A LINGUAGEM DAS CATEGORIAS
GUSTAVO GRANJA
1. Introdução
A linguagem das categorias é uma linguagem muito útil em certas áreas da matemática, e em
Topologia Algébrica em particular. A ideia básica é que, sejam quais forem os objectos de estudo,
existe uma noção natural de aplicação ou morfismo entre objectos que deve ser tomada em conta. Os
objectos e os morfismos juntos formam uma categoria, que definiremos a seguir. Como sempre, é uma
boa ideia abstrair noções aplicáveis a cada categoria particular mas cuja definição e propriedades
dependem apenas dos axiomas verificados por qualquer categoria. É isso que faremos a seguir para
alguns dos conceitos mais simples e úteis.
2. Categorias, Functores e transformações naturais
Nesta secção definimos categorias. As categorias são elas mesmas objectos de estudo por isso
devemos considerar morfismos entre elas, que se chamam functores. Por sua vez, estamos também
interessados em estudar functores e portanto interessa considerar morfismos entre functores que se
chamam transformações naturais.
Categorias.
Definição 2.1. Uma categoria C consiste em
• Uma classe1 de objectos Ob(C)
• Para cada par de objectos X, Y ∈ Ob(C) um conjunto de morfismos ou setas HomC (X, Y )
• Para cada X ∈ Ob(C) um elemento identidade idX ∈ HomC (X, X)
• Para cada triplo de objectos X, Y, Z ∈ Ob(C) uma aplicação de composição
HomC (X, Y ) × HomC (Y, Z) −→
(f, g) 7→
HomC (X, Z)
g◦f
verificando os axiomas
(1) h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f
(2) f ◦ idX = f, idY ◦f = f
Exemplo 2.2. Exemplos de categorias:
(a) A categoria dos conjuntos Set: Os objectos são os conjuntos, e os morfismos as funções. A
identidade e a composição são as usuais.
(b) A categoria dos grupos Group: Os objectos são os grupos e os morfismos os homomorfismos de
grupos. A identidade e a composição são as usuais.
(c) A categoria dos grupos abelianos Ab: Os objectos são os grupos abelianos. Os morfismos são os
homomorfismos de grupos.
(d) A categoria dos anéis comutativos Ring: Os objectos são os anéis comutativos (com identidade)
e os morfismos são homomorfismos de anéis (que preservam a identidade).
(e) A categoria das variedades diferenciáveis Man: Os objectos são variedades diferenciáveis e os
morfismos são aplicacões diferenciáveis.
Date: December 30, 1999.
1Poder ser própria, isto é não ser um conjunto
1
2
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(f) A categoria dos espaços topológicos Top: Os objectos são espaços topológicos e os morfismos
são as aplicações contı́nuas.
(g) A categoria dos espaços topológicos pontuados Top∗ :
Ob(Top∗ ) = {(X, x0 ) : X ∈ Ob(Top), x0 ∈ X}
HomTop∗ ( (X, x0 ), (Y, y0 ) ) = {f ∈ HomTop (X, Y ) : f (x0 ) = y0 }
A identidade e a composição são as usuais.
(h) A categoria dos pares de espaços topológicos ParT op:
Ob(Top∗ ) = {(X, A) : A, X ∈ Ob(Top), A ⊂ X}
HomTop∗ ( (X, A), (Y, B) ) = {f ∈ HomTop (X, Y ) : f (A) ⊂ B}
A identidade e a composição são as usuais.
Apenas com base nos axiomas verificados por uma categoria podemos dizer o que se entende por
objectos equivalentes:
Definição 2.3. Seja C uma categoria. Um morfismo f ∈ HomC (X, Y ) diz-se um isomorfismo se
existe g ∈ HomC (Y, X) tal que g ◦ f = idX e f ◦ g = idY .
Note que nos exemplos de categoria acima, um isomorfismo é precisamente a noção usual de
equivalência entre objectos. Por exemplo, um isomorfismo em Top não é mais do que um homeomorfismo.
Para definirmos a categoria que é o objecto de estudo da topologia algébrica precisamos de alguns
preliminares.
Definição 2.4. Duas aplicações contı́nuas f, g : X −→ Y são homotópicas se existe uma aplicação
contı́nua H : X × [0, 1] −→ Y tal que H(x, 0) = f (x) e H(x, 1) = g(x). Nesse caso H chama-se
uma homotopia entre f e g. A relação de homotopia escreve-se f ∼ g.
Intuitivamente, duas aplicações são homotópicas, se se podem deformar contı́nuamente uma na
outra. É fácil de verificar que a relação de homotopia é uma relação de equivalência no conjunto
das aplicações contı́nuas entre dois espaços. Além disso, se f ∼ g então f ◦ h ∼ g ◦ h e j ◦ f ∼ j ◦ g
portanto a seguinte definição faz sentido.
Definição 2.5. A categoria de homotopia Ho é a categoria definida da seguinte forma:
Ob(Ho) = Ob(Top)
HomHo (X, Y ) = HomTop (X, Y )/ ∼
Isto é os morfismos são as classes de homotopia de aplicações contı́nuas entre X e Y . A identidade
e a composição são induzidas pela composição e identidade em Top.
Uma aplicação contı́nua f : X −→ Y cuja classe de homotopia é um isomorfismo em Ho chama-se
uma equivalência de homotopia e diz-se então que X e Y têm o mesmo tipo de homotopia.
A notação utilizada usualmente para o conjunto das classes de homotopia entre dois espaços
topológicos é a seguinte:
[X, Y ] := HomHo (X, Y )
Interessa também considerar a noção de homotopia apropriada às categorias Top∗ e ParT op.
Nesse caso, as homotopias devem preservar respectivamente o ponto de base ou o subespaço. E
dizem-se então homotopias baseadas ou homotopias relativas respectivamente. A notação
utilizada para o conjunto das classes de homotopia é neste caso
[(X, xo ), (Y, y0 )]
ou
[(X, A), (Y, B)]
respectivamente. Estas noções permitem definir as categorias de homotopia dos espaços pontuados
e dos pares de espaços topológicos, tal como acima.
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Os exemplos anteriores são do género que foi referido na introdução. Isto é trata-se de categorias
de objectos que são usualmente estudados nas várias áreas da matemática. No entanto, é claro dos
axiomas que definem uma categoria que uma categoria é uma estrutura algébrica. Eis exemplos mais
próximos deste ponto de vista:
Exemplo 2.6. (a) A categoria G de um grupo: Seja G um grupo. A categoria G é definida por:
Ob(G)
HomG (∗, ∗)
= {∗}
= G
A identidade do único objecto ∗ é a identidade do grupo e a composição de morfismos é dada
pela operação de multiplicação do grupo.
(b) A categoria n: Seja n um número natural. A categoria n é definida por:
= {0, 1, . . . , n}
∅
se k > l
Homn (k, l) =
{∗} se k ≤ l
Ob(n)
A identidade é definida da única maneira possı́vel, a composição das setas k −→ l e l −→ m é
definida como sendo a seta k −→ m.
Uma maneira de representar uma categoria é desenhando um diagrama com objectos e setas
entre eles representando os morfismos (é costume omitir as identidades). A composição é indicada
por meio da imposição que o diagrama comute. Isto é, que dados dois percursos entre objectos no
diagrama as correspondentes composições de setas sejam iguais.
Eis, por exemplo, uma representação da categoria 2 do exemplo acima:
/1
0>
>>
>>
>>
2
Nota 2.7. Note que no exemplo (a) acima poderı́amos ter considerado um monóide em vez de um
grupo. De facto, uma categoria com um único objecto não é mais do que um monóide, e portanto
podemos pensar numa categoria como um “monóide generalizado”.
Outros exemplos de categorias podem ser obtidos fazendo construções sobre uma categoria C.
Um exemplo particularmente importante advém do facto dos axiomas na definição de uma categoria
serem auto-duais. Isto é, se numa categoria C trocarmos o sentido de todas as setas e invertermos
a ordem da composição, obtemos ainda uma categoria. Isso faz com que dada qualquer definição
ou proposição sobre categorias, exista sempre uma definição ou proposição dual que se obtém
invertendo o sentido de todas as setas. Veremos vários exemplos adiante.
Definição 2.8. Seja C uma categoria. A categoria oposta de C é a categoria Cop definida por:
Ob(Cop )
HomCop (X, Y )
= Ob(C)
= HomC (Y, X)
A identidade em Cop é igual á identidade em C, e a lei de composição é definida por:
HomCop (X, Y ) × HomCop (Y, Z) −→
(f, g) 7→
HomCop (X, Z)
f ◦g
Functores.
Definição 2.9. Sejam C, D categorias. Um functor F : C −→ D consiste em
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• Uma correspondência unı́voca2, chamada função objectos:
Ob(C) −→
X 7→
Ob(D)
F(X)
• Para cada par de objectos X, Y ∈ Ob(C) uma função chamada função morfismos:
HomC (X, Y ) −→
f 7→
HomD (F(X), F(Y ))
F(f )
verificando
F(f ◦ g) = F(f ) ◦ F(g)
Os functores chamam-se também functores covariantes. Um functor contravariante de C em
D é um functor Cop −→ D.
Note-se que não é necessário exigir que um functor preserve as identidades. Isso é uma consequência imediata do facto de preservar a composição.
Um functor contravariante é simplesmente um functor que inverte o sentido das setas. Veremos
exemplos já a seguir.
Exemplo 2.10. Exemplos de functores:
(a) O functor π0 : Top −→ Set, que a X associa o conjunto π0 (X) das componentes conexas por
caminhos de X e que a uma aplicação contı́nua f associa a função
π0 (f ) : π0 (X) −→ π0 (Y )
definida por π0 (f )([x]) = [f (x)] (onde [x] designa a componente conexa por caminhos a que
x ∈ X pertence).
Na realidade este functor verifica π0 (f ) = π0 (g) se f ∼ g e portanto define também um
functor π0 : Ho −→ Set.
(b) O functor esquecido F : Group −→ Set que a um grupo associa o conjunto subjacente e a um
homomorfismo de grupos associa a função subjacente.
(c) Se C designa a categoria dos domı́nios integrais e D a categoria dos corpos (ambas subcategorias
de Ring), existe um functor K(−) que associa a R ∈ Ob(C) o seu corpo de fracções K(R) ∈
Ob(D) e que é definido nos morfismos por:
K(R1 )
a
b
K(f )
−→
7→
K(R2 )
f (a)
f (b)
(d) Sendo Vect a categoria dos espaços vectoriais, existe um functor contravariante (−)∗ : Vect −→
Vect que associa a um espaço vectorial V o seu dual, e a uma aplicação linear f : V −→ W a
sua transposta
f ∗ : W ∗ −→ V ∗
(e) O functor contravariante C ∞ (−; R) : Man −→ Ring que associa a uma variedade diferenciável
M as funções reais diferenciáveis em M e cuja função morfismo associa a f : M −→ N o
homomorfismo de anéis
f∗
C ∞ (N ; R) −→ C ∞ (M ; R)
ϕ 7→ ϕ ◦ f
Há também exemplos de functores que podem ser construı́dos apenas com base na definição de
categoria.
Exemplo 2.11. Sejam C uma categoria, e X ∈ Ob(C).
2Pode não ser uma função porque os objectos não são necessáriamente conjuntos
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(a) O functor FX : C −→ Set é definido da seguinte forma: A função objecto é dada por
F
X
Ob(C) −→
A 7→
Ob(Set)
HomC (X, A)
e dado um morfismo f : A −→ B em C, F(f ) é definido por
FX (f )
−→
7→
HomC (X, A)
g
HomC (X, B)
f ◦g
(b) O functor contravariante FX : C −→ Set é definido da seguinte forma: A função objecto é dada
por
FX
Ob(C) −→
A 7→
Ob(Set)
HomC (A, X)
e dado um morfismo f : A −→ B em C, F(f ) é definido por
HomC (B, X)
g
F X (f )
−→
7→
HomC (A, X)
g◦f
Os functores do exemplo anterior, (ou mais precisamente os naturalmente equivalentes3 a eles)
chamam-se functores representáveis. Muitos dos functores de interesse em topologia algébrica são
representáveis. Uma das razões porque este conceito é importante é que quando um functor é
representável, é suficiente estudar o objecto que o representa.
Transformações naturais.
Definição 2.12. Sejam C e D categorias, e F, G : C −→ D dois functores. Uma transformação
natural entre F e G consiste em, para cada objecto X de C uma aplicação
φX : F(X) −→ G(X)
tal que, dado qualquer morfismo f ∈ HomC (X, Y ) o seguinte diagrama comuta
F(X)
F(f )
φX
G(X)
/ F(Y )
φY
G(f )
/ G(Y )
Uma transformação natural φ diz-se uma equivalência natural se para todo o X, o morfismo φX
é invertı́vel.
Note que a inversa de uma equivalência natural (definida como sendo o morfismo inverso em cada
objecto) é também uma equivalência natural.
A definição anterior com as alterações óbvias, é também válida para functores contravariantes.
Exemplo 2.13. Exemplos de transformações naturais.
(a) Considerem-se os seguintes functores:
• (−)× : Ring −→ Group que a um anel R associa o grupo multiplicativo R× dos elementos
invertı́veis no anel e a um homomorfismo de anéis a restrição ao subconjunto dos elementos
invertı́veis.
3No sentido da seccão seguinte
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• GL(n; −) : Ring −→ Group que a um anel associa o grupo GL(n; R) das matrizes n ×
n invertı́veis com entradas no anel R e a um homomorfismo de anéis f : R −→ S o
homomorfismo de grupos (aij ) 7→ (f (aij )).
Então detR : GL(n; R) −→ R× , que associa a cada matriz invertı́vel o seu determinante é uma
transformação natural.
(b) Considere-se os functores identidade id e duplo dual (−)∗∗ : Vect −→ Vect. Então
V
v
φV
−→
7→
V ∗∗
(f 7→ f (v))
onde f ∈ V ∗ é uma transformação natural. Se restringirmos φ à subcategoria dos espaços
vectoriais de dimensão finita obtemos uma equivalência natural.
Nota 2.14. O sinal = entre dois objectos matemáticos significa que estes são naturalmente equivalentes. Se formos a ver bem as coisas, nada é exactamente igual em Matemática. Mas muitas coisas
são naturalmente equivalentes. Por isso se costuma escrever se V é um espaço vectorial de dimensão
finita que V = V ∗∗ .
Aproveitamos aqui para definir precisamente o que se entende por functores representáveis.
Definição 2.15. Sejam C uma categoria e F : C −→ Set um functor. F diz-se representável, se
é naturalmente equivalente a um functor FX definido no Exemplo 2.11 para algum X em Ob(C).
Um functor contravariante F : C −→ Set diz-se representável, se é naturalmente equivalente a um
functor FX definido no Exemplo 2.11 para algum X em Ob(C). Em qualquer dos casos, diz-se que
X é um objecto representante de F.
3. Propriedades universais
Propriedades universais são propriedades que identificam uma seta por comparação com todas as
“outras setas do mesmo tipo”. É a referência a todas as outras setas que justifica o nome universal.
Esta ideia é melhor ilustrada por meio de exemplos:
Exemplo 3.1. O grupo abeliano livre gerado por um conjunto S: Seja S um conjunto fixo e
considerem-se todas as funções f : S −→ G onde G é um grupo abeliano.
Entre todas estas funções, existe uma especial: considere-se o grupo
(
)
X
ZS :=
ni xi : ni ∈ Z, xi ∈ S, I finito
i∈I
formado pelas combinações lineares finitas de pontos de S com coeficientes em Z 4. Considere-se a
função h : S −→ ZS que a cada x ∈ S associa a combinação linear 1x.
Esta função tem a seguinte propriedade universal : Dada outra seta do mesmo tipo, f : S −→ G
existe um único homomorfismo de grupos φ : ZS −→ G tal que f = φ ◦ h. Esta propriedade costuma
indicar-se por meio do diagrama:
S
f
/G
|=
|
h |
| ∃!φ
ZS
Isto é verdade porque, se φ é um homomorfismo que faz o diagrama comutar, então
X
X
X
φ(
ni xi ) =
ni φ(xi ) =
ni f (xi )
i
i
i
pelo que φ fica únicamente determinado em ZS. Por outro lado, a expressão acima define um
homomorfismo tal que φ ◦ h = f .
4Formalmente, ZS é o grupo das funções S −→ Z que associam 0 a todos os pontos de S excepto um número
finito, com a soma definida pontualmente.
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Por palavras, a propriedade universal diz: dar um homomorfismo de grupos entre ZS e G é
a mesma coisa que dar uma função de S em G. Daı́, o grupo G se chamar o grupo livremente
gerado por S. Os pontos de S geram o grupo e não há quaisquer relações entre eles. Para dar um
homomorfismo a partir de G podemos escolher livremente os valores a dar aos geradores.
É importante notar que a propriedade universal determina o grupo5 ZS a menos de um isoh1
h2
morfismo único: De facto, suponhamos que S −→
U1 e S −→
U2 são funções com a propriedade
universal (qualquer outra função do mesmo tipo factoriza por elas de forma única). Então
/
}}> U1
∃!ψ }}
}}∃!φ
h2
}
~}
U2
S
h1
Mas então os seguintes diagramas comutam
/ U1
}
}
}
h1
}}
}~ } ψ◦φ
U1
S
/ U2
}>
}
}
h2
}}
}} φ◦ψ
U2
h1
S
h2
Pela propriedade universal aplicada a estes diagramas, concluı́mos que φ ◦ ψ = idU1 e ψ ◦ φ = idU2 .
Isto é φ e ψ são isomorfismos inversos, que estabelecem uma equivalência única entre as duas setas
h1 e h2 .
Exemplo 3.2. O grupo quociente de um grupo G por um seu subgrupo J: Considerem-se os
homomorfismos de grupos f : G −→ H tais que f (J) = 0. O grupo quociente G/H é a imagem da
seta g com a propriedade universal
g
{
G/J
/H
{=
f
G
{
{ ∃!φ
A propriedade universal diz que dar um homomorfismo de G/J é a mesma coisa que dar um homomorfismo de G que se anule em J. Como acima, se existir, o grupo quociente é único. Um modelo
para o grupo quociente é dado da seguinte forma: A relação x ∼ y ≡ x − y ∈ J define uma relação
de equivalência em G. G/J é o conjunto quociente com a soma definida por [x] + [y] := [x + y]. É
fácil ver que a seta g : G −→ G/J tal que g(x) = [x] é universal.
Exemplo 3.3. O produto tensorial de dois grupos abelianos G1 e G2 : Sejam G1 e G2 grupos
abelianos fixos e. Recorda-se que sendo H um grupo abeliano, uma aplicação f : G1 × G2 −→ H se
diz bilinear se
f (x + y, z) = f (x, z) + f (y, z)
f (x, w + z) = f (x, w) + f (x, z)
Considerem-se todas as aplicações bilineares f : G1 × G2 −→ H. Então, o produto tensorial é o
contradomı́nio da aplicação g com a propriedade universal:
G1 × G2
g
v
v
G1 ⊗ G2
f
v
v
/
v: H
∃!φ
Isto é, para qualquer aplicação bilinear f existe um único homomorfismo de grupos φ tal que f = φ◦g.
5Mais ainda, determina a seta S −→ ZS
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Notem que pelo argumento do exemplo anterior, se existir, o produto tensorial está únicamente
determinado pela propriedade acima. Aliás, esta é a maneira certa de pensar no produto tensorial.
Independentemente da construção (já vamos dar uma), o produto tensorial G1 ⊗ G2 é o único grupo
abeliano tal que dar um homomorfismo dele num grupo H é a mesma coisa que dar uma aplicação
bilinear de G1 × G2 em H.
Podemos construir um modelo para o produto tensorial da seguinte forma. Considere-se o grupo
livre ZG1 × G2 gerado pelo conjunto G1 × G2 e considere-se o subgrupo J de ZG1 × G2 gerado pelos
elementos da forma (x + y, z) − (x, z) − (y, z) ∈ ZG1 × G2 e (x, w + z) − (x, w) − (x, z) ∈ ZG1 × G2 .
Isto costuma escrever-se
J = < (x + y, z) − (x, z) − (y, z), (x, w + z) − (x, w) − (x, z)|x, y ∈ G1 , w, z ∈ G2 >
Defina-se
G1 ⊗ G2 = (ZG1 × G2 )/J
É costume representar a classe de equivalência determinada pelo elemento (x, z) por x ⊗ z. Defina-se
f : G1 × G2 −→ G1 ⊗ G2 por
f (g1 , g2 ) = g1 ⊗ g2
Então é fácil verificar que f tem a propriedade universal requerida.
4. Limites e colimites
5. Functores adjuntos
References
[Ada] J. Adámek, H. Herrlich e G. Strecker, Abstract and concrete categories. The joy of cats. , Pure and Applied
Mathematics. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1990.
[Mac] S. MacLane, Categories for the working mathematician, GTM 5, Springer Verlag, 1971.