Ondas Eletromagnéticas
Física Geral F-428
• Alguns Teoremas:
Usando mais :
podemos mostrar que :
• As duas últimas equações mostram que variações espaciais ou temporais do
campo elétrico (magnético) implicam em variações espaciais ou temporais do
campo magnético (elétrico)
A equação de onda
Utilizando as quatro equações de Maxwell e um pouco de álgebra
vetorial (com os teoremas de Gauss e Stokes), podemos obter as
seguintes equações de onda com fontes [  ( r, t )  0 e J ( r, t )  0]:
A equação de onda
A equação de onda
A equação de onda
• Em geral, qualquer função periódica pode ser solução de uma
equação de onda pois poderá ser expressa por uma Série de Fourier
Ex.: Onda quadrada
Ex.: Equação de onda unidimensional progressiva numa corda
y'(x',t)
y(x,t)
O perfil da onda não
muda com o tempo.
vt
x
x'
t 0
y( x, 0)  y´( x´, 0)
x´ x  vt
y´ y
y´( x´, t )  y´( x´, 0)  f ( x´)  f ( x  vt )
v : velocidade de translação de um pulso
Ex.: Equação de onda unidimensional progressiva numa corda
x´ x  vt
f f x´
f

 v
t x´ t
x´
2
2 f

f
2
v
2
2
t
x´
2 f 1 2 f
 2 2 0
2
x´ v t
ou
f f x´ f


x x´ x x´
2
2
 f 1  f
 2 2 0
2
x
v t
Equação de onda
Ondas eletromagnéticas
(3ª Eq. de Maxwell)
Bz transverso à direção
de propagação da onda:
• Sejam: E y ( x, t )  Em sen(kx  t ) e
Em 
 c
Bm k

Bz ( x, t )  Bm sen(kx  t )
Ey
Bz
c
Ondas eletromagnéticas planas
E y ( x, t )  E0 sin k ( x  ct )  E0 sin( kx  t ) ;   ck
Ondas eletromagnéticas
Período:
T
Comprimento
de onda:
Freqüência:
1
f 
T
Freqüência
angular:
Número de
onda:
k
2

Velocidade de
uma onda:

  2 f
v

k
f
L
~
Ondas eletromagnéticas
Problema 1
Um certo laser de hélio-neônio emite luz
vermelha em uma faixa estreita de comprimentos
de onda em torno de 632,8 nm, com uma
“largura”de 0,0100 nm. Qual é a “largura”, em
unidades de frequência, da luz emitida?
Um certo laser de hélio-neônio emite luz vermelha em uma faixa estreita de
comprimentos de onda em torno de 632,8 nm, com uma “largura”de 0,0100
nm. Qual é a “largura”, em unidades de frequência, da luz emitida?
      (632,8  0,0100) nm
f 
c

 c1

df
c
 2
d


f  
c

2
 
f 
3  10 8 m / s
2
9
10
f 
10

10
m

0
,
75

10
Hz  7,5 G Hz
9 2
2
(632,8  10 ) m
mas:
Note que:
3 108
14
f 

4
,
74

10
Hz !
9
(632,8 10 )
f 
f



f


f

c

2

Ondas eletromagnéticas
Transporte de energia
As densidades de energia elétrica e magnética
1

u E (r , t )   0 E 2
2
como
E
B
c

e
B2

u B (r , t ) 
20
E2
1

u B (r , t )  2   0 E 2
2c 0 2
A densidade total de energia armazenada no campo de radiação



u (r , t )  u E (r , t )  u B (r , t )   0 E 2
Ondas eletromagnéticas
Transporte de energia
Como
 

2
2
E (r , t )  E0 sin (k  r   t )
2
A média temporal da densidade de energia é dada por
 
1
1
2
u  0 E  0E
sin (k  r   t ) dt   0 E02
T 0
2

T
2

2
0

1
2
Intensidade da radiação
U
U 
1
I

 u c  c 0 E02
s t s  t
2
Ondas eletromagnéticas
Transporte de energia
Por outro lado
y
 
  E02
2
EB 
sin (k  r   t )kˆ
c
U

E0

ds
  E
1
| EB|
 c0 0 E02
2c 2

B0
2
0
z
  ct

k
x
Ondas eletromagnéticas
Transporte de energia

E0
Definindo
y
 1  
S  EB

B0
0
U

I | S |


E0

ds  nˆ da


x
k
B0

S é o vetor de Poynting e

dU
 S  nˆ da
dt A

S
z
  ct
Ondas eletromagnéticas
eletromagnéticas esféricas
Ondas
Transporte de energia
Se a potência fornecida pela fonte é Pf temos

Pf  S  nˆ da

A
Emissão isotrópica


S  nˆ  S  rˆ  S
Pf
I S 
2
4 R
Ondas eletromagnéticas
Problema 2
Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente com uma
potência média de 4,00 kW. Uma antena de dipolo de recepção
de 65,0 cm de comprimento está a 4,00 km do transmissor.
Calcule a amplitude da f.e.m. induzida por esse sinal entre as
extremidades da antena receptora.
Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente com uma potência média
de 4,00 kW. Uma antena de dipolo de recepção de 65,0 cm de comprimento está
a 4,00 km do transmissor. Calcule a amplitude da f.e.m. induzida por esse sinal
entre as extremidades da antena receptora.
E  Em sen ( kx   t ) ; I 
y
Pf
4 d 2
E
f
B
Pf  4 kW
L=
0,65 m
x
d = 4 km
1
I  c 0 Em2
2
1/ 2

Pf



 ;
Em ( d )  
2 
 2 c 0 d 
0  8,851012 F / m
1/ 2
L  Pf 

f .e.m.   L   Em (d ) dy  Em (d ) L  
d  2 c 0 
0
L
1/ 2

0,65 m 
4  10 W


L 
3
8
12
4  10 m  2  (3  10 m / s)  (8,85  10 F / m) 
3
 0,080 V  80 mV
Ondas eletromagnéticas
Transporte de momento linear: pressão de radiação
O mesmo elemento que transporta
a energia U também transporta o
momento linear
 U ˆ
p 
k
c

E0
y

B0
U
Densidade de momento linear


p u ˆ | S | ˆ
 k 2 k
V c
c

 
 S
g  2  0E  B
c

S

E0

ds  nˆ da


x
k
B0
z
  ct
Momento linear do campo EM ?
Sim !
Aguardem as aulas de relatividade!
Ondas eletromagnéticas
Transporte de momento linear : pressão de radiação
Momento linear transferido para um
objeto onde incide a radiação
 U ˆ
pa 
k
c

p
no caso de absorção
total da radiação
U ˆ no caso de reflexão

pr  2
k
total da radiação
c

p

p
Ondas eletromagnéticas
Transporte de momento linear : pressão de radiação
U  IA t
Pressão de radiação
na absorção total
Pressão de radiação
na reflexão total

dU
 S  nˆ da
dt A

pa IA
Fa I
Fa 

 Pa  
t
c
A c
pr 2 IA
Fr 2 I
Fr 

 Pr  
t
c
A c

p

p

p
Ondas eletromagnéticas
Problema 3
Uma pequena espaçonave, cuja massa é 1,5 x 103 kg
(incluindo um astronauta), está perdida no espaço, longe de
qualquer campo gravitacional. Se o astronauta ligar um
laser de 10 kW de potência, que velocidade a nave atingirá
após transcorrer um dia, por causa do momento linear
associado à luz do laser?
Uma pequena espaçonave, cuja massa é 1,5 x 103 kg (incluindo um astronauta),
está perdida no espaço, longe de qualquer campo gravitacional. Se o astronauta
ligar um laser de 10 kW de potência, que velocidade a nave atingirá após
transcorrer um dia, por causa do momento linear associado à luz do laser?
m

U
pluz   xˆ
c
dpluz 1 dU P


dt
c dt
c

v  v xˆ


pn   pluz
 d p n
dpluz
Fn 
 Fn 
dt
dt
P
P
Fn   ma  a 
c
mc
v(t )  v0  at ; se v0  0  v(t )  at
P  10kW ; m  1500kg ; 1dia  24  60  60  86400s
P
104 W  86400 s
3
v
t

1
,
9

10
m/ s!
8
mc 1500 kg  3  10 m / s
Ondas eletromagnéticas
Polarização da radiação
Polarização linear:
 
Direção do campo elétrico E (r , t )
http://www.colorado.edu/physics/2000/polarization/index.html
Ondas eletromagnéticas
Polarização da radiação
 
 

E (r , t )  E0 sin( k  r   t )
Polarização linear
 
E (r , t )  E0 sin( kz   t ) xˆ
 E0 cos(kz   t ) yˆ
Polarização circular


E x2 (r , t )  E y2 (r , t )  1
Ondas eletromagnéticas
Polarização da radiação
Ey
Polarização elíptica
 
E (r , t )  Ex 0 sin( kz   t ) xˆ  E y 0 cos(kz   t ) yˆ

2 
E (r , t ) E y (r , t )

1
2
2
Ex 0
Ey0
2
x
Um pulso eletromagnético geral corresponde a uma
superposição de vários pulsos que oscilam em
diferentes direções, com diferentes fases
radiação não-polarizada
Ex
Ondas eletromagnéticas
Polarizadores
A luz polarizada em uma dada direção é absorvida pelo material
usado na fabricação do polarizador. A intensidade da luz
polarizada perpendicularmente a esta direção fica inalterada.
Exemplo:
Fios metálicos
http://www.colorado.edu/physics/2000/polarization/
Ondas eletromagnéticas
Polarizadores
Intensidade incidente da
radiação polarizada:
E0||  E0 cos 
E0  E0 sin 
Intensidade da radiação
polarizada ao longo de yˆ :
I  I 0 cos 2 
1
1
2
I 0  c 0 E0  c 0 ( E02||  E02 )
2
2
Ondas eletromagnéticas
Polarizadores
1
I 0  c 0 E02
2
Intensidade da radiação incidente
não-polarizada:
Intensidade da radiação
polarizada ao longo de yˆ
I0
I  I 0 cos  
2
2
2
I0
cos  d 
2
0

2


Ondas eletromagnéticas
Polarizadores
Visualização através de um polarizador:
Ondas eletromagnéticas
Problema 4
Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de dois
filtros polarizadores. Em relação à direção de polarização
da luz incidente, as direções de polarização dos filtros são
 para o primeiro filtro e 90º para o segundo. Se 10% da
intensidade incidente é transmitida pelo conjunto, quanto
vale  ?
Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de dois filtros polarizadores. Em
relação à direção de polarização da luz incidente, as direções de polarização dos
filtros são  para o primeiro filtro e 90º para o segundo. Se 10% da intensidade
incidente é transmitida pelo conjunto, quanto vale  ?
dado:

E
I2
 0,1
I0
I1  I 0 cos2  ;
900
I2
I1
I0
I 2  I1 cos2 (90   )  I 0 cos2  cos2 (90   )
I2
 cos2  cos 90 cos  sen 90 sen 2  cos2  sen2  0,1
I0
cos4   cos2   0,1  0  x 2  x  0,1  0 ;
1  1  0,4 1  0,775
x


2
2
x  cos2 
0,8875
 cos1  0,9421  1  19,6
0,1125
 cos 2  0,3354
  2  70,4
Ondas eletromagnéticas
Reflexão e refração
A frente de onda é o lugar geométrico dos pontos onde
 
k  r  t  const.
Frente de onda plana

kx  t  const. se k  k xˆ
Ondas eletromagnéticas
Reflexão e refração
No vácuo
c
t  3t
1
t  2t
 0 0
Em meios materiais v 
1

t  t
t
cv
Em geral

v(r ) 
1
 
 (r ) (r )
raios
frentes de
onda
Ondas eletromagnéticas
Reflexão e refração: Princípio de Huygens
Todos os pontos de uma frente de onda se comportam
como fontes pontuais para ondas secundárias.
Depois de um intervalo de tempo t, a nova posição da
frente onda é dada por uma superfície tangente a estas
ondas secundárias.
Ondas eletromagnéticas
Reflexão e refração: Princípio de Huygens
Reflexão e refração
Índice de refração
c
n
v
v1
v2
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/viewtopic.php?t=32
Ondas eletromagnéticas
Ondas eletromagnéticas
Reflexão e refração
reflexão especular
BD v1t
sin  i 

AD AD
AC v1t
sin  r 

AD AD
i   r
i r
Ondas eletromagnéticas
Reflexão e refração: reflexão especular x reflexão difusa
Ondas eletromagnéticas
c
ni 
vi
Reflexão e refração: Lei de Snell
BD vi t
sen i 

AD AD
AE vt t
sen t 

AD AD
n1 sin 1  n2 sin  2
onde
1   i
 2  t
v1
i
t
v2
Ondas eletromagnéticas
Reflexão e refração: Lei de Snell
n1  n2
n1  n2
n1
sen  2  sen 1
n2
Ondas eletromagnéticas
Reflexão e refração: Lei de Snell
n1  n2
n1  n2
n1
sen  2  sen 1
n2
Ondas eletromagnéticas
Reflexão interna total
Se a incidência se dá de um meio mais refringente para outro
menos refringente, ou seja, n  n , há um ângulo crítico acima
1
2
do qual só há reflexão.
n1 sin1  n2 sin2
n1 sin  c  n2 sin

2
 n2 
 c  sin  
 n1 
1
 n2
2
n2
n1
1
c
n1 > n2
Ondas eletromagnéticas
Reflexão interna total: fibras ópticas
Ondas eletromagnéticas
 
 

Dispersão cromática n  n( ) E ( r , t )   E (k ) sin( k  r   t )
k
Luz branca
Em geral, se 1  2  n(1 )  n(2 )
Ondas eletromagnéticas
 
 

Dispersão cromática n  n( ) E ( r , t )   E (k ) sin( k  r   t )
k
Luz branca
Em geral, se 1  2  n(1 )  n(2 )
Ondas eletromagnéticas
Dispersão cromática:
Formação do arco-íris
~ 42º
Ondas eletromagnéticas
Polarização por reflexão
A luz refletida por uma superfície
é totalmente polarizada na direção
perpendicular ao plano de
incidência quando
i   r 
B
n1
n2

2
Então


n1 sin  i  n2 sin  i  
2

n2
tan  i 
n1
n2
 i   B  tan
n1
1
 B : ângulo de Brewster
Ondas eletromagnéticas
Problema 5
Uma fonte luminosa pontual está 80,0 cm abaixo da
superfície de uma piscina. Calcule o diâmetro do
círculo, na superfície, através do qual a luz emerge
da água.
Uma fonte luminosa pontual está 80,0 cm abaixo da superfície de uma piscina.
Calcule o diâmetro do círculo, na superfície, através do qual a luz emerge da água.
d  0,8 m
h  d 2  R 2 1 / 2
R
d
h
nH 2O sen c  nar sen 90  nar
nar
1
R
R
sen c 

 0,752   2
2 1/2
nH 2O 1,33
h (d  R )
0,565 (d 2  R 2 )  R 2  0,565 (0,82 )  R 2 (1  0,565)
R 2  0,832  R  0,912 m ; D  2R  1,824 m
D  182 cm