Revisional Matemática ITA
1. (Ita 2014) Uma pirâmide de altura h = 1 cm e volume V = 50 cm3 tem como base um polígono
convexo de n lados. A partir de um dos vértices do polígono traçam-se n − 3 diagonais que o decompõem em n − 2
3
triângulos cujas áreas Si , i = 1, 2, ..., n − 2, constituem uma progressão aritmética na qual S3 = cm2 e
2
S6 = 3 cm2 . Então n é igual a
a) 22.
b) 24.
c) 26.
d) 28.
e) 32.
da forma p(x) = x5 + a3 x3 + a2 x 2 + a1x. As raízes de p(x) = 0
1
constituem uma progressão aritmética de razão
quando ( a1, a2 , a3 ) é igual a
2
5
1
a)  , 0,  .
4
4
1
5


b)  , 1,  .
4
4
5
1
c)  , 0, −  .
4
4

1
5
d)  , 0,  .
4
4


1
1
e)  , − 1, −  .
4
4
2. (Ita 2014) Considere os polinômios em x ∈
3. (Ita 2014) Das afirmações:
I. Se x, y ∈
II. Se x ∈
\ , com y ≠ − x, então x + y ∈
e y ∈ \ , então xy ∈ \ ;
\ ;
III. Se a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a,c ] → [a,b ] é sobrejetora, então f não é injetora, é (são) verdadeira(s)
a) apenas I e II.
b) apenas I e III.
c) apenas II e III.
d) apenas III.
e) nenhuma.
4. (Ita 2014) Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m , g(x) = bx + n, em que a, b, m e n são constantes
reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:
I. Se A = B, então a = b e m = n;
II. Se A = , então a = 1;
III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = −n, então A = B, é (são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e II.
e) nenhuma.
5. (Ita 2014) Considere as funções f :
→ , f(x) = eαx , em que α é uma constante real positiva, e
g : [0, ∞[ → , g(x) = x. Determine o conjunto solução da inequação ( g o f )( x ) > ( f o g )( x ) .
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 x + 1 x
 y − 2 y  matrizes reais tais que o produto AB é uma


 z − 3 z 
matriz antissimétrica. Das afirmações abaixo:
 1 −1 1
6. (Ita 2014) Sejam A = 
 e B=
 y − x 1
I. BA é antissimétrica;
II. BA não é inversível;
III. O sistema (BA ) X = 0, com Xt = [ x1 x 2
x3 ], admite infinitas soluções, é (são) verdadeira(s)
a) Apenas I e II.
b) Apenas II e III.
c) Apenas I.
d) Apenas II.
e) Apenas III.
7. (Ita 2014) Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z
 x +
y + 2z = 0

( senθ) y + 4z = 0, θ ∈ [0,2π].
−x +

 2x + (1 − cos 2θ) y + 16z =
a) Determine θ tal que o sistema tenha infinitas soluções.
b) Para θ encontrado em (a), determine o conjunto-solução do sistema.
8. (Ita 2014) Considere a equação A(t) X = B (t), t ∈
2e−2t

, em que A(t) =  −1
 −3

−e2t
1
1
−1

1 , X =
2 

x
 y  e B(t) =
 
 z 
 et 


− 2  .


 0 
Sabendo que det A(t) = 1 e t ≠ 0, os valores de x, y e z são, respectivamente,
a) 2 2, 0, − 3 2.
b) −2 2, 0, − 3 2.
c) 0, 3 2, 2 2.
d) 0, 2 3,
3.
e) 2 3, − 3, 0.
9. (Ita 2014) Determine quantos paralelepípedos retângulos diferentes podem ser construídos de tal maneira que a
medida de cada uma de suas arestas seja um número inteiro positivo que não exceda 10.
10. (Ita 2014) Para os inteiros positivos k e n, com k ≤ n, sabe-se que
n + 1  n   n + 1
 =
 . Então, o valor de
k + 1  k   k + 1
n  1 n 1 n 
n
1
 +
  +   + ... +
  é igual a
n + 1 n
 0  2 1  3  2 
a) 2n + 1.
b) 2n+1 + 1.
c)
2n+1 + 1
.
n
d)
2n+1 − 1
.
n +1
e)
2n − 1
.
n
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11. (Ita 2014) Seja Ω o espaço amostral que representa todos os resultados possíveis do lançamento
simultâneo de três dados. Se A ⊂ Ω é o evento para o qual a soma dos resultados dos três dados é
igual a 9 e B ⊂ Ω o evento cuja soma dos resultados é igual a 10, calcule:
a) n(Ω);
b) n(A) e n(B);
c) P(A) e P(B).
12. (Ita 2014) Um cilindro reto de altura h = 1 cm tem sua base no plano xy definida por
x2 + y 2 − 2x − 4y + 4 ≤ 0.
Um plano, contendo a reta y − x = 0 e paralelo ao eixo do cilindro, o secciona em dois sólidos. Calcule a área total da
superfície do menor sólido.
13. (Ita 2014) Três circunferências C1, C2 e C3 são tangentes entre si, duas a duas, externamente. Os raios r1, r2 e r3
1
destas circunferências constituem, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão . A soma dos comprimentos
3
de C1, C2 e C3 é igual a 26 π cm. Determine:
a) a área do triângulo cujos vértices são os centros de C1, C2 e C3.
b) o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do triângulo em torno da reta que contém o maior lado.
14. (Ita 2014) Seis esferas de mesmo raio R são colocadas sobre uma superfície horizontal de tal forma que seus
centros definam os vértices de um hexágono regular de aresta 2R. Sobre estas esferas é colocada uma sétima
esfera de raio 2R que tangencia todas as demais. Determine a distância do centro da sétima esfera à superfície
horizontal.
15. (Ita 2014) Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo isósceles ABC em torno de uma
reta paralela à base BC que dista 0, 25 cm do vértice A e 0, 75 cm da base BC. Se o lado AB mede
π2 + 1
cm, o
2π
3
volume desse sólido, em cm , é igual a
9
a)
.
16
13
b)
.
96
7
c)
.
24
9
d)
.
24
11
e)
.
96
16. (Ita 2014) Seja ABC um triângulo de vértices A = (1, 4), B = (5, 1) e C = (5, 5). O raio da circunferência
circunscrita ao triângulo mede, em unidades de comprimento,
15
a)
.
8
5 17
.
4
3 17
c)
.
5
b)
d)
5 17
.
8
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e)
17 5
.
8
17. (Ita 2014) A equação do círculo localizado no 1º quadrante que tem área igual a 4 π (unidades de área) e é
tangente, simultaneamente, às retas r : 2x − 2y + 5 = 0 e s : x + y − 4 = 0 é
2
2
3
10 


a)  x −  +  y −
 = 4.
4
4 


2
2

3
3 


b)  x −  +  y −  2 2 +   = 4.
4
4 




2
2
2
2
2
2

3 
10 


c)  x −  2 2 +   +  y −  = 4.
4 
4 




3 
13 


d)  x −  2 2 +   +  y −  = 4.
4
4 





3 
11 


e)  x −  2 2 +   +  y −  = 4.
4 
4



18. (Ita 2014) a) Determine o valor máximo de | z + i |, sabendo que | z − 2 |= 1, z ∈ .
b) Se zo ∈
satisfaz (a), determine zo .
19. (Ita 2014) A soma
a)
b)
c)
d)
e)
4
log1/2 n 32
1
8n+ 2
1/2
∑ log
é igual a
8
.
9
14
.
15
15
.
16
17
.
18
1.
( )
20. (Ita 2014) Determine as soluções reais da equação em x, ( log4 x ) − log4 x 4 − 3
3
log10 16x
= 0.
log100 16
21. (Ita 2014) Considere o trapézio ABCD de bases AB e CD. Sejam M e N os pontos médios das diagonais AC e
BD, respectivamente. Então, se AB tem comprimento x e CD tem comprimento MN é igual a
a) x − y.
1
( x − y ).
2
1
c) ( x − y ) .
3
1
d) ( x + y ) .
3
1
e) ( x + y ) .
4
b)
22. (Ita 2014) Considere o triângulo ABC retângulo em A. Sejam AE e AD a altura e a mediana relativa à
hipotenusa BC, respectivamente. Se a medida de BE é
(
)
2 − 1 cm e a medida de AD é 1 cm, então AC mede,
em cm,
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a) 4 2 − 5.
b) 3 − 2.
6 − 2 2.
c)
d) 3
(
)
2 −1 .
e) 3 4 2 − 5.
23. (Ita 2014) Em um triângulo isósceles ABC, cuja área mede 48cm2 , a razão entre as medidas da altura AP e da
base BC é igual a
2
. Das afirmações abaixo:
3
I. As medianas relativas aos lados AB e AC medem
II. O baricentro dista 4 cm do vértice A;
97 cm;
III. Se α é o ângulo formado pela base BC com a mediana BM, relativa ao lado AC, então cos α =
3
97
,
é (são) verdadeira(s)
a) Apenas I.
b) Apenas II.
c) Apenas III.
d) Apenas I e III.
e) Apenas II e III.
24. (Ita 2014) Sejam z, w ∈ . Das afirmações:
I. z + w
2
+ z−w
2
(
2
=2 z + w
2
);
II. ( z + w ) − ( z − w ) = 4zw;
2
2
III. z + w − z − w 2 = 4Re ( zw ) ,
2
é(são) verdadeira(s):
a) apenas I.
b) apenas I e II.
c) apenas I e III.
d) apenas II e III.
e) todas.
25. (Ita 2014) Se z ∈ , então z6 − 3 z
(
a) z2 − z 2
)
.
)
.
3
4
( z2 − z 2 ) − z 6 é igual a
b) z6 − z 6.
(
c) z3 − z 3
2
d) ( z − z ) .
6
e) ( z − z )
2
( z4 − z 4 ) .
26. (Ita 2014) Considere o polinômio complexo p(z) = z 4 + a z3 + 5z2 − iz − 6, em que a é uma constante complexa.
Sabendo que 2i é uma das raízes de p(z) = 0, as outras três raízes são
a) −3i, − 1, 1.
b) −i, i, 1.
c) −i, i, − 1.
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d) −2i, − 1, 1.
e) −2i, − i, i.
27. (Ita 2014) Considere as seguintes afirmações sobre as matrizes quadradas A e B de ordem n, com A inversível e
B antissimétrica:
I. Se o produto AB for inversível, então n é par;
II. Se o produto AB não for inversível, então n é ímpar;
III. Se B for inversível, então n é par.
Destas afirmações, é (são) verdadeira(s)
a) Apenas I.
b) Apenas I e II.
c) Apenas I e III.
d) Apenas II e III.
e) Todas.
28. (Ita 2014) Seja M uma matriz quadrada de ordem 3, inversível, que satisfaz a igualdade
det(2M2 ) − det(3 2M3 ) =
2
det(3M).
9
Então, um valor possível para o determinante da inversa de M é
1
a) .
3
1
b) .
2
2
c) .
3
4
d) .
5
5
e) .
4
29. (Ita 2014) Sabendo que sen x =
2ab
2
2
a +b ,
a ≠ 0 e b ≠ 0, um possível valor para cos sec 2x −
1
tg x é
2
a −b
.
ab
a+b
b)
.
2ab
a)
c)
a2 − b2
.
ab
d)
a 2 + b2
.
4ab
e)
a2 − b2
.
4ab
30. (Ita 2014) Determine o conjunto de todos os valores de x ∈ [0, 2π ] satisfazem, simultaneamente, a
2 sen2 x + sen x − 1
< 0 e tg x + 3 < 1 + 3 cot g x cot g x.
cos x − 1
(
)
31. (Ita 2013) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações:
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I. A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C);
II. (A ∩ C) \ B = A ∩ BC ∩ C;
III. (A \ B) ∩ (B \ C) = (A \ B) \ C,
é(são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas I e II.
d) apenas I e III.
e) todas.
32. (Ita 2013) Seja ABCDEFGH um paralelepípedo de bases retangulares ABCD e EFGH, em que A, B, C e D são,
respectivamente, as projeções ortogonais de E, F, G e H. As medidas das arestas distintas AB, AD e AE constituem
3
uma progressão aritmética cuja soma é 12 cm. Sabe-se que o volume da pirâmide ABCF é igual a 10 cm . Calcule:
a) As medidas das arestas do paralelepípedo.
b) O volume e a área total da superfície do paralelepípedo.
33. (Ita 2013) Considere funções f, g, f + g :
→ . Das afirmações:
I. Se f e g são injetoras, f + g é injetora;
II. Se f e g são sobrejetoras, f + g é sobrejetora;
III. Se f e g não são injetoras, f + g não é injetora;
IV. Se f e g não são sobrejetoras, f + g não é sobrejetora,
é (são) verdadeira(s)
a) nenhuma.
b) apenas I e II.
c) apenas I e III.
d) apenas III e IV.
e) todas.
34. (Ita 2013) Considere as funções f e g, da variável real x, definidas, respectivamente, por
f (x) = e x
2
+ ax + b
 ax 
e g ( x ) = ln   ,
 3b 
em que a e b são números reais. Se f ( −1) = 1 = f ( −2 ) , então pode-se afirmar sobre a função composta g o f que
a) g o f (1) = ln 3.
b) ∃/ g o f ( 0 ) .
c) g o f nunca se anula.
d) g o f está definida apenas em {x ∈
: x > 0}.
e) g o f admite dois zeros reais distintos.
35. (Ita 2013) Determine o maior domínio D ⊂
f : D → , f ( x ) = log
(4 sen x
π
x( − x)
4
da função
cos x − 1).
5
36. (Ita 2013) Considere a equação
∑ an xn = 0 em que a soma das raízes é igual a −2 e os coeficientes a , a , a ,
0
1
2
n= 0
5
a3, a4 e a5 formam, nesta ordem, uma progressão geométrica com a0 = 1. Então
∑ an
é igual a
n= 0
a) −21.
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2
b) − .
3
21
c)
.
32
63
d)
.
32
e) 63.
ax + by = c
37. (Ita 2013) Considere o sistema de equações 
, com a, b, c, d, p e q reais, abcd ≠ 0, a + b = m e
px + qy = d
d = nc. Sabe-se que o sistema é indeterminado. O valor de p + q é
a) m
m
b)
n
2
2
c) m − n
d) mn
e) m + n
38. (Ita 2013) Considere o sistema nas variáveis reais x e y :
 x sen α + 3y cos α = a

 x cos α + y sen α = b,
 π
com α ∈ 0,  e a, b ∈ . Analise para que valores de α, a e b o sistema é (i) possível determinado, (ii) possível
 2
indeterminado ou (iii) impossível, respectivamente. Nos casos (i) e (ii), encontre o respectivo conjunto-solução.
39. (Ita 2013) Quantos tetraedros regulares de mesma dimensão podemos distinguir usando 4 cores distintas para
pintar todas as suas faces? Cada face só pode ser pintada com uma única cor.
40. (Ita 2013) O coeficiente de x y no desenvolvimento de (1 + x + y )
4 4
10
é
a) 3150
b) 6300
c) 75600
d) 81900
e) 151200
41. (Ita 2013) Considere os seguintes resultados relativamente ao lançamento de uma moeda:
I. Ocorrência de duas caras em dois lançamentos.
II. Ocorrência de três caras e uma coroa em quatro lançamentos.
III. Ocorrência de cinco caras e três coroas em oito lançamentos.
Pode-se afirmar que
a) dos três resultados, I é o mais provável.
b) dos três resultados, II é o mais provável.
c) dos três resultados, III é o mais provável.
d) os resultados I e II são igualmente prováveis.
e) os resultados II e III são igualmente prováveis.
42. (Ita 2013) Seja p uma probabilidade sobre um espaço amostral finito Ω. Se A e B são eventos de Ω tais que
1
1
1
p ( A ) = , p (B ) = e p ( A ∩ B ) = , as probabilidades dos eventos A \ B, A ∪ B e A C ∪ BC são, respectivamente,
2
4
3
1 5
1
a) ,
e .
4 6
4
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1
,
6
1
c) ,
6
1
d) ,
3
1
e) ,
4
b)
5
1
e .
4
6
7
3
e .
12
4
5
1
e .
6
3
7
3
e .
12
4
43. (Ita 2013) Das afirmações:
I. Duas retas coplanares são concorrentes;
II. Duas retas que não têm ponto em comum são reversas;
III. Dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, planos paralelos, cada um contendo uma das retas;
IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso definem um paralelogramo,
é (são) verdadeira(s) apenas
a) III.
b) I e III.
c) II e III.
d) III e IV.
e) I e II e IV.
44. (Ita 2013) Um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo de vértice V, determinando um triângulo
3
ABC cujos lados medem, respectivamente, 10, 17 e 5 cm. O volume, em cm , do sólido VABC é
a) 2.
b) 4.
c) 17.
d) 6.
e) 5 10.
45. (Ita 2013) No sistema xOy os pontos A = ( 2,0 ) , B = ( 2,5 ) e C = ( 0,1) são vértices de um triângulo inscrito na
base de um cilindro circular reto de altura 8. Para este cilindro, a razão
volume
, em unidade de
área total da superfície
comprimento, é igual a
a) 1.
100
b)
.
105
10
c)
.
11
100
d)
.
115
5
e) .
6
46. (Ita 2013) Determine a área da figura plana situada no primeiro quadrante e delimitada pelas curvas
(y − x − 2)(y +
x
− 2) = 0 e x2 − 2x + y 2 − 8 = 0.
2
47. (Ita 2013) Sobre a parábola definida pela equação x2 + 2xy + y2 − 2x + 4y + 1 = 0 pode-se afirmar que
a) ela não admite reta tangente paralela ao eixo Ox.
b) ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo Ox.
c) ela admite duas retas tangentes paralelas ao eixo Ox.
d) a abscissa do vértice da parábola é x = −1.
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2
e) a abscissa do vértice da parábola é x = − .
3
48. (Ita 2013) Se os números reais a e b satisfazem, simultaneamente, as equações
a b =
1
e ln ( a2 + b ) + ln 8 = ln 5,
2
um possível valor de
a
é
b
2
.
2
b) 1.
c) 2.
d) 2.
e) 3 2.
a)
49. (Ita 2013) Uma reta r tangencia uma circunferência num ponto B e intercepta uma reta s num ponto A exterior à
ˆ
circunferência. A reta s passa pelo centro desta circunferência e a intercepta num ponto C, tal que o ângulo ABC
ˆ
seja obtuso. Então o ângulo CAB é igual a
1 ˆ
ABC.
2
3
ˆ
b) π − 2 ABC.
2
2 ˆ
c) ABC.
3
ˆ − π.
d) 2 ABC
a)
ˆ − π.
e) ABC
2
50. (Ita 2013) Em um triângulo de vértices A, B e C, a altura, a bissetriz e a mediana, relativamente ao vértice C,
ˆ em quatro ângulos iguais. Se l é a medida do lado oposto ao vértice C, calcule:
dividem o ângulo BCA
a) A medida da mediana em função de l.
ˆ
ˆ
ˆ e BCA.
b) Os ângulos CAB,
ABC
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
Notações
: Conjunto dos números naturais;
: Conjunto dos números reais;
+
: Conjunto dos números reais não negativos;
i: unidade imaginária; i2 = −1 ;
P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A;
n(A) : número de elementos do conjunto finito A;
AB : segmento de reta unindo os pontos A e B;
arg z : argumento do número complexo z;
[a,b] = {x ∈ : a ≤ x ≤ b}
A \ B = {x : x ∈ A e x ∉ B}
A c : complementar do conjunto A;
n
∑ ak xk = a0 + a1x +a2 x2 + ... + an xn,n ∈
.
k =0
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.
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51. (Ita 2012) Se arg z =
a) −
π
, então um valor para arg (−2iz) é
4
π
2
π
4
π
c)
2
3π
d)
4
7π
e)
4
b)
52. (Ita 2012) Sejam z = n2 (cos 45º +i sen 45º) e w = n(cos15º +i sen 15º) , em que n é o menor inteiro positivo tal
que (1 + i)n é real. Então,
a)
z
é igual a
w
3 +1
b) 2( 3 + i)
c) 2( 2 + i)
d) 2( 2 − i)
e) 2( 3 − i)
53. (Ita 2011) Analise a existência de conjuntos A e B, ambos não vazios, tais que (A\B) ∪ (B\A) = A.
54. (Ita 2011) Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A ⊂ B e n ( {C : C ⊂ B \ A} ) = 128.
Então, das afirmações abaixo:
I) n(B) – n(A) é único;
II) n(B) + n(A) ≤ 128;
III) a dupla ordenada (n(A), n( B)) é única;
É(são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e II.
e) nenhuma.
3
55. (Ita 2011) Considere a equação algébrica ∑ ( x − ak )
k =1
4 −k
= 0 . Sabendo que x = 0 é uma das raízes e que (a1, a2,
a3) é uma progressão geométrica com a1 = 2 e soma 6, pode-se afirmar que
a) a soma de todas as raízes é 5.
b) o produto de todas as raízes é 21.
c) a única raiz real é maior que zero.
d) a soma das raízes não reais é 10.
e) todas as raízes são reais.
56. (Ita 2011) Determine todas as matrizes M ∈ M2X2 (
) tais que
MN = NM, ∀N ∈ M2x 2 (
)
57. (Ita 2011) Considere as afirmações abaixo:
I) Se M é uma matriz quadrada de ordem n > 1, não nula e não inversível, então existe matriz não nula N, de mesma
ordem, tal que M N é matriz nula.
2
II) Se M é uma matriz quadrada inversível de ordem n tal que det (M – M) = 0, então existe matriz não nula X, de
ordem n x 1, tal que MX = X.
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−senθ
 cos θ
III) A matriz  tgθ

1 − 2sen2
 sec θ

π
θ  é inversível, ∀θ ≠ + kπ, k ∈ .
2
2 
Destas, é(são) verdadeira(s)
a) apenas II.
b) apenas I e II.
c) apenas I e III.
d) apenas II e III.
e) todas.
58. (Ita 2011) Numa caixa com 40 moedas, 5 apresentam duas caras, 10 são normais (cara e coroa) e as demais
apresentam duas coroas. Uma moeda é retirada ao acaso e a face observada mostra uma coroa. A probabilidade de
a outra face desta moeda também apresentar uma coroa é
7
a) .
8
5
b) .
7
5
c) .
8
3
d) .
5
3
e) .
7
59. (Ita 2011) Considere uma esfera Ω com centro em C e raio r = 6 cm e um plano Σ que dista 2 cm de C.
Determine a área da intersecção do plano Σ com uma cunha esférica de 30° em Ω que tenha aresta ortogonal a Σ .
60. (Ita 2011) Resolva a inequação em
 1
: 16 <  
4
log
(
2
1 x − x +19
5
)
.
2
61. (Ita 2011) O produto das raízes reais da equação |x – 3x + 2| = |2x – 3| é igual a
a) –5.
b) –1.
c) 1.
d) 2.
e) 5.
62. (Ita 2011) Determine todos os valores de m ∈
raízes reais distintas e maiores que zero.
2
tais que a equação (2 – m) x + 2mx + m + 2 = 0 tenha duas
63. (Ita 2011) Considere um triângulo equilátero cujo lado mede 2 3cm . No interior deste triangulo existem 4
círculos de mesmo raio r. O centro de um dos círculos coincide com o baricentro do triângulo. Este círculo tangência
externamente os demais e estes, por sua vez, tangenciam 2 lados do triângulo.
a) Determine o valor de r.
b) Calcule a área do triângulo não preenchida pelos círculos.
c) Para cada circulo que tangencia o triângulo, determine a distancia do centro ao vértice mais próximo.
64. (Ita 2011) Seja ABC um triângulo retângulo cujos catetos AB e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente. Se D e
um ponto sobre AB e o triângulo ADC e isósceles, a medida do segmento AD , em cm, é igual a
3
a)
4
15
b)
6
15
c)
4
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25
4
25
e)
2
d)
65. (Ita 2011) Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5 cm. Sabe-se ainda que AB é o diâmetro,
BC mede 6 cm e a bissetriz do ângulo
intercepta a circunferência no ponto D. Se α e a soma das áreas dos
2
triângulos ABC e ABD e β é a área comum aos dois, o valor de α – 2β , em cm , é igual a
a) 14.
b) 15.
c) 16.
d) 17.
e) 18.
66. (Ita 2011) Das afirmações abaixo sobre números complexos z1 e z2:
I) z1 − z2 ≤ z1 − z2 .
II) z1 ⋅ z 2 = z 2 − z 2
III) Se z1 = z1 ( cos θ + isenθ ) ≠ 0, então z1−1 = z1
−1
( cos θ − isenθ ) .
é(são) sempre verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas II e III.
e) todas.
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