Eletricidade A - ENG04474
AULA VIII
Circuitos Capacitivos
 Capacitor é um bipolo onde a
carga armazenada, q, é uma
função instantânea da tensão.
 Capacitor Linear - q=Cv
 C é denominado capacitância e sua unidade é Farad (F)
 A passagem de corrente de um terminal a outro do capacitor corresponde a uma
variação de carga
Não existe corrente atravessando o dielétrico.
Vc
+
I=0
Vc
axPanel
-
Circuitos Capacitivos
 Num Capacitor Linear, a função f(i,v)=0 é dada por:
(convenção passiva)
1 t
dvt 
vt  
it dt  vt0 
it   C
C t
dt

i(t)
+
v(t)
-
C
0
 Carregando um Capacitor com Fonte de Corrente
1
vc t  
C1
I1
100mA
C1
1uF
+
Vc
-
t
 I1(t).dt  v 0
c
0
t
1
vc t  
100 .10 3 dt  vc 0
6
0
1.10
Se o capacitor estiver
descarregado em t=0
então vc(0)=0

vc t   100 .10 3 t  0  0
vc t   100 .10 t
vc
100 V
3
1ms
t
Circuitos RC
 Carregando um Capacitor com Fonte de Tensão
R1
1k
V1
10V
ic
+
I1
C1
1uF
-
+
Vc
-
I1
10mA
R1
1k
ic
ir
C1
1uF
+
Vc
-
Equação
Diferencial
vc
V1
Reg. Trans.
vc (0)
0
ic t   ir t   I1t  
1
V 1t 
R1
Como VR1 =Vc então ir
é igual a Vc/R1
C1
dvc t  1
1

vc t  
V1t 
dt
R1
R1
Se V1(t) for constante igual a V1
para t>0 e em t=0 Vc=vc(0) então:
Reg. Perm
t
Resposta para t= (Regime Permanente)
Possui Mesma Natureza da Fonte
vc t   V1  V1  vc 0e
-t
R1C1
Resposta Transitória ou Natural
Depende da estrutura do circuito
Circuitos RC
 Descarregando um Capacitor
R1
1k
V1
V1(t>t10V
)=
0
0
+
ic
-
C1
1uF
+
Vc
-
vc
Equação
Diferencial
C1
dvc t  1
1

vc t  
V1t 
dt
R1
R1
Se V1(t) = 0 constante para t>t0 e
em t=t0 Vc=vc(t0) então:
vc (t0)
Reg. Trans.
Reg. Perm
0
t0
t
Resposta para t= (Regime Permanente)
Possui Mesma Natureza da Fonte
vc t   0  0  vc t0 e
-
t t0 
R1C1
Resposta Transitória ou Natural
Depende da estrutura do circuito
vc t   vc t0 e
-
t t0 
R1C1
Circuitos RC
 Carregando e Descarregando um Capacitor em um Circuito RC
Circuitos Capacitivos
i(t)
 Potência no Capacitor
pc t   vc t ic t 
Potência Instantânea
Varia ao longo do tempo
Em um momento pode ser positiva
e em outro negativa
+
v(t)
-
 O Capacitor Armazena Energia Elétrica
 No instante de tempo “t” o capacitor que encontra-se carregado com “V”
volts armazena “w” Joules:
A energia armazenada no capacitor também pode variar ao longo do tempo
C
Circuitos Indutivos
 Indutor é um bipolo onde o
fluxo magnético concatenado, ,
é uma função instantânea da corrente.
 Indutor Linear - =Li
 L é denominado indutância e sua unidade é Henry (H).
IL
+
-
I
L
Circuitos Indutivos
i(t)
 Num Indutor Linear, a função f(i,v)=0 é dada por:
(convenção passiva)
di t 
vt   L
dt
1
it  
L

t
t0
vt dt  it0 
+
v(t)
-
L
 Carregando um Indutor com Fonte de Tensão
1 t
iL t  
vt dt  iL 0
L 0

iL
+
V1
100mV
-
L1
1uH
t
1
3
iL t  
100
.
10
dt  iL 0
6
0
1.10

iL t  
Se o indutor estiver
descarregado em t=0
então iL(0)=0
1
iL
100 .10 3 (t  0)  0
6
1.10
100 A
iL t   100 .10 3 t
1ms
t
Circuitos RL
 Carregando um Indutor com Fonte de Corrente
iL
R1
1k
iL
+ vR I1
10mA
R1
1k
L1
1uH
+
V1
10V
-
+
vL
-
L1
1uH
vL t   vR t   V1t   R1 I1t 
Como iR1 =iL então vR é
igual a iL.R1
iL
I1
Equação
Diferencial
Reg. Trans.
iL (0)
0
Reg. Perm
L1
diL t 
 R1iL t   R1 I1t 
dt
Se I1(t) for constante igual a I1
para t>0 e em t=0 iL= iL(0) então:
t
Resposta para t= (Regime Permanente)
Possui Mesma Natureza da Fonte
iL t   I1  I1  iL 0e
-t
L1
R1 
Resposta Transitória ou Natural
Depende da estrutura do circuito
Circuitos RL
 Descarregando um Indutor
I1(t>t0)=0
R1
1k
iL
L1
1uH
vL
+
diL t 
L1
 R1iL t   R1 I1t 
dt
Equação
Diferencial
iL
Se I1(t) = 0 constante para t>t0 e em
t=t0 iL= iL(t0) então:
iL(t0)
Reg. Trans.
Reg. Perm
0
t0
t
iL t   0  0  iL t0 e
Resposta para t= (Regime Permanente)
Possui Mesma Natureza da Fonte
-
t t0 
L1 R1
Resposta Transitória ou Natural
Depende da estrutura do circuito
iL t   iL t0 e
-
t t0 
L1 R1
Circuitos Indutivos
 Potência no Indutor
pc t   vc t ic t 
Potência Instantânea
Varia ao longo do tempo
Em um momento pode ser positiva
e em outro negativa
i(t)
+
v(t)
-
 O Indutor Armazena Energia Elétrica
 No instante de tempo “t” o indutor que encontra-se carregado com “I”
ampères armazena “w” Joules:
A energia armazenada no indutor também pode variar ao longo do tempo
L
Bipolos Equivalentes - Associação de Capacitores
 Capacitores
 Em Série
i C1
+
v
-
C2
...
+ v 1 - + v2 -
Cn
+ vn -
v  v1  v2    vn 
1
1
1
idt 
idt   
idt
C1
C2
Cn


1
1 
1
 1
v


idt

idt

Cn 
Ceq
 C1 C 2

i
+
v
-

Ceq
1
1
1
1



Ceq C1 C 2
Cn

VCeq t0   VC1 t0   VC 2 t0     VCn t0 
 Em paralelo
i
+
v
-
i1
C1
i
+
v
-
Ceq
i2
...
i
C2 n
Cn
i  i1  i2    in  C1
dv
dv
dv
 C2
   Cn
dt
dt
dt
i  C1  C 2    Cn 
dv
dv
 Ceq
dt
dt
Ceq  C1  C2    Cn
VCeq t0   VC1 t0   VC 2 t0     VCn t0 
Bipolos Equivalentes - Associação de Indutores
 Indutores
 Em Série
i
+
v
-
L1
L2
+ v1 - + v2 -
+ vn - v  v  v    v  L1 di  L2 di    Ln di
1
2
n
dt
i
v  L1  L2    Ln 
+
v
-
Leq
Leq  L1  L2    Ln
 Emi Paralelo
+
v
-
i1
L1 i2
...
L2
in
di
di
 Leq
dt
dt
1
1
1
vdt 
vdt   
vdt
L1
L2
Ln



Leq
1
1
1
1



Leq L1 L2
Ln
dt
iLeq t0   iL1 t0   iL 2 t0     iLn t0 
i  i1  i2    in 
Ln
dt
1
1 
1
 1
i


 vdt 
Ln 
Leq
 L1 L2
i
+
v
-
...
Ln

 vdt
iLeq t0   iL1 t0   iL 2 t0     iLn t0 
Equacionando Circuitos RLC
Sempre chegaremos a
uma Equação diferencial
n
dnx
dt n
  n1
d n1 x
dt n1
   1
dx
  0 x   t 
dt
 São utilizados os mesmos métodos empregados para equacionar os
circuitos resistivos
 Aplicação sistemática das Leis de Kirchhoff
 Técnicas de Redução de Circuitos
• Associações Série e Paralelo
• Transformações e Explosões de Fontes
• Teoremas de Thevenin e Norton
 Princípio da Superposição
 Método das Correntes de Malha
 Método das Tensões de Nó
 Com a adição de dispositivos com relações VxI que envolvem
integral e derivada (capacitores e indutores)
 Exemplo (RL) (Método das Correntes de Malha):
R
RI + L
+
V1
-
I
L
dI
– V1= 0
dt
L dI
V1
I 
R dt
R
Resolvendo...
t
V1  V1
 LR
I 

 I L 0 e
R  R

vR  RI
vL  L
dI
dt
Equacionando Circuitos RLC
 Exemplo (RL)
 Usando o Método das Correntes de Malha Algorítmico
R
I(t) ( R + ??? ) = V1
+
V1 I(t)
L
-
Operador derivada “D”
L d()
dt
L I(t) d() = L dI(t)
dt
dt
I(t)R + L dI(t) = V1
dt
A notação na forma de operadores será útil em circuitos
maiores quando for necessário resolver sistemas de equações
Equacionando Circuitos RLC
 Propriedades dos Operadores Derivada
d()
e Integral ()dt

dt
 Produto de uma função do tempo (fontes) com o operador ou vice versa
f(t) = f(t) dt =  f(t)
 

f(t)D = df(t) = Df(t)
dt
 Produto de uma constante com o operador ou vice versa
K () dt = () dt K


d()
K
K d() =
dt
dt
 Produto entre os operadores
d() d() d2()
= 2 =D2
dt
dt dt
() dt () dt = () dt =2






D =  D = 1   =

1
D
Equacionando Circuitos RLC
 Exemplo (RL) (Método das tensões de Nó)
R1
+
V1
-
i1
i1  i2  i3  0
A
i2
L1
i3
V A  V1 1
V

V A dt  A  0
R1
L
R2

R2
1
1 
1
 1
V A dt  V A 

  V1
L
R1
 R1 R2 

Multiplicando ambos os lados por D
1 
1
 1
DV A 

  V A  DV1
L
 R1 R2 
1  dV A 1
1 dV 1
 1

 VA 
0


R
1
R
2
dt
L
R
1
dt


VA
1
L
  dt  V
1 
1
 1


V
1


A
R1
 R1 R2 
1
1 1
1
 1
VA 


  V1
R1
 R1 R2 L D 
Se V1 for independente do tempo
Equacionando Circuitos RLC
 Exemplo (RC) (Método das Tensões de Nó)
R1
A
R2
+
V1
R3
i(t)
B
C1
-
I1
1
1 
 1
 1 
 1 
VA 


  VB 
  V1

R
1
R
2
R
3
R
2
R
1






d  
 1 
 1
 VA 
 C1
  VB 
  I1
dt 
 R2 
 R2
 1
1
1 
 1  




 
  1 

V



 R2    A   V1
 R1 R2 R3 
R
1



 1 
 1
 VB   


 C1 D 


 I1 

 R2 
 R2


it   C1
dV B
dt
Também se poderia ter simplificado o circuito a esquerda
do capacitor, eliminando o Nó A, obtendo-se um sistema
de 1 equação de Nó
Equacionando Circuitos RLC
 Exemplo (RL) (Método das Correntes de Malha)
R1
+
V1
i1(t)
i(t)
R3
i3  I1
R2
i2(t)
i1 R1  R3  i2 R3  V1
i (t)
L1 3
I1
d  
d 

 i1 R3   i2  R2  L1
0
  i3 L1
dt 
dt

-
d  
dI1

 i1 R3  i2  R2  L1
  L1
dt 
dt

R1  R3

  R3
 R3
 i1   V1 

   
d
I
1
R2  L1D  i2  -L1 dt 
i(t) = i2(t)
Também se poderia ter simplificado o circuito a
esquerda do indutor, eliminando a malha 1. obtendose assim um sistema de 1 equação de malha
Equacionando Circuitos RLC
 Exemplo (RLC) (Método das Correntes de Malha)
C
R
1
d  

 dt  L
i1  R 
  V1
C
dt



+
V1
-
i1(t)
L
i1 R 
1 1
i1  LDi1  V1
CD
Derivando ambos os lados em relação ao tempo
(multiplicar ambos os lados por D)
di1 1
d 2i1 dV1
R
 i1  L 2 
dt C
dt
dt
Re-arranjando e dividindo tudo por L
d 2i1 R di1
1
1 dV1


i

0
1
2
dt
L dt LC
L dt
Equação diferencial
de 2ª ordem
Se V1 for independente
do tempo
Equacionando Circuitos RLC
 Possíveis soluções para uma Equação Diferencial de 2ª Ordem Homogênea
d 2i1 R di1
1


i1  0
2
dt
L dt LC
i1 t   A 1 e
s1t
 A 2e
s 2t
s1; s2    w d w d   2  w 02

1
2RC
Superamortecida
w0 
1
LC
i(t)
2>w02  s1 e s2 reais negativos
A1 e A2 são reais e dependem de iL(t0) e vC(t0)
i1 t   B1 e
t
cosw dt   B 2 e
t
sen w dt 
t
Subamortecida
i(t)
2<w02  s1 e s2 complexos conjugados
B1 e B2 são reais e dependem de iL(t0) e vC(t0)
i1 t   D1te
t
 D2 e
t
Criticamente amortecida
=w0  s1 = s2 = -  reais iguais
D1 e D2 são reais e dependem de iL(t0) e vC(t0)
t
i(t)
t