Aula 4
A propagação da Luz
Referências: E. Hecht, óptica, Fundação Calouste Gulbekian, segunda edição portuguesa (2002);
Anita Macedo, Eletromagnetismo, Editora Guanabara, 1988
The Feynmann Lectures on Physics,
O princípio de Huygens
“Cada ponto de uma frente de onda
primária constitui uma fonte de
ondas esféricas secundárias, e a
posição da frente de onda primária
num instante posterior é
determinada pela envolvente de todas
estas ondas secundárias, que se
propagam com velocidade e
frequência igual à onda primária”
“No estudo da propagação destas ondas deve-se considerar que cada partícula do
meio através do qual a onda evolui não só transmite o seu movimento à particula
seguite, ao longo da reta que parte do ponto luminoso, mas também a todas as
partículas que a rodeiam e que se opõem ao movimento. O resultado é uma onda em
torno de cada partícula e que a tem como centro”
Aproximação eletromagnética
Ondas numa superfície de Separação entre dois meios
r
r i (ωt −kr . rr )
Ei = Eo e
r
r
ˆ
Bi = ε 1 µ1 k × Ei
r ω
k = kˆ = ω ε 1 µ1 kˆ
v
k
Ei
Bi
Ao atingir a fronteira dos dois dielétricos diferentes, a onda interfere com
as cargas de polarização e as correntes de magnetização aí induzidas,
transmite-lhes energia e as faz irradiar novas ondas.
Ondas numa superfície de Separação entre dois meios
Br
kr
k
Ei
Er
r
r i (ω t −kr . rr )
E r = Eor e r r
r
r
ˆ
Br = ε 1 µ1 k r × E r
r ω
k r = r kˆr = ωr ε 1 µ1 kˆr
v
Bi
r
r i (ω t −kr . rr )
Et = Eot e t t
r
r
ˆ
Bt = ε 1 µ1 k t × E t
r ω
k t = t kˆt = ωt ε 1 µ1 kˆt
v
Ao atingir a fronteira dos dois dielétricos diferentes, a onda interfere com
as cargas de polarização e as correntes de magnetização aí induzidas,
transmite-lhes energia e as faz irradiar novas ondas.
Condições de contorno:
D2
dS2
σ (densidade superficial de carga)
Meio 2
n
Meio 1
D1
dS1
r r
∫∫ D.dS = ∫∫∫ ρdV
r r
r r
r r
∫∫r D.dr S1 +r∫∫ Dr.dS 2 + ∫∫ D.dSlateral = ∆q
D1 .∆S1 + D 2.∆S 2 + Dlat ∆S lateral = ∆q
) r
) r
− n.D1∆S1 + n. D2 ∆S 2 + Dlat ∆S lateral = ∆q = σ∆S
r
) r
) r
n.( D2 − D1 ) = σ → n.∆D = σ
Do mesmo modo:
n.
n.∆
∆B=0
Quando, na ótica, queremos caracterizar uma superfície pelas suas
propriedades refletoras, damos-lhe o nome de catóptrico. Se desejamos
observar suas propriedades refratoras, classificamo-la como um dióptrico. No
caso de estarmos tratando das duas propriedades, temos um catadióptrico.
Condições de contorno na superfície fronteiriça:
r
nˆ.∆ (εE ) = 0
r r
nˆ × ∆E = 0
r
nˆ.∆B = 0
r
r
B
nˆ × ∆( ) = 0
µ
n
r i (ωt −kr . rr ) r i (ω t −kr . rr ) r i (ω t −kr . rr ) r
o
Ae
+ Ar e r r o + At e t t o = 0
Todas as condições
de
contorno
são
combinações lineares
do tipo:
Em qualquer instante t, as condições devem ser obedecidas com todos os
vetores ro do plano. Assim, sobre a superfície,devem ser idênticas as partes
temporais dos três fatores de fase:
ωt = ωrt= ωt t
(na superfície)
Ou seja → ω = ωr= ωt
Bem como devem ser idênticas suas partes espaciais.
k.ro = kt .ro = kr .ro
Como ro é arbitrário no plano, podemos
escolhê-lo de modo a ser ⊥ ao vetor de
onda k da onda incidente. Chamando
r’o esse vetor particular (perpendicular
ao plano da tela):
k.r’o = kt .r’o = kr .r’o = 0
Por serem ⊥ a um quarto vetor r’o ,os
três vetores de onda são coplanares .
0
kr
kt
ro
n
k
k.ro = kt .ro = kr .ro
Equivalem a:
k cos(k,
k,rro ) =kt cos( kt ,ro )=kr cos( kr .ro )
ksenθ
kt senθt
kr senθr
kr
k
θ θr
r’o ⊗
ro
n
ksenθ= kt senθt =kr senθr
(ε1 µ1 )1/2 senθ= (ε2 µ2 )1/2 senθt = (ε1 µ1 )1/2 senθr
θ = θr
n1 senθ = n2 senθt
θt
kt
Condições de contorno:
µ1 ≈ µ 2 ≈ µo
(
)
r
s
nˆ. ε 2 E 2 − ε 1 E1 = 0
r
r
r
nˆ × E 2 − E1 = 0
r
r r
B2 − B1 = 0
(
)
mas
r
r
r
E1 = E0 + E r
r
r
E 2 = Et
r
r
r
r
r
B1 = Bo + Br = ε 1 µo kˆ × E0 + kˆr × E r
r
r
r
B2 = Bt = ε 2 µo kˆt × Et
(
(
)
)
Combinando as equações dos dois slides anteriores:
[
] ( )
] ( )
r
r
r
nˆ. ε 2Et −ε 1E r = nˆ. ε 1 E0
r
r
r
nˆ × E t − E r = nˆ × E0
r
r
r
ε 2 kˆ × Et − ε 1 kˆr × E r = ε 1 kˆ × E0
[
(
)
(
)
(
)
Após várias manipulações.....
r
nˆ. < S r >
r
R=
nˆ. < Si >
r
nˆ. < S t >
r
T=
nˆ. < S i >
R +T =1
s
1 ε
< S >=
EO2 kˆ
µ
2
r
1 ε1
nˆ. < S i >=
EO2 cos θkˆ
µo
2
r
1 ε1
nˆ. < S r >= −
E r2 cos θkˆ
µo
2
r
1 ε2
ˆn. < S t >=
Et2 cos θkˆ
µo
2
 n1 cos θ − n2 cos θ t
R⊥ = 
 n1 cos θ + n2 cos θ t



 n1 cos θ − n2 cos θ 

R|| = 
 n1 cos θ t + n2 cos θ 
4n1n2 cos θ cos θ t
T⊥ =
(n1 cos θ + n2 cos θ t )2
4n1n2 cos θ cos θ t
T|| =
2
(n1 cos θ t + n2 cos θ )
2
2
Observamos que, à parte o caso trivial em que n1 = n2 , só há uma circunstância
em que a reflexão deixa de existir :
θB = arc tg (n 2 /n1 )
Propriedades óticas dos Metais
Condutores → ε ≈ εo , λ > 0
j = λE
E + ρv
v
Corrente de condução
corrente de convecção
Do ponto de vista microscópico, não há diferença entre as duas
correntes. O condutor é constituído de partículas carregadas, que se
põem em movimento, sob a ação de campos, que dão origem a
correntes de condução.
Do ponto de vista macroscópico, o condutor está descarregado ρ=0.
v
v
2
r2 v
∂ E
∂E
∇ E − µε 2 − µλ
=0
∂t
∂t
r r iωt
E = Er e
r 2 v iωt
v iωt
v iωt
2
∇ E r e − µεE r e (iω ) − µλE r e (iω ) = 0
r2 v
v iωt 2
v
∇ E r + (µεE r e ω − µλE r (iω ) ) = 0
r2 v
λr
2 
∇ Er + ω µ  ε − i  Er = 0
ω

r2 v
r
2
∇ E r + ω µε λ E r = 0
λ

ε λ = ε − i 
ω

Permissividade complexa
ε λ = ε λ e − iβ
 λ 
ελ = ε 1 +  
 ωε 
2
 λ 

ωε


β = arctg 
λ << ωε
2

1
λ

 

ελ ≈ ε 1 +   → ε

2  ωε  

λ >> ωε
ελ ≈
λ
→∞
ω
Mau condutor
Bom condutor
Vamos considerar que a parte espacial seja dada por Er = Eor e-ikk.r
r2 r
r
r
2
∇ E r + (ω εµ − iωµλ ) E r = 0
− k 2 + (ω 2εµ − iωµλ ) = 0
iλ 

k 2 = ω 2εµ 1 −

 ωε 
r r r
k λ = k − ip = ( k − ip )kˆ
iλ 

k λ2 = k 2 − p 2 − i 2kp = ω 2εµ 1 −

 ωε 
k 2 − p 2 = ω 2εµ
2kp = ωµλ
r
 ελ + ε  ˆ
µ k
k = ω 

2


 ελ − ε  ˆ
r
µ k
p = ω 

2


r r − pr . rr −ikr . rr
E = Eo e e
r r
r − pr . rr i (ωt −kr . rr )
E ( r , t ) = Eo e e
r ωkˆ
kˆ
v=
=
k
 ελ + ε 


 2 µ


r
kˆ
v (λ << ωε ) →
r
r
v (λ >> ωε ) → 0
εµ
Vetor de atenuação
δ= 1/p ≈ 1/k = λ/2π→ constante de amortecimento (profundidade
de penetração)
O fato do campo rapidamente variável ser considerável apenas
numa região estreita do condutor constitui o efeito pelicular.
No cobre δ≈ 22 angstrons
Água do mar ≈ 20 cm ( dificuldade das comunicações entre
submarinos, as quais devem se dar em frequências
extremamente baixas.
Pode-se ter uma idéia da resposta dos metais à luz com base em
algumas hipóteses simplificadoras. Desprezando a contribuição dos
elétrons ligados e assumindo que o amortecimento é desprezível:
2
ω

NZq 
NZq
p
2
∑ 2

n = 1+
≈
−
=
−
1
1
ε o m  j ωo − ω 2 + iγω 
ε o mω 2
ω2
2
fj
2
Elétrons e íons positivos livres no interior de um metal podem
constituir um plasma cuja densidade valia com uma frequência
natural de plasma.
Abaixo da frequência de plasma, o índice é complexo e a onda
transmitida se atenua exponencialmente. Para altas fequencias
(raios X), n é real, a absorção pequena e o condutor é
transparente.
As
viseiras
dos
capacetes
dos
astronautas são cobertos
por uma fina camada de
ouro que reflete grande
parte da luz.
Fótons e as leis da reflexão e refração
pr =ħk
kr
x
pt =ħk
kt
y
pi =ħk
ki
A conservação da componente paralela à superfície traduz-se, por
pix = ptx
pi senθi = pt senθt
ki senθi = kt senθt
λi -1 senθi = λt -1 senθt
ni senθi = nt senθt
Para a reflexão
ki senθi = kr senθr , como λi -1 = λr-1 , então
θi = θr
Note que
nti = pt /pi
Então se nti > 1 → pt > pi aumenta o momento!
Mas a velocidade vti = c/nti diminui!
Aspectos familiares da interação da luz com a matéria
I see skies of blue and clouds of white The bright blessed day,
the dark sacred night And I think to myself, what a wonderful
world
Um objeto difusor altamente refletor para qualquer frequência, parece
branco quando iluminado por luz branca.
Apesar da água ser
essencialmente
transparente, o vapor
d’água aparece
esbranquiçado, assim
como o vidro não
polido.
Se o tamanho do grão, embora pequeno, for bastante maior do que os
comprimentos de onda envolvidos, a luz penetra em cada uma das partículas
transparentes e é refletida e refratada várias vezes antes de emergir. Não há
distinção entre qualquer das frequências componentes e, portanto, a luz que
chega ao observado é branca (açúcar, sal, papel, nuvens, pó de talco, neve,
tinta, clara de ovo batida, plástico amarfanhado...
Segundo a mesma lógica, mas em sentido inverso, reduzindo o índice
relativo, nos limites dos grãos ou fibras, as partículas do meio refletem
menos, fazendo diminuir a brancura global do objeto. Consequentemente,
um tecido molhado tem uma aparência mais acinzentada e mais
transparente.
As cores características da maior parte das substâncias têm origem na
absorção seletiva. A água, tem uma tonalidade ligeiramente azul-esverdearda
devido à absorção de luz vermelha, isto é, as moléculas têm uma grande zona
de absorção no infravermelho, que se estende um pouco ao visível.
Exemplos de absorção seletiva:
As moléculas dos pigmentos cromáticos têm ressonâncias no visível (de 1,6 a 3,2 eV)
Todas as substâncias, quer naturais, quer sintéticas, possuem longas
cadeias de moléculas constituidas por ligações alternadamente simples e
duplas como a molécula do caroteno (C40 H56 )
Os carotenóides têm cores
que variam desde o amarelo
ao vermelho .
As clorofilas constituem outro grupo de pigmentos naturais familiares, mas nestes
uma parte da longa cadeira fecha-se em anel.
Os carotenóides, como as clorofilas, contêm um número de elétrons
particularmente móveis conhecidos como elétrons pi: não estão ligados a
nenhum átomo em particular e podem circular ao longo da cadeia ou anel
molecular. Na terminologia da mecânica quântica, fala-se de estados de grande
comprimento de onda, baixa frequência e, portanto, de baixa energia (1,6 -3,2
eV- no visível)
Os metais contêm eletróns livres que dispersam a luz com eficiência
independentemente da frequência: não estão ligados ao átomos e não têm
ressonâncias associadas. As amplitudes das vibrações são uma ordem de
grandeza superiores às dos elétrons ligados. A luz incidente não pode penetrar
no metal mais do que uma fração do seu comprimento de onda sem ser
totalmente extinta.
Uma superfície difusora que absorva uniformemente ao longo de todo o
espectro, reflete um pouco menos que uma superfície branca, parecendo
acinzentada. Quanto menos refletir, menos intenso será o cinzento;
quando a absorção for quase total a superfície parece preta. Uma
superfície que reflita 70-80 %, ou mais, tem o aspecto cinzento metálico
familiar típico dos metais.
Note que a diferença
entre uma superfície
cinzenta e uma
espelhada é que na
primeira a reflexão é
difusa e na segunda é
especular.
Um artista representa uma superfície
metálica “branca” polida, de prata ou
de alumínio, por exemplo, utilizando
a reflexão de objetos próximos
Hand with Reflectiong Sphere por M. C.
Escher
O mecanismo responsável pela tonalidade vermelho-amarelo do ouro e do
cobre é, nalguns aspectos, semelhante ao processo que dá origem ao azul do
céu (reflexão seletiva).
No início do século XIX Thomas Young mostrou que as cores visíveis podem
ser produzidas sobrepondo três feixes de luz com frequências bastante
diferentes. Quando três destes feixes produzem luz branca, por sobreposição,
constituem um conjunto de cores primárias.
Não existe um conjunto único de
cores primárias.
As mais frequentes são o
vermelho ( R) , o verde (G) e o
azul (B)
R + G+ B = W
R +B = M (magenta)
B + G = C (ciano)
R + G = Y (amarelo)
G+M = W
C+R=W
Y + B= W
(1)
(2)
(3)
(4)
(1) e (2)
(1) e (3)
(1) e (4)
Duas cores dizem-se complementares quando por sobreposição, permitem
obter o branco.
Sobreponto magenta e amarelo:
M + Y = (R+B) + (R+G) = W +R
Uma cor diz-se saturada quando não contém nenhuma quantidade de
branco.
X = aR + bG+ cB
por definição aR + bG+ cB =1; portanto bastam
dois quaisquer dêsses coeficientes para definir
uma côr.
Model of rhodopsin protein from a cow. The
rhodopsin (yellow) is embedded in the
membrane of the rod cell. Retinal is shown in
orange. When light enters the eye, photons
cause the retinene to rearrange, switching from
11-cis-retinal to 11-trans-retinal (isomerization).
When this happens, the straight end of the
retinene breaks loose from the opsin, and the
rhodopsin opens a portal in the nerve for a
fraction of a second, and a nerve pulse is
initiated. Moments later, the portal closes, as the
retinene transforms back to the cis form,
reattaching to an opsin to regenerate the
pigment.
retineno