MATEMÁTICA II
AULA 06: INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E HIPERBÓLICAS,
E POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA OU HIPERBÓLICA
TÓPICO 01: INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E HIPERBÓLICAS
VERSÃO TEXTUAL
Quando o integrando é uma potência inteira positiva de uma das
funções trigonométricas ou hiperbólicas, ou ainda, um produto de tais
potências, o cálculo da integral exige também um tratamento especial,
este tópico mostra o procedimento a ser seguido. Inicialmente será
visto somente o caso em que o integrando dependente do seno e coseno, posteriormente será tratado o caso em que o integrando depende
do restante das funções trigonométricas e das hiperbólicas. Vale
ressaltar que as integrais a serem tratadas neste tópico, serão úteis
para calcular integrais do grupo de funções a ser visto no tópico
seguinte desta aula.
Para integrar potências de funções trigonométricas, inicialmente serão
distinguidos dois casos relativos a integrais dos tipos:
onde m e n são inteiros positivos.
1o Caso. Se m é ímpar.
Quando m=1, o procedimento já foi abordado. Se m
identidade
cos2u + sen2u = 1,
de acordo como será ilustrado no exemplo seguinte.
Exemplo Resolvido 1.
Calcular as integrais seguintes:
(a)
SOLUÇÃO
(a) Sendo
tem-se
;
(b)
.
3,aplica-se a
(b) Como
tem-se
EXEMPLO PROPOSTO 1
Mostrar que:
(a)
;
(b)
.
2o Caso. Se m e n são pares.
Neste caso, usa-se uma das identidades
,
a fim de reduzir o expoente da potência. O procedimento será ilustrado
no exemplo a seguir.
Exemplo Resolvido 2.
Calcular as seguintes integrais:
(a)
;
(b)
.
SOLUÇÃO
(a) Sendo
,
tem-se
.
(b) Como
,
tem-se
.
No item (a), encontrou-se
e usando a técnica do caso anterior, acha-se
.
Substituindo, encontra-se
.
EXEMPLO PROPOSTO 2
Provar que:
(a)
;
(b)
.
Integrais dos tipos
podem ser calculadas usando as respectivas fórmulas, veja as fórmulas
para adição de seno e co-seno de medidas de ângulos:
Tais integrais podem ser ainda feitas usando integração por partes,
embora seja um processo mais trabalhoso.
Exemplo Resolvido 3.
Calcular
SOLUÇÃO
Sendo
obtém-se
.
EXEMPLO PROPOSTO 3
Provar que
.
Essencialmente, as potências de seno e co-seno são integradas usandose basicamente as identidades escritas nos casos 1 e 2. Para integrar as
potências do restante das funções trigonométricas, usa-se um procedimento
similar; ou seja, se m e n são inteiros positivos, as integrais dos tipos:
são feitas usando-se a princípio as identidades
conforme seja a integral; exceto as integrais
quando m é ímpar, e
quando m é par e n é ímpar, que se usa integração por partes. Os
exemplos seguintes ilustram as técnicas.
Exemplo Resolvido 4.
Calcular as seguintes integrais
(a)
(c)
(b)
;
;
;
(d)
.
SOLUÇÃO
(a) Como
(b) Como
, tem-se
, tem-se
(c) Como
, tem-se
(d)
Como
, tem-se
EXEMPLO PROPOSTO 4
Mostrar que:
(b)
(a)
;
;
(c)
;
O exemplo a seguir, ilustra os casos em que se usa integração por partes.
Exemplo Resolvido 5.
Calcular as seguintes integrais:
(b)
(a)
.
SOLUÇÃO
(a) Sejam
então
logo
daí substituindo
obtém-se
(b) Sejam
então
logo
e isolando
,
mas
onde foi usada
substituindo
calculada no item anterior, portanto
e isolando
, obtém-se
EXEMPLO PROPOSTO 5
Provar que:
(a)
(b)
.
;
Para integrar potências de funções hiperbólicas, são usados
procedimentos análogos aos que foram vistos para potências de funções
trigonométricas. Os exemplos a seguir ilustram tais procedimentos.
Exemplo Resolvido 6.
Resolver as seguintes integrais:
(a)
SOLUÇÃO
(a) Tem-se
(b) Como
tem-se
;
(b)
.
EXEMPLO PROPOSTO 6
Mostre que:
(b)
(a)
;
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.adobe.com/go/getflashplayer
Responsável: Prof. José Othon Dantas Lopes
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
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