Lista de Exercı́cios - Aplicações das Equações Diferenciais
Prof a . Cynthia de O. Lage Ferreira
Equações Diferenciais Ordinárias - SME 0141
Exercı́cio 1) Em uma solução nutriente, as bactérias crescem a uma taxa proporcional
à quantidade presente. Inicialmente, há 250 fileiras de bactérias na solução, as quais
aumentam para 800 fileiras após sete horas. Determine:
1. a) uma expressão para o número aproximado de fileiras na cultura no instante t.
2. b) o tempo necessário para que o número de bactérias atinja 1.600 fileiras.
Exercı́cio 2) Uma substância cresce a uma taxa proporcional ao seu volume presente.
Inicialmente há 2kg da substância e, dois dias depois, 3kg. Determine:
1. a) a quantidade após um dia.
2. b) a quantidade dez dias após.
Exercı́cio 3) Um fermento cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se a
quantidade original duplica em duas horas, em quantas horas triplicará?
Exercı́cio 4) Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se, após uma hora, 10% do material decaı́ram, determine a meia-vida do material.
Sugestão: Designe por N0 a massa inicial do material.
Exercı́cio 5) Um corpo à temperatura de 0o F é colocado em um quarto em que a temperatura ambiente é mantida a 100o F . Se, após 10 minutos, a temperatura do corpo é de
25o F , determine:
1. a) o tempo necessário para o corpo atingir a temperatura de 50o F .
2. b) a temperatura do corpo após 20 minutos.
Exercı́cio 6) Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador
com uma temperatura constante de 0o F . Se, após 20 minutos, a temperatura do corpo é
de 40o F , e após 40 minutos é de 20o F , determine a temperatura do corpo.
Exercı́cio 7) Um tanque contém 380` de salmoura obtida dissolvendo-se 36kg de sal na
água. Água pura começa a entrar no tanque à razão de 15`/min e a mistura, homogeneizada, sai do tanque à mesma razão. Determine:
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1. a) a quantidade de sal no tanque no instante t.
2. b) o tempo necessário para que metade do sal saia do tanque.
Exercı́cio 8) Um tanque contém 40` de uma solução quı́mica obtida pela dissolução, em
água pura, de 80g de uma substância solúvel. Um fluido, contendo 2g desta substância
por litro, entra no tanque à razão de 3`/min, e a mistura homogeneizada sai do tanque à
mesma taxa. Determine a quantidade da substância no tanque após 20 minutos.
Exercı́cio 9) O corpo de uma vı́tima de assassinato foi descoberto. O perito da polı́cia
chegou à 1:00h da madrugada e, imediatamente, tomou a temperatura do cadáver que
era de 30o C. Duas hora mais tarde ele tomou novamente a temperatura e encontrou
23o C. A temperatura do quarto onde se encontrava a vı́tima era constante a 20o C. Use
a lei de resfriamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte, admitindo
que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 37o C.
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Gabarito
Exercı́cio 1) a) N (t) = 250e0,166t
Exercı́cio 2) a) 2, 45 kg
b) 11, 2 hr
b) 15, 19 kg
Exercı́cio 3) 3, 17 hr
Exercı́cio 4) N (t) = N0 e−0,105t . Daı́, t1/2 = 6, 6 hr
Exercı́cio 5) Note que T (t) = −100e−0,029t + 100.
a) 23, 9 min
b) 44o F
Exercı́cio 6) Note que T (t) = 80e−0,035t . Assim, T0 = 80o F .
Exercı́cio 7) a) Q(t) = 36e−0,039t
b) 17, 8 min
Exercı́cio 8) 80 g
Exercı́cio 9) A morte ocorreu aproximadamente à meia-noite e 7 minutos (53 minutos
antes do perito chegar ao local do crime). Note que y(t) = 20 + 10e−0.60199t , onde y(t) é a
temperatura do corpo no instante t.
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