Fı́sica da Informação 2010/11
Sexta série de problemas — Contagens e probabilidades
1. Lançamos dois dados de cores diferentes, de forma a podermos descriminar o resultado obtido com cada
um. (a) Quantos resultados possı́veis há? (b) E se forem três dados? (c) E se forem n?
2. Num grupo constituı́do por três homens e quatro mulheres, de quantas maneiras podemos escolher um
par heterosexual?
3. Quantas matrı́culas de automóvel se podem formar com as regras actuais (duas letras, dois números, duas
letras)?
4. Dispomos de um alfabeto com 15 sı́mbolos. (a) Quantas palavras de sete letras podemos formar? (b) E
se não forem admissı́veis palavras com letras iguais consecutivas (ou seja, “assim” não é permitida, mas
“arar” é-o)?
5. Num jogo de scrabble (jogo de letras em que se distribuem aos jogadores sete peças com uma letra em
cada, sendo o objectivo formar com elas palavras) dispomos das letras A , B , C , D , E , F e G .
Quantas “palavras” de sete letras podemos formar?
6. Num jogo de scrabble dispomos das letras A , A , A , B , B , C e D . Quantas “palavras” diferentes
de sete letras podemos formar?
7. A direcção de uma associação consiste nos cinco cargos seguintes: presidente, vicepresidente, secretário,
tesoureiro e vogal. escolhido um grupo de cinco sócios para compor a direcção, de quantas maneiras se
podem eles distribuir pelos cinco cargos?
8. Pretende-se arrumar numa estante quatro livros de matemática, três de fı́sica, dois de programação e um
divulgação cientı́fica. (a) De quantas maneiras o podemos fazer? (b) E se pretendermos que os livros
fiquem organizados por assunto (ou seja, livros de matemática todos juntos, livros de fı́sica todos juntos,
etc.)?
9. Num jogo de scrabble dispomos das letras A , B , C , D , E , F e G . Quantas “palavras” de cinco
letras podemos formar?
10. Num jogo de scrabble dispomos das letras A , A , A , B , B , C e D . Quantas “palavras” diferentes
de cinco letras podemos formar?
11. Numa associação com 520 sócios, de quantas maneiras podemos escolher uma direcção formada pelos cinco
cargos descritos no problema 7
12. Dispomos de um alfabeto com 15 sı́mbolos. Quantas palavras de sete letras podemos formar, sem repetir
nenhum dos sı́mbolos em cada uma?
13. Numa associação com 520 sócios, de quantas maneiras podemos seleccionar 5 elementos (por exemplo,
para constituir uma direcção, mas sem definir os cargos que cada um ocupará)?
14. Numa reunião de um grupo de N amigos, cada um cumprimenta todos os restantes. Quantos cumprimentos
são dados?
15. Uma comissão é composta por cinco mulheres e sete homens. (a) De quantas maneiras se pode constituir
uma sub-comissão composta por duas mulheres e três homens? (b) E se dois dos homens estiverem de
relações cortadas e se recusarem a integrarem conjuntamente a comissão?
16. Dadas nb bolas brancas iguais e np bolas pretas iguais, de quantas maneiras podemos alinhá-las sem que
duas bolas pretas ocupem posições consecutivas? (Suponha que as bolas de cada cor são indistinguı́veis,
ou seja, não conte como alinhamentos distintos dois que apenas se distingam pela ordem em que as bolas
pretas ou as bolas brancas se distribuem entre si.)
17. Dadas nm mulheres e nh homens, de quantas maneiras podemos alinhá-los sem que dois homens fiquem
lado a lado?
18. Dada uma variável aleatória X que pode assumir os valores x1 , x2 ,. . . , xN com probabilidades p1 , p2 ,. . . ,
pN , o valor expectável e a variância definem-se, respectivamente, como:
hXi =
N
X
σ 2 (X) =
pi xi
i=1
N
X
pi (xi − hXi)2 .
i=1
Mostre que a variância de X também se pode calcular como
σ 2 (X) = hX 2 i − hxi2 .
19. A fracção de canhotos na população geral é de cerca de 1%. Calcula a probabilidadede haver quatro ou
mais canhotos num grupo de 200 pessoas.
20. Um saco contém cinco bolas iguas, numeradas de 1 a 5. Escolhe-se uma das cinco bolas aleatoriamente e
depois outra, de entre as quatro restantes.
(a) Quantos resultados possı́veis há para esta operação?
(b) Qual a probabilidade de a primeira bola escolhida ser ı́mpar?
(c) Qual a probabilidade de a segunda bola ser ı́mpar?
(d) Qual a probabilidade de ambas as bolas serem ı́mpares?
(e) Qual a probabilidade de apenas uma ser ı́mpar?
21. De um baralho de 52 cartas, vão-se tirando cartas ao calhas, até que surja o ás de copas. (a) Qual o valor
da probabilidade de que “saia” o ás de cops logo na primeira tentativa? Qual a probabilidade de que isso
só aconteça na segunda? Qual o valor da probabilidade de que sejam necessárias k escolhas? (b) Qual o
valor expectável do número de vezes que temos que tirar uma carta do baralho, até ser escolhido o ás de
copas?
22. A letra “e”, sem acentos, ocorre no português escrito com uma probabilidade de 0,1214. (a) Qual o valor
expectável do número de “e” numa mensagem com 300 caracteres? (b) Qual a probabilidade de o número
de “e” efectivamente presentes na mensagem ser, exactamente, o inteiro mais próximo do valor calculado
na alı́nea (a)?
23. Um saco contém na bolas amarelas e nv bolas vermelhas. Uma bola é retirada do saco de forma aleatória
e aı́ de novo recolocada, repetindo-se o processo N vezes. (a) Qual a probabilidade de sejam retiradas k
bolas vermelhas (0 ≤ k ≤ N ) no processo? (b) Mostre que a soma das probabilidades dos vários resultados
possı́veis é 1. (c) Calcule o valor expectável e a variância da variável aleatória “número de bolas vermelhas
obtidas em N escolhas, com reposição”. (d) Sejam na = 5, nv = 3; Calcule os valores numéricos das várias
probabilidades, o valor expectável da variável em estudo e a sua variância.
24. A tabela mostra a distribuição de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias x e y:
P (x ∩ y)
x=0
x=1
y=0
1/3
0
y=1
1/3
2/3
(a) (a) Calcule as probabilidades marginais (p(x) e p(y)). (b) Calcule as probabilidades condicionadas
P (y|x = 0)
25. Uma dada população humana foi sujeita a um inquérito em que se tentava averiguar uma eventual ligação
entre a incidência de escoliose (uma deformação lateral da coluna vertebral) e a execução de violino. Os
resultados do inquérito são os apresentados na tabela de probabilidades conjuntas seguinte
Tem escolise
Não tem escoliose
Toca violino
5 × 10−4
9,5 × 10−3
Não toca violino
4,95 × 10−2
9,405 × 10−1
(a) Determine as probabilidades marginais das variáveis X = “Toca violino” e Y = ”Tem escoliose”. (b)
Calcule as probabilidades condicionais (X|Y ) (Y |X). (c) Há correlação entre estas duas variáveis?
26. Uma pessoa dispõe de duas moedas. Uma é normal, com face “cara” e face “coroa”, a outra tem a
“cara” impressa nas duas faces. Essa pessoa escolhe ao calhas uma das duas moedas e lança-a duas vezes,
registando o número de vezes que a moeda sai “cara”. Seja X a variável aleatória que representa a moeda
escolhida e Y a que representa o número de vezes que saiu “cara” nos dois lançamentos. (a) Calcule a
probabilidade conjunta das duas variáveis. (b) Calcule as probabilidades marginais da variável Y . (c)
Calcule as probabilidades condicionais p(X|Y )
27. Um dado é lançado uma vez. Se o resultado for 1,2,3 ou 4, uma moeda é lançada; se o resultado do
lançamento do dado for 5 ou 6, são lançadas duas moedas. (a) Qual o valor expectável do número
de vezes que sai “cara” no lançamento da ou das moedas? (b) Calcule as probabilidades conjuntas do
resultado do lançamento do dado (considere apenas os dois casos descritos) e do número de vezes que sai
cara no lançamento da ou das moedas.