Investigações e Conexões Matemáticas
Paulo Afonso:
Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Castelo Branco
e
Centro de Investigação em Promoção da Literacia e Bem-Estar da Criança
(LIBEC)
Introdução
Tendo em consideração que a OCDE define o conceito de literacia
matemática como sendo “a capacidade de um indivíduo identificar e
compreender o papel que a matemática desempenha no mundo, de fazer
julgamentos bem fundamentados e de usar e se envolver na resolução
matemática das necessidades da sua vida, enquanto cidadão construtivo,
preocupado e reflexivo” (ME, 2004, p. 11), não devemos ficar indiferentes
relativamente ao baixo nível de literacia matemática alcançado pela maioria
dos 4608 alunos portugueses, nascidos no ano de 1987, afectos a 153
escolas,
que
participaram
no
Programme
For
International
Student
Assessment – PISA 2003.
De facto, tal como refere o relatório produzido pelo Gabinete de
Avaliação Educacional do Ministério da Educação,
“Portugal tem ainda um elevado número de estudantes com níveis muito
baixos de literacia matemática: cerca de 30% dos nossos alunos têm um
nível de literacia matemática, no PISA, igual ou inferior a 1, quando
entre os países da OCDE esse valor é de 21%. Isto significa que quase
um terço dos nossos jovens de 15 anos se limita a responder
correctamente a questões que envolvem contextos familiares, em que
toda a informação relevante para a resolução está presente, e só
consegue identificar informação e levar a cabo procedimentos de rotina
de acordo com instruções, em situações explícitas. Esses jovens obtêm
sucesso em acções que se podem considerar óbvias e que decorrem
directamente dos estímulos apresentados” (ME, 2004, p. 16).
Por sua vez, ao analisarem-se os resultados em literacia matemática dos
melhores alunos portugueses com os resultados dos restantes melhores alunos
dos países da OCDE, constata-se que “15% dos alunos do espaço da OCDE
1
estão nos níveis de proficiência 5 ou 6 do PISA e apenas 5% dos alunos do
nosso país se encontram na mesma situação” (ME, 2004, p. 16). Este dado
revela que são poucos os alunos portugueses “capazes de conceptualizar,
generalizar e utilizar informação, com base nas suas investigações e na
modulação de situações problemáticas complexas [ou] estabelecer a ligação
entre diferentes fontes de informação e diferentes representações e fazer
transferências entre elas, com flexibilidade [...]”(ME, 2004, p. 11).
Quando comparados os alunos portugueses que obtiveram resultados
muito baixos em termos de literacia matemática com os alunos que obtiveram
resultados mais elevados, constata-se, entre outros aspectos, que estes
últimos utilizam estratégias de “controlo e de elaboração”, e os outros utilizam
“mais estratégias de memorização” (ME, 2004, p. 41).
No que concerne especificamente à resolução de problemas, um quarto
dos alunos portugueses apenas atingiu o mais baixo nível de proficiência - nível
1, o que corresponde ao seguinte perfil de resolvedor:
“Os estudantes proficientes no Nível 1 resolvem problemas
quando têm de lidar com uma única fonte de dados que contenha
informação distinta e bem definida. Compreendem a natureza de um
problema e localizam o extraem, consistentemente, informação
relacionada com as características relevantes do problema. Os estudantes
de Nível 1 podem conseguir transformar a informação do problema para
apresentarem o problema de modo diferente, como por exemplo, retirar
informação de uma tabela para criar um desenho ou um gráfico. Os
estudantes também serão capazes de aplicar a informação para
verificarem um número limitado de condições bem definidas no âmbito do
problema. Contudo, estes estudantes, em geral, não são capazes de lidar
com problemas multifacetados, que envolvam mais do que uma fonte de
dados ou que requeiram que estes argumentem a partir da informação
fornecida” (ME, 2004, pp. 61-62).
Este cenário merece, pois, alguma reflexão, até porque, a título de
exemplo, quando escolhemos para análise um dos itens do questionário
pertencente a este estudo, verificamos que no mesmo, apesar de simples, os
nossos alunos obtiveram menor taxa de sucesso de resolução do que os
alunos da OCDE:
2
PADRÃO EM ESCADA
O Roberto constrói um padrão em escada, utilizando quadrados. Aqui
estão as etapas que ele segue:
Etapa 1
Etapa 2
Etapa 3
Como pode ver, o Roberto utiliza um quadrado na etapa 1, três na Etapa
2 e seis na Etapa 3.
Quantos quadrados deverá utilizar na quarta etapa?
In: ME, 2004, p. 89.
Ao reflectirmos sobre as dificuldades manifestadas perante situações
semelhantes a esta, muitas perguntas nos invadem o pensamento: (a) porque
será que esta actividade gera dificuldades?; (b) será por se tratar de uma
situação, aparentemente, relacionada com a área da Geometria?; (c) será pelo
facto de os alunos não estarem habituados a reflectir perante situações que
não são passíveis de resolução através dos conhecimentos que têm
imediatamente ao seu dispor?
Estas e outras questões também nos levam a reflectir acerca do modo
como a matemática é “vista” pelos docentes, bem como acerca da forma como
a matemática é “levada” para a sala de aula. Porventura, será uma matemática
conceptualizada como a ciência das certezas absolutas, onde o erro não pode
existir e onde o professor continua a desempenhar o papel de transmissor do
saber, marcando a sua actuação com base na exercitação memorística da
matéria.
Contrariando a tendência acabada de referir, esta comunicação pretende
enfatizar a importância que as actividades de investigação, e as conexões que
daí resultam, podem assumir na sala de aula desta disciplina. Assim,
recorrendo ao tipo de números envolvidos no item do PISA 2003, acima
3
transcrito, (números triangulares) pretende-se avançar com algumas tarefas de
investigação com eles relacionadas.
Actividades de investigação conectadas com o tipo de números
envolvidos nesta situação
Apesar
de
simples,
a
situação
anterior,
envolvendo
números
triangulares, pode permitir que se proponham várias actividades de
investigação aos alunos.
Actividade A:
Sabendo que o quadrado inicial pretende representar o número de
apertos de mão que duas pessoas dão ao cumprimentar-se, que os três
quadrados seguintes representam o número de apertos de mão dados por três
pessoas e que os seis quadrados representam o número de apertos de mão
dados por quatro pessoas, quantas seriam as pessoas a cumprimentarem-se
por este meio, de modo a obterem-se 45 quadrados, isto é, 45 apertos de
mão?
Possível resolução:
Esta tarefa pode suscitar, da parte do resolvedores, a proposição de
várias conjecturas ou hipóteses de resolução. Desde logo, uma delas passa
por se descobrir a regularidade ou padrão que relaciona o número de
quadrados
existentes
nas
figuras
com
o
número
de
pessoas
a
cumprimentarem-se através de apertos de mãos.
Nº de
1
3
6
10
15
...
21
Quadrados
Nº de
Pessoas
+2
+3
+4
+5
+6
+7
4
Prolongando esta tabela, facilmente se descobre que os 45 quadrados
estão relacionados com 10 pessoas.
Por outro lado, relacionando as duas colunas pode-se constatar que o
produto do número de pessoas (P) pelo número de pessoas menos uma (P - 1)
é sempre igual ao dobro do número de quadrados (2Q) que se obtêm:
P x (P - 1) = 2Q
Logo, para o caso dos 45 quadrados, conseguimos encontrar o número
de pessoas envolvidas, efectuando os cálculos seguintes:
P x (P - 1) = 2 x 45 ⇔ P 2 − P = 90 ⇔ P 2 − P − 90 = 0 ⇒ P = 10
Confirmam-se, pois, as 10 pessoas.
Esta relação algébrica permite agora um novo desafio : Quantos
quadrados se obteriam no caso de estarem presentes 20 pessoas?
De facto, a equação anterior, resolvida em ordem a Q, permite que se
conclua que o número de quadrados seja obtido pela metade do produto do
número de pessoas envolvidas (P) pelo número de pessoas envolvidas menos
uma unidade (P –1):
Q=
P x (P - 1)
2
Logo, para o caso das 20 pessoas, conseguimos encontrar o número de
quadrados com elas relacionados (190), efectuando os cálculos seguintes:
Q=
20 x (20 - 1)
20 x 19
⇔Q=
⇔ Q = 190
2
2
Contudo, se não se conhecer esta relação algébrica, poder-se-á resolver
o desafio anterior através da elaboração de esquemas ou figuras, associadas à
estratégia da decomposição do problema em problemas mais simples:
5
2 pessoas
3 pessoas
4 pessoas
A
A
A
A
B
B
A B
•
B
C
1
A
B
C
B
•
3
C
•
•
A
D
A B C D
A
• • •
B
• •
C
•
C
D
B
6
Através da análise da tabela anterior, constata-se que o número de
quadrados assinalados pode ser obtido através do somatório do número de
pessoas envolvidas menos uma com o número de pessoas envolvidas menos
duas e assim sucessivamente até ao número de pessoas envolvidas menos o
número de pessoas envolvidas menos uma, isto é:
Q=
P −1
∑ (P − i) = (P − 1) + (P − 2) + ... + [P − (P − 1)]
i =1
Logo, para 20 pessoas, resultaria que:
Q=
P −1
∑ (P − i) = (20 − 1) + (20 − 2) + ... + (20 − 19) = 190
i =1
Actividade B:
Tendo à disposição os números naturais, do 1 ao 9, inclusive, escolhe
apenas seis e coloca-os nos círculos existentes no triângulo seguinte, sem os
repetires, de modo que a soma em cada lado seja sempre 10 (número de
quadrados solicitado para a quarta etapa do item seleccionado anteriormente
da prova referente ao PISA 2003). Averigua se haverá apenas uma
possibilidade de resposta:
6
Possível resolução:
Esta situação pode levar a que os resolvedores recorram à estratégia da
tentativa e erro e consigam obter todas as soluções possíveis. Contudo, tendo
em conta alguma morosidade inerente à estratégia acabada de referir, é
desejável que equacionem uma estratégia mais estruturada para resolução da
actividade, que passa pela identificação de todas as somas 10 possíveis,
resultantes da adição de três parcelas diferentes, cujos valores estão
compreendidos entre o 1 e o 9, inclusive. Assim, surgem as seguintes
possibilidades:
a) 7 + 2 + 1
b) 6 + 3 + 1
c) 5 + 4 + 1
d) 5 + 3 + 2
Estas quatro possibilidades, combinadas três a três, permitem a
testagem de quatro casos. O cálculo combinatório atesta este número, pois:
C34 =
4!
4 x 3!
=
=4
(4 − 3)! 3!
3!
Eis as várias combinações possíveis:
A – a); b); c)
B – a); b); d)
C – a); c); d)
D – b); c); d)
Tendo em conta que o caso A envolve três adições em que o 1 é comum
a todas elas, impossibilita que se possa originar qualquer tipo de soma mágica
num triângulo deste tipo. Contudo, os outros três casos permitem a obtenção
da soma pretendida:
7
a) 7 + 2 + 1
Caso
B
Caso
C
b) 6 + 3 + 1
b) 6 + 3 + 1
Caso
D
c) 5 + 4 + 1
c) 5 + 4 + 1
d) 5 + 3 + 2
d) 5 + 3 + 2
d) 5 + 3 + 2
1
1
1
6
3
a) 7 + 2 + 1
4
7
2
5
5
4
7
3
2
5
6
2
3
De facto, no caso B, os números a colocar nos vértices do triângulo são
o 1, o 2 e o 3, pois são os únicos números comuns a cada duas somas a usar.
Por sua vez, no caso C, os números comuns são o 1, o 2 e 5 e, no caso D, os
números comuns são o 1, o 3 e o 5.
Tirando partido desta soma mágica, que coincide com o quarto número
triangular, poder-se-ia pedir aos alunos para procederem a um estudo idêntico
para o próximo número triangular (15). Trata-se de uma soma que resulta das
seguintes oito adições:
A) 1 + 9 + 5
B) 1 + 8 + 6
C) 2 + 9 + 4
D) 2 + 8 + 5
E) 2 + 7 + 6
F) 3 + 8 + 4
G) 3 + 7 + 5
H) 4 + 6 + 5
Procedendo-se ao estudo das combinações possíveis, resultariam
cinquenta e seis, conforme atestam os seguintes cálculos:
C38 =
8!
8 x 7 x 6 x 5!
=
= 56
(8 − 3)! 3!
5! x 6
Uma forma de se identificarem as cinquenta e seis combinações pode
ser o que está patente nas tabelas seguintes:
8
Iniciando com a adição A
ABC
ACD
ADE
AEF
AFG
ABD
ACE
ADF
AEG
AFH
ABE
ACF
ADG
AEH
ABF
ACG
ADH
ABG
ACH
AGH
ABH
Iniciando com a adição B
BCD
BDE
BEF
BFG
BCE
BDF
BEG
BFH
BCF
BDG
BEH
BCG
BDH
BGH
BCH
Iniciando com a adição C
CDE
CEF
CFG
CDF
CEG
CFH
CDG
CEH
Iniciando com a adição D
CGH
DEF
DFG
DEG
DFH
DGH
DEH
CDH
Iniciando com a adição E
EFG
Iniciando com a adição F
EGH
FGH
EFH
Não deixa de ser curioso constatar que os números triangulares voltam a
estar envolvidos no estudo destas cinquenta e seis combinações, pois este
número subdivide-se em 21 casos a iniciar pela letra A, 15 casos a iniciar pela
letra B, 10 casos a iniciar pela letra C, 6 casos a iniciar pela letra D, 3 casos a
iniciar pela letra E e ainda 1 último caso a iniciar pela letra F.
Começando-se pela análise dos 21 casos iniciados pela letra A, verificase a existência de apenas quatro casos em que a soma resultante é 15:
9
A+B+C
A+B+D
A+B+E
A+B+F
A+B+G
1+9+5
1+9+5
1+9+5
1+9+5
1+9+5
1+8+6
1+8+6
1+8+6
1+8+6
1+8+6
2+9+4
2+8+5
2+7+6
3+8+4
3+7+5
1
9
5
6
8
2
A+B+H
A+C+D
A+C+E
A+C+F
1+9+5
1+9+5
1+9+5
1+9+5
1+8+6
2+9+4
2+9+4
2+9+4
4+6+5
2+8+5
2+7+6
3+8+4
2
1
9
5
4
8
6
4
8
9
5
1
A+C+G
A+C+H
A+D+E
A+D+F
1+9+5
1+9+5
1+9+5
1+9+5
2+9+4
2+9+4
2+8+5
2+8+5
3+7+5
4+6+5
2+7+6
3+8+4
9
2
4
1
6
5
10
A+D+G
A+D+H
A+E+F
A+E+G
A+E+H
1+9+5
1+9+5
1+9+5
1+9+5
1+9+5
2+8+5
2+8+5
2+7+6
2+7+6
2+7+6
3+7+5
4+6+5
3+8+4
3+7+5
4+6+5
A+F+G
A+F+H
A+G+H
1+9+5
1+9+5
1+9+5
3+8+4
3+8+4
3+7+5
3+7+5
4+6+5
4+6+5
Por sua vez, a análise dos 15 casos iniciados pela letra B, permite
verificar a existência de mais três casos em que a soma resultante é 15:
B+C+D
B+C+E
B+C+F
1+8+6
1+8+6
1+8+6
2+9+4
2+9+4
2+9+4
2+8+5
2+7+6
3+8+4
B+C+G
B+C+H
B+D+E
1+8+6
1+8+6
1+8+6
2+9+4
2+9+4
2+8+5
3+7+5
4+6+5
2+7+6
2
5
8
7
1
B+D+F
B+D+G
B+D+H
B+E+F
B+E+G
1+8+6
1+8+6
1+8+6
1+8+6
1+8+6
2+8+5
2+8+5
2+8+5
2+7+6
2+7+6
3+8+4
3+7+5
4+6+5
3+8+4
3+7+5
6
5
4
6
2
1
8
11
B+E+H
B+F+G
B+F+H
B+G+H
1+8+6
1+8+6
1+8+6
1+8+6
2+7+6
3+8+4
3+8+4
3+7+5
4+6+5
3+7+5
4+6+5
4+6+5
4
5
6
3
8
1
Analisando-se agora os 10 casos iniciados pela letra C, constata-se a
existência de mais três casos em que a soma resultante é 15:
Adições
“C”, “D” e
“E”
Adições “C”, “D” e “F”
Adições
“C”, “D” e
“G”
Adições “C”, “D” e “H”
2+9+4
2+9+4
2+9+4
2+9+4
2+8+5
2+8+5
2+8+5
2+8+5
2+7+6
3+8+4
3+7+5
4+6+5
2
4
3
8
9
9
5
2
4
8
6
5
12
Adições “C”,
“E” e “F”
Adições “C”, “E” e
“G”
Adições “C”, “E” e “H”
Adições “C”,
“F” e “G”
2+9+4
2+9+4
2+9+4
2+9+4
2+7+6
2+7+6
2+7+6
3+8+4
3+8+4
3+7+5
4+6+5
3+7+5
2
9
7
4
Adições “C”,
“F” e “H”
Adições “C”,
“G” e “H”
2+9+4
2+9+4
3+8+4
3+7+5
4+6+5
4+6+5
6
5
Com início na letra D, as 6 combinações permitem a obtenção de mais
quatro casos em que a soma resultante é 15:
Adições “D”,
“E” e “F”
Adições “D”, “E” e “G”
2+8+5
2+8+5
2+7+6
2+7+6
3+8+4
3+7+5
2
8
5
6
3
7
13
Adições “D”, “E” e “H”
Adições “D”, “F” e “G”
Adições “D”, “F” e “H”
Adições
“D”, “G” e
“H”
2+8+5
2+8+5
2+8+5
2+8+5
2+7+6
3+8+4
3+8+4
3+7+5
4+6+5
3+7+5
4+6+5
4+6+5
2
3
4
8
5
7
7
4
6
4
5
6
8
2
5
3
8
2
Com início na letra E, as 3 combinações permitiram a obtenção de mais
um caso cuja soma é 15:
E+F+G
E+F+H
E+G+H
2+7+6
2+7+6
2+7+6
3+8+4
3+8+4
3+7+5
3+7+5
4+6+5
4+6+5
5
4
6
3
2
7
Por ultimo, o restante caso, iniciado pela letra F, também permite a
obtenção da soma mágica 15:
Adições “F”, “G” e “H”
3+8+4
3+7+5
4+6+5
3
8
4
7
6
5
14
Em síntese, esta tarefa de investigação permite concluir que das 56
possíveis combinações, 16 originam a soma mágica pretendida (15).
Um estudo semelhante poderia ser feito para o próximo número
triangular (21). Curiosamente, tendo em conta o aumento do número de
combinações ocorridas na passagem da soma mágica correspondente ao
terceiro número triangular (10) para a soma mágica relativa ao quarto número
triangular (15), os resolvedores poderiam ser levados a pensar que o número
de combinações possíveis continuaria a aumentar para este novo caso.
Contudo, a realização desta nova investigação iria contrariar essa tendência,
pois, como veremos a seguir, apenas há um caso que permite a obtenção da
soma 21:
A) 9 + 8 + 4
B) 9 + 7 + 5
C) 8 + 7 + 6
9
4
8
5
6
7
Actividade C:
Continuando a ter à disposição os números naturais, do 1 ao 9,
inclusive, coloca-os em todos os quadrados existentes na figura seguinte, de
modo que se obtenha sempre uma soma mágica (15) em todas as direcções:
vertical, horizontal e oblíqua:
15
Possível resolução:
Esta situação pode ser resolvida por tentativa e erro, desde que os
resolvedores não conheçam o algoritmo adequado à sua resolução. Uma
possível solução é a seguinte, pois obedece à condição de a soma ser sempre
igual ao quinto número triangular (15):
2
9
4
7
5
3
6
1
8
De imediato podem-se desafiar os alunos a descobrir a próxima soma
mágica, que tem que ser coincidente com o valor do próximo número triangular
(21). Contudo, deve dizer-se-lhes que os números a usar passariam a ser os
naturais consecutivos deste o 3 até ao 11, inclusive.
O mais natural é que por tentativas os alunos consigam dar resposta à
situação, que pode ser a seguinte:
4
11
6
9
7
5
8
3
10
A partir deste momento, os alunos podem ser desafiados a investigar
eventuais analogias existentes em ambas as resoluções.
Uma possível analogia é que ambas as somas mágicas coincidem com
o facto de serem dois números triangulares:
16
SOMA 15
SOMA 21
Outra possível analogia é que ambas as somas são múltiplos do número
três. Por sua vez, também se pode concluir que a posição dos números nos
quadrados obedece a uma certa ordem, pois quer os menores, quer os
maiores, ou os restantes, estão a ocupar espaços semelhantes, o que poderá
levar a pensar-se que os nove números usados se podem distribuir de acordo
com o seguinte critério:
2º
9º
4º
7º
5º
3º
6º
1º
8º
No sentido de se testar esta conjectura, pode-se propor uma nova tarefa
que consiste na obtenção do próximo número triangular, múltiplo de três, que é
o 36. Para tal apenas deverá ser revelada a pista de que o menor número a
usar será o 8.
Claro que facilmente se confirma a conjectura anterior, pois o resultado é
o seguinte:
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
9º
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9
16
11
14
12
10
13
8
15
17
Analisadas as somas obtidas nestes três quadrados mágicos, somas
essas, coincidentes com três números triangulares (15, 21 e 36), pode-se
desafiar os alunos a investigar a relação existente ente o aumento dessas
somas e o aumento do valor numérico de cada número existente em cada
quadrado mágico, quando comparado com o respectivo número do quadrado
mágico anterior.
Esta situação sugere que os alunos comparem os três casos em
simultâneo:
2
9
4
4
11
6
9
16
11
7
5
3
9
7
5
14
12
10
6
1
8
8
3
10
13
8
15
Soma 15
Soma 21
Soma 36
É desejável que os alunos concluam que da primeira para a segunda
soma há um aumento de seis valores, que é precisamente o triplo do aumento
de cada número envolvido no segundo caso relativamente ao respectivo
número envolvido no primeiro. De facto, do primeiro quadrado para o segundo
quadrado mágico os números aumentaram dois valores, o que implicou que a
soma do segundo passasse a ser maior do que a do primeiro caso em seis
valores.
Esta conclusão continua a verificar-se quando se comparam os valores
dos números envolvidos no segundo quadrado mágico e no terceiro, bem como
quando se comparam as respectivas somas. De facto, cada valor do último
quadrado mágico tem cinco unidades a mais que o respectivo valor do segundo
quadrado mágico. Por seu turno, a soma do terceiro quadrado é o triplo deste
valor, pois é maior que a primeira soma em quinze unidades.
Testada esta conjectura, será interessante desafiar os alunos para a
estenderem aos três próximos números triangulares, múltiplos de três, que são
o 45, o 66 e 105.
18
Se os alunos tiverem percebido o padrão descoberto anteriormente, serlhes-á fácil chegar à soma 45 a partir da soma anterior (36). Para tal, basta
verificarem que há um aumento de nove unidades nesta nova soma mágica, o
que é sinal que cada número envolvido no novo quadrado mágico terá que ser
maior em três unidades do que os respectivos números existentes no quadrado
anterior. Aplicando, uma vez mais este padrão, surge o seguinte quadrado
mágico, de soma 45:
12
19
14
17
15
13
16
11
18
Por sua vez, do valor 45 para o valor 66 vão vinte e uma unidades. Isto
significa que os valores do próximo quadrado mágico têm mais sete unidades
que os respectivos valores do quadrado mágico de soma 45:
19
26
21
24
22
20
23
18
25
Por último, do valor 66 para o valor 105 vão trinta e nove unidades. Isto
significa que os valores do próximo quadrado mágico têm mais treze unidades
que os respectivos valores do quadrado mágico de soma 66:
32
39
34
37
35
33
36
31
38
Após observação de todos estes casos, uma novo desafio pode ser
colocado aos estudantes, que é o de analisarem cada valor central em cada
caso e a respectiva soma, bem como os respectivos valores existentes nas
19
células afectas aos vértices de cada quadrado mágico. Para tal, será
indispensável a comparação dos seis casos em simultâneo:
2
9
4
4
11
6
9
16
11
7
5
3
9
7
5
14
12
10
6
1
8
8
3
10
13
8
15
Soma 15
Soma 21
Soma 36
12
19
14
19
26
21
32
39
34
17
15
13
24
22
20
37
35
33
16
11
18
23
18
25
36
31
38
Soma 45
Soma 66
Soma 105
Naturalmente que uma primeira conclusão a retirar é que o número do
meio em cada quadrado mágico coincide com a terça parte da soma mágica
desse quadrado.
Por outro lado, poder-se-á observar que o valor existente na célula do
canto superior esquerdo de cada quadrado é menor em três unidades,
comparativamente com o valor central do respectivo quadrado mágico.
Constata-se ainda que esse valor tanto pode ser par como ímpar, mas sendo
par, todos os restantes valores das células afectas aos vértices do quadrado
mágico serão pares e se for ímpar, estes mesmos valores agora acabados de
referir também serão ímpares. Quer num caso, que no outro, são sempre
quatro números pares ou quatro números ímpares consecutivos, de acordo
com o seguinte esquema:
1º
2º
3º
4º
20
Percebida esta nova lei de formação de quadrados mágicos, pode-se
desafiar os alunos a aplicá-la para o caso do próximo número triangular,
múltiplo de três, que é o 120.
Aplicando este novo algoritmo, encontra-se em primeiro lugar o número
a usar no centro do quadrado mágico, que será a terça parte de 120, isto é, 40:
40
De seguida, subtraindo-se três unidades a este valor, obtém-se o valor
37, que irá ocupar a quadrícula existente no canto superior esquerdo do
quadrado:
37
40
Devido ao facto de este valor ser ímpar, sê-lo-á o próximo valor a ocupar
a quadrícula do canto superior direito do quadrado mágico, que será o valor 39:
37
39
40
Descobertos estes três números e sabendo-se que a soma a obter é
120, já é fácil descobrir todos os restantes números a inserir no quadrado:
37
44
39
42
40
38
41
36
43
21
Actividade D:
Pensa num número, adiciona-lhe 5 unidades. Ao valor agora obtido
encontra o seu dobro. Retira 4 unidades. Encontra metade do valor com que
ficaste depois de teres retirado as 4 unidades. Por último subtrai o número que
pensaste inicialmente e verifica se obténs um número triangular.
Possível resolução:
Esta situação pode ser resolvida em termos algébricos através dos
seguintes cálculos:
2 (x + 5 ) − 4
2 x + 10 − 4
2x+ 6
−x=
−x =
−x =x +3−x= 3
2
2
2
Dessa resolução conclui-se que, independentemente do número
pensado inicialmente, o valor final é o número 3.
Contudo, a utilização destes cálculos não é imprescindível para a
resolução correcta da tarefa, pois um esquema por etapas também pode
constituir uma excelente estratégia de resolução, levando à mesma resposta
numérica 3:
Pensar num
Adicionar 5
Encontrar o
Retirar 4
Encontrar
Subtrair o
número
unidades
dobro
unidades
metade
número inicial
•
• ⎥⎥⎥⎥⎥
• ⎥⎥⎥⎥⎥
• ⎥⎥⎥⎥⎥
• ⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
• ⎥⎥⎥⎥⎥
• ⎥
No sentido de se preparar uma nova tarefa de investigação, a propor
posteriormente, ainda se poderia, de momento, desafiar os alunos a descobrir
o próximo número triangular. Para tal usar-se-á um enunciado semelhante ao
anterior: Pensa num número, adiciona-lhe 5 unidades. Ao valor agora obtido
encontra o seu quádruplo. Retira 8 unidades. Encontra metade do valor com
que ficaste depois de teres retirado as 8 unidades. Por último subtrai o dobro
22
do número que pensaste inicialmente e verifica se obténs um novo número
triangular.
Algebricamente ter-se-á a seguinte resolução:
4 (x + 5 ) − 8
4 x + 20 − 8
4 x + 12
− 2x =
− 2x = 2x + 6 − 2x = 6
− 2x =
2
2
2
Perante a descoberta destes dois números triangulares, os alunos
podem ser solicitados a investigar qual terá que ser o enunciado para se obter
no final o próximo número triangular (10).
Espera-se que a proposição de enunciado e a respectiva resolução
possam ser as seguintes:
Pensa num número, adiciona-lhe 5 unidades. Ao valor agora obtido
encontra o seu sêxtuplo. Retira 10 unidades. Encontra metade do valor com
que ficaste depois de teres retirado as 10 unidades. Por último subtrai o triplo
do número que pensaste inicialmente e verifica se obténs um novo número
triangular.
6 (x + 5 ) − 10
6 x + 30 − 10
6 x + 20
− 3x =
− 3x =
− 3 x = 3 x + 10 − 3 x = 10
2
2
2
Esta mesma expressão numérica, que permite a resolução da tarefa,
também pode ser adaptada para nova obtenção da soma 6:
Pensa num número, adiciona-lhe 5 unidades. Ao valor agora obtido
encontra o seu sêxtuplo. Retira 18 unidades. Encontra metade do valor com
que ficaste depois de teres retirado as 18 unidades. Por último subtrai o triplo
do número que pensaste inicialmente e verifica que obténs o número triangular
inferior ao anteriormente obtido.
Eis a nova resolução:
6 (x + 5 ) − 18
6 x + 30 − 18
6 x + 12
− 3x =
− 3x =
− 3x = 3x + 6 − 3x = 6
2
2
2
23
Aproveitando o enunciado anterior, o professor pode continuar a desafiar
os alunos para a obtenção do número triangular imediatamente anterior ao
valor 6, isto é, o 3, através da seguinte proposição: Pensa num número,
adiciona-lhe 5 unidades. Ao valor agora obtido encontra o seu sêxtuplo. Retira
24 unidades. Encontra metade do valor com que ficaste depois de teres
retirado as 24 unidades. Por último subtrai o triplo do número que pensaste
inicialmente e verifica que obténs o número triangular inferior ao obtido há
pouco.
Eis a resolução:
6x+6
6 x + 30 − 24
6 (x + 5 ) − 24
− 3x =
− 3x =
− 3x = 3x + 3 − 3x = 3
2
2
2
A partir deste momento, o professor tem todas as condições para pedir
aos alunos para continuarem a adaptar a fórmula de modo a obter-se o
primeiro número triangular, isto é, o número 1. Espera-se que os alunos, ao
compararem estas três últimas resoluções:
6 x + 20
6 x + 30 − 10
6 (x + 5 ) − 10
− 3x =
− 3x =
− 3 x = 3 x + 10 − 3 x = 10
2
2
2
Soma 10
Soma 6
6 x + 12
6 x + 30 − 18
6 (x + 5 ) − 18
− 3x =
− 3x =
− 3x = 3x + 6 − 3x = 6
2
2
2
Soma 3
6x+6
6 x + 30 − 24
6 (x + 5 ) − 24
− 3x =
− 3x =
− 3x = 3x + 3 − 3x = 3
2
2
2
possam constatar que o único número da expressão que vai sendo modificado
é o subtractivo, pois passa de 10, para o caso do 10, para 18 no caso do 6 e
para 24 no caso do 3.
Seria interessante que os alunos descobrissem que há um padrão ou
regularidade nessa modificação de números, pois do 1º para o 2º caso,
aumenta oito valores e, depois, do 2º para o 3º caso já só aumenta seis
24
valores. Uma hipótese a testar é a de que será que o próximo aumento é de
apenas quatro valores?
Testando esta conjectura, confirma-se a obtenção do valor 1, esperado:
6x+2
6 x + 30 − 28
6 (x + 5 ) − 28
− 3x =
− 3x =
− 3x = 3x + 1− 3x = 1
2
2
2
Conclusão:
Estas tarefas de investigação explanadas neste texto não são mais do
que um de muitos exemplos que poderão ser concebidos pelo professor, de
modo a evidenciar o lado interligado da Matemática, onde os conceitos
evidenciam ter relação entre si. Estou convicto que se o professor envolver os
seus alunos em ambientes de pesquisa, tendo por base esta concepção de
Matemática conectada, estará a proporcionar-lhes momentos de aprendizagem
verdadeiramente significativa e pode contribuir para o desenvolvimento da
literacia matemática, isto é, para aumentar a capacidade de os alunos
“aplicarem os seus conhecimentos e analisarem, raciocinarem e comunicarem
com eficiência, à medida que colocam, resolvem e interpretam problemas
numa variedade de situações” (ME, 2004, p. 8). Além disto, estará a
proporcionar que os alunos desenvolvam várias competências essenciais para
o seu “amadurecimento” matemático, ao propiciar momentos de indagação, de
questionamento, de conjectura e estimação, de validação de raciocínios, que
no fundo são igualmente essenciais para o seu “amadurecimento” enquanto
estudantes de outras áreas importantes do saber.
A terminar gostava de referir que muitas outras investigações poderiam
ser feitas a partir deste simples conjunto de números triangulares, com
eventuais conexões matemáticas a outras matérias, como sejam a sequência
de números de Fibonacci, o triângulo de Pascal, ou até mesmo as potências de
base dois, entre outras. Certamente são muitos os exemplos que podem
contribuir para que os alunos concebam a matemática como algo harmonioso,
desafiante e onde os conceitos podem ter múltiplas conexões entre si.
25
Bibliografia:
Ministério da Educação (2004). Resultados do Estudo Internacional PISA 2003.
Lisboa: Gabinete de avaliação educacional do Ministério da Educação.
26