INTRODUÇÃO A TEORIA DE
GALOIS:
UMA PERSPECTIVA HISTÓRICA.
Helen Soares Madeira
Licenciada em Matemática
Universidade Católica de Brası́lia
Orientador: Sinval Braga de Freitas
RESUMO
O objetivo deste artigo é apresentar uma biografia do matemático Évariste Galois e uma
breve explicação sobre o mais importante de seus trabalhos, conhecido hoje como Teoria
de Galois. Apresentam-se as condições sócio-culturais sob as quais o matemático viveu,
analisando suas preferências e personalidade a fim de perceber qual a influência destas em
sua jornada cientı́fica. Discute-se a importância da obra de Galois para o desenvolvimento
da álgebra abstrata. Finalmente, o teorema fundamental de Galois e suas implicações são
descritos e comentados.
Palavras-chave: Galois, grupo de Galois, equações.
1
INTRODUÇÃO
Problemas relacionados às equações polinomiais se fazem presentes na vida
escolar dos estudantes desde uma idade muito tenra, no Brasil por volta
dos onze anos. À medida em que se avança nos estudos e se opta por alguma área envolvendo matemática, a utilização destas se torna cada vez
mais freqüente. Não obstante o exaustivo uso destas equações, pouco se sabe
sobre a história destas ou como ocorreu o desenvolvimento de suas formas de
resolução. Mesmo em comunidades acadêmicas afins à Matemática é difı́cil
encontrar estudos sobre o desenvolvimento dessas teorias, o que gera uma
lacuna no processo de ensino-aprendizagem.
1
Este artigo vem preencher parte desta lacuna de duas formas: apresentando
uma breve biografia do matemático Èvariste Galois para a compreensão de
caracterı́sticas intrı́nsecas à sua obra e os aspectos teóricos subjacentes à
classificação da solubilidade das equações.
O principal trabalho de Galois foi o estudo da insolubilidade das equações de
graus superiores a quatro, um problema já explorado por muitos matemáticos
como Abel e Cardano, que apesar de muitos esforços não conseguiram dar
uma generalização para a questão. Galois criou um objeto, conhecido hoje
como ”Grupo de Galois”, que possibilita investigar se um polinômio qualquer
pode ter suas soluções encontradas por meio de radicais ou não.
2
PANORAMA HISTÓRICO: A VIDA DE
ÉVARISTE GALOIS.
Destacam-se como fatores determinantes para a compreensão das caracterı́sticas biográficas do matemático Évariste Galois o conhecimento do contexto polı́tico, social e econômico da sociedade francesa nos séculos XVIII e
XIX.
Entre o final do século XVIII até metade do século XIX, a França, influenciada pelo Iluminismo e pela Revolução Industrial - projetores de um nacionalismo ufanista - vivia o que hoje é conhecido como Revolução Francesa,
um conjunto de fatos que alteraram o quadro polı́tico-social do paı́s. A principal causa da revolução era a opressão do clero (Primeiro estado) e da alta
nobreza (Segundo estado) sobre uma maioria camponesa (Terceiro estado),
que vivia sob condições miseráveis, sustentando o luxo de seus tiranos. Cansados de tamanha exploração o Terceiro Estado unido se mobilizou em busca
de uma representação polı́tica mais justa e de direitos sociais igualitários em
todas as camadas. Dessa forma, desencadeia-se uma série de acontecimentos
que mais tarde traria o fim da monarquia absolutista, a instauração de um
Estado laico e de Direito, ou seja, regido por uma constituição, além de profundas melhorias sociais e econômicas para as classes antes desprivilegiadas.
Foi no calor destas mudanças e em meio às agitações polı́ticas e sociais que
nasceu Galois.
Évariste Galois nasceu em 25 de outubro de 1811 cidade de Bourg-la-Reine,
França, localizada nos arredores de Paris, em uma famı́lia culta e bem edu-
2
cada. Seu pai Nicholas-Gabriel Galois, um fervoroso republicano, foi eleito
prefeito de Bourg-la-Reine durante os 100 dias de Napoleão, cargo que manteve após a restauração da monarquia com Luı́s XVII. Sua mãe AdelaideMarie Demante, filha de um magistrado do império francês, era uma mulher
inteligente e possuı́a formação em latim, grego e literatura clássica.
A educação de Évariste e de seu irmão mais novo Alfred foi responsabilidade de sua mãe até que completassem 12 anos de idade. A formação dos
jovens era humanista, visto que seus pais desejavam que seguissem carreira no
Direito e na Retórica. Em 1823, Galois iniciou sua educação formal no Liceu
de Louis-le-Grand, em Paris, uma prestigiada instituição conhecida também
por seu autoritarismo. O Liceu havia sido um colégio jesuı́ta e neste perı́odo
havia boatos de que este voltaria a ser dirigido por membros do clero. Ao
que tudo indicava o clero aliado à nobreza desejava aumentar sua influência
devido à popularização dos valores republicanos. Os estudantes, em maioria,
simpatizantes das idéias republicanas, temendo o domı́nio da igreja planejaram uma rebelião. No entanto, antes que o motim ocorresse, o diretor do
liceu, Monsieur Berthod, descobriu o plano e expulsou seus lı́deres do colégio.
Galois ainda era muito jovem para participar deste movimento. Todavia as
idéias polı́ticas do grupo de estudantes seriam uma grande influencia na vida
do rapaz.
De modo geral, Évariste tinha boas notas e chegou a receber um prêmio
em um concurso de versos latinos. Entretanto, em 1826 foi pedido ao adolescente que repetisse o ano escolar, pois seu desenvolvimento em retórica
estava abaixo do mı́nimo exigido. Em 1825, aos catorze anos, Galois teve seu
primeiro contato com a matemática por meio das aulas ministradas por M.
Vernier. Desse momento em diante a vida de Galois mudaria drasticamente.
Em um breve intervalo de tempo o jovem já dominava os Elementos de Geometria de Euclides , bem como as obras de Legendre, Lagrange e campos do
Cálculo e da Análise. Ainda estudou tudo que se conhecia até o momento
sobre equações algébricas. Nem mesmo as brincadeiras da infância o atraı́am
mais, ao invés disso ele se isolava em seu quarto mergulhado nos livros. Na
escola, Évariste passou a negligenciar todas as outras disciplinas, dedicandose integralmente ao estudo da matemática. Um de seus tutores fez o seguinte
comentário sobre ele:
”A loucura da matemática domina este garoto. Eu acho que seria melhor
para ele se seus pais o deixassem estudar apenas isto. De outro modo ele
está perdendo seu tempo aqui e não faz nada senão atormentar seus professores e se sobrecarregar de punições.
3
Em 1827, aos dezesseis anos, Galois já estudava sozinho os livros dos grandes autores da época, pois seus professores não conseguiam mais acompanhar
o rápido progresso do rapaz. Neste mesmo ano recebeu o prêmio do concurso
geral de matemática em sua escola, mas em todas as outras disciplinas teve
um péssimo desempenho.
Em 1828 Galois acreditava ter encontrado a solução geral para equações de
grau cinco, percebendo mais tarde que havia um equı́voco em suas demonstrações, coincidentemente o mesmo que Abel cometera anos antes. Ainda
durante este ano, Évariste submete-se ao exame de admissão da École Polytechnique, a mais prestigiada faculdade de seu paı́s. Esta instituição despertava grande interesse no rapaz, não apenas pela excelência no ensino, mas
também por ser um centro do ativismo republicano, visto que, a exemplo dos
pais, ele era um ardente republicano. Não obstante seu talento, foi reprovado
no exame. Suas soluções sofisticadas e inovadoras combinadas com seus modos rudes e com a falta de explicações na prova oral foram provavelmente as
causas da sua rejeição.
De volta ao colégio Louis-le-Grand, Évariste matricula-se no curso de matemática oferecido por Louis-Paul-Émile Richard, que viria a ser um grande
incentivador do jovem. Galois pouco se dedicava aos temas escolares e trabalhava cada vez mais em suas próprias pesquisas. Motivado por Richard,
um ano mais tarde, o jovem gênio publica nos Annales de Georgonne seu primeiro artigo: Demonstração de um teorema sobre frações contı́nuas
periódicas.
Já em 1829, Galois submete a Academie Sciences um artigo sobre a solução
de equações algébricas chamado: Pesquisas sobre as equações algébricas
de grau primo, trabalho considerado muito superior a sua publicação anterior. Cauchy, nomeado como o avaliador dos trabalhos, após a leitura deste
propôs a Galois que fizesse um resumo do que havia escrito, pois assim poderia apresentá-lo a Academia de Ciências. O ano parecia promissor para a
carreira do matemático, não fossem os desastres que viriam a acontecer. Em
julho de 1829, o pai de Évariste comete suicı́dio. Nicholas Galois foi vı́tima
de calúnias espalhadas por um padre de Bourg-la-Reine, que não aprovava
a idéia da cidade possuir um prefeito ligado aos ideais da Revolução e não
aos da monarquia francesa. O prefeito não conseguiu suportar o vexame
das mentiras proclamadas em seu nome e enforcou-se em seu apartamento
em Paris. O jovem Galois, que já possuı́a tendências revolucionárias, após
este acontecimento, nutre ainda mais sentimentos de revolta contra a igreja e
coroa francesas. Algumas semanas após esta tragédia, Évariste presta nova4
mente exames para entrar na École Polytechnique. Durante a avaliação oral
suas lacunas lógicas nas explicações confundiram o examinador Monsieur Dinet. Ao notar que estava prestes a ser mais uma vez reprovado, Galois perde
o controle e lança um apagador no examinador. Mais uma vez, o brilhantismo incompreendido e a dificuldade em transmitir suas idéias distanciavam
o jovem do mundo acadêmico. Rejeitado pela Ècole Polytechnique, restou a
Galois ir para a École Normale Supérieure, destinada à formação de professores, onde foi admitido com excelentes notas.
Um ano depois, com a demora na resposta da Academia de Ciências sobre
o trabalho sobre equações algébricas, Galois descobre que o seu artigo não
fora nem mesmo submetido à mesma. Cauchy encontrava-se doente no dia
em que iria apresentá-lo, sendo assim, a produção de Évariste continuou no
anonimato. Acredita-se que mais tarde, Cauchy tenha aconselhado Èvariste
a reescrever seu artigo para concorrer ao Grande Prêmio de Matemática,
promovido pela Academia. Animado pela disputa do prêmio, ele vai à secretaria da Academia em busca de seus manuscritos e descobre que estes foram
perdidos. Apesar da sensação de descaso sentida pelo rapaz, ele reescreve
seu artigo desde o princı́pio. Tendo refeito e enriquecido seu trabalho, Galois o denomina: Memória sobre as condições de resolubilidade das
equações por radicais. Joseph Fourier é responsável por examinar o artigo e entregá-lo ao comitê avaliador. Em junho de 1830 o prêmio é dado
a Abel e Jacobi. Algum tempo depois se descobre que o trabalho de Galois nem mesmo concorreu ao prêmio, não foi examinado e nem entregue a
comissão, pois Fourier morrera antes de fazê-lo. Seus estudos foram novamente perdidos e mais uma vez o jovem se sente desprezado, discriminado
e oprimido pelo mundo cientı́fico da época. Ainda em 1830, no primeiro semestre, publicou três artigos no renomado Bulletin de Ferrussac. São eles:
Análise de uma memória sobre a resolução de equações, Resolução
de equações numéricas e Teoria dos Números.
Toda rejeição dos cientistas sobreposta às crises na França e às tendências
republicanas de Galois transformariam este em um rebelde polı́tico. No mês
de julho de 1830, uma insurreição popular abala as estruturas polı́ticas do
paı́s. Com a monarquia restaurada, após a queda de Napoleão, o rei Charles
X, sucessor de Louis XVII, tinha seus poderes restringidos pela constituição
e pelo partido Liberal. Este partido, liderado por Louis- Philippe e Duque Orleans, defendia as liberdades conquistadas na Revolução Francesa em
1789. Charles X, apoiado pela burguesia e não satisfeito com a limitação
de sua atuação, publica as Ordonnances, cinco leis arbitrárias que limitavam
a liberdade de imprensa e dissolviam a câmara dos deputados, dentre ou5
tras medidas. A conseqüência disto foi o movimento mais tarde denominado
”Os Três Gloriosos”, onde a população enfrentou as tropas militares do rei.
Aos estudantes da École Polytechnique foi dado o direito de sair pelas ruas
e lutar. No entanto, aos da École Normale, restou a proibição do envolvimento em movimentos ligados à Revolução. O diretor desta última, Monsieur
Guigniault, um monarquista, trancou os alunos em seus dormitórios durante
estes dias. Galois, que costumava sugerir aos dirigentes da escola que os
estudantes tivessem treinamento militar e usassem uniformes, diante desta
situação sentiu-se frustrado por não poder batalhar ao lado de seus companheiros. Ainda mais irado após a derrota dos republicanos, Évariste se vinga
de Guigniault publicando um artigo no jornal Gazzete de Ècoles, considerado
a voz dos republicanos, acusando-o de covardia por impedir os estudantes de
lutarem naquela ocasião. Apesar do autor da matéria não ter sido revelado
no jornal, foi fácil identificar quem a escreveu. Guigniault encontrou o motivo que precisava para se livrar do jovem encrenqueiro, expulsando-o de sua
escola. Em resposta a esta atitude do diretor, Èvariste promove um curso
público de álgebra na Livraria Caillot na Rua da Sorbone. Todavia, o alto
nı́vel do conteúdo ministrado atraiu um público muito pequeno.
Militante da causa republicana, em dezembro de 1830, Galois filia-se a sociedade secreta Societé dês Amis du Peuple e também se alista como artilheiro na Artilharia da Guarda Nacional. Antes de maiores tumultos, o
novo rei e ex-lı́der do partido Liberal, Louis - Philippe extingue a artilharia
nacional. Parte dos associados da artilharia rebelou-se contra o decreto do
rei refugiando-se no museu do Louvre e mesmo após sua resistência acabou
sendo presa. Galois não se encontrava entre os rebeldes desta vez, mas após
a absolvição destes, participou de um jantar de comemoração à libertação
de seus colegas. Durante o jantar Galois faz um brinde sarcástico ao rei com
uma adaga em uma das mãos, sugerindo uma tentativa de assassinato a este.
Passadas poucas horas a polı́cia invade o banquete e leva o jovem detido.
Évariste ficou detido na prisão de Sainte-Pélagie por cerca de um mês, antes
de ser absolvido.
Em 14 de julho de 1831 a queda da Bastilha - 1789 - faria aniversário e
em forma de protesto ao atual regime, Galois e seus companheiros republicanos marcharam por Paris vestidos com uniformes da extinta Guarda da
Artilharia. O fato de encontrar-se armado, desafiando as autoridades locais,
levou o jovem de volta à prisão de Sainte-Pélagie, onde ficaria até 16 de
março de 1832. Durante os meses que passou na cadeia, Évariste entrou em
depressão e passou a beber muito, conseqüência da separação dos amigos e da
famı́lia, bem como da rejeição de suas idéias matemáticas. Chegou a tentar o
6
suicı́dio, mas seus colegas de cela o impediram tomando a arma de suas mãos.
Ainda no presı́dio, para sua tristeza, Galois recebe a notı́cia de que Poisson redigiu um documento reprovando os seus trabalhos sobre equações algébricas.
O ilustre e consagrado matemático justifica a censura que impôs sobre a
produção do jovem ao afirmar que estas não eram suficientemente claras e
que se tratava apenas de uma repetição do que Abel havia feito anos antes.
Indignado com tais crı́ticas, decide fazer uma publicação independente de
seu trabalho, visto que a Academia o tinha rejeitado. Seu artigo, intitulado ”Duas memórias de Análise”, deveria ser enviado a matemáticos famosos (Ampère, Gauss, Jacobi, Hachette, Lacroix, Cauchy e Legendre dentre
outros). Neste artigo e em outro denominado ”Nota sobre Abel”, Galois
demonstra que as equações de grau superiores a quatro não podem ser resolvidas por meio de radicais, utilizando uma teoria completamente nova,
diferente de Abel, que ao demonstrar esta mesma questão, empregou recursos da então conhecida álgebra clássica. Além do mais, a teoria então criada
e utilizada por Évariste na resolução desta questão mostrou-se muito mais
profunda e abrangente do que os trabalhos de Abel sobre o assunto.
No inı́cio do ano de 1832, Paris encontrava-se sob um surto de cólera. O
crescente número de enfermos levou o governo a permitir que os prisioneiros
de Sainte-Pélagie cumprissem suas penas na casa de saúde do Doutor Faultrier. Évariste deveria permanecer ali até o dia 29 de abril de 1832, quando
terminaria sua pena.
No hospital Galois apaixonou-se pela jovem Stephanie-Felice du Motel, sobrinha de um dos médicos que lá trabalhava. Tudo indica que a princı́pio
a bela Stephanie correspondeu aos sentimentos de Évariste, mas passado algum tempo, ela o rejeitou. O provável motivo da rejeição foi o fato da jovem
já ser comprometida com outra pessoa. Há autores que afirmam que o par de
Stephanie era Duchâtelet, que seria um companheiro republicano de Galois,
já outros dizem ser Perscheux d’Herbinville. O fato foi que os dois rapazes
enamorados pela moça se desentenderam e decidiram resolver a questão num
duelo de armas, em que apenas uma destas estaria carregada.
Uma noite antes do confronto, Èvariste parecia prever sua precoce morte.
Acreditando que aquela seria a sua última oportunidade de registrar suas
teorias matemáticas e quem sabe alcançar algum reconhecimento, ele trabalhou intensamente durante a noite tentando explicar as questões relativas à
solução das equações de grau cinco. Endereça seus últimos manuscritos ao
7
seu melhor amigo Auguste Chevalier e ao seu irmão, pedindo que estes os publicassem na Revue Encyclopédique e solicitassem publicamente que Jacobi,
Gauss ou Poisson os analisassem e opinassem não sobre a veracidade do que
foi escrito, mas sobre sua importância. Galois ainda afirma que durante sua
vida esteve inseguro quanto algumas de suas proposições, no entanto naquele
momento não ousaria enunciar teoremas os quais não tivesse a demonstração
completa. Ele ainda escreve cartas de despedida aos seus amigos republicanos, nas quais justifica a causa de sua morte e pede perdão por perder sua
vida por um motivo que considerava fútil, e não pela tão amada pátria.
Na manhã de 30 de maio de 1832, em um campo afastado da cidade, Galois e
seu rival se enfrentam. Os dois se posicionam a uma distância de vinte e cinco
passos um do outro e portando as armas atiram. Évariste recebe o primeiro
disparo. Ele tenta atirar, mas sua pistola estava descarregada. Galois, ferido
no abdômen, agoniza no chão enquanto seu oponente deixa o local tranquilamente. Algumas horas depois do duelo, Alfred recebe a notı́cia e leva seu
irmão ao hospital Cochin. No dia seguinte Galois vem a falecer, vı́tima de
uma infecção generalizada provocada pela perfuração intestinal causada pela
bala.
No dia 2 de junho de 1832, o corpo do brilhante e incompreendido matemático
é velado e sepultado em uma vala comum. Mais de dois mil republicanos compareceram ao cemitério, onde prestaram homenagens, proferiram lamentos e
declarações patriotas. Enviados do governo, prevendo que o enterro de Galois
seria foco de agitação polı́tica, prenderam na noite anterior vários amigos do
jovem. No dia do funeral ouve um conflito entre policiais e militantes.
Auguste Chevalier publica os manuscritos que seu amigo havia lhe pedido,
entretanto o trabalho só começou a receber reconhecimento 14 anos depois.
Joseph Liouville, em 1846, estuda e decifra os enigmas deixados por Galois,
publicando-os em seu Journal de Mathématiques sob o tı́tulo de Obras Matemáticas de Èvariste Galois. Depois da divulgação do referido jornal,
os trabalhos de Galois passam a ser reconhecidos também por outros grandes nomes da ciência como Camille Jordan (Tratados das Substituições
e das Equações Algébricas, 1870) e Sophus Lie (Influência de Galois
sobre o desenvolvimento da Matemática, 1895).
8
3
A TEORIA DE GALOIS
3.1
Conceitos básicos
Nesta seção serão dadas as definições dos pré-requisitos necessários para a
compreensão da teoria de Galois.
3.1.1
Grupos e Subgrupos
Definição 1 - Grupo: Um sistema matemático constituı́do de um conjunto
não vazio G e uma operação (x, y) 7→ x · y sobre G é chamado de grupo se
essa operação goza das seguintes propriedades:
• Associatividade: (a · b) · c = a · (b · c), ∀a, b, c ∈ G
• Elemento Neutro: ∃ e ∈ G tal que a · e = e · a = a, ∀a ∈ G
• Inverso ou Simétrico: ∀a ∈ G, ∃ um elemento a−1 ∈ G tal que
a · a−1 = a−1 · a = e
Se além destas propriedades o grupo também goze da propriedade seguinte:
• Comutatividade: a · b = b · a, ∀a, b ∈ G - o grupo recebe o nome de
Grupo Abeliano ou Comutativo.
Definição 2 - Subgrupo: Seja (G, ·) um grupo. Diz-se que um subconjunto
não vazio H ⊆ G é um subgrupo de G se:
• H é fechado para a operação ·;
• (H, ·) também é um grupo;
Proposição 1: Seja (G, ·) um grupo. Para que H ⊂ G seja um subgrupo
de G, é necessário e suficiente que a · b−1 ∈ H, ∀a, b ∈ H.
A proposição descrita acima tem seus equivalentes para anéis e corpos.
Definição 3 - Classe lateral: Seja H um subgrupo de G e seja g ∈ G
e h ∈ H, ,então o conjunto Hg = {hg | h ∈ H} será denominado classe lateral à direita de H em G. O conjunto gH = {gh | h ∈ H} será denominado
classe lateral à esquerda de H em G. Se Hg = gH, então dizemos que Hg
ou gH é uma classe lateral de H em G.
9
Definição 4 - Subgrupo normal: Seja N um subgrupo de G. O conjunto
N será chamado de subgrupo normal de G se ∀g ∈ G e ∀n ∈ N gng −1 ∈ N .
Equivalentemente, N é normal se N g = gN , ∀g ∈ G.
Definição 5 - Grupo quociente: Seja G um grupo e N um subgrupo
normal em G , então G/N , com a operação xN · yN = xy · N , também é um
grupo denominado grupo quociente.
Definição 6 - Homomorfismo de grupos: Dá se o nome de homomorfismo de um grupo (G, ·) num grupo (J, •) a toda aplicação f : G → J tal
que, quaisquer que sejam x, y ∈ G:
f (x · y) = f (x) • f (y)
Proposição 2: Seja G um grupo finito e N um subgrupo normal em G ,
então |G/N | = |G| / |N |.
3.1.2
Anéis e Corpos
Definição 7 - Anel: Um sistema matemático constituı́do de um conjunto
não vazio A e um par de operações, respectivamente uma adição (x, y) 7→ x+y
e uma multiplicação (x, y) 7→ xy, é chamado de anel se:
• (A, +) é um grupo abeliano.
• A multiplicação goza da propriedade associativa, ou seja, x (yz) =
(xy) z, ∀x, y, z ∈ A.
• A multiplicação é distributiva em relação à adição, ou seja, x (y + z) =
xy + xz, (x + y) z = xz + yz, ∀x, y, z ∈ A.
Vale destacar alguns tipos de anéis:
Definição 8 - Anel Comutativo: Seja A um anel. Se a multiplicação
em A goza da propriedade comutativa, isto é, ∀x, y ∈ A, x · y = y · x, dizemos
que A é um anel comutativo.
Definição 9 - Anel com unidade: Seja A um anel. Se existe um elemento neutro (1A ) - 1A · x = x · 1A - ∀x ∈ A , para a multiplicação em A
tal que 1A 6= 0A , em que 0A é o neutro da adição, então dizemos que 1A é a
unidade de A e que A é um anel com unidade.
10
Definição 10 - Homorfismo de anéis: Dá-se o nome de homomorfismo
de um anel (A, +, ·) num anel (B, +, ·) a toda aplicação f : A → B tal que,
quaisquer que sejam x, y ∈ A:
f (x + y) = f (x) + f (y)
f (xy) = f (x)f (y)
Definição 11 - Núcleo de um homomorfismo: Seja f : A → B um
homomorfismo de anéis e 0B o elemento neutro da adição em B. Damos o
nome de núcleo de f , e denotamos por Ker(f ) ao seguinte subconjunto de
A:
Ker(f ) = {x ∈ A | f (x) = 0B },
Definição 12 - Isomorfismo: Dá se o nome de isomorfismo de um anel
A num anel B a um homomorfismo f : A → B em que f é uma aplicação
bijetora. Dizemos que A e B são isomorfos.
Definição 13 - Automorfismo: Dá se o nome de automorfismo de um
anel A a um isomorfismo f : A → A.
Definição 14 - Ideal de um anel: Seja I um subconjunto não vazio
de uma anel A. O conjunto I será denominado ideal de A se:
• I é um subgrupo de A com relação à adição.
• ∀x ∈ I e ∀y ∈ A, ambos os elementos xy e yx estão contidos em I
Definição 15 - Corpo: Seja K um anel comutativo com unidade. Se o conjunto dos elementos de K que possuem inverso multiplicativo for U (K) =
K − {0}, então K recebe o nome de corpo.
Definição 16 - Subcorpo: Seja K um corpo. Um subconjunto não vazio
L ⊂ K é chamado subcorpo de K se é fechado para a adiçao e a multiplicação
de K e se L também tem uma estrutura de corpo.
Definição 17 - Subcorpo próprio: Um subcorpo que é estritamente menor que o corpo no qual está contido é chamado de subcorpo próprio.
Definição 18 - Extensão de corpo: Um corpo F é denominado uma
extensão de um corpo E se E ≤ F , sendo que E é um subcorpo de F . A
11
extensão de um corpo será denotada por F | E.
Definição 19 - Adjunção: Sejam a extensão F | E e conjunto A ⊂ F
em que a1 , · · · , an ∈ A são os elementos de A. Denota-se por E (A) a menor subextensão que contém os elementos de A. Dizemos que a extensão
E (A) = E (a1 , · · · , an ) foi construı́da pela adjunção dos elementos de A em
E.
√
√ Exemplo 1: A extensão Q 2 é obtida pela adjunção de 2 no conjunto
dos racionais. Esta √
extensão,
por√ser tambémum corpo, é representada da
seguinte forma: Q 2 = a + b 2 | a, b ∈ Q
Definição 20: Seja a extensão F | E e o automorfismo φ : F → F , que fixa
todo elemento de E, isto é, φ (x) = x, ∀x ∈ E. O conjunto de tais automorfismos será denotado por Aut (F | E).
Teorema 1: Seja a extensão F | E, então as operações:
(a, b) 7→ ab
a ∈ E, b ∈ F
(b, c) 7→ b + c
b, c ∈ F
definem em F uma estrutura de espaço vetorial sobre o corpo E.
3.2
O grupo de Galois
Definição 21 - Grau de uma extensão O grau da extensão de um corpo
F | E é definido pela dimensão de F quando tomado como um espaço vetorial sobre E.
√ √
√ Exemplo 2: A extensão Q 3 = a + b 3 | a, b ∈ Q = 1, 3 de Q
√ tem grau 2, pois os elementos 1, 3 são uma base do espaço vetorial F
sobre E.
Definição 22 - Corpo de Decomposição: Seja a extensão F | E e o
polinômio f (x) ∈ E [X]. Dizemos que f (x) se decompõe em F , ou que F é
o corpo de decomposição de f (x), se F é o menor corpo no qual o polinômio
f (x) se decompõe em fatores lineares.
Definição 23 - Grupo de Galois: Seja K o corpo onde se encontram
todos os coeficiente de um polinômio p (x) e sejam x1 , · · · , xn as raı́zes deste
12
polinômio. Denomina-se grupo de Galois de p (x) o conjunto de todos os automorfismos da extensão K(x1 , · · · , xn ) = M que fixam o corpo K, denotado
por G = Aut (K (x1 , ...xn ) |K ).
A forma utilizada para caracterizar o grupo de Galois deixa com que a
equação polinomial em questão apareça apenas de forma implı́cita através
da ajdunção de suas raı́zes ao corpo K. Atualmente, esta definição é adotada universalmente.
A partir do próximo ponto deste trabalho serão adotadas as seguintes notações
quando forem feitas referências à um dado polinômio p (x) e às suas raı́zes
x1 , · · · , xn :
• Corpo dos coeficientes de p (x): K.
• Corpo de decomposição de p (x): M = K (x1 , · · · , xn ).
• Grupo de Galois: Aut (M | K) = G
Definição 24 - Corpo Intermediário: Denomina-se L um corpo intermediário se K ⊆ L ⊆ M . Para cada corpo intermediário é associado um subgrupo Aut (M | L), o qual compreende todos os automorfismos
do grupo de Galois que fixam todos os elementos de L ou Aut (M | L) =
{σ ∈ G | σ (x) = x, ∀x ∈ L}.
Definição 25 - Resolvente de Galois : Galois construiu um polinômio
especı́fico t para ser utilizado como ferramenta para alcançar seus objetivos.
Este polinômio, hoje conhecido como resolvente de Galois , é construı́do de
tal forma que todas as raı́zes x1 , · · · , xn de p(x) podem ser representadas por
meio das quatro operações, desde que convenientemente trabalhadas.
Por hipótese, ele supôs que o polinômio dado possuia n soluções distintas
x1 · · · , xn e construiu t da seguinte forma:
t = m1 x1 + m2 x2 + · · · + mn xn
escolhendo os números m1 , · · · , mn de maneira apropriada. Galois observou
que é sempre possı́vel encontrar números m1 , · · · , mn no corpo K tal que
todos os valores
tσ = m1 xσ(1) + · · · + mn xσ(n)
resultantes das permutações σ nos ı́ndices 1, · · · , n são distintas. O objeto t
construı́do possui uma propriedade tal que permite com que todas as soluções
13
x1 , · · · , xn possam ser representadas por polinômios em t.
Aqui faz-se necessário ressaltar que todo polinômio do conjunto BK - este
conjunto será melhor explicado na versão final, pois estou com dificuldades na
tradução -, ideal do anel K [x] - ,corresponde à uma equação polinomial que
é satisfeita por t, resolvente de Galois. No entanto, existe apenas um único
polinômio Θ [T ] ∈ BK que é irredutı́vel sobre K e possui t como solução. O
polinômio Θ [T ] pode ser encontrado pelo método de Lagrange e pelo produto n! de todos os fatores lineares (T − tσ ) seguida da decomposição desta
equação em fatores irredutı́veis. Depois basta procurar o fator Θ (T ) que
possui t como zero. Não serão mencionadas neste artigo as formas de se
encontrar o polinômio Θ (T ), visto que este é utilizado apenas como uma
ferramenta para alcançar os reais objetivos deste trabalho.
3.3
O teorema fundamental de Galois
Até agora foram dadas todas as definições e teoremas essencias para a compreensão da teoria de Galois. Nesta subseção serão investigadas as propriedades do grupo de Galois e será enunciado o teorema fundamental de Galois.
Teorema 2: Seja a extensão M | K. Aplicando todos os automorfismos
do grupo de Galois G = Aut (M | K) sobre o corpo M apenas os elementos
de K permancem fixos.
Exemplo 3: Um exemplo da aplicação deste teorema pode ser facilmente
visualizado no estudo da equação quadrática:
x2 − 6x + 1 = 0,
As duas soluções são usadas para fazer a extensão do corpo dos coeficientes
Q para o corpo:
n
o
√
√
Q( 2) = a + b 2 | a, b ∈ Q
√ O grupo de Galois consiste em duas permutações σ1 , σ2 definidas por σ1 2 =
√
√ √
√
2 e σ2 2 = − 2 sobre as soluções 3 ± 2 2. Ao aplicar σi à Q obtem-se:
√ √
σ1 a + b 2 = a ± b 2 , ∀a, b ∈ Q
√ √
σ2 a + b 2 = a − b 2 , ∀a, b ∈ Q
14
Teorema 3: O grau da extensão M | K é igual à ordem |G| do grupo de
Galois G = Aut (M | K).
Demonstração - Teorema 3: Para provar este teorema serão usados argumentos envolvendo o resolvente de Galois que pode ser aplicado análogamente
ao corpo Q(ς), em que ς é a n-ésima raiz da unidade, através do qual todo
valor do corpo M = K (x1 , · · · , xn ) pode ser representado por um quociente
em que o numerador e o denominador são da forma k1 t + · · · + km tm e todos
os coeficientes kj pertencem ao corpo K. Além disso, é possı́vel restringir o
grau da potência mais alta m atráves do valor |G| − 1, visto que |G| é o grau
do polinômio Θ(T ), que possui t como uma de suas raı́zes. Falta mostrar
que todos quocientes podem ser expressos como um polinômio em t. Para
tal leva-se em consideração o espaço vetorial K [t] de dimensão |G|:
K[t] = k0 + · · · + k|G|−1 t|G|−1 | k0 , · · · , k|G|−1 ∈ K
associada à aplicação:
h(t) ∈ K[t] 7→ g(t)h(t)
definida pela multiplicação e por um elemento g(t) ∈ K [t]. Esta é uma
aplicação linear. Ao interpretar esta aplicação como uma multiplicação fica
claro que nenhum elemento igual a zero é aplicado ao zero, pois g(t) 6= 0. Resultados de sistemas de equações
lineares mostram que todo elemento de K[t]
1
1
= 1 . Esta pré-imagem permite a
possui a pré-imagem f g(t) = g (t) . g(t)
representação de expressões com g(t) no denominador como um polinômio
em t, tal que todo valor do corpo de decomposição K(x1 , · · · , xn ) pode ser
expresso polinomialmente nos termos do resolvente de Galois, t. Assim, a
demonstração do teorema está concluı́da.
Teorema 4: Seja o corpo de decomposição M = K (x1 , · · · , xn ) e seja H
um subgrupo do grupo de Galois G = Aut (M | K). Aplicando todos os automorfismos de H sobre os elementos M o conjunto que permanece fixo será
igual à K apenas quando H = G.
Demonstração - Teorema 4: Para provar este teorema é necessário retomar o conceito de que H, subgrupo do grupo de Galois G, no qual os
elementos do corpo K são os únicos na extensão K(x1 , · · · , xn ) = M mantidos fixos pelos automorfismos de G. Através do resolvente de Galois t
forma-se o seguinte polinômio:
Y
(X − σ(t)) (∗)
σ∈H
15
Ao aplicar um automorfismo τ do subgrupo U aos coeficientes de (∗) isso
corresponderá à uma permutação linear de valores e portanto, os coeficientes
se manterão inalterados. De acordo com o que foi assumido, os coeficientes
de (∗) pertencem à K, visto que não variam quando a eles são aplicados os
automorfismos de G. Se H é um subcorpo próprio, então o resolvente de
Galois t será uma das soluções de uma equações com coeficientes em K, cujo
grau seja menor do que |G|. Isto contradiz o fato de que o resolvente de
Galois t é uma das soluções de Θ(T ) o que de acordo com a construção do
resolvente de Galois é de um polinômio irredutı́vel de grau |G| em K [x].
Teorema 5 - Teorema fundamental da teoria de Galois1 : Seja p(x) um
polinômio com coeficientes complexos em um corpo K ⊆ C e sejam x1 , · · · , xn
suas raı́zes. O grupo de Galois, G = Aut (M | K) de todos os automorfismos
de M = K (x1 , · · · , xn ) que fixam o corpo K, possui as seguintes propriedades:
1. A aplicação que associa o subgrupo Aut (M | L) ao corpo intermediário
L estabelece uma bijeção entre os corpos intermediários e os subgrupos
do grupo de Galois.
2. O grau da extensão M | L é igual ao número de elementos do subgrupo
Aut (M | L) à este associado. Este é o número de automorfismos que
fixam os elementos de L.
3. Se um corpo intermediário LY = KY (y1 , · · · , yn ) é obtido pela adjunção
das raı́zes y1 , · · · , yn ao corpo de coeficientes KY ⊆ K (x1 , · · · , xn ) = M
então o grupo de Galois GY = Aut(LY | K) contém |G| / |Aut (K (x1 , · · · , xn ) | LY )|
automorfismos. Os automorfismos deste grupo de Galois podem ser obtidos restringindo o domı́nio de definição K (x1 , · · · , xn ) pertencentes à
GY ao corpo intermediário LY .
A demonstração do teorema fundamental de Galois será omitida por envolver
basicamente os teoremas 2, 3 e 4 que já foram devidamente comentados.
3.4
Um exemplo do teorema fundamental de Galois
Dada a equação
x4 − 4x3 − 4x2 + 8x − 2 = 0
1
É importante destacar que o formato em que a teoria de Galois foi exposta neste artigo
é uma abordagem modernizada diante da escrita pelo matemático. Parte dela deve-se a
Camille Jordan e Ludwig Sylow, que reescreveram o trabalho de Galois de forma mais
clara e estendida, publicando-a no final do século XIX.
16
e suas raı́zes
x1,3
x2,4
√
q
√
=1+ 2± 3+ 2
q
√
√
=1− 2± 3− 2
Fazendo a ajdunção das raı́zes ao corpo dos coeficientes Q o grupo de Galois é
determinado. Se os elementos do grupo são considerados como permutações,
eles agem nas raı́zes da seguinte forma:
σ0
σ1
σ2
σ3
σ4
σ5
σ6
σ7
1
1
3
1
3
2
4
2
4
2
2
2
4
4
1
1
3
3
3
3
1
3
1
4
2
1
2
4
4
4
2
2
3
3
4
1
Os possı́veis subgrupos podem ser encotrados por tentativa e erro. Qualquer
outro subgrupo deverá ter dois ou quatro elementos. Os subgrupos de ordem
dois de cada um dos elementos são:
{σ0 , σ1 } , {σ0 , σ2 } , {σ0 , σ3 } , {σ0 , σ4 } , {σ0 , σ7 } .
Os subgrupos de ordem quatro são:
{σ0 , σ1 , σ2 , σ3 } , {σ0 , σ3 , σ4 , σ7 } , {σ0 , σ3 , σ5 , σ6 }
De acordo com o teorema fundamental da teoria de Galois, existe uma
correspondência bijetiva entre o conjunto dos subgrupos e dos corpos compreendidos entre Q e:
q
q
√
√
3 + 2, 3 − 2
Q (x1 , x2 , x3 , x4 ) = Q
Esses corpos podem ser encontrados através dos subgrupos pela determinação
dos corpos fixos. Para tal, usa-se as seguintes identidades:
√
2=
1
(x1 − x2 + x3 − x4 )
4
q
√
1
3 + 2 = (x1 − x3 )
2
17
q
√
1
3 − 2 = (x2 − x4 )
2
,
√
1
(x1 − x3 ) (x2 − x4 )
4
Com estas identidades é possı́vel determinar as imagens dos automorfismos
diretamente da tábua de permutações. Como consequência direta, os corpos
fixos podem ser determinados.
4
7=
Insolubilidade das equações de grau n ≥ 5
Como foi mostrado a cada equação polinomial associa-se um determinado
grupo, o grupo de Galois. Determinadas propriedades destes grupos os classificam como solúveis ou insolúveis. Por meio do teorema fundamental de
Galois anteriormente colocado e de outras ferramenta e critérios, prova-se
que apenas equações de grau n ≤ 5 possuem grupos solúveis. Isto implica
que apenas estas têm soluções por meio de radicais.
5
Considerações Finais
As investigações envolvendo resolução de polinômios não se encerraram com
o trabalho de Galois. Métodos numéricos e algébricos continuam a ser desenvolvidos. Atualmente, por meio da utilização de softwares matemáticos
não é difı́cil encontrar soluções precisas para uma equação polinomial. Apesar disso, o trabalho de Galois merece destaque, pois mais do que buscar
métodos para soluções de equações, ele abriu os campos do conhecimento
matemático para o que hoje é conhecido como Álgebra Moderna, sendo o
seu principal precursor.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
Andrews University Mathematics Department. Biographies of Mathematicians Évariste
Galois:
Disponı́vel
em:
<http://www.andrews.edu/ calkins/math/biograph/biogaloi.htm>. Acesso em: 11 maio
2008.
BERWERSDORFF, Jörg. Galois theory for beginners : a historical perspective.
2. ed. Rhode Island : American Mathematical Society. 2006. 180 p.
DOMINGUES, Hygino H; Iezzi, Gelson. Álgebra moderna. 4. ed. São Paulo: Atual
Editora, 2003. 368 p.
GARBI, Gilberto G. O romance das equações algébricas. 2. ed. São Paulo: Editora
18
Livraria da Fı́sica. 2007, 488 p.
GONÇALVES, Adilson.
Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e
Cientı́ficos Editora S.A, 1999, 194 p.
HERSTEIN, I. N. Topics in algebra. 2. ed. Chicago: John Wiley & Sons, 1975. 388 p.
Melo, Fernanda Diniz de; Melo, Fernanda Diniz de; Ramos, Giovana Morali. A teoria de
Galois
e
os
números
algébricos.
Disponı́vel
em:
< http://www.impa.br/opencms/pt/downloads/poster fernanda melo.pdf> . Acesso
em: 17 maio 2008.
SINGH, Simon. O último teorema de Fermat. 12. ed. Rio de Janeiro: Editora
Record Ltda. 1997. 328 p.
Stewart, Ian. Galois theory. 3. ed. Flórida: Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004.
288 p.
STIILLWELL, John. Galois theory for beginners. The American Mathematical
Monthly. Washington, D.C., vol. 101, no 1. pg. 22-27. set. 1994.
Preszler, Jason.
Introduction to Galois theory.
Disponı́vel em:
<http://www.math.ups.edu/ bryans/Current/Journal Spring 2001/434 JPreszler 2001
galois.pdf>. Acesso em: 15 maio 2008.
Universidade de Bristol Reino Unido. Departamento de matemática. bf Galois theory.
Disponı́vel
em:
<http://www.maths.bris.ac.uk/ maarb/galois/notes.pdf> Acesso em : 20 maio 2008.
Wolfram Mathworld.:
FundamentalTheoremofGaloisTheory. Disponı́vel em:
<http://mathworld.wolfram.com/FundamentalTheoremofGaloisTheory.html> Acesso em:
10 jun. 2008.
Wolfram Mathworld.
Galois
Extension
Field
:
Disponı́vel em:
<http://mathworld.wolfram.com/GaloisExtensionField.html> Acesso em: 10 jun. 2008.
Wolfram
Mathworld.
Galois
Group.
Disponı́vel
em:
<http://mathworld.wolfram.com/GaloisGroup.html>. Acesso em: 11 maio 2008.
Wolfram
Mathworld.
Galois
Theorem
:
Disponı́vel
em:
< http://mathworld.wolfram.com/GaloissTheorem.html>. Acesso em: 11 maio 2008.
Wolfram
Mathworld.
Galois
Theory
.
Disponı́vel
em:
<http://mathworld.wolfram.com/GaloisTheory.html>. Acesso em: 11 maio 2008.
Helen Soares Madeira ([email protected])
Curso de Matemática, Universidade Católica de Brası́lia.
EPCT QS 07 Lote 01 Águas Claras Taguatinga CEP: 72966-700
19