Progressão Geométrica – Exercício - Avançado
1. (ITA ) Seja k um número inteiro positivo eAk ={j ∈ IN : j ≤ k e mdc (j, k) = 1}.
Verifique se n(A3), n(A9), n( A27) e n (A81) estão ou não, nesta ordem, numa progressão aritmética ou geométrica.
Se for o caso, especifique a razão.
2. (ITA) Seja (a1, a2, a3,...; an,...) uma progressão geométrica infinita de razão positiva r, em que a1 = a é um número real não
nulo. Sabendo que a soma de todos os termos de índices pares desta progressão geométrica é igual a 4 e que a soma de todos os
termos de índices múltiplos de 3 é 16/13, determine o valor de a + r.
3. (ITA) Considere n pontos distintos A1, A2, ... An sobre uma circunferência de raio unitário, de forma que os comprimentos
dos arcos A1A2, A2A3 ... An-1An formam uma progressão geométrica de termo inicial π e razão
teremos o comprimento do arco AnAl menor que
1
. Para que valores de n ∈ N
2
1
do comprimento da circunferência?
512
Obs.: Para todo arco AkAl o comprimento considerado é o do arco que une o ponto Ak ao ponto Al no sentido anti-horário.
4. (ITA) Considere a seguinte situação baseada num dos paradoxos de Zenão de Eléia, filósofo grego do século V A.C.
Suponha que o atleta Aquiles e uma tartaruga apostam uma corrida em linha reta, correndo com velocidades constantes vA e
vT, com 0 < vT < vA. Como a tartaruga é mais lenta, é-lhe dada uma vantagem inicial, de modo a começar a corrida no
instante t = 0 a uma distância d1 > 0 na frente de Aquiles. Calcule os tempos t1, t2, t3, ... que Aquiles precisa para percorrer
as distâncias d1, d2, d3, ..., respectivamente, sendo que, para todo n ≥ 2, dn denota a distância entre a tartaruga e Aquiles no
n −1
instante
∑ tk
da corrida. Verifique que os termos tk, k = 1, 2, 3, ..., formam uma progressão geométrica infinita, determine sua
k =1
soma e dê o significado desta soma.
5. Seja (a n )n ∈ IN* P.G. se a m + n = A e a m − n = B . Determine a m e a n .
6. Seja S n a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, tal que q ≠ 0 e S n ≠ 0 , prove que
Sn
S − Sn
.
= 2n
S 2n − S n
S 3n − S 2 n
7.Prove que as raízes da equação x 3 + px 2 + qx + r = 0 estão em progressão geométrica se, e somente se p 3 r = q 3 .
8. Prove que os números 1, 2 e 5 não podem ser termos de uma mesma progressão geométrica.
9. Determine o valor da soma 1 + 11 + 111 + ... + 111
12...
31 .
n vezes
10. Demonstre que o número 444....4 88...8 9 é um quadrado perfeito
1
424
3 123
n vezes n −1 vezes
11. (IME) Demonstre que o número 11...1 222..25 é um quadrado perfeito.
{ 123
n −1 vezes n vezes
12. Prove que, para qualquer x ∈ IR e n ∈ IN * ,
x k −1
n
∑ (x
k =1
13. Determine o termo geral da sequência
(
2
− 2x + 3
)
k
<
4
.
3
6, 8, 15, 27, 44, ...).
14. Prove que se uma P.A. de termos inteiros e positivos possui um quadrado perfeito então a P.A. possui infinitos quadrados
perfeitos.
15. Seja
( a n ) n ∈ IN
P.A. , a n ∈ IN , ∀ n ∈ IN. . Se o primeiro , o j-ésimo e o k-ésimo termos desta P.A. formam uma
P.G., determine a razão desta P.G..
16. Determine todas as sequências finitas de números naturais consecutivos cuja soma seja igual a 1.000.
17. Prove que existe uma P.G. que admite 8, 12 e 27 como termos.
18. Prove que não existe uma P.G. que admite 1, 2 e 5 como termos.
Gabarito
1. q = 3
2. a + r = 11
3. n > 10
5.
a m = AB
an =
2n −m
A 2n
m
2
B n
9.
10 n +1 − 9n − 10
81
13.
an =
5n 2 − 11n + 18
, n ∈ IN.
2
15.
q=
k−j
.
j −1
16.
( 1.000 )
( 198, 199, ...., 202
( 55, 56, ...., 70 )
( 28, 29, ..., 52 )
)