LOM3090 – Mecânica dos Sólidos Aplicada
Prof. Dr. João Paulo Pascon
DEMAR / EEL / USP
Aula passada
• 4.2. Tensões Principais e Invariantes
• 4.3. Tensões Octaédricas
Invariantes modificados
3  I12  I2  I3  0
3
2
I 
I 
I 



 ' 1   I1  ' 1   I 2  ' 1   I3  0
3
3
3



2
3
2
 3 2
 2 2
I1 I1 
I1 
I
 ' ' I1  '    I1  '  ' I1    I 2  ' 1   I 3  0


3 27 
3
9 
3



 I12 2I12
  I1I 2 2 3


'  '  
 I 2   
 I1  I 3   0
3

 3
  3 27
3
 I12
  2I13 I1I 2

' '   I 2   

 I 3   0
3
 3
  27

3
'3 ' J 2  J3  0
Tensão cisalhante octaédrica
n oct
 
1
 
    2 
3
 
 
t  σ  n oct
1
  0
 0
 oct  t  n oct
0     1 
2
2
2
1   2  3
  


0      2    t 
3





3    3 
0
2
0
 1   

      2  3 I1
  2       1

3
3
    
 3   
  2  3 I1
 1

3
9
2
oct  t  oct
2
2
2
2
2
2
Tensão cisalhante octaédrica
  2  3 I1
 1

3
9
2
oct  t  oct
2
2
2
2
2
2
I1  1  2  3   1  2  3  212  13  23   1  2  3  2I2
2
2
oct
2
2
2
2

2
I  2I 2 I1
2
2
2
2
2
2
 1

  x   y  z    x  y   x z   y z   xy   xz   yz
3
9 9
3
2
2
2
2


 
oct 
1
2
2
2
2
2
2
2  x   y   z  2 x  y  2 x  z  2 y  z  6  x  y   x  z   y  z   xy   xz   yz
9
oct 
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 x  2 x  y   y   x  2 x  z   z   y  2 y  z   z  6  xy   xz   yz
9
2
2
oct 
1
3


 
 

 
x   y    x   y    x   y   6  xy   xz   yz
2
2
2
2
2
2



Aula de hoje
• 4. Critérios de Falha
– 4.1. Equações de Transformação no caso Triaxial
– 4.2. Tensões Principais e Invariantes
– 4.3. Tensões Octaédricas
– 4.4. Critérios de Fratura para Materiais Frágeis
– 4.5. Critério de Tresca
– 4.6. Critério de Von Mises
– 4.7. Componentes Hidrostático e Desviador
4.4. Critérios de Fratura para Materiais Frágeis
• Material dúctil x material frágil
• Fratura frágil
– Concreto
– Cerâmica
– Vidro
4.4. Critérios de Fratura para Materiais Frágeis
• Materiais sob Estado Plano de Tensão (EPT)
– Tensões principais
– Critério da máxima tensão normal (Coulomb)
– Critério de Rankine
– Critério do círculo de Mohr
• Tensões principais com mesmo sinal
• Tensões principais com sinal diferente
• Diagrama simplificado
Exemplo 4.8. Critério de Fratura para Material Frágil
• Para os dois estados planos de tensão, determinar se ocorrerá ruptura:
– (a) critério de Coulomb (σU = 120 MPa);
– (b) critério de Mohr (σUT = 80 MPa, σUC = 200 MPa).
4.5. Critério de Tresca
• Critério de plastificação para material dúctil
• Observação experimental (estado uniaxial)
• Modelo de Tresca (EPT):
– Tensões principais com mesmo sinal
– Tensões principais com sinais opostos
4.6. Critério de Von Mises
• Critério de plastificação para material dúctil
• Energia de deformação específica (densidade de energia de deformação)
– Definição de trabalho (ou energia)
– Estado uniaxial
– Estado 3D
• Observação experimental
• Modelo de von Mises
– Teoria da máxima energia de distorção
4.6. Critério de Von Mises (3D)
ud 
1 
2
2
2
1   m    2   m    3   m   2 1   m  2   m   2  1   m  3   m   2  2   m  3   m  


2E 
ud 
1 1
2
2
2
21   2   3    2 2  1   3    2 3  1   2   2  21   2   3  2 2  1   3 

2E 9 
2  2 1   2   3  2 3   1   2   2  2 2   1   3  2 3   1   2  
ud 

 

1 1
412   2 2   32  41 2  41 3  2 2 3  4 2 2   12   32  41 2  4 2 3  2 1 3 
2E 9 
 4
2
3


 12   22  41 3  4 2 3  21 2  2 41 2  212  21 3  2 2 2  1 2   2 3  2 2 3  1 3   32




2 41 3  212  21 2  2 2 3  1 2   22  2 32  1 3   2 3

2 4 2 3  21 2  2 22  21 3  12  1 2  2 32  1 3   2 3 

ud 
1 
1  
6  6  12   22   32   6  6 1 2  1 3   2 3   
2 12   2 2   32  2  1 2   1 3   2 3 

 6E 

18E 
ud 
1   2
1  21 2   2 2  12  21 3   32   22  2 2 3   32 

6E 



 

 


4.6. Critério de Von Mises
• Modelo de von Mises
– Estado 3D
– Estado uniaxial
– EPT
Exemplo 4.9. Critério de Plastificação para Material Dúctil
• Para os dois estados planos de tensão, determinar se ocorrerá plastificação:
– (a) critério de Tresca (σe = 120 MPa);
– (b) critério de von Mises (σe = 100 MPa).
Exemplo 4.10. Critérios para Estados Triaxiais
• Para o estado de tensão triaxial referente ao Exemplo 4.4, verificar os
critérios de Coulomb, Tresca e von Mises para os seguintes materiais:
– Concreto de alto desempenho (σU = 100 MPa);
– Cerâmicas reforçadas por cristais de alumina (σU = 180 MPa);
– Aço estrutural A36 (σe = 250 MPa);
– Liga de alumínio 2014-T6 (σe = 300 MPa);
1  486,952MPa
– Liga de titânio (σe = 924 MPa).
 2  319,127MPa
 3  32,175MPa
Exemplo 4.11. Critério para EPT
• Para uma viga em balanço com 2 m de comprimento, seção transversal
retangular (1 cm de largura e 50 cm de altura), e com uma carga transversal
de 10 kN na extremidade livre, determinar se ocorrerá falha ou escoamento
para os seguintes materiais:
– Coulomb: σrup = 30 MPa
– Mohr: σrup (tração) = 10 MPa; σrup (compressão) = 50 MPa
– Tresca: σesc = 80 MPa
– Von Mises: σesc = 150 MPa
4.7. Componentes Hidrostático e Desviador
• Mudança de volume em regime plástico
• Deformação volumétrica
• Tensão hidrostática
– Módulo de compressibilidade volumétrica
– Limite para o coeficiente de Poisson
• Tensão desviadora
Exemplo 4.12. Tensões hidrostática e desviadora
• Para o estado de tensão do exemplo 4.3, determinar:
– (a) as parcelas hidrostática e desviadora;
– (b) os invariantes da parcela desviadora
Tópicos da aula de hoje
• Critérios de fratura para materiais frágeis (Coulomb e Mohr)
• Critérios de plastificação para materiais dúcteis (Tresca e von
Mises)
• Componentes de tensão hidrostática e desviadora
• Material 4 – Critérios de Falha
– Lista 4
Próxima aula
• 5. Introdução à Teoria da Elasticidade
– 5.1. Estado de Tensão em um Sólido Contínuo
– 5.2. Relações Deformação-Deslocamento
– 5.3. Equações Diferenciais de Equilíbrio
– 5.4. Princípio de Saint-Venant
– 5.5. Problemas Bidimensionais
– 5.6. Equação de Compatibilidade
– 5.7. Relações Básicas em Coordenadas Polares
– 5.8. Tubos de Parede Grossa
– 5.9. Aplicação de Métodos Numéricos na Elasticidade
– 5.10. Resolução de Problemas pelo MEF