Resumo de aula - 1o ano do Ensino Médio – Elaborado por: Profº. Israel Aveiro
Apostila 4 / Módulo: 11 - Progressão Geométrica
01. Progressão Geométrica: É formada por uma sucessão de números na qual o quociente entre dois termos
consecutivos é constante, que denominamos razão da P.G.
Representação geral de uma P.G.
P.G. ( a1, a2, a3, a4, ..., an ) é uma P.G. finita com n elementos.
P.G. ( a1, a2, a3, a4, ..., an, ... ) é uma P.G. infinita com n elementos.
Terminologia: Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo
entre si dois termos consecutivos.
Por exemplo:
a) (1,2,4,8,16,32,64, ... ) essa sequência é uma PG de razão igual a q = 2.
b) (5,15,45,135,405, ... ) essa sequência é uma PG de razão igual a q = 3.
c) (2,1 ,1/2 ,1/4, 1/8, 1/16, ... ) essa sequência é uma PG de razão igual a q = 1/2.
02. Classificação de uma PG.
Progressão geométrica constante: Exemplos: P.G. ( 0, 0, 0, 0, ... ) ou P.G. ( 5, 5, ..., 5 )
Progressão geométrica crescente: Exemplos: P.G. ( 1, 2, 4, ... ) ou P.G. ( -480, -120, -30, ... )
Progressão geométrica decrescente: Exemplos: P.G. ( -35, -105, -315, ... ) ou P.G. ( 1400, 560, 224, ... )
Progressão geométrica alternante ou oscilante: Exemplos: P.G. ( -3, 6, -12, ... ) ou P.G. ( 729, -218,7, 65,61, -19,683, ... )
03. Termo geral de uma P.G.
Podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer
progressão geométrica.
Exemplo 7. Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3.
Determine o 8º termo dessa PG.
Solução:
a8 = 4 . 37
a8 = 4 . 2187 >>>>> a8 = 8748
Exemplo 8. Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o 20º termo.
Solução:
a20 = 3 . 319
a20 = 320 >>>> a20 = 3486784401
04. Interpolação Geométrica.
Para interpolar meios geométricos, também é necessário conhecer o valor da razão da PG.
Exemplo 9. Uma PG é formada por 6 termos, onde a1 = 4 e a6 = 972. Determine os meios geométricos
existentes entre a1 e a6.
Solução: Para interpolar os meios geométricos entre 4 e 972 precisamos determinar o valor da razão da PG. Para
isso, vamos utilizar a fórmula do termo geral.
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Exemplo 10. Determine os termos que faltam na sequência numérica (3, _, _, _, _, _, _, _, _, 1536) para
que tenhamos uma progressão geométrica.
Solução: a1 = 3 e a10 = 1536 (pois 1536 ocupa a décima posição na sequência). Utilizando a fórmula do
termo geral, teremos:
Conhecido
o
valor
da
razão,
podemos
determinar
os
termos
que
faltam
na
sequência:
05. Soma e produto de 3 termos consecutivos em P.G.
Na P.G.(a1 ,a2 ,a3 ) podemos escrever os seus três termos na forma de (x, xq, xq2) ou
(x/q ,x , x.q)
Exemplo 11. Calcule três números em PG tais que sua soma seja 13 e seu produto 27
Exemplo 12. Calcule três números em PG tais que sua soma seja 7 e seu produto 8.
Solução:
x/q . x . x.q = 8 => x3 = 8 => x = 2 e 2/q + 2 + 2.q = 7 => tirando mmc temos 2q2+2q+2=7q ,
resolvendo essa equação do 2° grau encontramos q =2 ou q = ½ logo PG (1,2,4) ou (4,2,1)
06. Soma dos termos de uma PG finita.
Para q = 1 temos uma fórmula mais simples: Sn = a1 . n
Podemos expressar a soma dos n termos de uma P.G. finita:
qualquer, desde que q ≠ 1:
Exemplo 13. Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Solução:
Observe que neste caso a1 = 1.
07. Soma dos termos de uma PG infinita.
Podemos expressar a soma dos n termos de uma P.G. infinita:
Exemplo 14. Calcule a soma dos termos da P. G. (2, 1, 1/2, 1/4…).
Solução:
Temos: a1 = 2 , q = 1/2
A soma dos termos dessa P. G. infinita é:
Exemplo 15. Calcule a soma dos infinitos termos da PG (45, 15, 5, ...).
Solução:
q = 15/45 = 1/3, como está entre -1 e 1, podemos dar continuidade ao cálculo da soma dos seus infinitos termos.
S∞ = 45 / (1 – 1/3)
S∞ = 45 / 2/3
S∞ = 45 . 3/2
S∞ = 135/ 2
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Exemplo 16. A soma dos infinitos termos da PG (x , x/2 , x/4 , ...) é 5. Determine x.
Solução:
Exemplo 17. Determine a soma dos elementos da seguinte PG: .
Solução:
Exemplo 18. Determine a soma dos elementos da progressão geométrica dada por (0,3; 0,03; 0,003; ...).
Solução:
EXERCÍCIOS DE P.G. – 10 ANOS IASP.
01. Calcular a soma dos 10 termos iniciais da P.G. (1; 3; 9; 27;....)
02. Numa PG de quatro termos, o primeiro é -4 e a razão é 3. Determine o último termo.
03. Calcule a soma dos 6 primeiros termos da PG (2, 6, 18, …), sendo q diferente de 1:
04. A soma de seis elementos em P.G. de razão 2 é 1197. Qual é o 10 0 termo da P.G.?
05. Quantos termos da P.G. (1; 3; 9; 27; ....) devem ser somados para que a soma seja 3280.
06. Obter o número de termos da P.G. em que o primeiro termo é 1/81 e a razão é 3 e o termo geral é 243.
07. A soma de três números em PG é 26 e o produto é 216. Então, o termo médio é igual a:
5x 
08. Calcule x, sendo:
x x x
   ...  60
2 4 8
09. Determine o 20º elemento e a soma dos termos da seguinte progressão aritmética: (2, 7, 12, 17,...).
10. Sabendo que uma PG tem a1 = 4 e razão q = 2, determine a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão.
11. Qual é a soma dos termos da P.G. (9, 27, ..., 19683)?
12. Ao interpolarmos 5 meios geométricos entre 1458 e 2, encontramos uma PG de razão:
13. Encontre o primeiro termo de uma PG de razão q = 2 e 6.º termos a6 = 128.
14. Sendo 32 o primeiro termo de uma PG e 2 é a sua razão, calcule o termo de ordem 8.
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