Geometria I
Curso
Licenciatura Plena em
Matemática
Aula
1.1
Tempo
Estratégia
18:10 / 18:15
5’
Vh
Abertura
18:15 / 18:25
10’
Apresentação da
equipe
18:25 / 19:00
35’
P1
Vítor
Aula 1.3
Turno
Noturno
Disciplina
Geometria I
Carga Horária
90h
Período
2.0
Data
247/11/2006 – 6ª. feira
Planejamento
Sara/ Mateus
Descrição (Arte)
Unidade I: Noções e proposições primitivas
Tema 01: Noções e proposições primitivas
Objetivo: Verificar as notações dos entes geométricos e diferenciar postulado
de teorema.
(3) Entes geométricos
Passo a passo
Notações
• As noções (conceitos, termos, entes) primitivas são adotadas sem
definição;
• São consideradas a partir do conhecimento intuitivo e observação;
• Os entes primitivos são: PONTO, RETA E PLANO.
(4) Entes geométricos
Passo a passo
Notação com letras
• Ponto – Letras maiúsculas latinas: A, B, C, ...
• Reta – Letras minúsculas latinas: a, b, c, ...
• Plano – Letras gregas minúsculas: α , β , δ , ...
(5) Entes geométricos Passo a passo
Notação gráfica
• Ponto
•
Reta
(6) Entes geométricos
Notação gráfica
•
Plano
Geometria I
Aula 1.3
(7) Proposições primitivas
Postulado da existência
• Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.
(8) Proposições primitivas
Postulado da existência
• Num plano há infinitos pontos.
(9) Proposições primitivas
Postulado da determinação
• Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
(10) Proposições primitivas
Postulado da determinação
• Três pontos não colineares determinam um único plano que passa
por eles.
(11) Proposições primitivas
Postulado da inclusão
• Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está
contida no plano.
(12) Aplicação
Passo a passo
Usando os postulados da geometria plana, classifique em verdadeiro (V) ou
falso (F):
a) Por um ponto passam infinitas retas. (V)
b) Uma reta contém dois pontos distintos (V)
c) Por três pontos dados passa uma só reta (F)
d) Quatro pontos todos distintos determinam quatro retas (F)
e) Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares (F)
(13) Aplicação
Usando quatro pontos distintos, sendo três deles colineares, quantas retas
podemos construir?
(14) Solução
(15) Teorema Passo a passo
Definição
• Diferente do axioma, o teorema não se constitui de forma intuitiva.
• Um teorema é composto de duas partes:
- Hipótese
- Tese
(16) Teorema
Passo a passo
Exemplo
“Se um triângulo é isósceles, os ângulos da base são congruentes”.
Geometria I
Aula 1.3
Hipótese: ⁄ o triângulo é isósceles, ⁄ ΔABC , AB ≡ AC .
Tese: ⁄ os ângulos da base são congruentes, ⁄
Bˆ ≡ Cˆ .
(17) Teorema
Exemplo
“Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos
quadrados dos catetos”.
Hipótese:
Tese: a2 = b2 + c2
(18) Teorema
Exemplo
Toda tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de
tangência.
Hipótese:
Tese:
19:00 / 19:25
25’
P1/DL
Vítor
(19) Dinâmica Local
1) Usando os postulados da geometria plana, classifique em verdadeiro (V) ou
falso (F):
a)
b)
c)
d)
e)
Por dois pontos distintos passa uma reta.
Dois pontos quaisquer determinam uma e uma só reta.
Por três pontos distintos passam três retas.
Quatro pontos todos distintos determinam um e um só plano.
Os vértices de um triângulo são coplanares.
(20) Dinâmica Local
2) Demonstre o teorema:
“Se dois ângulos são adjacentes suplementares, então suas bissetrizes formam
um ângulo reto.”
19:25 / 19:30
5’
Retorno DL
(21) Solução 1
Passo a passo
f)
Por dois pontos distintos passa uma reta. (v)
g)
Dois pontos quaisquer determinam uma e uma só reta. (F)
h)
Por três pontos distintos passam três retas. (F)
Geometria I
Aula 1.3
i)
j)
Quatro pontos todos distintos determinam um e um só plano. (F)
Os vértices de um triângulo são coplanares. (V)
(22) Solução 2
Passo a passo
α + β = 1800
α β
0
Hipótese: ⁄
Tese: ⁄
2
+
2
= 90
Demonstração: ⁄
α β α+β
α β 1800
+ =
⇒ + =
= 90 0 .
2 2
2
2 2
2
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Geometria I
Aula 1.2
Tempo
19:30 / 20:05
35’
Estratégia
P2 –
Clício
Descrição (Arte)
Unidade I: Noções e proporções primitivas
Tema 02: Segmento de reta
Objetivo: Estudar os principais elementos sobre segmentos, bem como as
aplicações de axiomas e operações
(2) Segmento de reta
Passo a passo
Conceito
A
B
P
P está entre A e B
A, B e P são colineares
A, B e P são distintos dois a dois
A não está entre P e B nem B está entre A e P
A ≠ B ⇒ P entre A e B.
(3) Segmento de reta
Definição
A≠B
A
Passo a passo
B
X
AB = { A, B} ∪ { X / X está entre A e B}
B
A
Se A = B ⇒
AB é nulo
Geometria I
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(5) Semi-reta
Definição
Passo a passo
A
r
X
B
A é a origem da semi-reta AB
AB
= AB ∪ {X/ B está entre A e X}
(6) Semi-reta
Definição
A está entre B e C
Passo a passo
AB e AC são semi- retas opostas
C
A
B
(7) Segmento de reta
Resumo
A≠B
Passo a passo
Reta AB
A
B
O segmento AB
A
(8) Segmento de reta
Resumo
A semi-reta
B
Passo a passo
AB
A
B
A semi-reta BA
A
B
AB = AB ∩ BA
A
(9) Segmento de reta
Segmentos consecutivos
AB e BC são consecutivos
B
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B
A
C
B
(10) Segmento de reta
Segmentos consecutivos
MN e NP são consecutivos
M
Passo a passo
N
P
RS e ST são consecutivos
R
T
S
(11) Segmento de reta
Segmentos colineares
A
B
Passo a passo
C
r
D
AB e CD são colineares e não consecutivos.
(12) Segmento de reta
Segmentos colineares
M
Passo a passo
N
r
P
MN e NP são colineares e consecutivos.
(13) Segmento de reta
Segmentos colineares
R
Passo a passo
T
r
S
RS e ST são colineares e consecutivos.
(14) Segmento de reta
Segmentos adjacentes
M
MN ∩ NP = {N}
Passo a passo
N
r
P
Geometria I
Aula 1.3
R
T
r
S
RS ∩ ST = ST
(15) Segmento de reta
Congruência de segmentos
Passo a passo
Reflexiva: AB ≡ AB
Simétrica: AB ≡ CD ⇒ CD ≡ AB
Transitiva: AB ≡ CD e CD ≡ EF ⇒ AB ≡ EF
(16) Segmento de reta
Congruência de segmentos
Transporte de segmento:
Passo a passo
Dados AB e a semi-reta de origem A’⇒ ∃⎟B’, tal que AB ≡ A' B'
B
A
A’
B’
(17) Segmento de reta
Comparação de segmentos
AB < CD
Passo a passo
AB ≡ CD
AB > CD
(18) Segmento de reta
Adição de segmentos
R
Passo a passo
P
r
T
RT = RP + PT
(19) Segmento de reta
Adição de segmentos
RS = n. AB ⇒ AB é submúltipl o de RS
RS = 5 AB
(20) Aplicação
Determine PQ, sendo AB = 31
Passo a passo
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x-1
P
A
Q
x+1
B
Q
x+1
B
2x
(21) Solução
Passo a passo
x-1
P
A
2x
2x + x + 1 = 31 ⇒ 3x = 30 ⇒ x = 10
PQ = 2x – (x – 1) = 2x – x + 1 = x + 1 = 10 + 1 = 11
(22) Segmento de reta
Ponto médio
Passo a passo
M ∈ AB e AM ≡ MB
A
B
M
(23) Ponto médio
Passo a passo
Unicidade
Hipótese: X e Y são pontos médios de AB
Tese: AX ≡ XB e AY ≡ YB
A
X
B
Y
x ∈ AY ⇒ AY > AX e Y ∈ XB ⇒ XB > YB
AY > AX ≡ XB > YB ⇒ AY > YB (absurdo ! )
(24) Ponto médio
Unicidade
A
Y
Passo a passo
X
B
Y ∈ AX ⇒ AX > AY e X ∈ YB ⇒ YB > XB
AX > AY ≡ YB > XB ⇒ AX > XB (absurdo ! )
(25) Aplicação
Determine x, sendo M ponto médio de AB .
Geometria I
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A
2x – 3
M
(26) Solução
A
x+4
B
Passo a passo
2x – 3
M
x+4
B
AM ≡ MB ⇒ 2 x − 3 = x + 4
2x − x = 4 + 3
x=7
(27) Segmento de reta
Medida de um segmento
Passo a passo
AB ≡ CD ⇒ m( AB ) = m(CD )
AB > CD ⇒ m( AB ) > m(CD )
RS = AB + CD ⇒ m(RS ) = m( AB ) + m(CD )
(28)
A
dA, B
B
Segmento de reta
Distância entre dois pontos
Distância geométrica: segmento AB
Distância métrica: comprimento de AB
20:05 / 20:25
20’
P2/DL
Clício
(29) Dinâmica Local
Sendo AB e BC segmentos colineares consecutivos, AB é o quádruplo de BC e
AC = 45cm, determine AB e BC.
(30) Dinâmica Local
Seja AB um segmento de reta e M o seu ponto médio. Consideremos um ponto P
entre os pontos M e B. Demonstre que PM é dado pela semidiferença positiva entre
PA e PB .
20:25/20:30
5’
Retorno
DL
(31) Solução 1
Passo a passo
A
B
C
Geometria I
Aula 1.3
AB = 4.BC
AB + BC = AC
4.BC + BC = 45
5BC = 45 ⇒ BC = 9 cm e AB = 36 cm
(32) Solução 2
Passo a passo
med ( AB ) = 2a
med (PM ) = x
A
M
x
P
B
a
PA = a + x e PB =a – x
PA – PB = a + x – (a – x) = a + x – a + x = 2x
PM = (PA – PB)/2
20:35 / 20:55
20’
Intervalo
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Geometria I
Aula 1.3
Tempo
20:55 / 21:30
35’
Estratégia
P3 –
Iêda
Descrição (Arte)
Unidade I: Noções e proporções primitivas
Tema 03: Ângulos, introdução, congruência, corporação e conclusão.
Objetivo: Conceituar e classificar ângulos
(3) Ângulos
Passo a passo
Utilização
• Engenharia
• Fabricação de móveis
• Lançamento de foguetes
• Satélites
• Rota de avião
• Estacionamento
• Desenhos
(4) Ângulo
Conceito
É a reunião de duas semi-retas distintas de mesma origem.
Geometria I
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Indica-se: AÔB
(5) Transferidor
Conceito
É um instrumento utilizado para medir ângulos Ele é dividido em 360 partes de
medidas iguais, e cada uma dessas partes é chamada grau.
(6) Ângulos
Tipos
→
Se as duas semi-retas
→
OA e OB forem opostas, o ângulo é chamado raso ou de meia-volta.
(7) Ângulos
Tipos
Passo a passo
→
→
Se as duas semi-retas OA e OB , que formam o ângulo, forem coincidentes, tem-se
um ângulo nulo ou de uma volta.
(8) Ângulos
Passo a passo
Submúltiplos do grau
•
O minuto: que corresponde a
1
do grau.
60
Indica-se um minuto por 1'.
•
O segundo: que corresponde a
Indica-se um segundo por 1".
1º = 60’
1’ = 60’’
1º = 3600’’
1
do minuto.
60
Geometria I
Aula 1.3
(9) Unidades de medida
Passo a passo
Radiano
É a medida de um ângulo central correspondente a um arco cujo comprimento é igual
ao raio da circunferência a
que pertence.
A circunferência possui 27 π rd.
(10) Unidades de medida
Grado
Passo a passo
É a medida de um ângulo central, que corresponde a
1
da circunferência (sistema
400
decimal de medidas).
(11) Ângulos
Passo a passo
Congruentes
Dois ângulos que têm medidas iguais são denominados ângulos congruentes.
35º
35º
(12) Ângulos
Consecutivos
Passo a passo
Dois ângulos são consecutivos quando possuem um vértice e um lado comuns.
Geometria I
Aula 1.3
(13) Ângulos
Passo a passo
Adjacentes
Dois ângulos que possuem um lado em comum, o mesmo vértice e não têm pontos
internos comuns são denominados ângulos adjacentes.
ˆ B e B Ô C
AO
(14) Ângulo
Bissetriz
É a semi-reta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros
ângulos congruentes
(15) Ângulo
Bissetriz
Passo a passo
(16) Ângulo
Passo a passo
Agudo
Todo ângulo cuja medida é menor que 90°.
Geometria I
Aula 1.3
(17) Ângulo
Passo a passo
Obtuso
Todo ângulo cuja medida é maior que 90° .
(18) Ângulo
Passo a passo
Reto
É o ângulo que tem por medida 90°,
90º
(19) Ângulo
Passo a passo
Raso
É o ângulo de meia-volta (dois retos), isto é, 180°,
(20) Ângulos
Complementares
Passo a passo
A soma de suas medidas for 90°.
(21) Ângulos
Passo a passo
Suplementares
A soma de suas medidas é 180°.
Geometria I
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(22) Ângulos
Passo a passo
Propriedades
Dois ângulos adjacentes, cujos lados exteriores estão em linha reta, são
suplementares.
a + b = 180°
(23) Ângulos
Passo a passo
Propriedades
A soma de ângulos adjacentes formados em torno de um ponto e de um mesmo lado
de uma reta é igual a 180°.
a + b + c + d = 180°
(24) Ângulos
Passo a passo
Propriedades
A soma de ângulos adjacentes formados em torno de um ponto é igual a 360°.
a + b + c + d = 360°
Geometria I
21:30 / 21:50
20’
P3 /DL
Iêda
Aula 1.3
(25) Dinâmica Local
1) Nas figuras, OE é bissetriz de AÔB. Qual a medida do ângulo AÔB?
a) m(AÔE) = 40°
b) m(BÔE) = 15°
(26) Dinâmica Local
2) Os ângulos AÔB e RST são congruentes. Determine o valor de x e do ângulo
AÔB.
21:50 / 21:55
5’
Retorno
DL
(27) Solução 1 Passo a passo
A Oˆ B = 80
b) A Oˆ B = 30
a)
(28) Solução 2 Passo a passo
Sendo AÔB e RST congruentes então:
2x + 20º = x + 45º
2x - x = 45º - 20º
X = 25º
Logo o ângulo AÔB mede:
2x + 20º
2 . 25 + 20º
50º + 20º
70º
m(AÔ8) = 70°
21:55 / 22:00
5’
Tira
Dúvidas