1ª Lista de Exercícios
Análise Combinatória
1) Quantas são as diagonais de um decágono? E de um polígono de n lados?
2) Com 5 alunos da turma M35 e 6 alunos da turma M32, quantos são os grupos de 7
alunos que podemos formar com no mínimo 2 alunos da M35?
3) De quantas maneiras podem ser escolhidos 3 números naturais distintos, de 1 a 30, de
modo que sua soma seja par?
4) Numa cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem começar por 0.
Os três primeiros constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatro
últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos , determine o número de
telefones que podem ser instalados nas farmácias.
5) Um homem possui em sua casa 4 coleções (matemática, física, química e história) com
dez volumes numerados cada. Este homem deseja colocar 3 livros de cada coleção na
estante de forma agrupada. De quantas maneiras distintas ele pode colocá-los na estante?
6) Quantos são os grupos que podem ser formados com os 33 alunos da turma M-37?
7) Considere os números obtidos do número 12345 efetuando-se todas as permutações de
seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado
pelo número 43521?
8) Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá
associar 6 dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser misturadas
porque produzem mistura explosiva?
9) Em um determinado jogo de baralho, todas as 52 cartas são distribuídas igualmente
entre os 4 jogadores. Quantas são as possíveis distribuições das cartas?
10) Sabe-se que o número total de vértices de um dodecaedro regular é 20 e que as faces
são pentágonos. Quantas retas ligam dois vértices do dodecaedro não pertencentes à
mesma face?
11) Dados 10 pontos do espaço, sendo que qualquer 4 deles nunca são coplanares, qual é
o número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? E
se exatamente 6 pontos forem coplanares?
12) Numa congregação de 20 professores, 6 lecionam Matemática. De quantos modos
podemos formar uma comissão de 5 pessoas, com pelo menos um professor de
Matemática?
13) Qual é o número de maneiras distintas possíveis que dois alunos terão para escolher
duas das cinquenta cadeiras de uma sala de aula?
14) Quantos números de três algarismos, sem repetição, podemos formar com os
algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, incluindo sempre o algarismo 4?
15) Em uma reunião social haviam n pessoas; cada uma saudou as outras com um aperto
de mão. Sabendo-se que houveram ao todo 66 apertos de mão, determine o número de
pessoas que estavam na reunião?
16) Um conjunto tem k elementos. O número de seus subconjuntos de p elementos é 136,
e o número de seus subconjuntos ordenados de p elementos distintos é 272. Determinar k
e p.
17) Uma embarcação deve ser tripulada por 8 homens, 2 dos quais só remam do lado
direito e 1 apenas do lado esquerdo. De quantos modos podemos formar uma tripulação,
se de cada lado devemos ter 4 tripulantes? (a ordem dos tripulantes em cada lado
distingue as tripulações.)
18) Na festa de formatura, como uma enorme honraria, 4 alunos dos 23 da turma M-36,
serão escolhidos para ter o enorme prazer de sentarem a mesa circular do professor
Airton. De quantas maneiras distintas estas 5 pessoas poderão se sentar à mesa?
19) O “grande” professor Tonhão pede que se monte um grupo de trabalho de 6 alunos,
dos 27 da M36. Sabendo-se que o Israel não trabalha em grupos que tenham mulheres
(as acha pouco inteligentes) e elas são em número de 17, de quantas maneiras distintas
tal grupo pode ser montado?
2
2ª Lista de Exercícios
Análise Combinatória
1) São dados 12 pontos em um plano, dos quais 5 e somente 5 estão alinhados. Quantos
triângulos distintos podem ser formados com vértices em três quaisquer dos 12 pontos?
2) Quantos anagramas podemos fazer com a palavra PARANAPIACABA? Quantos
começam com P e terminam com A? Em quantos aparece a palavra PIABA?
3) De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em uma fila, sendo que temos 6
homens e 4 mulheres e que a fila terá:
a) os homens e as mulheres agrupados.
b) homens e mulheres misturados
c) homens e mulheres alternados
1) Qual é o total de números inteiros, com todos os algarismos distintos, compreendidos
entre 11 e 1000?
2) Uma palavra tem 7 letras sendo que uma delas aparece n vezes e as outras
comparecem sem repetição. Sabendo que o número de anagramas que se obtém
permutando as letras desta palavra é 210, calcule n.
3) Com 7 pontos distintos, 5 sobre uma reta r e 2 sobre uma paralela s, quantos triângulos
com a base sobre r podemos formar?
4) Uma prova consta de 3 partes, cada uma com 5 questões. Cada questão,
independentemente da parte a que pertença, vale 1 ponto, sendo o critério de correção
“certo ou errado”. De quantas maneiras diferentes podemos alcançar 10 pontos nessa
prova, se devem ser resolvidas pelo menos 3 questões de cada parte e 10 questões no
total?
5) Designando-se por A, B, C, D, E e F seis cidades, qual será o número de maneiras
possíveis para se ir de A até F, passando por todas as demais cidades?
6) Dados 10 pontos do espaço, sendo que apenas 4 deles são coplanares, qual é o
número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos?
7) Num tribunal, dez réus devem se julgados isoladamente num mesmo dia; três são
paulistas, dois mineiros, três gaúchos e dois baianos. Qual é o número de formas de se
julgar consecutivamente os três paulistas?
8) Um vendedor de livros tem oito livros de assuntos distintos para distribuir a três
professores A, B, e C. De quantos modos poderá fazer a distribuição, dando três livros ao
professor A, quatro ao B e um livro ao professor C?
9) Um sistema de códigos é formado por sequências compostas pelos símbolos + e -.
Cada sequência contém n símbolos iguais a + e dois símbolos iguais a -. Qual é o mínimo
3
valor de n de modo que cada uma das 26 letras do alfabeto e cada um dos dez algarismos
do nosso sistema decimal sejam representados por uma dessas sequências?
10) Na TV Minas há um programa de entrevistas, chamado “Roda Viva”. Os
entrevistadores sentam-se em volta de uma grande roda e o entrevistado senta-se no
centro da roda em uma cadeira giratória. Dos oito entrevistadores do próximo programa:
dois serão da Folha de São Paulo, dois da Veja e dois de O Canal. Sabendo-se que os
jornalistas serão dispostos em torno da roda de modo que colegas de trabalho
permaneçam juntos, quantas disposições serão possíveis?
11) De quantos modos diferentes podem ser dispostos em fila (p+q) pessoas, sendo p
homens de alturas diferentes e q mulheres também de alturas diferentes, de modo que,
tanto no grupo dos homens como no das mulheres, as pessoas estejam dispostas em
ordem crescente de altura?
12) Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5 desejamos formar números com cinco algarismos não
repetidos, de modo que o 1 sempre preceda o 5. Qual é a quantidade de números assim
constituídos?
13) Como prêmio pelo “excelente comportamento” nas aulas, será oferecida, a 5 dos 29
alunos da turma M31, uma sensacional viagem para conhecer o Presidio de Neves.
Sabendo-se que os inseparáveis, Francisco e Vinícius só viajam juntos, de quantas formas
distintas podemos selecionar o grupo felizardo?
14) Em um jantar deve-se acomodar cinco pessoas ( A, B, C, D e E) em mesa circular.
Sabendo-se que A e B nunca se sentam lado a lado, quantas são as maneiras de se
dispor as pessoas na mesa?
4
3ª Lista de Exercícios
Análise Combinatória
1. Calcule quantos múltiplos de 3, de 4 algarismos distintos, podem ser formados com
2,3,4,6 e 9 (Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um
número divisível por 3).
2. Uma urna contém 12 bolas: 5 pretas, 4 brancas e 3 vermelhas. Determine o número de
maneiras possíveis de se tirar simultaneamente dessa urna grupos de 6 bolas que contêm
pelo menos uma de cada cor.
3. Seis times de futebol, entre os quais estão A e B, vão disputar um campeonato.
Suponha que na classificação final não existam empates. Um indivíduo fez duas apostas
sobre a classificação final. Na primeira, apostou que A não seria campeão; na segunda,
apostou que B não seria o último colocado. Em quantas das 720 classificações possíveis
esse indivíduo ganha as duas apostas?
4. Um condomínio tem 5 torres ou pilotis (todas tem comunicação) onde cada torre tem
dois elevadores de serviço e um elevador social. O síndico do condomínio resolveu por
questão de economia de energia deixar apenas dois elevadores sociais e três elevadores
de serviço ligados tendo um elevador de serviço de cada torre. De quantas maneiras
distintas podem fazer isto?
5. Dos 33 alunos da M37, seis serão escolhidos para participar de um debate em uma
mesa circular. Antônio, L.Felipe, Camila e Milena só irão se forem juntos; de tal forma que
Camila e Milena vão sentar lado a lado e o Antônio e o L.Felipe nunca irão sentar lado a
lado à mesa. De quantas maneiras distintas podem se sentar?
6. Os alunos da turma M37 resolveram formar uma banda para tocarem na formatura. A
banda será formada por um guitarrista, um vocalista, um baterista e um back vocal. Como
o Jonas, o Juliano e a Ana Carolina são super pontuais eles não podem, os três, estarem
juntos. De quantas maneiras distintas será possível formar a banda?
7. Calcule quantos múltiplos de seis, de quatro algarismos distintos, podem ser formados
com 2,3,4,6 e 9 (Um número é divisível por 6, quando o mesmo é divisível por 2 e por 3 ao
mesmo tempo. Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos será um
número divisível por 3).
8. Usando-se os algarismos 1,3,5,7 e 9, existem x números de 4 algarismos de modo que
pelo menos 2 algarismos sejam iguais. Determine o valor de x.
5
9. Seis pessoas A, B, C, D, E e F, ficam em pé uma ao lado da outra, para uma fotografia.
Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da
outra, determine o número de possibilidades distintas para as seis pessoas se disporem.
10. Entre os 20 professores de uma escola, devem ser escolhidos três para os cargos de
diretor, vice diretor e orientador pedagógico. De quantas maneiras a escolha pode ser
feita?
11. Uma sala tem seis lâmpadas com interruptores independentes. De quantos modos
pode-se ilumina-la, se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acesa?
12. Dos 35 alunos da M32, 4 serão escolhidos para tirar uma foto a ser publicada. Os
inseparáveis Luiz Eduardo, Rafael e Max ( os três mosqueteiros), só vão tirar a foto se
forem juntos; de tal forma que Max fique entre o Luiz Eduardo e o Rafael. De quantas
maneiras podem posicionar-se para tirar a foto?
13. Numa excursão irão cinco adolescentes, dois guias e os gêmeos do programa
O+(idênticos e lindos),todos com a mesma camisa, de quantas maneiras todos podem
posicionar, sendo que pelo menos um dos gêmeos deve aparecer na extremidade.
14. Determine a quantidade de número de três algarismos que tem pelo menos dois
algarismos repetidos.
15. Dos alunos da M32 serão escolhidos seis para irem a uma viagem. Dentre eles o
Marco e a Lívia só irão se forem juntos. De quantas maneiras distintas podemos montar o
grupo que irá viajar?
16. Uma bandeira é formada de 7 listras que devem ser formadas de 3 cores diferentes. De
quantas maneiras distintas será possível pinta-la de modo que duas listras adjacentes
nunca estejam pintadas da mesma cor?
17. Para fazer uma prova os alunos Michael, Tiago, Gustavo, Hudson, Aléxis e Ana Paula
resolveram sentar na mesma fila de tal forma que o Aléxis nunca esteja à frente do
Hudson e o Michael deve ficar entre o Gustavo e o Tiago. De quantas maneiras distintas
eles podem se sentar?
18. No Hall de um prédio existem 7 lâmpadas, 4 de 20W e 3 de 40W. Devido ao
racionamento pretende-se consumir 60W. De quantas maneiras distintas pode-se iluminar
o hall?
19. Uma equipe brasileira de automobilismo tem 4 pilotos de diferentes nacionalidades,
sendo um único brasileiro. Ela dispõe de 4 carros, de cores distintas, dos quais somente
um foi fabricado no Brasil. Sabendo-se que obrigatoriamente ela deve inscrever, em cada
corrida, pelo menos um piloto ou um carro brasileiro, determine o número de inscrições
diferentes que ela pode fazer para uma corrida onde irá participar com 3 carros.
6
20. Para se fazer uma foto oficial dos formandos de 2001 decidiu-se colocar, lado a lado,
todos os representates de turma e seu vice, além do diretor, a vice e o professor paraninfo.
Como os alunos de mesma turma devem estar juntos, a vice-diretora terá três duplas de
um lado e quatro de outro, e que ela terá o diretor de um lado e o paranifo do outro.
Quantas serão as maneiras que poderemos dispolos.
21. Dos nove alunos da M34 que estão em recuperação em Matemática exatamente três
vão ser reprovados. A Cyntia e a Ludmila estudaram juntas, assim a Cyntia passará se a
Ludmila passar. Dequantas maneiras distintas podemos ter a lista dos três reprovados.
22. Com os doze atletas de um time de Volley, de quantas maneiras distintas podemos
colocar na quadra seis jogadores, desconsiderando as posições geradas por rodízio?
23. Para organizar a entrega do diploma, na formatura, a comissão resolveu montar uma
fila aleatória para a entrada dos alunos, porém alguns alunos colocaram condições:
·
Rômulo e Cotinho não entram juntos
·
Mac Fly e Erika só entram juntos
Dessa forma de quantas maneiras distintas podera ser orgnizada a fila com os 23 alunos
da M36?
24. Após a colação de grau 6 alunos serão escolhidos para um jantar. A Talita só ira se a
Aline for, e vice e versa. Sabendo-se que amba não se sentarão juntas, de quantas
maneiras seria possível compor a mesa.
25. De quantas maneiras distintas posso colocar 10 homens e 10 mulheres em fila sendo
que tanto os homens quanto as mulheres se sucedem por ordem de altura? E se só os
homens obedessesem esta ordem?
26. Uma criança possui sete blocos cilíndricos, todos de cores diferentes, cujas bases
circulares têm o mesmo raio. Desses blocos, quatro têm altura igual a 20 cm e os outros
três têm altura igual a 10 cm. Ao brincar, a criança costuma empilhar alguns desses
blocos, formando um cilindro, cuja altura depende dos blocos utilizados. Determine
quantos cilindros distintos de 70 cm de altura a criança pode formar.
7
4ª Lista de Exercícios
Análise Combinatória
1. Formam-se comissões de três professores escolhidos entre os sete de uma escola.
Qual o número de comissões distintas que podem, assim, ser formadas?
2. Dados os conjuntos {1, 3, 5, 7, 9} e { 2, 4, 6, 8}, calcule o número de conjuntos com
elementos distintos que se pode formar, apresentando 3 números ímpares e 2 pares.
3. Determinar quantos são os números de três algarismos, múltiplos de 5, cujos
algarismos das centenas pertencem a {1, 2, 3, 4} e os demais algarismos a {0, 5, 6, 7, 8,
9}.
4. A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade onde estão assinalados as
casas de João (A), de Maria (B), a escola ( C) e um possível caminho que João percorre
para, passando pela casa de Maria, chegar à escola. Qual o número total de caminhos
distintos que João poderá percorrer, caminhando somente para o Norte ou Leste, para ir
de sua casa à escola, passando pela casa de Maria?
C
Norte
B
Leste
A
5. Qual o número de anagramas da palavra CARMO onde as letras C e A aparecem
juntas?
6. Uma urna tem 5 bolas numeradas.
a) De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas, sem reposição?
b) De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas, com reposição?
c) De quantas maneiras podemos retirar 2 bolas simultaneamente?
7. Quantos números de 4 algarismos podem ser feitos com os dígitos de 1 a 7?
8. Com 8 professores, de quantos modos diferentes podemos formar uma banca com 3
membros em que figure sempre um determinado professor?
9. Dentre 6 números positivos e 6 números negativos, de quantos modos podemos
escolher quatro números cujo produto seja positivo?
8
10. Dados 10 pontos do espaço, 4 dos quais nunca são coplanares, qual é o número de
planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? E se exatamente
6 pontos forem coplanares?
11. Uma organização dispõe de 8 economistas e 5 engenheiros. De quantos modos
podemos formar uma comissão com 6 membros, se cada comissão deve ter, no mínimo, 3
engenheiros?
9
GABARITO
Lista 1.
1. a) 35 b)
n 2 - 3n
2
2. 325
3. 2030
4. 648
5. (10.9.8) 4 .4!
6. 2 33 - 1
7. 90ª.
8. 140
9. C 52,13 .C 39,13 .C 26,13 .C13,13
10. 100
11.
13. 2450
14. 168
15. 12
16. p = 2; k = 17
17. 5760
18. 212520
C10,3
C10,3 - C 6,3 - 1
12. 13502
19. 230356
Lista 2.
1. C12 ,3 - C 5 ,3
8!
13!
11!
b)
c) .9
2!6!
5!
4!
2. a)
3. a)
6!.4!.2
b) 10!-6!.4!.2
c)
impossível
4. 728
5. 4
6. 20
7. 1500
8. 4!
9. C10 ,3 - C 4 ,3 + 1
10. 7!.8.3!
11. C8 ,3 .C 5 ,4 .C1,1
12. 7
13. 192
14.
( p + q )!
p!q!
15. 60
16. C 27 ,3 + C 27,5
17. 12
Lista 3.
1. 72
2. 9
3. 504
4. 100
5. C 29,6 .PC 6 + C 29, 2 ( PC 5 .2 - PC 4 .4)
7. 48
8. 505
10. 6840
11.
9. 144
6
åC
i =1
6. 30
6 ,i
12. A31, 4 + C 32,1 .4
10
13. 30.7!
14. 252
15. C 33, 6 + C 33, 4
16. 3.2 6
17. 36
18. C 4,3 .C 3, 0 + C 4,1 .C 3,1
19. 90
20. 2580480
21. 63
22. C12, 6 .PC 6
23. 840.20!
24. C 21, 6 .PC 6 + C 21, 4 ( PC 6 - PC 5 .2)
25. a)
20!
.4
10!.10!
b)
20!
.2
10!.10!
26. 14
11