Matemática Fundamental II- 2014/01
Porf. Eduardo Meliga Pompermayer
Lista 1
1) Mostre por indução que:
a) (n  ) 12  22  32  ...  n2 
n(n  1)(n  2)
6
 n(n  1) 
b) (n  ) 1  2  3  ...  n  (1  2  3  ...  n)  

 2 
3
3
3
3
2
2
c) (n  ) 1  2  22  23  ...  2n1  2n  1
d) (n 
*
)
1
1
1
n
+
 ... 

1 2 2  3
n(n  1) n  1
e) (n 
*
)
1
1
1
n(n  3)
+
 ... 

1 2  3 2  3  4
n(n  1)(n  2) 4(n  1)(n  2)
n(2n  1)(2n  1)
3
n(n  1)(n  2)
(n  * ) 1 2  2  3  3  4  ...  n(n  1) 
3
Demonstre as e proposições abaixo.
A soma de dois números inteiros pares é par. (faça a demonstração por absurdo)
O quadrado de um número inteiro par é divisível por 4.
Se dois números inteiros são divisíveis por n, então sua soma é divisível por n.
Não existe n inteiro positivo tal que n2  2n  3  n(n  1) .
f) (n 
g)
2)
a)
b)
c)
d)
*
) 12  32  52  ...  (2n  1)2 
e) a  c  b  c  a  b, c 
f) a  c  b  c  a  b, 0  c 
g) Demonstre que dois inteiros a e b possuem paridades diferentes se, e somente se,
a  b é número ímpar.
3) Determine quatro números em progressão aritmética crescente, conhecendo sua
soma 8 e a soma de seus quadrados 36.
4) Os ângulos internos de um pentágono convexo estão em progressão aritmética.
Determine o ângulo mediano.
5) Formam-se n triângulos com palitos, conforme a figura. Qual o número de
palitos usados para construir n triângulos?
6) Se 3  x,  x, 9  x,... é uma progressão aritmética, calcule x e determine o
quinto termo.
7) Calcule a soma de todos números que divididos por 11 dão resto 7 e estão
compreendidos entre 200 e 400.
8) Quanto vale o produto (a)(aq)(aq 2 )(aq3 )...(aq n1 ) ?
9) Determine o maior valor que pode ter a razão de uma progressão aritmética que
admita os números 32, 227 e 942 como termos da progressão.
10) Um bem, cujo valor hoje é de R$ 8.000,00, desvaloriza-se de tal forma que seu
valor daqui a 4 ano será R$ 2.000,00. Supondo que o valor do bem cai segundo
uma linha reta, determine o valor do bem daqui a 3 anos.
p
11) Calcule a soma de todas as frações irredutíveis, da forma
, que pertencem ao
72
intervalo  4, 7 .
Gabarito:
3) -1, 1 , 3, 4 4) 108
8) a n q
n ( n 1)
2
5) 2n+1
9) 65 10) R$ 3.500,00
6) x = -7 e a5  2
11) 1.193,5
7) 5.373