Equações Exponenciais
Se a > 0 e b >0, as afirmações a seguir são
verdadeiras para quaisquer x e y reais.
a
x
.a
=
y
a x
= a
y
a
( a x ) y =
a
a
b
a
x
x
x
x
y
=
=
x + y
x − y
y
( a
=
x
.b
a
( ab
)
x
)
x
 a 


 b 
x
y
, y
a
x
≠
=
0
a
xy
Exemplos
1) 2 x = 32
2 x = 32 ⇒ 2 x = 25 ⇒ x = 5
2) 10 x −1 = 0, 001
10 x −1 = 0, 001 ⇒ 10 x −1 = 10 − 3 ⇒
⇒ x − 1 = −3 ⇒ ∴ x = −2
x +1
x
3) 3 − 3 = 1.458
3
x +1
− 3 = 1.458 ⇒ 3 (3 − 1) = 1.458 ⇒
x
x
⇒ 3 = 729 ⇒ 3 = 3 ⇒∴ x = 6
x
x
6
4) Dada a equação 3x - 4 . 81x = 1, então x é:
a) x = 4/5
b) x = -2 ou x = 2 c) x = 0 ou x = 2
d) x = 5/4
e) x = 1
5) A solução da equação 0,5 2x = 0,25 1 - x é um
número x, tal que:
a) 0 < x < 1
b) 1 < x < 2
c) 2 < x < 3
d) x > 3
e) x < 0
Aplicações
6) Suponhamos que a população de uma certa
cidade seja estimada, para daqui a x anos, por
1
f ( x ) = (20 − x ).1000 habitantes. Estima-se que,
2
durante o 3º ano, essa população:
a) Se manterá constante
b) Aumentará de até 125 habitantes.
c) Aumentará de até 250 habitantes
d) Diminuirá de até 125 habitantes
e) Diminuirá de até 250 habitantes.
LOGARITMOS
Definição:
loga b = x ⇔ a = b
x
Exemplos:
log 2 8 = 3, pois 2 = 8
3
log9 81 = 2, pois 9 = 81
2
Propriedades dos Logaritmos
log(a.b) = log a + log b
a
log  = log a − log b
b
c
log(a ) = c log a
Exemplos
Sabendo que log 2 = 0,30, log 3 = 0,48 e log 5 =
0,70, calcule os logaritmos a seguir:
a) log 30
b) Log
c) log
10
9
4
1944
125
d) log 7,5
e) log 0,006
Progressão Aritmética – P.A.
• ( 2, 4, 6, 8, 10, ___
12 , ... )
r= 2
• ( -7, -3, 1, 5, 9, ___
13 )
r= 4
40 ... )
• ( 90, 80, 70, 60, 50, ___,
r = -10
-23 )
• ( 2, -3, -8, -13, -18, ___
r = -5
8 , ...)
• ( 8, 8, 8, 8, 8, ___
r=
0
razão > 0
crescente
razão < 0
decrescente
razão = 0
constante
Razão
Ex:
P.A.( 2/5, 23/20, 19/10,… )
r = a 2 – a 1 = a3 – a 2 = …
23 __
2
__
r=
–
20 5
______
8
23
r=
20
15
__
r=
20
__
r= 3
4
Fórmula do Termo Geral
+r
+r +r
+r
( a1 , a2 , a3 , a4 ,
…)
a2 = a1 + ( 1 ).r
Obs:
a10 = a1 + ( 9 ).r
a3 = a1 + ( 2 ).r
a4 = a1 + ( 3 ).r
a17 =. a1 + ( 16 ).r
..
an = a1 + (n –1) . r
a10 = a2 + ( 8 ).r
a10 = a3 + ( 7 ).r
..
.
P.A. com número ímpar de termos
P.A( x - 2r, x - r, x , x + r , x + 2r )
Soma dos termos de uma P.A.
Sn =
a1 + an
2
·n
Exercício
Um atleta nadou, hoje, 500 metros. Nos próximos
dias, ele pretende aumentar gradativamente essa
marca nadando, a cada dia, uma mesma distância a
mais do que nadou no dia anterior. No 15º dia, ele
quer nadar 3 300 metros.
Determine:
a) a distância que ele deverá nadar a mais por dia.
b) a distância que deverá nadar no 10º dia
Progressão Geométrica – P.G.
OBSERVE AS SEQUÊNCIAS:
2 4 8 16 ....
-2 -6 -18 ...
-72 24 -8 ...
5 5 5 5 ...
Essas seqüências foram construídas de forma que
cada termo, a partir do segundo é igual ao anterior
multiplicado por uma constante.
SEQUÊNCIAS DESSE TIPO SÃO CHAMADAS DE
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS.
Essa constante , que indicaremos por q, é denominada
razão da progressão geométrica.
FÓRMULA DO TERMO GERAL DA
Progressão Geométrica
Seja (a1,a2,a3,.....,an) uma P.G. de razão q.
Temos:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q logo, a3 = a1 .q.q
a3 = a1.q2
a4
=
a3 . q logo, a4 = a1.q2.q
a4 = a1.q3
Continuando assim podemos perceber que qualquer
termo de uma P.G. pode ser expresso da seguinte
forma:
an = a1 . qn-1
Onde n indica a qual termo estamos nos referindo.
Soma dos n primeiros termos de uma P.G.
Sn
(
a1 q − 1
=
q −1
n
)
Soma dos termos de uma P.G. infinita
S∞
a1
=
1− q
Exercício
Observe as proposições e assinale a alternativa que
contém a(s) proposição(ões) verdadeira(s).
I - Se (an) é uma progressão aritmética com a4 = 12 e
a7 = 21, então a2 = 3.
II - Se (an) é uma progressão geométrica com a6 = 32 e
a7 = – 64, então a1 = –1.
III - Se (an) é uma progressão aritmética com a8 = 16 e
a10 = 20, então S10 = 110.
a) I, II e III.
b) I e III.
c) II e III.
d) II.
e) III.