Luing Argôlo Santos (UESC)
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OFICINA
UMA NOVA ABORDAGEM DO TEOREMA DE PITÁGORAS: APLICAÇÕES,
DESAFIOS E DEMONSTRAÇÕES.
Público alvo: Professores da educação básica, graduados e graduandos em matemática
licenciatura e demais interessados no tema.
Objetivo geral: Essa oficina visa auxiliar na formação de professores de matemática
demonstrando como tornar as aulas de Geometria Euclidiana Plana mais interessantes. Para
isso abordaremos especificamente o Teorema de Pitágoras como tema central, utilizando
materiais concretos e situações do cotidiano para demonstrar a importância desse resultado
para o universo da matemática.
Conteúdos matemáticos: Teorema de Pitágoras. Conhecimento das figuras geométricas
planas: triângulos e quadrados. Propriedades dessas figuras e cálculo de suas áreas.
Construções elementares com régua e esquadro e com régua e compasso. Condição de
existência de um triângulo.
Materiais utilizados: Régua, esquadro, compasso, papel sulfite, tesoura, cartolina, palitos de
picolé e percevejos, palitos roliços de madeira, quadro e piloto.
Metodologia: Desenvolveremos no âmbito desse trabalho uma seqüência de questões que
irão explorar de várias maneiras e, inclusive, com situações problemas, a utilização do
Teorema de Pitágoras. Para isso, partiremos da condição de existência de um triângulo, depois
construiremos um triângulo retângulo com régua e esquadro e outro com régua e compasso.
Agora, deduziremos o teorema supracitado, algebricamente e com o uso de dobraduras.
Depois construiremos numa cartolina um quebra cabeças que também demonstra esse
teorema. Uma vez que estaremos familiarizados com o objeto de estudo, podemos utilizá-lo
em situações práticas. Assim, apresentaremos algumas situações-problemas que podem surgir
no dia a dia, que tornam a utilização desse resultado matemático de fundamental importância
para resolvê-los. Em toda oficina, daremos ênfase à investigação matemática e ao uso do
concreto em sala de aula.
Motivação
Uma escada de 15m utilizada por um caminhão do corpo de bombeiros está apoiada numa
parede conforme a ilustração abaixo. O que é necessário para calcular a altura entre o topo da
escada e o chão?
SEQÜÊNCIA DIDÁTICA
1) Experiência com palitos roliços de madeira.
Dadas as varetas tente construir triângulos usando três delas de cada vez.
Sempre que você pegou três varetas foi possível construir um triângulo?
a)
Escreva com quais varetas você não conseguiu formar um triângulo e explique o que
aconteceu.
b) Escreva com quais varetas você conseguiu formar um triângulo e explique o que
aconteceu.
c)
Você é capaz de escrever com suas próprias palavras, o que precisa acontecer para que
exista um triângulo? Que relação deve haver entre essas três medidas?
2) Construir um triângulo retângulo, utilizando régua e esquadro.
3) Construir um triângulo retângulo, utilizando régua e compasso.
4) Observe a figura abaixo e responda aos questionamentos.
a)
b)
c)
d)
Calcule a área dos dois quadrados menores que estão em destaque.
Some as áreas desses dois quadrados.
Calcule a área do quadrado maior em destaque.
Compare a área do quadrado maior com o valor encontrado para a soma dos dois
quadrados menores. O que você conclui a partir dessa comparação?
5) Segundo Morais Filho (2006) existem aproximadamente 370 demonstrações registradas
para o teorema de Pitágoras. Que tal deduzirmos uma dessas demonstrações?
Na figura abaixo, considere a parte cinza e a figura maior quadrados:
a)
b)
c)
d)
Calcule a área de cada triângulo retângulo.
Calcule a área do quadrado menor.
Encontre uma fórmula para a área do quadrado maior.
Compare as áreas obtidas.
6) Provar o Teorema de Pitágoras com o uso de dobraduras.
A partir de uma folha de uma folha de ofício, que é retangular, obtenha um quadrado. Para
isso, siga os passos abaixo:
Dobre a folha até que chegue ao lado oposto do retângulo;
Recorte o retângulo menor que nos restou e abra a primeira dobra que fizemos,
obtendo assim, um quadrado.
O quadrado será a base de quase todas as figuras que iremos trabalhar. Observe que os lados
vão ser iguais por causa da própria forma como foi construído.
a) Construa dois quadrados com papel ofício.
b) Dobre os quadrados conforme as figuras abaixo:
c)
Recorte os triângulos das duas construções e compare-os. Observe que eles são iguais.
Sobraram três quadrados. O que você pode concluir sobre eles?
7) Desafiar um aluno a montar o quebra cabeças de PVC do Teorema de Pitágoras.
8) Agora vamos construir o nosso próprio quebra cabeças numa folha de cartolina.
Passo 1: Construa um triângulo retângulo de dimensões pequenas no centro da cartolina.
Passo 2: Construa quadrados sobre cada um de seus lados.
Passo 3: Conforme indicado na figura abaixo, prolongue os lados do quadrado maior, trace
uma perpendicular e enumere as cinco partes encontradas.
Passo 4: Recorte as cinco partes e tente cobrir o quadrado maior.
Responda o que você pode concluir a partir do resultado que obteve.
9) Demonstração algébrica. A mais conhecida, usando semelhança de triângulos.
Seja ABC um triângulo retângulo em A.
é a altura relativa à hipotenusa.
10) O último resultado encontrado é uma das demonstrações do Teorema de Pitágoras. Agora
que você já conhece as relações existentes entre os lados de um triângulo retângulo, calcule o
valor de a no caso abaixo.
11) Na atividade anterior, as medidas dos catetos do triângulo eram consecutivas e a medida
da hipotenusa encontrada, também é consecutiva à medida do maior cateto. Investigue se esse
fato sempre ocorrerá em qualquer triângulo retângulo. Justifique porque aconteceu esse fato
na atividade anterior, depois calcule o valor de a nos casos abaixo.
a)
b)
11) Um trabalhador quer construir uma escada de modo que fique afastada 2m de uma parede
e alcance a laje da casa que está a 3m do chão. Qual deve ser o comprimento dessa escada?
12) Uma torre de transmissão de ondas de rádio é sustentada por cabos de aço de acordo com
a ilustração ao lado. Calcule a altura da torre admitindo que o comprimento de um dos cabos é
de 25m e a distância do ponto onde o cabo está fixado até o pé da torre é de 16m.
13) Fazer uma experiência utilizando palitos de picolé. Concluir que a melhor base que existe
é o triângulo, porque ele é rígido, ou seja, não se move.
A rigidez do triângulo tem muitas aplicações práticas. Ela explica a presença dos
triângulos nas estruturas, de madeira ou ferro das construções. Explica também a travessa
usada nos portões.
14) Problema: Um carpinteiro deseja construir um portão semelhante ao que se vê abaixo:
Para que esse portão ganhe rigidez, o carpinteiro deve
colocar uma travessa de madeira de comprimento x,
para criar um triângulo. Calcule comprimento da
travessa de madeira.
15) ENEM - 2007
Referências
BASTIAN, Irma Verri. O Teorema de Pitágoras. 2000. 187 f. Dissertação (Mestrado em
Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2000.
BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática atual. São Paulo: Atual, 1994.
Disponível em : <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/832.pdf?PHPSESSID=2009051415522979>. Itambaracá. Colégio Estadual Marcílio Dias.
Acesso em: 30 set. 2009.
Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_iicap3.pdf>.
Luiz Márcio P. Imenes. Acesso em: 30 set. 2009.
Disponível em:
<http://www.educacao.org.br/eja/bibliotecadigital/cienciasnatureza1/apoio/Apoio%20ao%20
Aluno/Complemento%20Matematico%203%20-%20F%C3%ADsica%20%20Ensino%20M%C3%A9dio.pdf>. Acesso em: 30 set. 2009.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática para todos: 7ª série, 4º ciclo. São
Paulo: Scipione, 2002.
MORAIS FILHO, Daniel Cordeiro de. Um convite à matemática: fundamentos lógicos, com
técnicas de demonstração, notas históricas e curiosidades. Campina Grande: EDUFCG, 2006.
p. 70.