UFPE, 2o semestre de 2007 Disciplina ET-604, Estatı́stica, 75 horas. Professor André Toom. Prova 1 de Estatı́stica na área II. 2-o semestre de 2007 1.Um comitê com N membros deve escolher um chefe, um secretário e um tesoureiro, todas três cargas cumpridas por membros diferentes. Qual é o número dos jeitos fazer esta escolha? (10 pontos.) 2. Num pais cada placa de automóvel é uma seqüência de quatro sinais, daqueles os primeiros dois são letras maiúsculas e últimos dois são algarismos decimais. (O alfabeto contem 26 letras.) Qual é o número de placas possı́veis neste pais? (10 pontos.) 3. Uma moeda, se lançada, mostra cara com probabilidade p e coroa com probabilidade 1 − p. Esta moeda foi lançada n vezes e cara foi obtida X vezes. a) Escrever o conjunto dos valores possı́veis de X e a formula das probabilidades destes valores. (5 pontos.) b) Qual é EX ? 10 pontos. c) Qual é V arX? 10 pontos. 4. Há duas moedas. A 1-a moeda, se lançada, mostra cara com probabilidade 1/4. A 2-a moeda, se lançada, mostra cara com probabilidade 3/4. Uma destas moedas foi escolhida ao acaso (com probabilidades iguais), lançada e mostrou cara. Quais são probabilidades a posteriori que a) a 1-a moeda foi lançada? (5 pontos.) b) a 2-a moeda foi lançada? (5 pontos.) 5. Dois dados perfeitos, vermelho e azul, foram lançados uma vez. Cada dado tem 6 lados marcados 1, 2, 3, 4, 5, 6. Denotamos de X o número mostrado por dado vermelho e de Y o número mostrado por dado azul. a) Qual é a probabilidade P (X + Y < 6) ? (5 pontos.) b) Qual é a probabilidade condicional P (X + Y < 6 | X − Y < 1)? (10 pontos.) 6. As variáveis aleatórias X e Y são independentes e cada distribuda uniformemente no conjunto finito 1,2,...,N. a) Qual é a probabilidade P (X = Y )? (5 pontos.) b) Qual é a probabilidade P (X < Y )? (5 pontos.) 7. Seja variável aleatória discreta X toma um conjunto finito de valores. Escrever a prova que E(−X) = −EX. (10 pontos.) 8. Variável aleatória continua X é distribuida uniformemente em (−1, 1). Escrever a formula e desenhar o gráfico da função acumulada de X. (10 pontos.) Todas respostas devem ser argumentadas. A nota será igual ao número dos pontos obtidos dividido por 10. GABARITOS 1.Um comitê com N membros deve escolher um chefe, um secretário e um tesoureiro, todas três cargas cumpridas por membros diferentes. Qual é o número dos jeitos fazer esta escolha? Resposta: N · (N − 1) · (N − 2). 2. Num pais cada placa de automóvel é uma seqüência de quatro sinais, daqueles os primeiros dois são letras maiúsculas e últimos dois são algarismos decimais. (O alfabeto contem 26 letras.) Qual é o número de placas possı́veis neste pais? Resposta: 26 · 26 · 10 · 10 = 67600. 3. Uma moeda, se lançada, mostra cara com probabilidade p e coroa com probabilidade 1 − p. Esta moeda foi lançada n vezes e cara foi obtida X vezes. a) Escrever o conjunto dos valores possı́veis de X e a formula das probabilidades destes valores. Resposta: o conjunto é {0, 1, 2, . . . , n}. As probabilidades são ! P (X = k) = n · pk · (1 − p)n−k . k b) Qual é EX ? Resposta: EX = np. c) Qual é V arX? Resposta: V ar X = np(1 − p). 4. Há duas moedas. A 1-a moeda, se lançada, mostra cara com probabilidade 1/4. A 2-a moeda, se lançada, mostra cara com probabilidade 3/4. Uma destas moedas foi escolhida ao acaso (com probabilidades iguais), lançada e mostrou cara. Quais são probabilidades a posteriori que a) a 1-a moeda foi lançada? Resposta: 1/4. b) a 2-a moeda foi lançada? Resposta: 3/4. 5. Dois dados perfeitos, vermelho e azul, foram lançados uma vez. Cada dado tem 6 lados marcados 1, 2, 3, 4, 5, 6. Denotamos de X o número mostrado por dado vermelho e de Y o número mostrado por dado azul. a) Qual é a probabilidade P (X + Y < 6) ? Resposta: 10/36. b) Qual é a probabilidade condicional P (X + Y < 6 | X − Y < 1)? Resposta: 6/21. 6. As variáveis aleatórias X e Y são independentes e cada distribuda uniformemente no conjunto finito 1,2,...,N. a) Qual é a probabilidade P (X = Y )? Resposta: 1/N . b) Qual é a probabilidade P (X < Y )? Resposta: (N − 1)/(2N ). 7. Seja variável aleatória discreta X toma um conjunto finito de valores. Escrever a prova que E(−X) = −EX. Prova: seja X toma valores x1 , . . . , xn com probabilidades p1 , . . . , pn . Logo E(−X) = (−x1 ) · p1 + · · · + (−xn ) · pn = −(x1 · p1 + · · · + xn · pn ) = −EX. 8. Variável aleatória continua X é distribuida uniformemente em (−1, 1). Escrever a formula e desenhar o gráfico da função acumulada de X. Veja formula e gráfico: se t ≤ −1, F (t) = (t + 1)/2 se −1 ≤ t ≤ 1, 1 se 1 ≤ t. 0 1 6 -1 O 1 - t