a  1.
Logo, se a  1, a equação (x  1)2  (y  1)2  2 representa uma circunferência; se a  0, a
equação representa duas retas (x  0 e x  2); se a  3, a equação
(x  1)2 (y  1)2

1
4
4
3
(y  1)2
 (x  1)2  1 representa uma hipérbole; se
1
2
2
2
a  1, a equação (x  1)  (y  1)  0 representa duas retas (y  x e y  x  2).
representa uma elipse; se a  2, a equação
Resposta da questão 17:
[C]
Reescrevendo a equação (x  2)2  4(y  5)2  36, obtemos
(x  2)2
62

(y  5)2
32
 1,
que é a equação de uma elipse centrada em (2,  5), com o semieixo maior paralelo ao eixo
das abscissas. Logo, como a  6 e b  3, temos m  2  6  8 e n  5  3  2. Portanto,
m  n  8  (2)  6.
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Resposta da questão 18:
[D]
Sendo (a, b, 2) uma progressão aritmética, temos 2b  a  2. Além disso, se (b, a, 2) é uma
progressão geométrica não constante, então a2  2b, com a  b. Logo,
a2  a  2  a2  a  2  0
 a  1
e, portanto, b 
1
.
2
Reescrevendo a equação da parábola y2  2y  x  3  0, obtemos x  2  (y  1)2. Donde fica
fácil ver que o vértice dessa parábola é o ponto ( 2, 1).
1

Por conseguinte, a equação da reta que passa pelo ponto (a, b)   1,  e pelo ponto ( 2, 1)
2

é
1
1
1
y 1 2
(x  ( 2))  y  1   (x  2)
1  ( 2)
2
 x  2y  0.
Resposta da questão 19:
[E]
Completando os quadrados, obtemos
9x 2  y 2  36x  8y  11  9(x 2  4x)  (y 2  8y)  11
 9[(x  2)2  4]  [(y  4)2  16]  11
 9(x  2)2  (y  4)2  9

(x  2)2
12

(x  2)2
32
 1,
que é a equação de uma hipérbole com eixo real paralelo ao eixo Ox.
Resposta da questão 20:
V – F – V – V – F.
Se a reta rm passa pelo ponto (0, 1) e tem declividade m, então sua equação é dada por
y  1  m  (x  0)  y  mx  1.
A reta rm intersecta a parábola em um único ponto se, e somente se, a equação
x2  mx  4  0 possui uma única raiz real, ou seja,
(m)2  4  1 4  0  m2  16  m  4.
A reta rm não intersecta a parábola se, e somente se, a equação x2  mx  4  0 não possui
solução real, ou seja,
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(m)2  4  1 4  0  m2  16  4  m  4.
A reta rm intersecta a parábola em dois pontos distintos se, e somente se, a equação
x2  mx  4  0 possui duas raízes reais, ou seja,
(m)2  4  1 4  0  m2  16  m  4 ou m  4.
Resposta da questão 21:
Considere a figura.
Sejam F o foco da parábola, H a projeção de F sobre MQ e F' a projeção de F sobre a
diretriz d.
Como M pertence à parábola e MQ é paralelo ao eixo de simetria e da parábola, segue que
MF  MQ. Além disso, FF'  p e RMQ  RFF'  60. Logo, do triângulo RFF', obtemos
p
cosRFF'  FF'  FR 
cos 60
FR
 FR  2p.
Do triângulo MRQ, vem
cosRMQ 
MQ  cos 60  MQ
MF  FR
MQ  2p
 MQ  2p  MF.
Assim, MR  4p e, portanto,
senRMQ  QR  sen60  QR
4p
MR
 QR  2p 3.
O resultado pedido é 2p  4p  2p 3  2p(3  3).
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Resposta da questão 22:
[C]
Sabendo que o perímetro do terreno mede 300 m e sua área 5000 m2 , temos
2(x  y)  300
xy  5000

x  y  150
xy  5000
x  100 e y  50

ou
.
x  50 e y  100
Porém, como x  y, segue-se que x  100 e y  50.
Daí, sendo OF2  f, pelo Teorema de Pitágoras, vem
2
2
x
y
2
2
2
2
 2    2   f  50  25  f
 
 
 f  252  3
 f  25 3 m.
Portanto, o resultado é 2f  2  25 3  50 3 m.
Resposta da questão 23:
[B]
Considere a figura, com ,    .
Como P(, ) e Q(,  ) pertencem ao gráfico da parábola y  4x2  7x  1, segue que
1


2
2





4


7


1
8


2



2


.

2
2
7
  4  7  1 
  4  7  1  



2
7

Portanto, a equação da reta que passa por P e Q é dada por: y  x  2 x  7x.
1

2
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Resposta da questão 24:
[A]
Como P pertence à parábola, segue que
2
 1
  3
1
28
a  3

1
.
3
27
27
Sabendo que a bissetriz dos quadrantes ímpares é a reta y  x, temos que o coeficiente
angular da reta procurada é 1 e, portanto, sua equação é dada por
y
1
28 
1 28

 ( 1)   x 
0
 xy 

3
27 
3 27
 27x  27y  37  0.
Resposta da questão 25:
[E]
Considere a figura.
Sejam F1 e F2 os focos da elipse.
Queremos calcular F1F2  2  OF1.
2
2
Sabendo que F1B1  602 e OB1  362 , da relação fundamental, vem
2
2
2
2
F1B1  OB1  OF1  OF1  602  362
 OF1  2304
 OF1  48 m.
Portanto,
2  OF1  2  48  96 m.
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Resposta da questão 26:
[D]
Como a parábola y  1 
x2
intersecta o eixo das ordenadas no ponto A, segue que a
4
42
 5. Logo,
4
se y  mx  1 é a equação da reta que passa por A e B, então 5  m  4  1  m  1.
Portanto, a diferença dy, que se obtém quando x  6, é igual a
ordenada do ponto A é y A  1. Além disso, a ordenada do ponto B é yB  1 
1
62
 (6  1)  1  9  7  3.
4
Resposta da questão 27:
[C]
Como a  b, segue que o eixo maior da elipse encontra-se sobre o eixo x.
c
Sabendo que a excentricidade da elipse é igual a 0,96, ou seja, 0,96   c  0,96a, com c
a
sendo a distância focal, e que a distância mínima desse cometa ao Sol é igual a 0,58 UA,
obtemos a  c  0,58.
Logo, a  0,96a  0,58  a  14,5 UA.
Portanto, a distância máxima do cometa ao Sol é dada por
a  c  1,96a  1,96  14,5  150  106  4.263  106 km.
Resposta da questão 28:
[D]
d2  302  502
d2  1600
d  40m
2d  80m (distância focal)
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Resposta da questão 29:
O raio de luz refletido no ponto (1, 1) tem a direção da reta 4y  3x  1. Já o raio refletido no
ponto (2, 4) tem a direção da reta 8y  15x  2. Desse modo, o ponto procurado é a solução
do sistema
4y  3x  1
.

8y  15x  2
1
.
4
Portanto, o ponto em que os raios de luz verticais refletidos em (1, 1) e (2, 4) se encontrarão é
Resolvendo esse sistema, encontramos x  0 e y 
 1
 0, 4  .


Resposta da questão 30:
c
 0,943  c  0,943a
a
a2 = 52 + c2  a2 = 25 + (0,943a)2  a2 = 25 + 0,889a2 0,111a2 = 25  a =
25
a =
0,111
5
5
  15
0,3333... 1
3
A distância é 2ª = 2.15 = 30m
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Resposta da questão 31:
[D]
Considere a figura.
Como r é tangente à elipse, segue que PMF  QMH'  α. Além disso, sendo r s, vem
OHF  OH'M  α.
Aplicando a Lei dos Senos nos triângulos OFH e OF'H', e sabendo que OF  OF', obtemos
OF
FH
sen α
2



sen α sen β
sen β OF
e
OF'
F'H'
sen α F'H'



.
sen(180  α ) sen β
sen β OF'
Portanto, segue de imediato que F'H'  2cm.
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