MINISTÉRIO DA DEFESA
EXÉRCITO BRASILEIRO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
THIAGO HENRIQUE SANCHES BOSSA
METODOLOGIA BASEADA EM TESTES DE RESPOSTA EM
FREQUÊNCIA PARA AVALIAÇÃO DE ESTABILIZADORES DE
SISTEMAS DE POTÊNCIA
Rio de Janeiro
2011
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
THIAGO HENRIQUE SANCHES BOSSA
METODOLOGIA BASEADA EM TESTES DE RESPOSTA EM
FREQUÊNCIA PARA AVALIAÇÃO DE ESTABILIZADORES DE
SISTEMAS DE POTÊNCIA
Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de
Mestrado em Engenharia Elétrica do Instituto Militar
de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do
tı́tulo de Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.
Orientador: TC Paulo César Pellanda, Dr. ENSAE
Co-orientador: Nelson Martins, Ph. D.
Rio de Janeiro
2011
c2011
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
Praça General Tibúrcio, 80-Praia Vermelha
Rio de Janeiro-RJ CEP 22290-270
Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá incluı́lo em base de dados, armazenar em computador, microﬁlmar ou adotar qualquer forma
de arquivamento.
É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre bibliotecas
deste trabalho, sem modiﬁcação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha a
ser ﬁxado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem ﬁnalidade
comercial e que seja feita a referência bibliográﬁca completa.
Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do autor e dos orientadores.
B745m Bossa, Thiago Henrique Sanches
Metodologia Baseada em Testes de Resposta em Frequência para Avaliação de Estabilizadores de Sistemas
de Potência, Thiago Henrique Sanches Bossa. – Rio de
Janeiro: Instituto Militar de Engenharia, 2011.
98 p.:il.
Dissertação: (mestrado) – Instituto Militar de Engenharia, Rio de Janeiro, 2011.
1. Engenharia Elétrica – dissertação. 2. Sistemas de
potência. 3. Estabilizadores de potência. I. Tı́tulo. II.
Instituto Militar de Engenharia.
CDD 621.317
2
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
THIAGO HENRIQUE SANCHES BOSSA
METODOLOGIA BASEADA EM TESTES DE RESPOSTA EM
FREQUÊNCIA PARA AVALIAÇÃO DE ESTABILIZADORES DE
SISTEMAS DE POTÊNCIA
Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Elétrica
do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do tı́tulo de
Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.
Orientador: TC Paulo César Pellanda, Dr. ENSAE
Co-orientador: Nelson Martins, Ph. D.
Aprovada em 28 de janeiro de 2011 pela seguinte Banca Examinadora:
TC Paulo César Pellanda, Dr. ENSAE do IME - Presidente
Nelson Martins, Ph. D. do CEPEL
Cap Alberto Mota Simões, Dr. ENSAE do IME
Prof. Aguinaldo Silveira e Silva, Ph. D. da UFSC
Rio de Janeiro
2011
3
Este trabalho é dedicado... À minha famı́lia, meus
amados pais Edson Bossa e Servina Sanches Bossa
e meu irmão Diogo Henrique Sanches Bossa. Eles
foram exemplos de perseverança, honestidade e competência, me apoiando e incentivando nos momentos mais difı́ceis com muito amor e compreensão. À
minha futura esposa, Priscila Machado de Araújo,
pelo amor dedicado a mim.
4
AGRADECIMENTOS
Antes de tudo a DEUS, principalmente por me ter concedido a honra de ter trabalhado e convivido com proﬁssionais do mais alto grau de competência, seriedade e
simplicidade, que permitiu desenvolver esta dissertação com grande prazer e satisfação
pessoal e proﬁssional.
Ao meu orientador, TC Prof. Paulo César Pellanda, pela atenção e proﬁssionalismo
com que acompanhou a realização deste trabalho, além da oportunidade de mestrado
incialmente oferecida a mim.
Ao meu co-orientador, Dr. Nelson Martins, pela atenção e proﬁssionalismo com que
acompanhou a realização deste trabalho, sobretudo, pela grande amizade e incentivo que
muito contribuı́ram para que eu o concluı́sse com êxito.
A todos os professores e funcionários do Departamento de Engenharia Elétrica do
Instituto Militar de Engenharia que, de alguma forma, contribuı́ram para a realização
deste trabalho.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior (CAPES) pelo apoio
ﬁnanceiro.
À meus pais Edson e Nina, e meu irmão Diogo, que, mesmo à distância, foram
verdadeiras fontes de apoio e inspiração.
Finalmente, um agradecimento muito especial à minha noiva Priscila, companheira
idônea, pelo incansável, compreensivo e amoroso apoio na realização deste trabalho.
5
”[...] se vi mais longe, foi porque estava sobre os ombros de gigantes.”(Isaac Newton).
6
SUMÁRIO
LISTA DE ILUSTRAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
LISTA DE ABREVIATURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.1
Contexto e Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.2
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.3
Organização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2
ESTUDO DA ESTABILIDADE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA .
21
2.1
Introdução à Estabilidade dos Sistemas de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.1.1 Conceito de Sistema Elétrico de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.1.2 Questão da Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.1.3 Estabilidade de Ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.1.4 Estabilidade a Pequenos Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.2
Modelo Máquina Barra Inﬁnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.2.1 Máquina Sı́ncrona: Modelo Clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.2.2 Máquina Sı́ncrona: Fluxo de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.2.3 Adição do Sistema de Excitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.2.4 Efeito do Estabilizador de Sistema de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.3
Modelo Multimáquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.3.1 Abordagem Tradicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.3.2 Abordagem para Sistemas de Grande Porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3
CANAL DE PERTURBAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.1
Conceituação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.2
Aplicação ao Gerador Sı́ncrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.3
Aplicação a um Caso Clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.4
Exemplo Gráﬁco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.4.1 Sistema I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.4.2 Sistema II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
7
3.4.3 Análise dos Sistemas Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4
MODELAGEM DE UMA USINA MULTIGERADORES . . . . . . . . .
48
4.1
Modelo Usina Multigeradores Barra Inﬁnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.2
Modelo em Espaço de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.3
Transformação de Similaridade Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.4
Canal de Perturbação Multivariável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.5
Transformação Modal da Matriz de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4.6
Analogia com Impedâncias de Sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.7
Abordagem por Zeros Multivariáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.7.1 Modo Gerador Agregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.7.2 Modo Intraplanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
5
PROPOSTA DE ENSAIO DE CAMPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
5.1
Prática Atual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
5.2
Teste Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5.2.1 Diagrama do Ensaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5.2.2 Fundamentação Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
6
RESULTADOS DO ENSAIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
6.1
Teste de Campo Realizado na UHE Itaipu 60 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
6.1.1 Ruı́do nos Sinais Medidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
6.1.2 Descrição do SIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
6.2
Resposta de cada Gerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
6.3
Modo Gerador Agregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
6.4
Modo Intraplanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
6.5
Análise de Sensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
6.6
Análise de Robustez a Assimetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
6.6.1 Assimetria Localizada em Unidades Externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
6.6.2 Assimetria Localizada na Unidade Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
7
CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
8
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
8
9
APÊNDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
9.1
APÊNDICE 1: Zeros Multivariáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
9.2
APÊNDICE 2: Sistema Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
9.2.1 Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
9.2.2 Modelo em Espaço de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
9.2.3 Transformação de Similaridade Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
9.2.4 Transformação de Similiaridade em Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
9.2.5 Aplicação dos Zeros Multivariáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
9.2.5.1 Modo Gerador Agregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
9.2.5.2 Modo Intraplanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
9.2.6 Proposta de Ensaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
9
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
FIG.2.1
Controles associados ao sistema de potência: em negrito, a malha
de controle objeto de estudo deste trabalho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
FIG.2.2
Classiﬁcação da estabilidade de um sistema de potência: em negrito,
o ramo objeto deste estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
FIG.2.3
a) Sistema de potência em estudo e seu respectivo b) modelo SMIB
(Máquina Barra Inﬁnita). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
FIG.2.4
Representação das componentes do torque elétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
FIG.2.5
Sistema equivalente utilizando modelo clássico de gerador. . . . . . . . . . . . .
29
FIG.2.6
Diagrama de blocos representando a máquina sı́ncrona. . . . . . . . . . . . . . .
31
FIG.2.7
Sistema de excitação simpliﬁcado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
FIG.2.8
Representação da máquina sı́ncrona e do sistema de excitação. . . . . . . . .
33
FIG.2.9
Representação da máquina sı́ncrona e seus controles. . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
FIG.2.10 Representação da máquina sı́ncrona e seus controles utilizando conceito de GEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
FIG.2.11 Estrutura de um PSS tı́pico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
FIG.2.12 Estrutura do modelo multimáquina de um sistema de potência,
onde * denotam equações algébricas e ** equações diferenciais. . . . . . . . 37
FIG.3.1
Sistema canônico com canal de perturbação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
FIG.3.2
Diagrama de blocos do canal de perturbação referente a um gerador
40
sı́ncrono e seu PSS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
FIG.3.3
a)–b) Sistema Máquina Barra inﬁnita (SMIB) e sua c) representação em diagrama de blocos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
FIG.3.4
Sistema exemplo I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
FIG.3.5
Sistema exemplo II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
FIG.3.6
a) Gráﬁco de módulo para ambos os sistemas em malha fechada:
II
I
. b) Fase do Sistema I. c) Fase do Sistema II. Mapas de
e Hzw
Hzw
polo-zero para d) Sistema I e e) Sistema II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
FIG.4.1
Usina multigeradores conectada a uma barra inﬁnita através de
uma impedância (MPIB). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
10
FIG.4.2
Diagrama de blocos multivariável do sistema MPIB destacando a
chave (F), que promove a abertura virtual simultânea dos laços
de torque de amortecimento mecânico de todas as UGs. . . . . . . . . . . . . . 50
FIG.4.3
Circuito elétrico do sistema MPIB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
FIG.5.1
Diagrama de um ensaio de campo convencional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
FIG.5.2
Gráﬁco de resposta em frequência de VT1 (s)/VREF1 (s) para um gerador agregado (-.-.-), para o gerador #1 de uma usina de nunidades, com n = 2 (
), n = 4 (—), n = 10 (-.-.-) e para uma
única unidade (1/10 do tamanho do gerador agregado) conectado
a uma barra inﬁnita (equivalente ao modo intraplanta) (· · · ). . . . . . . . 64
FIG.5.3
Diagrama esquemático do ensaio de campo proposto. . . . . . . . . . . . . . . . .
FIG.6.1
a) VP SSd1 e RVP SSd1 . b) VP SS1 e RVP SS1 ,VP SSd1 . c) VP SS2 e 10 ×
RVP SS2 ,VP SSd1 ; A curva (—) é o sinal não-tratado, enquanto (
65
) é
o sinal ﬁltrado; o sinal senoidal aplicado é de 0.5 Hz. d) VP SS2 e
RVP SS2 ,VP SSd1 para um sinal senoidal de 2 Hz.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
FIG.6.2
Diagrama geográﬁco do SIN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
FIG.6.3
Diagrama simpliﬁcado de Itaipu 60 Hz e 50 Hz e suas interligações
70
com o SIN. Os valores em preto indicam capacidade máxima de
geração/transformação, enquanto que os dados em vermelho indicam o carregamento aproximado durante o ensaio. . . . . . . . . . . . . . . . . 71
FIG.6.4
Gráﬁco de resposta em frequência de P (s) = VP SS1 (s)/VP SSd1 (s)
obtidos de simulações (—) e ensaio de campo (F). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
FIG.6.5
Gráﬁco de resposta em frequência de T (s) = VP SS2 (s)/VP SSd1 (s)
obtidos de simulações (—) e ensaio de campo (F). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
FIG.6.6
ag
Gráﬁco de resposta em frequência de Hzw
(s) obtido de simula-
ções (—), ensaio de campo (F) e um ajuste de curvas de 2a ordem (-.-.-). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
FIG.6.7
ip
(s) obtido de simulaGráﬁco de resposta em frequência de Hzw
ções (—), ensaio de campo (F) e um ajuste de curvas de 3a ordem (-.-.-). Foi incluı́do também o gráﬁco de resposta em frequência de P (s) obtido via ensaio de campo (|.|.|.| ), contido na FIG. 6.4. . . . . 75
FIG.6.8
Resultados simulados para polos de malha aberta (sem PSS) (⃝),
11
suas sensibilidades à adição de PSSs com ganhos incrementais (→)
e polos de malha fechada (com PSS) associados (×).
FIG.6.9
. . . . . . . . . . . . . . . 76
ag
Gráﬁco de resposta em frequência de Hzw
(s) obtido de simulações
usando modelo simétrico (—) e modelo com assimetria na unidade
externa (-.-.-). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
ag
FIG.6.10 Gráﬁco de resposta em frequência de Hzw
(s) obtido de simulações
usando carregamento simétrico instável (
) e para unidade per-
turbada com um carregamento 20% menor (—). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
FIG.9.1
Usina 3-unidades conectada a uma barra inﬁnita através de uma
impedância (3PIB). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
FIG.9.2
Circuito elétrico do sistema 3PIB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
FIG.9.3
Diagrama de blocos de uma usina 3-geradores, destacando entradas
89
e saı́das dos canais de perturbação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
12
LISTA DE TABELAS
TAB.1.1
Evolução do SIN (ONS – OPERADOR NACIONAL DO SISTEMA,
2008) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
TAB.2.1
Comportamento do torque elétrico gerado pelo sistema de excitação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
TAB.3.1
Polos, zeros de Hzw (s) e respostas em frequência dos sistemas exemplos de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
TAB.6.1
Desempenho da usina de Itaipu 60 Hz no SIN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
TAB.6.2
Desempenho do modo intraplanta da usina de Itaipu 60 Hz. . . . . . . . . . .
74
TAB.9.1
polos e zeros relativos a direção do modo agregado. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
TAB.9.2
polos e zeros relativo a direção do modo intraplanta. . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
13
LISTA DE ABREVIATURAS
ABREVIATURAS
3PIB
-
3-generator Power plant Infinite Bus
CEPEL
-
Centro de Pesquisas em Energia Elétrica
DFT
-
Discrete Fourier Transform
FACTS
-
Flexible AC Transmission System
FT
-
Função de Transferência
FTMA
-
Função de Transferência de Malha Aberta
FTMF
-
Função de Transferência de Malha Fechada
HVDC
-
High Voltage Direct Current
IDZ
-
Input Decoupling Zero
MIMO
-
Multiple input - Multiple output
MPIB
-
Multigenerator Power plant Infinite Bus
ODZ
-
Output Decoupling Zero
POD
-
Power Oscillation Damping
PSS
-
Power System Stabilizer
pu
-
por unidade
SEP
-
Sistema Elétrico de Potência
SIN
-
Sistema Interligado Nacional
SISO
-
Single Input - Single Output
SIMO
-
Single Input - Multiple Output
SMIB
-
Single-Machine Infinite Bus
SNR
-
Signal-to-Noise Ratio
SVC
-
Static Var Compensator
TCSC
-
Thyristor Controlled Series Capacitor
UG
-
Unidade Geradora
UHE
-
Usina Hidroelétrica
14
RESUMO
Este trabalho propõe uma nova metodologia de ensaio de campo para veriﬁcar a efetividade dos estabilizadores de potência (PSS) no amortecimento dos modos de oscilação
eletromecânica em usinas multigeradores. A proposta se fundamenta na extensão multivariável do conceito de canal de perturbação, proposto teoricamente para uma formulação
SISO. O conceito permite veriﬁcar o desempenho de um gerador tanto em malha aberta
(sem o PSS) quanto em malha fechada (com PSS) por meio de medições em malha fechada,
enquanto sua formulação MIMO permite a determinação independente dos modos gerador
agregado e intraplanta de uma usina multigeradores.
O teste de campo foi conduzido pela primeira vez na UHE Itaipu 60 Hz em 2008, que
envolveu um teste de resposta em frequência em duas unidades geradoras, consistindo na
aplicação de sinais no sistema de excitação de um dos geradores com respectivas medições
no próprio gerador e num gerador vizinho.
As funções de transferência referentes aos canais de perturbação de ambos geradores
foram identiﬁcadas e os modos gerador agregado e intraplanta foram determinados. As
respostas obtidas do ensaio de campo concordaram com os resultados de simulação computacional, validando a metodologia de ensaio. Os resultados do ensaio conﬁrmaram a
efetividade dos PSSs de Itaipu 60 Hz em amortecer adequadamente o modo de oscilação
dominante da usina (modo gerador agregado), além de revelar que a usina teria um desempenho oscilatório inaceitável caso os PSSs fossem desativados. Adicionalmente, os
resultados também indicaram que o atual ajuste do PSS não altera signiﬁcativamente o
amortecimento do modo intraplanta, mantendo seu desempenho em nı́veis adequados.
Uma análise de sensibilidade, baseada em simulações, foi realizada para veriﬁcar se
a nova proposta de ensaio é robusta a possı́veis violações na simetria da planta, que é
uma das premissas básicas do método. Os resultados conﬁrmaram que o novo ensaio de
campo é signiﬁcativamente robusto a desvios em parâmetros e carregamentos que existem
na prática, sendo seguramente recomendado em aplicações práticas.
15
ABSTRACT
This work proposes a new ﬁeld test technique to adequately assess the oscillation
damping eﬀectiveness of the power system stabilizer (PSS) in a multigenerator power
plant. This proposal is based on the multivariable extension of the disturbance channel
concept, theoretically designed for a SISO formulation. This concept allows assessing
both open-loop (without PSS) and closed-loop (with PSS) responses from closed-loop
measurements, while its MIMO formulation allows the separate identiﬁcation of both
aggregate and intraplant behaviors.
The ﬁeld test was ﬁrst carried out at the Itaipu 60 Hz power station in 2008, which
involved a SIMO frequency response test in two generating units, consisting in the injection
of a series of sinusoids in the excitation system of a generating unit and the measurement
of determined output in the same unit and in a neighbor generator.
The transfer functions relating the disturbance channels of the two generators were
identiﬁed, and the aggregate and intraplant modes were determined. The results obtained
from ﬁeld tests showed a good match with the ones obtained from simulations, validating
the test methodology. The ﬁeld test results conﬁrmed the eﬀectiveness of the Itaipu 60 Hz
PSSs in damping the dominant oscillation mode (aggregate generator mode), as well as
it revealed that the power plant would have an unacceptable damping performance if all
PSSs were disabled. In addition, the results also indicate that the current PSS setting
does not change signiﬁcatively the characteristics of the intraplant mode.
A sensitivity analysis, based on computer simulations, was also carried out to verify
whether the new ﬁeld test is robust to possible violations in plant symmetry, which is
one the method’s basic assumption. The results conﬁrmed that the new ﬁeld test is quite
resilient to the parameter and dispatch imbalances that exist in practice and, therefore,
can be safely recommended for wider practical use.
16
1 INTRODUÇÃO
1.1 CONTEXTO E MOTIVAÇÃO
Com o crescimento dos sistemas elétricos de potência, houve a necessidade de ampliação da capacidade de geração de energia, a qual demandava a integração dos novos
parques geradores, geralmente distantes dos centos de carga. Exemplos desses casos são
as usinas térmicas mine mouth (“boca de mina”), que eram instaladas próximas às minas
de carvão, e das usinas hidrelétricas, construı́das em lugares com maior aproveitamento
hidráulico. Com o inı́cio da operação dessas novas usinas e de suas respectivas longas
linhas de transmissão, foram observadas as primeiras oscilações eletromecânicas.
Com o aumento da importância da conﬁabilidade de um SEP, a capacidade dos sistemas de potência em suportar contingências era um critério de projeto, motivando o
uso de diversos equipamentos e sistemas de controle que maximizassem a capacidade de
transmissão da energia gerada (ROGERS, 2000b).
Dentre os sistemas de controle utilizados num SEP, destaca-se o regulador de tensão
(Automatic Voltage Regulator – AVR), devido à sua grande inﬂuência na estabilidade transitória de um gerador, recebendo ainda mais importancia com o advento das excitatrizes
estáticas que, por serem rápidas e possuirem um alto ganho, aumentaram signiﬁcativamente a capacidade do sistema em suportar contingências severas.
Entretanto, a ação desse tipo de regulador de tensão introduzia amortecimento negativo às oscilações quando os geradores se encontravam altamente carregados e com
interconexões fracas, provocando desligamentos das interligações minutos depois de os geradores terem suportado uma contingência. Esta é uma situação operativa caracterı́stica
dos sistemas elétricos dos EUA e Canadá (PAL, 2005), bem como do sistema brasileiro,
que possuem grandes parques geradores conectados aos centros de carga por longas linhas
de transmissão, destacando o caso brasileiro da usina de Itaipu.
A alternativa encontrada foi introduzir sinais de controle adicionais nas referências de
alguns reguladores de tensão, com a ﬁnalidade de adicionar um torque de amortecimento
positivo aos geradores. O controlador que produz tal sinal é denominado estabilizador de
sistemas de potência (Power System Stabilizer – PSS), cujo sinal de realimentação classi-
17
camente utilizado é a velocidade do rotor, apesar de existirem outras variações (KUNDUR,
1994).
Desde então, os PSSs, com ajustes apropriados, têm praticamente eliminado problemas de oscilação eletromecânica, aumentando consideravalmente os limites seguros de
transmissão de potência ativa. Esses controladores foram aplicados no setor de 60 Hz na
usina de Itaipu em 1991.
O ajuste dos PSSs das unidades geradoras de Itaipu 60 Hz foi realizado aplicando
a metodologia mais utilizada na época, que considerava a representação do sistema de
potência pelo modelo máquina barra inﬁnita (Single Machine Infinite Bus – SMIB), descrito em (DE MELLO, 1969). O ajuste era validado por ensaios convencionais (LEE,
1980; LARSEN, 1981; BERUBE, 2007; KUNDUR, 1989, 2003; ROGERS, 2000a).
Esse ajuste eliminou a ocorrência de oscilações pouco amortecidas na usina e apresentou um bom desempenho frente a perturbações. Em 1998, o ajuste implantado foi avaliado
com a análise da estabilidade a pequenos sinais, em um modelo multimáquinas, pelo uso
do programa PacDyn, do CEPEL, também apresentando bom desempenho. Desde então,
o Sistema Interligado Nacional (SIN) teve sua conﬁguração alterada signiﬁcativamente
(TAB. 1.1), com novas interligações importantes (destacando a entrada em operação do
terceiro circuito Foz do Iguaçu-Ivaiporã 765 kV) e possı́veis reﬂexos nos modos de oscilações locais e inter-áreas do sistema.
TAB. 1.1: Evolução do SIN (ONS – OPERADOR NACIONAL DO SISTEMA, 2008)
Elementos modelados
Barras
Linhas
Máquinas
PSS
Cargas não-lineares
SIN em 1998
2380
3450
124
52
2536
SIN em 2007
3647
5175
191
102
3639
Apesar dessas alterações, o desempenho dinâmico do setor de 60 Hz de Itaipu tem sido
satisfatório, como bem mostrou (DA SILVA, 2006), o que não descarta a possibilidade de
serem reavaliados.
Assim, houve a necessidade de avaliar os efeitos que a evolução do sistema elétrico
teve no desempenho dinâmico da usina, com o intuito de determinar a necessidade de
se melhorar os ajustes dos PSSs de Itaipu 60 Hz, de forma a aumentar os limites de
estabilidade desta importante interligação do SIN.
O trabalho desenvolvido por (MARTINS, 2007) sugeriu uma nova metodologia de
18
análise da efetividade de controladores por realimentação (introduzindo o conceito de canal
de perturbação), contemplando o caso da análise de efetividade de PSSs. No entanto, a
metodologia foi aplicada somente em ambiente de simulação, e ainda representava cada
usina por um único gerador equivalente. Uma vez que a usina de Itaipu 60 Hz continha 10
unidades em paralelo, a metodologia proposta teve que ser estendida ao caso de múltiplas
unidades antes da sua aplicação em uma planta real, por meio de um ensaio de campo.
Este trabalho foi desenvolvido nesse contexto, onde a abordagem de (MARTINS, 2007)
foi não só estendida ao caso multigeradores como aplicada à usina de Itaipu 60 Hz com
êxito, introduzindo uma nova metodologia de ensaio de campo, que apresenta inúmeras
vantagens em relação aos métodos de ensaio convencionais.
1.2 OBJETIVOS
Este trabalho visa apresentar uma nova metodologia de ensaio de usinas multigeradores
bem como os resultados da sua aplicação ao caso da usina de Itaipu 60 Hz, ao mesmo
tempo que procura construir sua fundamentação teórica de maneira didática, por meio
do cumprimento sequencial dos seguintes objetivos intermediários:
• apresentar conceitos básicos da estabilidade eletromecânica de sistemas de potência;
• descrever detalhadamente a metodologia proposta em (MARTINS, 2007);
• estender a formulação de (MARTINS, 2007) para o caso de uma usina com múltiplas
unidades geradoras;
• formular uma proposta de ensaio a partir da aplicação da nova metodologia;
• descrever as condições de realização do ensaio em Itaipu 60 Hz;
• apresentar os resultados do ensaio e compará-los com os obtidos via simulação computacional.
Os principais resultados e contribuições deste trabalho foram aceitos para publicação
em periódico cientı́ﬁco internacional (BOSSA, 2011).
19
1.3 ORGANIZAÇÃO
No Capı́tulo 2 são apresentados alguns conceitos básicos de estabilidade de sistemas
de potência, bem como os principais modelos dinâmicos utilizados na análise de estabilidade eletromecânica. No Capı́tulo 3 é abordado o conceito do canal de perturbação,
desenvolvido por (MARTINS, 2007). No Capı́tulo 4 é apresentada a extensão do conceito
do canal de perturbação para o caso de uma usina contendo múltiplas unidades geradoras. No Capı́tulo 5 é apresentada a proposta de ensaio. No Capı́tulo 6 são avaliados os
resultados da aplicação da metodologia proposta na UHE de Itaipu 60 Hz. Conclusões e
comentários ﬁnais são apresentados no Capı́tulo 7. O Apêndice traz uma breve descrição
sobre o conceito de zeros multivariáveis, bem como a aplicação da metodologia proposta
a um sistema exemplo simbólico, para ﬁns didáticos.
20
2 ESTUDO DA ESTABILIDADE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Um sistema elétrico de potência (SEP) é composto por uma inﬁnidade de elementos dinâmicos, tais como máquinas sı́ncronas, sistemas de excitação, SVCs, TCSCs, etc.
Para o estudo da estabilidade de um SEP, este deve ser modelado matematicamente de
forma a representar adequadamente a dinâmica dos elementos de interesse. Uma vez
que este trabalho está contido na área de estabilidade eletromecânica, torna-se necessário
deﬁnir, descrever e justiﬁcar a modelagem utilizada na formulação e análise do desempenho dinâmico de uma usina conectada a um SEP, que é o alvo deste capı́tulo. Também
é apresentada, inicialmente, uma breve resenha acerca dos principais conceitos de estabilidade de um SEP.
2.1 INTRODUÇÃO À ESTABILIDADE DOS SISTEMAS DE POTÊNCIA
2.1.1 CONCEITO DE SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA
Um SEP tem a função básica de disponibilizar energia elétrica aos consumidores de
forma segura, conﬁável e economicamente viável. Os SEPs variam em tamanho e complexidade, porém todos consistem basicamente em múltiplas fontes geradoras conectadas a
cargas por uma complexa rede de transmissão, que transmite energia por grandes distâncias, com a ﬁnalidade de abastecer consumidores espalhados numa grande área. Entretanto, um SEP deve ser projetado e operado de forma a atender a requisitos fundamentais,
destacados por (KUNDUR, 1994):
• deve ser capaz de atender uma demanda variável, sendo necessário possuir reservas
de potência ativa e reativa nos geradores e equipamentos, pois a energia elétrica não
pode ser armazenada em quantidades signiﬁcativas;
• o sistema deve suprir energia a um mı́nimo custo e menor impacto ecológico;
• o fornecimento de energia deve atingir padrões mı́nimos de qualidade.
A qualidade da energia elétrica é veriﬁcada através da avaliação de algumas caracterı́sticas da energia fornecida, sendo as principais:
21
• constância de frequência;
• constância de tensão;
• grau de conﬁabilidade.
Para atender a estes padrões de qualidade são empregados vários nı́veis de controle,
envolvendo um arranjo complexo de equipamentos. A FIG. 2.1 identiﬁca os vários subsistemas de um sistema de potência e os controles associados aos equipamentos.
FIG. 2.1: Controles associados ao sistema de potência: em negrito, a malha de controle
objeto de estudo deste trabalho.
2.1.2 QUESTÃO DA ESTABILIDADE
Estabilidade de um SEP é a propriedade desse sistema de retornar a um ponto de
equilı́brio (ponto de operação) depois de ser submetido a uma perturbação. Essa carac22
terı́stica depende da conﬁguração do SEP, do seu ponto inicial de operação e do tipo de
perturbação.
Tradicionalmente, o problema de estabilidade consiste em manter a operação sı́ncrona
do sistema, pois para a operação satisfatória do sistema, todos os geradores de energia
elétrica (máquinas sı́ncronas) devem permanecer sincronizados. No entanto, instabilidade
pode ocorrer sem perda de sincronismo, como é o caso do colapso de tensão.
Para a avaliação da estabilidade de um SEP, é veriﬁcado o comportamento do sistema
quando submetido a uma perturbação. Pequenas perturbações na forma de variações de
carga ocorrem constantemente no sistema e este deve ser capaz de abastecer o máximo de
carga possı́vel operando de maneira segura sob essas condições. O SEP também deve ser
capaz de suportar perturbações mais severas, tais como perda de um grande gerador ou
carga, perda de interligação entre subsistemas, curto-circuito em linhas de transmissão,
entre outros.
A estabilidade de um SEP é extremamente complexa quando abordada como um único
problema, sendo impraticável sua modelagem e estudo. Portanto, tornou-se necessária a
classiﬁcação da estabilidade em categorias, permitindo uma melhor análise do problema,
identiﬁcação dos fatores que mais contribuem para a instabilidade e a formação de métodos
que aperfeiçoem a operação estável do sistema.
A FIG. 2.2 representa a classiﬁcação do problema da estabilidade de um SEP, elaborada segundo os seguintes critérios:
• natureza fı́sica da instabilidade (ex: ângulo ou tensão);
• magnitude da perturbação (ex: grande ou pequena);
• dispositivos, processos e tempo de análise que devem ser considerados para determinar a estabilidade;
• método mais apropriado para cálculo e predição da estabilidade.
2.1.3 ESTABILIDADE DE ÂNGULO
A ocorrência de alguma perturbação no sistema, como por exemplo a perda de uma
linha de transmissão, muda a topologia do sistema alterando signiﬁcativamente a potência
elétrica fornecida pelo gerador ligado a esta linha, criando assim desbalanço entre a potência elétrica fornecida pelo gerador e a potência mecânica aplicada ao rotor da máquina.
23
FIG. 2.2: Classiﬁcação da estabilidade de um sistema de potência: em negrito, o ramo
objeto deste estudo.
Esse desbalanço causa aceleração ou desaceleração no rotor da máquina, provocando uma
variação no seu ângulo interno que, se for suﬁcientemente grande, leva o gerador a um
ponto de operação instável sendo necessário desconectá-lo do sistema.
A estabilidade de ângulo do rotor é a capacidade das máquinas sı́ncronas de um SEP
de permanecerem em sincronismo. O problema da estabilidade envolve o estudo das oscilações eletromecânicas inerentes a um sistema de potência. Por conveniência de análise,
é comum classiﬁcar a estabilidade de ângulo do rotor em duas categorias: estabilidade
transitória e estabilidade a pequenos sinais.
A estabilidade transitória está relacionada com a capacidade do sistema de manter
o sincronismo quando submetido a uma perturbação severa (ex: perda de interligações,
curto-circuito em grandes transformadores). Neste caso, a resposta do sistema envolve
grandes excursões angulares do rotor sendo inﬂuenciado signiﬁcativamente pela relação
24
não-linear potência-ângulo.
A estabilidade a pequenos sinais é a propriedade do sistema suportar pequenas perturbações mantendo o sincronismo. Neste tipo de análise, o sistema de equações que
descrevem a resposta do sistema podem ser linearizadas em torno do ponto de operação,
facilitando a análise dos fatores que inﬂuenciam na estabilidade do sistema.
2.1.4 ESTABILIDADE A PEQUENOS SINAIS
Os SEPs são continuamente excitados por pequenas perturbações (e.g. pequenas
variações de carga do sistema) e devem manter o sincronismo frente a essas variações.
Uma vez que as equações utilizadas para representar a dinâmica do sistema são lineares,
a estabilidade de ângulo de um gerador pode ser avaliada a partir do comportamento do
seu torque elétrico incremental (2.1).
∆T e , KeS ∆δ + KeD ∆ω
| {z } | {z }
∆T eS
(2.1)
∆T eD
A constante KeS é o coeﬁciente da componente da variação do torque elétrico que
está em fase com a variação do ângulo do rotor (∆δ). Esta componente é denominada
de torque sincronizante e diz respeito à intensidade com a qual as máquinas tendem
a restabelecer o equilı́brio. O coeﬁciente KeD representa a componente do torque que
está em fase com o desvio de velocidade do rotor (∆ω), sendo denominado torque de
amortecimento, responsável por amortecer as oscilações entre os rotores dos geradores até
que estes atinjam um ponto de equilı́brio.
A estabilidade do sistema depende da existência de ambas componentes de torque
para cada uma das máquinas sı́ncronas (STEVENSON JR., 1982). A falta de torque
sincronizante suﬁciente resulta em instabilidade monotônica, com o aumento progressivo
do ângulo do rotor e consequente perda de sincronismo. Por outro lado, a falta de torque
de amortecimento resulta em oscilações rotóricas de amplitude crescente, caracterizando
uma instabilidade oscilatória.
Atualmente, o principal problema tem sido o amortecimento insuﬁciente de oscilações
(KeD insuﬁciente ou até negativo), principalmente devido ao uso de excitatrizes rápidas
(KUNDUR, 1994; ROGERS, 2000b; PAL, 2005; ROGERS, 1990). Abaixo segue uma
descrição dos principais modos de oscilação e suas causas (PAL, 2005).
• Modo local, máquina-sistema ou gerador agregado: está associado com a oscilação
das unidades geradoras de uma usina contra o restante do sistema.
25
• Modo intraplanta: diz respeito às oscilações entre as unidades geradoras de uma
mesma usina.
• Modo inter-área: está associado à oscilação entre conjuntos de geradores; geralmente
é causado por grupos de máquinas fortemente acopladas ligados a outros grupos por
interligações fracas.
• Modo de controle: está relacionado com o ajuste inadequado dos controles das
unidades geradoras (sistema de excitação) e de outros dispositivos do sistema.
• Modo torsional: é oriundo de uma possı́vel interação entre o movimento rotacional
do eixo turbina-gerador com ajustes de controles de dispositivos do sistema, tais
como excitação das máquinas, reguladores de velocidade, linhas com compensação
série, entre outros.
Em suma, o grande foco do estudo da estabilidade angular a pequenos sinais é identiﬁcar as caracterı́sticas das oscilações de potência existentes num SEP e fornecer subsı́dios para ajuste de elementos de controle (principalmente reguladores de tensão e estabilizadores de potência) de forma a melhorar o desempenho dinâmico deste SEP.
2.2 MODELO MÁQUINA BARRA INFINITA
Geralmente, um SEP é demasiado extenso em termos de quantidade de elementos
representados, o que exige um grande esforço computacional ao considerar a dinâmica de
todos eles na resposta do sistema. Desta forma, nem sempre é vantajoso modelar todo
sistema para analisar a estabilidade de algum elemento, pois só uma pequena parcela dos
elementos do SEP está efetivamente acoplada à dinâmica do elemento em estudo.
Uma vez que existe um grande interesse em avaliar individualmente a estabilidade de
uma única usina, i.e., seus geradores e controles locais associados, o sistema de potência pode ser aproximado por um modelo equivalente simpliﬁcado. Neste equivalente
(FIG. 2.3), conhecido por modelo Máquina Barra Inﬁnita (Single-Machine Infinite Bus
– SMIB), todo o SEP que se conecta a essa usina é representado por um gerador “inﬁnito” (i.e., sua tensão e frequência são ﬁxas para qualquer perturbação), de forma que a
conexão entre a usina e a barra inﬁnita é modelada por uma impedância externa (Zeq ),
conforme FIG. 2.3b. Além disso, considerando que uma usina geralmente é composta por
múltiplas unidades geradoras (UGs) idênticas, neste modelo ela é representada por um
26
único gerador agregado, idêntico a cada unidade geradora, porém com potência igual a
soma de todas as UGs em paralelo. Desta forma, só o comportamento coerente da usina
é modelado, desprezando as possı́veis interações entre UGs da mesma usina (modo de
oscilação intraplanta).
FIG. 2.3: a) Sistema de potência em estudo e seu respectivo b) modelo SMIB (Máquina
Barra Inﬁnita).
O fato deste método não modelar a dinâmica dos elementos internos do SEP ao qual
o gerador em estudo está conectado possibilita um melhor entendimento dos fatores que
afetam o comportamento dinâmico da usina e seus controles associados. Esta metodologia
é utilizada principalmente para estimar os modos de oscilação eletromecânicos inerentes
a um sistema de potência, dando informações a respeito da frequência natural e amortecimento dessas oscilações.
∆ω̇2H = ∆TM − ∆T e − ∆TD
(2.2)
∆δ̇ = ω0 ∆ω
(2.3)
O estudo de oscilações eletromecânicas nas máquinas de um SEP tem sua origem na
equação de balanço de uma máquina sı́ncrona (2.2).
∆T e , KeS ∆δ + KeD ∆ω
| {z } | {z }
∆T eS
(2.4)
∆T eD
∆TD , KD ∆ω
(2.5)
Esta equação, já linearizada, relaciona o torque mecânico aplicado ao rotor pela fonte
primária de energia (∆TM ) com o torque elétrico produzido pelo gerador (∆T e) e a variação de velocidade do rotor (∆ω) onde: H é a constante de inércia do gerador, ω é a
27
velocidade do rotor e ω0 a velocidade sı́ncrona em rad/s, δ é o ângulo do rotor em rad,
KeS , KeD são constantes e ∆T eS , ∆T eD os torques elétricos sincronizante e de amortecimento, respectivamente. Os sı́mbolos KD e TD representam a constante e o torque de
amortecimento mecânico, respectivamente.
Sabendo que os fenômenos transitórios envolvidos com estabilidade de ângulo são da
ordem de frações de segundos e que o amortecimento mecânico de um rotor é geralmente desprezı́vel e difı́cil de ser determinado, duas simpliﬁcações podem ser feitas na
equação (2.2):
• é desprezado o efeito do regulador de velocidade (∆TM = 0);
• o amortecimento mecânico do rotor também é desprezado (KD = 0).
Logo:
2H∆ω̇ = −∆T eS − ∆T eD
(2.6)
O torque elétrico pode ser dividido em duas componentes, conforme a equação (2.4),
e o sistema pode ser representado pelo diagrama de blocos da FIG. 2.4.
FIG. 2.4: Representação das componentes do torque elétrico.
Formulando a equação caracterı́stica desse sistema, encontram-se os seus autovalores,
os quais são as raı́zes desta equação:
KeS ω0
KeD
s+
=0
2H
2H
√
λ1,2 = −ζωn ± jωn 1 − ζ 2
√
KeS ω0
ωn =
2H
s2 +
(2.7)
(2.8)
(2.9)
28
ζ=
KeD
4Hωn
(2.10)
Esses autovalores descrevem o modo de oscilação eletromecânico do SEP para pequenas
perturbações. Assim, pode-se veriﬁcar que um torque elétrico com componente KeD
negativo produzirá autovalores com amortecimento negativo, dando origem a um modo
de oscilação instável.
De fato, as componentes KeS e KeD dependem da frequência devido à dinâmica da
máquina sı́ncrona e dos seus controles associados. Para maior clareza, o modelo SMIB
será construı́do passo-a-passo, onde, em cada subseção subsequente, a ordem do modelo
será incrementada, de modo a esclarecer o seu efeito no modo de oscilação do sistema.
2.2.1 MÁQUINA SÍNCRONA: MODELO CLÁSSICO
Para exempliﬁcar, será utilizado o modelo clássico de uma máquina sı́ncrona na determinação do comportamento do torque elétrico, conforme diagrama da FIG. 2.5.
FIG. 2.5: Sistema equivalente utilizando modelo clássico de gerador.
A potência elétrica fornecida é deﬁnida por:
Pe = Te =
E ′V
sin(δ)
XT
(2.11)
onde: E ′ é a tensão transitória do gerador em valores por unidade (pu); XT = X ′ d + Xe
é a soma das reatâncias transitória X ′ d e equivalente da rede Xe; V é a tensão da barra
inﬁnita.
A partir da linearização da equação acima, obtém-se:
E ′ V cos(δ0 )
dT e ∆δ
=
∆δ
∆T e =
dδ δ=δ0
XT
29
(2.12)
Assim, veriﬁca-se que a variação de torque elétrico só possui componente em fase com
a variação de ângulo KeS .
dT e E ′ V cos(δ0 )
KeS =
=
dδ δ=δ0
XT
(2.13)
Considerando o amortecimento mecânico da máquina nulo, tem-se que KD = 0. Desenvolvendo a equação caracterı́stica deste sistema e seus respectivos autovalores:
KeS ω0
=0
(2.14)
2H
√
KeS ω0
λ1,2 = ±j
(2.15)
2H
A partir dos autovalores (2.15) para esse modelo de gerador, o sistema é oscilatório
s2 +
não amortecido, por só possuir a componente sincronizante do torque. Nas próximas
seções, a modelagem apresentada procura se assemelhar com a notação e desenvolvimento
utilizados em (KUNDUR, 1994).
2.2.2 MÁQUINA SÍNCRONA: FLUXO DE CAMPO
Para o estudo do sistema é utilizado o modelo de máquina sı́ncrona em coordenadas
dq0 representando a variação do ﬂuxo de campo (reação de armadura) e sua saturação.
Para este modelo, o torque elétrico linearizado do gerador é deﬁnido por:
∆T e = ∆Ψd iq0 + Ψd0 ∆iq − ∆Ψq id0 − Ψq0 ∆id
(2.16)
onde ∆Ψ são os ﬂuxos incrementais, d e q signiﬁcam de eixo de direto e quadratura
respectivamente, i é a corrente elétrica e 0 denota valor da grandeza antes da linearização.
A partir de manipulações algébricas e escolha apropriada de variáveis, descritas detalhadamente em (KUNDUR, 1994), o sistema pode ser representado pelo diagrama da
FIG. 2.6.
O torque elétrico pode ser calculado conforme a seguinte dedução:
GF D =
K3
1 + sT3
(2.17)
∆ΨF D = GF D (∆EF D − K4 ∆δ) = −K4 GF D ∆δ
(2.18)
∆T eF D = ∆ΨF D K2 = −K4 GF D K2 ∆δ
(2.19)
∆T eF D = ∆T eAR = ∆ΨF D K2 = −K4 GF D K2 ∆δ = −
30
K4 K3 K2
∆δ
1 + sT3
(2.20)
FIG. 2.6: Diagrama de blocos representando a máquina sı́ncrona.
∆T eS = K1 ∆δ
(2.21)
∆T e = ∆T eS + ∆T eF D
(2.22)
A partir da análise da equação (2.20), veriﬁca-se que a reação de armadura produz uma
parcela de torque elétrico (∆T eAR ) variável com a frequência. Este torque varia desde
puramente dessincronizante, quando em regime permanente, até puramente de amortecimento, para altas frequências.
2.2.3 ADIÇÃO DO SISTEMA DE EXCITAÇÃO
Uma máquina sı́ncrona tem sua tensão terminal (E) gerada por indução eletromagnética, produzido pela rotação do ﬂuxo magnético do rotor, sendo este último produzido
pela corrente de campo (FITZGERALD, 1961). Assim, a corrente de campo, e consequentemente, a tensão terminal do gerador, pode ser ajustada através da aplicação de
uma tensão adequada nos terminais do circuito de campo, chamada tensão de campo
(EF D ).
A função básica do sistema de excitação, também chamado de AVR (Automatic Voltage
Regulator, é controlar de maneira automática a tensão da armadura da máquina sı́ncrona
(E) a partir do controle direto da tensão aplicada no enrolamento de campo da máquina
(EF D ).
O sistema de excitação pode ser dividido em 3 partes principais, identiﬁcados na
FIG. 2.7:
• Regulador: é o elemento de controle do sistema de excitação, responsável por, a
partir de um erro de controle entre a tensão de referência (VREF ) e a tensão terminal
do gerador (E), gerar um sinal que ajustará a tensão no enrolamento de campo
31
(EF D ), de forma a deixar a tensão no terminal do gerador num valor próximo ao
desejado (referência).
• Excitatriz: é o elemento ampliﬁcador do sistema de excitação, responsável por transformar o sinal de controle oriundo do regulador em um valor de tensão de campo,
provendo corrente de exicitação para o campo do gerador. Atualmente, são utilizadas excitatrizes estáticas, i.e., circuitos retiﬁcadores que fornecem tensão e corrente DC ao enrolamento de campo, sendo alimentados pela própria tensão terminal
da máquina. Por serem baseados em eletrônica de potência, possuem tempo de resposta menor que 2 ciclos elétricos (35ms) e são dimensionados com capacidade de
fornecer elevadas tensões de campo (até 8 pu).
• Limitadores: responsáveis por limitarem a ação do regulador/excitatriz de forma a
operarem dentro da curva de capacidade da máquina sı́ncrona, respeitando limites
transitórios e de regime permanente de tensão de campo, corrente de campo, subexcitação, temperatura, etc. Devido a utilização de um modelo linear, a inﬂuência
desses limitadores serão descartadas.
FIG. 2.7: Sistema de excitação simpliﬁcado.
As caracterı́sticas e desempenho dos sistemas de excitação são amplamente estudados,
pois são os maiores responsáveis pelo desempenho dinâmico da unidade geradora, por
possuirem uma grande inﬂuência sobre o ﬂuxo de potência ativa durante um transitório
eletromecânico (DE MELLO, 1969, 1978). Isso será ilustrado na FIG. 2.8, a partir da
integração desse sistema de excitação simpliﬁcado ao modelo SMIB, realizada a partir
de transformações algébricas que expressem a tensão no terminal da máquina (∆E) em
termos dos estados do modelo (∆δ e ∆ΨF D ).
32
FIG. 2.8: Representação da máquina sı́ncrona e do sistema de excitação.
A partir do diagrama, as seguintes relações podem ser deduzidas:
∆T eAR = −K4
GF D
K2 ∆δ
1 + GF D Gex K6
(2.23)
GF D Gex
K2 ∆δ
1 + GF D Gex K6
= ∆T eAR + ∆T eAV R
∆T eAV R = −K5
(2.24)
∆T eF D
(2.25)
De modo a simpliﬁcar a análise, a função de transferência (FT) do sistema de excitação (Gex (s), da FIG. 2.7) pode ser representado por um ganho KX = KC KA . Isso
é perfeitamente factı́vel, uma vez que as excitatrizes estáticas possuem ação quase que
instantânea (TA → 0).
∆T eAV R = −K5 K2
K3 KX
∆δ
(1 + sT3 ) + K3 K6 KX
(2.26)
Antes de analisar a inﬂuência do sistema de excitação no amortecimento das oscilações,
deve-se atentar para o valor da constante K5 , o qual, dependendo do ponto de operação,
pode se tornar negativo. Normalmente este valor é positivo, porém, num sistema em que
o gerador está em alto carregamento e conectado ao sistema por uma elevada impedância
de transmissão, esta constante torna-se negativa.
O efeito que o sistema de excitação tem no torque elétrico é descrito pela equação
(2.26), cuja interpretação encontra-se condensada na TAB. 2.1, conforme sintetizado por
(KUNDUR, 1994).
A partir dessas informações, ﬁca evidente o comportamento conﬂituoso das atuais
excitatrizes estáticas. O sistema de excitação com regulador de alto ganho, aliado à alta
velocidade e capacidade de fornecimento de tensão da excitatriz eletrônica, promove um
33
TAB. 2.1: Comportamento do torque elétrico gerado pelo sistema de excitação.
Valores de K5
Negativo
Positivo
Valores de KX
Grande
Pequeno
Grande
Pequeno
Regime permanente
Fortemente sincronizante
Fracamente sincronizante
Fortemente dessincronizante
Fracamente dessincronizante
Durante oscilação
Fortemente instabilizante
Fracamente instabilizante
Fortemente estabilizante
Fracamente estabilizante
aumento signiﬁcativo no torque de sincronismo em regime permanente, o qual é necessário
para um bom desempenho em estabilidade transitória a grandes perturbações. Entretanto,
esse alto ganho também introduz um amortecimento negativo para frequências tı́picas de
oscilações (entre 0.1 e 2.0 Hz), sendo o principal causador de instabilidade oscilatória num
sistema de potência (BAKER, 1975; DE MELLO, 1969; PAL, 2005).
2.2.4 EFEITO DO ESTABILIZADOR DE SISTEMA DE POTÊNCIA
Tendo conhecimento da instabilidade oscilatória introduzida pelos atuais sistemas de
excitação, bem como do seu ótimo desempenho frente a grandes perturbações, a melhor
solução adotada foi criar um sistema de controle suplementar que amorteça esses modos
de oscilação insuﬁcientemente amortecidos ou até instáveis. Surge então a ﬁgura do estabilizador de sistema de potência, mais conhecido por PSS (Power System Stabilizer ), que
consiste num controle por realimentação cujo objetivo primário é introduzir uma componente de torque elétrico proporcional ao desvio de velocidade do rotor (BOLLINGER,
1980; WATSON, 1973).
Um PSS clássico, que possui realimentação de velocidade (∆ω), é então integrado
ao sistema de excitação conforme FIG. 2.9. Existem PSSs que utilizam outros sinais
estabilizantes em sua realimentação, tais como potência elétrica e frequência (CHOW,
2000; KEAY, 1971; DE MELLO, 1978), destacando-se o PSS2A, integral da potência
acelerante (BERUBE, 2007), que é o mais usado atualmente. Estes tipos de PSS não
serão abordados aqui por estarem além do escopo deste trabalho.
A partir do sistema da FIG. 2.9, o torque elétrico provido pelo PSS pode ser deduzido:
∆T eF D = ∆T eAR + ∆T eAV R + ∆T eP SS
∆T eP SS = GP SS
GF D Gex
K2 ∆ω
1 + GF D Gex K6
(2.27)
(2.28)
Para facilitar o entendimento da ação do PSS, surge o conceito do GEP (s) que signiﬁca
Generator-Exciter-to-Power system (DE MELLO, 1969), que nada mais é do que a FTMA
34
FIG. 2.9: Representação da máquina sı́ncrona e seus controles.
entre a entrada do sinal do PSS e o torque elétrico produzido por este, conforme (2.29).
∆T e
GF D Gex
= GEP = K2
∆VP SS
1 + GF D Gex K6
(2.29)
Assim a expressão do torque elétrico introduzido pelo PSS pode ser compactada:
∆TP SS = GP SS GEP ∆ω
(2.30)
O GEP (s) pode ser melhor visualizado simpliﬁcando a FIG. 2.9 através da equação
(2.29), cujo diagrama resultante (FIG. 2.10) se assemelha com o proposto por (HEFFRON,
1952), utilizado inicialmente por (DE MELLO, 1969).
A partir de (2.30), veriﬁca-se que o PSS tenta acrescentar um torque em fase com a
variação da frequência do rotor (∆ω). Para isso, a função de transferência GP SS (s) deve
ser projetada de forma a compensar o atraso de fase introduzido pela excitação e pelo
circuito de campo da máquina, que é representado pela função de transferência GEP (s)
(LARSEN, 1981).
O PSS possui a seguinte estrutura básica (KUNDUR, 1994):
• Bloco washout: é um ﬁltro passa-alta que previne que a tensão de campo seja afetada
por qualquer variação de regime permanente da velocidade da máquina, evitando
uma ação (indesejada) do PSS. O valor de TW é escolhido de forma a oferecer uma
banda de passagem para sinais contendo modos de oscilação local e inter-áreas,
agindo somente durante transitórios.
35
FIG. 2.10: Representação da máquina sı́ncrona e seus controles utilizando conceito de
GEP .
FIG. 2.11: Estrutura de um PSS tı́pico.
• Bloco avanço de fase: consiste no principal parâmetro do PSS, que deve ser ajustado
de forma a neutralizar o atraso de fase introduzido por GEP (s). Como é impossı́vel
realizar uma compensação perfeita do atraso de fase do GEP (s) em toda faixa de
frequência, o projeto dos blocos de avanço de fase buscam um compromisso entre
melhor ajuste para faixa próxima do modo de oscilação menos amortecido (geralmente modo local, ou gerador agregado) e maior compensação para outras faixas
de frequência (modo intraplanta, em frequências mais altas, e modo interárea em
frequências mais baixas).
• Bloco de ganho: deve ser ajustado de forma a prover adequada taxa de amortecimento às oscilações. Ganhos muito altos não são praticados pois, apesar de proverem
grande amortecimento ao modo de oscilação desejado, podem alterar signiﬁcativamente a frequência dos modos de oscilação, causando até mesmo instabilização de
outros modos. Isso ocorre principalmente em casos onde é necessário conciliar amortecimento de modos distantes no espectro de frequência (e.g. modos inter-area e
36
intraplanta) (LARSEN, 1981). Nesses casos, é recomendado o uso de técnicas de
ajustes coordenados (JABR, 2010a).
Em suma, o sinal do PSS tem a ﬁnalidade de gerar um torque elétrico efetivamente
em fase com a variação de velocidade nas frequências de oscilação que se deseja melhorar
o amortecimento, sendo imprescindı́vel em sistemas radiais (KUNDUR, 1989).
2.3 MODELO MULTIMÁQUINA
Um SEP pode ser estudado de maneira mais completa a partir da elaboração de um
modelo em espaço de estados que contenha a dinâmica de todos os elementos pertencentes a este SEP, tais como: máquinas sı́ncronas e seus controles associados (AVR, PSS,
regulador de velocidade), sistemas HVDC, dispositivos FACTS (SVCs e TCSCs), cargas
dinâmicas e outros tipos de máquinas (geradores eólicos), entre outros.
Tal modelo completo do sistema é denominado de modelo multimáquina. A FIG. 2.12
mostra um diagrama esquemático dessa representação.
FIG. 2.12: Estrutura do modelo multimáquina de um sistema de potência, onde * denotam
equações algébricas e ** equações diferenciais.
A partir desta representação, podem ser estudadas as interações entre os diversos
elementos do sistema de potência, permitindo identiﬁcar problemas que não poderiam
ser representados num modelo SMIB. Assim, surgiram diversas técnicas que lançam mão
da representação multimáquina em espaço de estados do SEP para ajustar de maneira
37
coordenada dispositivos de controle, com o intuito de solucionar eﬁcientemente problemas de oscilações eletromecânicas (JABR, 2010b; MARTINS, 1990a; DE MELLO, 1980;
MARTINS, 2000).
O desenvolvimento aqui apresentado da modelagem multimáquina de pequenos sinais,
tanto por meio da abordagem tradicional quanto por meio das técnicas utilizadas em
sistemas de grande porte, segue notação utilizada em (MARTINS, 1990b).
2.3.1 ABORDAGEM TRADICIONAL
Um SEP é modelado dinamicamente por um sistema de equações não-lineares tanto
diferenciais quanto e algébricas, conforme (2.31).
ẋ = f (x, z)
(2.31)
0 = g(x, z)
onde x é o vetor de estados e z o vetor de variáveis algébricas.
A análise da estabilidade a pequenos sinais de um SEP envolve a linearização de (2.31)
para um ponto de operação (x0 , z0 ):
[
] [
] [
]
∆ẋ
J1 J2
∆x
=
+
0
J3 J4
∆z
(2.32)
A matriz de estado do sistema de potência pode ser obtida eliminando o vetor de
variáveis algébricas ∆z em (2.32).
∆ẋ = [J1 − J2−1 J4 J3 ] ∆x
{z
}
|
(2.33)
A
Com a escolha apropriada das matrizes de entrada e saı́da, o modelo de espaço de
estados pode ser construı́do.
∆ẋ = A∆x + Bu
(2.34)
∆y = C T ∆x + Du
Através desta representação em espaço de estados, é possı́vel obter informações detalhadas sobre cada uma das oscilações caracterı́sticas do sistema, destacando aqui algumas:
• frequência da oscilação e respectivo amortecimento (autovalores);
• quais elementos do sistema (geralmente máquinas sı́ncronas) mais contribuem com
um determinado modo de oscilação e como eles agem dentro deste modo (fatores de
participação);
38
• quais variáveis do sistema possibilitam identiﬁcar mais facilmente o modo de oscilação (observabilidade);
• quais entradas têm maior inﬂuência num modo de oscilação (controlabilidade);
• parâmetros de quais controladores tem maior inﬂuência num modo de oscilação
(sensibilidade).
2.3.2 ABORDAGEM PARA SISTEMAS DE GRANDE PORTE
No estudo de um grande SEP, como é o caso do SIN que possui uma matriz de estado
em torno de 3000 estados e 4000 equações algébricas, a resposta completa do sistema não
pode ser computada com algoritmos convencionais, i.e., que resolvem matriz de estados
não esparsa, pois estes estão limitados a aproximadamente 500 estados, devido ao alto
custo computacional de processamento e memória (MARTINS, 1990b). Devido à evolução
da capacidade de processamento dos computadores nas últimas duas décadas, atualmente
esta capacidade se expandiu para alguns milhares de estados.
Para contornar essa limitação, foi adotada a representação estendida do sistema, conforme mostrado em (2.35):
[
∆ẋ
]
[
=
J1 J2
][
∆0
| {z }
∆x
]
J3 J4
∆z
| {z } | {z }
∆ẋa
J
∆xa
[
]
[
] ∆x
∆y = CxT CzT
{z
} ∆z
|
| {z }
T
Ca
+Ba ∆u
(2.35)
∆xa
onde ∆xa é o vetor de estados aumentado, Ba é o vetor de entrada aumentado e CaT a
matriz de saı́da aumentada.
A grande vantagem dessa representação é que a matriz jacobiana (J) do sistema é altamente esparsa, permitindo o uso de eﬁcientes algoritmos especializados em esparsidade,
capazes de trabalhar com sistemas da ordem de alguns milhares de estados.
Existe um aplicativo nacional elaborado pelo CEPEL, chamado Pacdyn, que aplica
esta modelagem linear ao SIN utilizando algoritmos tanto convencionais quanto especializados, por meio do qual foram desenvolvidos vários trabalhos (MARTINS, 1990a, 2000),
utilizado neste trabalho para simular os resultados da metodologia nele proposta.
39
3 CANAL DE PERTURBAÇÃO
O método proposto neste trabalho se baseia extensivamente nos conceitos apresentados
em (MARTINS, 2007), os quais permitem a obtenção de polos de malha aberta de um
sistema dinâmico a partir de medidas em malha fechada. Portanto, neste capı́tulo, o
conceito do canal de perturbação é exposto de maneira detalhada para um caso SISO,
i.e. uma usina é representada por um único gerador agregado (equivalente), conforme
proposto originalmente em (MARTINS, 2007). Também foram adicionados exemplos
numéricos para facilitar a visualização do conceito, cujo entendimento é fundamental
para compreensão de capı́tulos posteriores, onde o método aqui descrito é estendido para
uma formulação multigeradores (MIMO).
3.1 CONCEITUAÇÃO
Dado um sistema dinâmico linear e invariante no tempo, a relação entre uma entrada
u(s) e uma saı́da y(s) quaisquer pode ser representada por uma função de transferência
de malha aberta (FTMA) G(s). Supondo que o sistema G(s) apresente uma resposta
oscilatória, deseja-se amortecê-la com a inserção de um controlador por realimentação
dinâmica de saı́da K(s). É também adicionada a este sistema uma entrada de perturbação
w(s) e uma saı́da sintética z(s), conforme FIG. 3.1.
FIG. 3.1: Sistema canônico com canal de perturbação.
40
Este sistema canônico pode ser representado pela seguinte matriz de transferência:
][
[
] [
]
Hyu (s) Hyw (s)
y(s)
u(s)
=
(3.1)
Hzu (s) Hzw (s)
z(s)
w(s)
|
{z
}
H(s)
Detaca-se que Hyu (s) é a função de transferência (FT) do canal de controle em malha
fechada e Hzw (s) representa a relação entre a entrada de perturbação e a soma da resposta
da realimentação com o sinal de perturbação (canal de perturbação). Substituindo G(s)
e K(s) na equação (3.1), as FTs podem ser explicitadas na equação (3.2).
[
]
G −G
1
H=
1 + GK
GK 1
(3.2)
Sabendo que:
G(s) =
nG (s)
dG (s)
e
K(s) =
nK (s)
dK (s)
(3.3)
têm-se:
Hyu (s) =
y(s)
nG dK
=
u(s)
dG dK + nG nK
(3.4)
z(s)
dG dK
=
(3.5)
w(s)
dG dK + nG nK
Pode-se veriﬁcar através da equação (3.5) que a deﬁnição da função Hzw (s) fornece
Hzw (s) =
informações importantes a respeito do sistema. Os polos dessa função são os polos de
malha fechada do sistema, que reﬂetem o desempenho do sistema compensado pela realimentação. Já o seu conjunto de zeros contém os polos do sistema de malha aberta, que
reﬂetem o desempenho do sistema como se estivesse operando sem o estabilizador.
A capacidade deste método em fornecer dados sobre o desempenho especı́ﬁco de um
controlador por realimentação pode ser melhor entendida tendo em vista a dedução alternativa abaixo, onde se veriﬁca que a FT Hzw (s) é a razão entre a resposta de malha
fechada e de malha aberta do sistema (3.6).
Hzw (s) =
Hyu (s)
G−1 (s)G(s)
=
1 + G(s)K(s)
G(s)
(3.6)
Uma vez que esta função de transferência contém informações tanto da resposta em
malha aberta como em malha fechada, sua determinação (seja experimental ou por simulações) permite avaliar a efetividade do estabilizador no amortecimento dos modos
de oscilação do sistema, fornecendo subsı́dios para avaliar a necessidade de reajuste ou
mudança do controlador.
41
3.2 APLICAÇÃO AO GERADOR SÍNCRONO
Uma vez apresentada uma nova abordagem de estudo de um sistema dinâmico canônico,
este método pode ser então aplicado para se estudar o desempenho de um gerador sincronizado ao sistema juntamente com seu respectivo PSS.
Para representar adequadamente a máquina e o seu estabilizador no sistema elétrico, a
entrada u(s) é deﬁnida como tensão de referência do regulador de tensão em pu (∆VREF )
e a saı́da y(s) como a variação da velocidade do rotor (∆ω) em pu. O controlador inserido
na realimentação, K(s), é a FT do próprio PSS, chamada de GP SS (s), ao passo que a
FTMA G(s) representa a dinâmica do conjunto gerador-sistema elétrico na ausência do
PSS. Reescrevendo o diagrama da FIG. 3.1, tem-se o sistema representado na FIG. 3.2.
FIG. 3.2: Diagrama de blocos do canal de perturbação referente a um gerador sı́ncrono e
seu PSS.
Os resultados obtidos por esta abordagem são de interesse para a identiﬁcação e controle do amortecimento de oscilações em sistemas elétricos de potência. Os zeros dominantes de Hzw (s) representam os modos de oscilação inerentes ao sistema em malha
aberta, ou seja, com o PSS virtualmente desligado. Por sua vez, os polos representam as
oscilações existentes no sistema com o PSS em funcionamento.
Esta abordagem, quando aplicada a um sistema de potência, apresenta as seguintes
vantagens:
• o desempenho de um gerador conectado à rede pode ser veriﬁcado através de ensaio
de campo especı́ﬁco, o qual também permite inferir qual seria este desempenho na
ausência dos PSSs, sem a necessidade de abrir ﬁsicamente a malha (i.e., desligar o
PSS);
• os zeros e polos da FT do canal de perturbação permitem identiﬁcar os modos de
oscilação caracterı́sticos dessa usina em relação ao sistema, tanto em malha aberta
(ausência dos PSSs) como em malha fechada (com PSSs);
42
• com estes dados também é possı́vel veriﬁcar a efetividade do ajuste do PSS, fornecendo
subsı́dio para o projeto ou ajustes, mas também de sinais estabilizadores aplicados
a equipamentos FACTS, tais como SVC e TCSC.
Estas vantagens justiﬁcam a utilização deste método, no que diz respeito a ajustes e
validação de estabilizadores de sistemas de potência, sobretudo em usinas multigeradores,
onde métodos convencionais são pouco efetivos (ver seções 5.1 e 6.4).
3.3 APLICAÇÃO A UM CASO CLÁSSICO
A metodologia descrita na seção anterior será aplicada a um sistema SMIB clássico
(FIG. 3.3b), semelhante ao já descrito na seção 2.2. Uma vez que este modelo apresenta
um torque elétrico puramente sincronizante, a seguinte simbologia foi modiﬁcada: ∆TS ,
∆T eS e KS , KeS .
FIG. 3.3: a)–b) Sistema Máquina Barra inﬁnita (SMIB) e sua c) representação em diagrama de blocos.
A expressão para o coeﬁciente de torque sincronizante KS é facilmente derivado do
circuito elétrico na FIG. 3.3b:
E ′ V cos δ0
dTS =
KS =
dδ δ=δ0 Xe + Xg
(3.7)
onde: E ′ é a tensão transitória do gerador em pu; Xg = X ′ d + Xtr é a soma das
reatâncias transitória X ′ d e de seu transformador elevador associado Xtr; Xe é a reatância
equivalente da rede; V é a tensão da barra inﬁnita e δ0 é o ângulo de carga.
43
A FIG. 3.3c é uma representação em diagrama de blocos do sistema SMIB da FIG. 3.3a–
b, no formato utilizado na FIG. 3.2. De modo a aplicar a metodologia descrita na seção
anterior, o coeﬁciente de amortecimento mecânico KD será considerado como um controlador por realimentação de saı́da, análogo ao GP SS (s) da FIG. 3.2.
Deﬁnindo:
κ,
KS
2H
e
2γ ,
KD
2H
(3.8)
a função de transferência de malha fechada (FTMF) (chave F fechada) Hyu (s) da FIG. 3.3c
é dada por:
s
ω(s)
2H
Hyu (s) =
= 2
TM (s)
s + 2γs + κω0
(3.9)
e a FTMA (chave F aberta) G(s) é dada por:
G(s) =
s
ω(s)
= 2 2H
TM (s)
s + κω0
(3.10)
A FTMF do canal de perturbação (Hzw ) é:
Hzw (s) =
T p(s)
Hyu (s)
s2 + κω0
=
= 2
T d(s)
G(s)
s + 2γs + κω0
(3.11)
A equação (3.11) mostra que os zeros de Hzw (s) são os polos de G(s), os quais não
possuem amortecimento, enquanto os polos de Hzw (s) são os polos da FTMF, os quais
governam a resposta atual do sistema (com amortecimento mecânico).
3.4 EXEMPLO GRÁFICO
Para melhor visualizar a aplicação deste conceito, foram sugeridos dois sistemas de
segunda ordem que procuram relacionar as conﬁgurações de polo-zero com as respectivas
respostas em frequência. A referência (GRUND, 1990) mostra 8 conﬁgurações de pares
de polo/zero que os autores consideraram em sua técnica de construção de equivalentes
em sistemas de potência, dos quais somente dois (casos 3 e 6 em (GRUND, 1990)) são de
interesse para este trabalho, uma vez que eles se aplicam aos dois tipos de resultados que
podem ser esperados da aplicação deste conceito em uma usina conectada a um sistema
de potência. Abaixo serão descritos os 2 sistemas que exempliﬁcam os casos de interesse.
44
3.4.1 SISTEMA I
O Sistema I retrata o caso de uma usina que possui seu modo eletromecânico instável
sem a presença do PSS, o qual é uma possibilidade factı́vel dentro de um SEP. A FT
GI (s), que é instável em malha aberta, representa a dinâmica de um gerador sincronizado
a um SEP, sendo estabilizada pelo seu PSS (K I (s)), à semelhança das FIGs. 3.1 e 3.2,
tendo seu diagrama de blocos representados na FIG. 3.4.
FIG. 3.4: Sistema exemplo I.
A FTMA deste sistema é dada por:
GI (s) =
s2
s + 3.373
− 0.339s + 31.98
(3.12)
I
e a FTMF é dada por (Hyu
(s)):
I
Hyu
(s) =
s + 3.373
GI (s)
= 2
I
I
1 + G (s)K (s)
s + 1.885s + 39.48
(3.13)
e, ﬁnalmente, a FT do canal de perturbação é dada por:
I
Hzw
(s) =
I
Hyu
(s)
s2 − 0.339s + 31.98
=
GI (s)
s2 + 1.885s + 39.48
(3.14)
3.4.2 SISTEMA II
O Sistema II representa o caso de uma usina cujo modo eletromecânico possui amortecimento insuﬁciente sem o PSS, que é o caso da Usina de Itaipu 60 Hz, cujos resultados
tanto de simulações computacionais quanto de ensaios de campo são mostrados no Capı́tulo 6.
O Sistema II apresenta a mesma estrutura do Sistema I, com FTMA GII (s) e estabilizador K II (s), tendo seu diagrama de blocos representados na FIG. 3.5.
45
FIG. 3.5: Sistema exemplo II.
A FTMA deste sistema é dada por:
GII (s) =
s2
s + 4.87
+ 0.339s + 31.98
(3.15)
II
a FTMF é dada por (Hyu
(s)):
II
Hyu
(s) =
GII (s)
s + 4.87
= 2
II
II
1 + G (s)K (s)
s + 1.885s + 39.48
(3.16)
e, ﬁnalmente, a FT do canal de perturbação é dada por:
II
Hzw
(s)
II
Hyu
(s)
s2 + 0.339s + 31.98
= 2
= II
G (s)
s + 1.885s + 39.48
(3.17)
3.4.3 ANÁLISE DOS SISTEMAS EXEMPLOS
A TAB. 3.1 lista os pares de polo/zero para os sistemas exemplos I e II, cujos polo-zero
e respostas em frequência são apresentadas na FIG. 3.6.
TAB. 3.1: Polos, zeros de Hzw (s) e respostas em frequência dos sistemas exemplos de
segunda ordem
Sistemas
I
II
Zeros
Polos
Figuras
+0.17 ± j5.65
−0.94 ± j6.21
mapa P-Z: FIG. 3.6d
ωd = 0.90Hz
ωd = 0.99Hz
Módulo: FIG. 3.6a
ζ = −3.0%
ζ = 15.0%
Fase: FIG. 3.6b
−0.17 ± j5.65
−0.94 ± j6.21
mapa P-Z: FIG. 3.6e
ωd = 0.90Hz
ωd = 0.99Hz
Módulo: FIG. 3.6a
ζ = 3.0%
ζ = 15.0%
Fase: FIG. 3.6c
Uma vez que os polos de malha fechada dos dois sistemas são idênticos, os gráﬁcos e
tabela apresentados esclarecem que, por meio do seu par de zeros dominantes, a FT do
46
canal de perturbação mostra como seria a resposta do gerador em malha aberta (i.e. PSS
desabilitado), estando este gerador em malha fechada (PSS habilitado).
0
−5
−10
−15
0.5
0
1
Frequência (Hz)
1.5
2
6
4
2
0
−1
−100
−200
−300
0
c) Fase (graus)
−0.5
Real
e)
0
−0.5
Real
0
8
0.5
1
Frequência (Hz)
1.5
2
Imaginário
b) Fase (graus)
0
Imaginário
a) Módulo (dB)
d)
8
80
60
40
20
0
−20
0
0.5
1
Frequência (Hz)
1.5
2
6
4
2
0
−1
I
II
FIG. 3.6: a) Gráﬁco de módulo para ambos os sistemas em malha fechada: Hzw
e Hzw
.
b) Fase do Sistema I. c) Fase do Sistema II. Mapas de polo-zero para d) Sistema I e e)
Sistema II.
O Sistema II representa o caso de uma usina cujo modo eletromecânico possui amortecimento insuﬁciente sem o PSS, que é o caso da Usina de Itaipu 60 Hz, cujos resultados
tanto de simulações computacionais e de ensaios de campo são mostrados no Capı́tulo 6.
47
4 MODELAGEM DE UMA USINA MULTIGERADORES
Em estudos de estabilidade eletromecânica, as usinas (que geralmente possuem vários
geradores idênticos em paralelo), são, em sua maioria, representadas por um único gerador agregado, de potência equivalente ao total da capacidade de todas as UGs de cada
usina. Esse procedimento é útil e amplamente utilizado, pois reduz o número de estados
necessários para representar o comportamento da usina, que, por questões de simetria, é
idêntico ao comportamento coerente das UGs. Esse fato justiﬁca a referência (MARTINS,
2007) ter desenvolvido o conceito do canal de perturbação para um caso SISO, existindo
somente uma realimentação de controle.
Na prática, uma usina de grande porte é composta de vários geradores (cada um
com seu dispositivo de controle), inviabilizando um ensaio de campo que pudesse fornecer
diretamente as informações de malha aberta, conforme abordado no capı́tulo anterior.
Assim, para a viabilização de um ensaio de campo capaz de fornecer tais informações
para uma usina multigeradores, este capı́tulo trata da extensão do conceito de canal de
perturbação para o caso MIMO, levando em conta os vários geradores que compõem a
usina, permitindo inferir a resposta de um suposto gerador agregado a partir de dados de
ensaio, envolvendo medições em apenas dois geradores.
Para explanar a metodologia, ela é aplicada a um sistema do tipo usina multigeradores
barra inﬁnita (Multigenerator Power plant Infinite Bus – MPIB), semelhantemente ao
sistema SMIB, abordado na seção 3.3.
4.1 MODELO USINA MULTIGERADORES BARRA INFINITA
A FIG. 4.1 representa uma usina multigeradores conectada a uma barra inﬁnita através
de uma linha de transmissão radial. A usina do sistema MPIB possui n unidades geradoras igualmente carregadas, representadas por modelo clássico de máquina sı́ncrona com
parâmetros idênticos.
As equações linearizadas para o sistema MPIB formam um sistema de 2n estados,
sendo a extensão multivariável das equações de balanço (swing equations) utilizadas an-
48
FIG. 4.1: Usina multigeradores conectada a uma barra inﬁnita através de uma impedância
(MPIB).
teriormente no modelo SMIB:
∆ω̇2HI = ∆TM − ∆TS − ∆TD
(4.1)
∆δ̇ = ω0 ∆ω
(4.2)
onde
∆TD = KD I ∆ω
|{z}
e ∆TS = KS ∆δ
(4.3)
KD
e H é a constante de inércia do gerador, I é a matriz identidade (n × n), ω e δ são vetores
contendo os ângulos e velocidades dos rotores dos n geradores em paralelo, KS e KD são
matrizes de constantes, ∆TM é o vetor de torque mecânico ∆TS e ∆TD são os vetores
contendo os torques de sincronismo e amortecimento dos geradores, respectivamente.
O canal de perturbação do sistema SMIB (FIG. 3.3c), que é um sistema SISO, pode
ser estendido para sua versão MIMO para representar adequadamente o canal de perturbação multivariável do sistema MPIB, conforme FIG. 4.2. As entradas (∆TM , ∆T d) e
saı́das (∆ω, ∆T p) anteriormente escalares, aparecem agora como vetores (∆TM , ∆Td)
e (∆ω,∆Tp).
O par entrada/saı́da do canal de perturbação pode ser equacionado a partir da inspeção
da FIG. 4.2:
∆Tp = KD ∆ω
e ∆Td = −∆TM
(4.4)
A matriz KS , de dimensão n × n, que descreve as relações de torque sincronizante
entre as n UGs e a barra inﬁnita, é deﬁnida pela linearização da potência elétrica de cada
gerador para uma dada condição de operação do sistema, sendo sua dedução explicada a
seguir.
49
FIG. 4.2: Diagrama de blocos multivariável do sistema MPIB destacando a chave (F), que
promove a abertura virtual simultânea dos laços de torque de amortecimento mecânico
de todas as UGs.
A expressão não-linear para a potência ativa do i-ésimo gerador (P gi ), que é equivalente ao seu torque elétrico em pu, TSi , pode ser estabelecida aplicando a Lei das Malhas
de Kirchoﬀ ao circuito elétrico da FIG. 4.3 (KIMBARK, 1948):
FIG. 4.3: Circuito elétrico do sistema MPIB.
Todas as constantes das máquinas e reatâncias do sistema estão expressas em pu na
base de uma UG, e portanto, a reatância externa do sistema se torna Xe/n.
P gi = TSi
)
(
n
Ei′
Xe ∑ ′
=
V sin δi +
Ek sin(δi − δk )
Xe + Xg
nXg
(4.5)
k=1
k ̸= i
A linearização de (4.5), estendida aos n geradores de uma planta, produz a equação
50
matricial:
[
]
∂(TS1 , ..., TSn ) ∆δ
∆TS =
∂(δ1 , ..., δn ) δ1 ,...,δn =δ0
|
{z
}
(4.6)
KS
A simetria topológica do sistema e a operação equilibrada (Ei′ = Ek′ = E ′ e δi =
δk = δ0 ) permitem simpliﬁcações consideráveis, as quais são ainda mais reduzidas pela
adoção de sı́mbolos para representar as expressões algébricas que repetidamente ocorrem
nos elementos matriciais do sistema linearizado. Assim, a matriz de torques sincronizantes
KS pode ser representada:


ks km · · · km


 km ks

k
m


KS =  .

..
 ..

.


km · · · km ks
(4.7)
onde
E ′ V cos δ0
E ′2 Xe
+ (n − 1)
Xe + Xg
nXg(Xe + Xg)
′2
E Xe
km = −
nXg(Xe + Xg)
ks =
(4.8)
4.2 MODELO EM ESPAÇO DE ESTADOS
A partir das equações (4.1) à (4.7), o sistema MPIB pode ser modelado por um sistema
de equações diferenciais em (4.9). Para melhor visualização, a notação ∆ será omitida
nas equações restantes.



2H ω̇1 + KD ω1 + ks δ1 + km δ2 + ... + km δn = TM1 − T d1





δ̇1 = ω0 ω1






2H ω̇2 + KD ω2 + km δ1 + ks δ2 + ... + km δn = TM2 − T d2


δ̇2 = ω0 ω2


..



.





2H ω̇n + KD ωn + km δ1 + km δ2 + ... + ks δn = TMn − T dn




 δ̇ = ω ω
n
0 n
(4.9)
Para uma representação ainda mais compacta, os seguintes termos são deﬁnidos:
α,
ks
,
2H
β,
km
,
2H
2γ =
KD
2H
(4.10)
51
Similarmente ao procedido com o sistema SMIB, as constantes de amortecimento
mecânico, KD , são considerads como controles por realimentação a serem “virtualmente”
desabilitados. O objetivo aqui é avaliar o impacto da eliminação simultânea dos torques
de amortecimento mecânico em todas as n unidades geradoras em paralelo, baseados em
conceitos de (MARTINS, 2007) descritos no Capı́tulo 3.
Nota-se que o sistema tem 2n estados, 2n entradas e 2n saı́das, e pode ser representado
pelo modelo de espaço de estados abaixo, que é facilmente derivável de (4.9)-(4.10):
ẋ = Ax +
[
]
|
Bu Bw
{z
}
[
TM
]
Td
B
[
]
ω
[
=
Tp
[
]
CTy CTz x +
|
{z
}
CT
|
Dyu Dyw
][
Dzu Dzw
{z
}
TM
(4.11)
]
Td
D
onde


−2γ −α
0
−β · · ·
0
−β


 w

0
0
0
·
·
·
0
0
 0



 0
−β −2γ −α · · ·
0
−β 





0
0
w
0
·
·
·
0
0
A =
0


 .
..
..
..
..
.. 
..
 ..
.
.
.
.
.
. 




 0

−β
0
−β
·
·
·
−2γ
−α


0
0
0
0 · · · w0
0

[
B=
Bu Bw






]
1 

=
2H 







1 0 ···
0 −1
0
···
0
0 0 ···
0
0
0
···
0
0 1 ···
0
0
−1 · · ·
0
0 0 ··· 0
..
..
.
.
0
..
.
0
···
..
.
0
0 0 ···
1
0
0
···
−1
0 0 ···
0
0
0
···
0
52
















CT =
[
[
D=
CTy





] 

CTz = 







Dyu Dyw
Dzu Dzw
1 0 · · · 0 KD
0
···
0 0 ··· 0
0
0
···
0 1 ··· 0
0
0 0 ··· 0
..
..
.
.
0
..
.
0
···
..
.
0 0 ··· 1
0
0
···
0 ··· 0
0
0
···
0

0

 0

 .
 .
 .
] 
 0

=
 0


 0

 ..
 .

0
0 ···
KD · · ·
0 0 0 ···

0

0 


0 


0 





KD 

0

0

0 ··· 0 0 0 ··· 0 


..
..
..

.
.
.


0 ··· 0 0 0 ··· 0 


0 ··· 0 1 0 ··· 0 


0 ··· 0 0 1 ··· 0 


..
..
..

.
.
.

0 ··· 0 0 0 ··· 1
com








x=








ω1
δ1
ω2
δ2
..
.
ωn
δn




ω1
TM1





 ω 
 T

 2 
 M2 

 . 
 . 


 . 

.. 

 . 

 [
 [

] 
] 


 ω 
 T

ω
T
M
n
M



n 
,
=
=
,






T
d
T
p
Tp
Td

1
1










 T p2 
 T d2 






 .. 
 .. 

 . 
 . 




T dn
T pn
53
4.3 TRANSFORMAÇÃO DE SIMILARIDADE MODAL
A matriz de estados anteriomente descrita possui uma estrutura especial, como mostrado
em (4.12)-(4.13):




A=


[
a=
a b ···
b


b a ··· b 

..
.. 
..
. . 
.

b b ··· a
−2γ −α
w0
]
(4.12)
[
e b=
0
0 −β
0
]
(4.13)
0
onde α, γ e β são dados em (4.10) e ω0 é a velocidade angular sı́ncrona.
Matrizes de tal estrutura bloco-simétrica podem ser diagonalizadas por uma matriz de
transformação linear P, mostrada em (4.14), onde m é a dimensão dos blocos a e b. Esta
matriz de transformação é mais apropriada do que aquela descrita em (ARAÚJO, 1991;
ROGERS, 2000a), uma vez que essa efetivamente bloco-diagonaliza a matriz de estados,
independentemente da ordem de seus blocos.

I
Im×m
Im×m · · · Im×m
 m×m
 I
 m×m −Im×m 0m×m · · · 0m×m

P=
 Im×m 0m×m −Im×m · · · 0m×m
 .
..
..
..
 ..
.
.
.

Im×m 0m×m
0m×m · · · −Im×m










(4.14)
Aplicando a transformação de similaridade acima descrita à matriz de estado de (4.11),
que é bloco-simétrica (2 × 2), obtém-se sua forma bloco-diagonal:






−1
A = P AP = 





−2γ
−(α + (n − 1)β)
0
0
···
w0
0
0
0
···
0
0
−2γ
−(α − β)
···
0
..
.
0
..
.
w0
0
..
.
···
..
.
0
0
0
0
···
0
0
0
0
···
0
0
0
0




0
0



0
0

..
..

.
.


−2γ −(α − β) 
w0
(4.15)
0
Usando os sı́mbolos a e b para denotar esses blocos, a matriz diagonalizada pode ser
54
escrita de uma forma mais simples:

a + (n − 1)b
0
···
0


0
a − b ···
0

A=
..
..
..
..

.
.
.
.

0
0
··· a − b







(4.16)
Esta matriz bloco-diagonal (4.15) tem seus autovalores isolados nos seus blocos diagonais 2×2. O primeiro bloco corresponde ao modo da usina contra a barra inﬁnita, também
chamado de modo local ou gerador agregado, enquanto os outros n − 1 blocos, que são
idênticos (multiplicidade n − 1), correspondem aos modos intraplanta. O modo gerador
agregado determina o comportamento coerente das n unidades em paralelo, respondendo
como um único gerador n vezes maior que cada UG, e é dado pelo par de autovalores:
pag = −γ ± j
√
[α + (n − 1)β]w0 − γ 2
(4.17)
Note que esses são os mesmos polos do caso SMIB (cf. equação (3.11)), uma vez que
κ = α + (n − 1)β. Isso pode ser provado comparando (4.8) com (3.7):
ks =
E ′2 Xe
E ′ V cos δ0
+(n − 1)
Xe + Xg
nXg(Xe + Xg)
| {z }
|
{z
}
(4.18)
−km
KS
Essa comparação produz KS = ks + (n − 1)km , que sendo dividido por 2H resulta em:
κ = α + (n − 1)β
(4.19)
que era o objetivo da prova.
O modo intraplanta descreve o comportamento entre as n unidades em paralelo, sendo
um modo interno à usina, dado pelos n − 1 pares de autovalores idênticos:
pip = −γ ± j
√
(α − β)w0 − γ 2
(4.20)
4.4 CANAL DE PERTURBAÇÃO MULTIVARIÁVEL
No sistema SMIB, a resposta do canal de controle e do canal de perturbação são
representadas por funções de transferência (Hyu (s) e Hzw (s)) escalares, justamente por
serem sistemas SISO. Já no sistema MPIB, cada gerador possui seus canais de controle e
perturbação, de forma que as matrizes de transferência de malha fechada Hyu (s) e Hzw (s)
55
relacionam, respectivamente, os canais de controle e de perturbação dos n geradores, com
u = TM como vetor de referência, w = Td como entrada de perturbação, y = ω como a
saı́da controlada e z = Tp como a saı́da sintética.
As matrizes de transferência Hyu (s) e Hzw (s) podem ser determinadas a partir do
modelo em espaço de estados (4.11):
Hyu (s) = Cy (sI − A)−1 Bu + Dyu
(4.21)
Hzw (s) = Cz (sI − A)−1 Bw + Dzw
(4.22)
A estrutura de Hyu (s) e Hzw (s) é mostrada em (4.23) e (4.24), respectivamente:








ω1

R(s) Q(s) · · ·
Q(s)

T M1
 

  Q(s) R(s) · · · Q(s)   TM2
 

= .

.
.
.
  ..
..
..
..   ...
 

ωn
Q(s) Q(s) · · · R(s)
TMn
| {z } |
{z
} | {z
ω2
..
.
ω


 T p2

 .
 ..

T pn
| {z


P (s) T (s) · · ·
T (s)

 
  T (s) P (s) · · · T (s)
 
= .
..
..
..
  ..
.
.
.
 
T (s) T (s) · · · P (s)
} |
{z
Tp






(4.23)
}
TM
Hyu (s)
T p1

T d1

  T d2

 .
  ..

T dn
} | {z







(4.24)
}
Td
Hzw (s)
4.5 TRANSFORMAÇÃO MODAL DA MATRIZ DE TRANSFERÊNCIA
As matrizes de transferência Hyu (s) e Hzw (s) em (4.23) e (4.24) também possuem a
estrutura simétrica da matriz de estado (cf. eq. (4.12)), podendo ser diagonalizada pela
matriz P:





P=




1
1
1 −1
1
..
.
0
..
.
1
0
1
···
0
···
1


0 


−1 · · · 0 

.. 
..
. . 

0 · · · −1
(4.25)
56
As matrizes de transferência diagonalizadas H′yu (s) = P −1 Hyu (s)P e H′zw (s) =
P −1 Hzw (s)P são dadas por:

ag
Hyu
(s)
0

ip

0
Hyu (s)

H′yu (s) = 
..
..

.
.

0
0

ag
Hzw
(s)
0

ip

(s)
0
Hzw

′
Hzw (s) = 
..
..

.
.

0
0
···
0
···
..
.
0
..
.







(4.26)
ip
· · · Hyu
(s)
···
0
···
..
.
0
..
.







(4.27)
ip
· · · Hzw
(s)
onde
ag
Hyu
(s) = R(s)
ip
Hyu
(s) = R(s)
+ (n − 1)Q(s) =
s
2H
(4.28)
s2 + 2γs + [α + (n − 1)β]w0
s
2H
− Q(s) =
(4.29)
s2 + 2γs + (α − β)w0
s2 + [α + (n − 1)β]w0
ag
Hzw
(s) = P (s) + (n − 1)T (s) = 2
s + 2γs + [α + (n − 1)β]w0
2
s + (α − β)w0
ip
Hzw
(s) = P (s) − T (s) = 2
s + 2γs + (α − β)w0
(4.30)
(4.31)
As funções racionais (4.28)–(4.31) são funções de transferência modais: (4.28) e (4.30)
estão associadas ao modo gerador agregado; (4.29) e (4.31) estão associados ao modo
intraplanta.
A matriz de transferência de malha aberta (chave F da FIG. 4.2 aberta) diagonalizada,
G′ (s), descrevendo o canal de controle, pode ser calculada atribuindo γ = 0 (KD = 0) em
(4.28) e (4.29):




′
G (s) = 


S(s) + (n − 1)U (s)
0
..
.
···
0
S(s) − U (s) · · ·
..
..
.
.
0
..
.
0
0







(4.32)
· · · S(s) − U (s)
0
onde
Gag (s) = S(s) + (n − 1)U (s) =
Gip (s) = S(s) − U (s) =
s
2H
s2 + [α + (n − 1)β]w0
s
2H
s2 + (α − β)w0
57
(4.33)
(4.34)
As equações (4.30) e (4.31) mostram que os zeros MIMO de Hzw (s) são os polos de
G(s), que são as raı́zes das equações caracterı́sticas de (4.33) e (4.34), considerando as
multiplicidades associadas.
ag
ag
Deve-se notar que Hyu
(s), Gag (s) e Hzw
(s), em (4.28), (4.33) e (4.30), são escalares
e idênticas a Hyu (s), G(s) e Hzw (s) do sistema SMIB, dados em (3.9), (3.10) e (3.11),
respectivamente, cuja prova já foi apresentada em (4.18).
Portanto, a expressão para a FT do gerador agregado de uma usina n-geradores, já
citada em (4.30), pode ser generalizada:
ag
Hzw
(s) = P (s) + (n − 1)T (s)
(4.35)
Analogamente ao modo gerador agregado, a função de transferência modal associada
ao comportamento intraplanta é dada por:
ip
Hzw
(s) = P (s) − T (s)
(4.36)
Portanto, está provado que ambos os comportamentos dinâmicos de uma usina, de
gerador agregado e intraplanta, podem ser tratados como um problema SISO. Essa propriedade não está limitada apenas à matriz de transferência do canal de perturbação
Hzw (s), sendo válida para matrizes de transferência relacionando outro conjunto de variáveis, desde que seja preservada a simetria.
4.6 ANALOGIA COM IMPEDÂNCIAS DE SEQUÊNCIA
É apropriado traçar um paralelo com o cálculo de impedâncias de sequência de um
sistema trifásico equilibrado usando componentes simétricas.
Uma matriz de impedância Zbal , para tal circuito, tem exatamente a mesma simetria
estrutural da matriz Hzw (s), em (4.24), com impedâncias próprias Zs = P (s) nas 3 fases
e impedâncias mútuas
 

Zs
Va
 

 Vb  =  Zm
 

Zm
Vc
|
iguais Zm = T (s), entre cada par de fases (KIMBARK, 1948).


Zm Zm
Ia




(4.37)
Z s Zm 
  Ib 
Zm Zs
Ic
{z
}
Zbal
A equação relacionando as tensões e correntes trifásicas com a matriz Zbal pode ser
diagonalizada por uma transformação de similaridade baseada na conhecida matriz de
58
componentes simétricas (uma decomposição modal), chamada aqui de matriz T (4.38),
produzindo as equações independentes (4.40):


1
1
1

1

T = 
1
1∠120
1∠
−
120

3
1 1∠ − 120 1∠120
Z′bal = T −1 Zbal T

 
V0
Zs + 2Zm
0
0

 
 V1  = 
0
Zs − Zm
0

 
V2
0
0
Zs − Zm
|
{z
Z′bal
(4.38)


I0


  I1 


I2
}
(4.39)
(4.40)
onde os subscritos 0,1,2 indicam sequências zero, positiva and negativa, respectivamente.
Veriﬁca-se que as matrizes de transferência decompostas pela transformação modal em
(4.28)–(4.31), particularizadas para o caso de 3 UGs (n = 3), são análogas à decomposição
de uma carga trifásica equilibrada em componentes de sequência, onde a componente de
sequência 0 corresponde ao modo agregado, enquanto que as componentes de sequência
negativa e positiva correspondem ao modo intraplanta.
4.7 ABORDAGEM POR ZEROS MULTIVARIÁVEIS
De forma semelhante ao caso SISO (sistema SMIB), o conceito de zeros pode ser
extendido ao caso MIMO (sistema MPIB), onde um subconjunto de zeros multivariáveis
da matriz de transferência Hzw (s) corresponde aos polos deste sistema em malha aberta
(MARTINS, 2007), i.e., com todas as malhas de realimentação de velocidade desativadas
(FIG. 4.2 com chave F aberta). Neste caso, os zeros de transmissão contém informações
sobre como seria a resposta de uma usina multigeradores caso ela tivesse com todos os
seus PSSs desativados.
Essa extensão multivariável pode ser demonstrada a partir do cálculo dos zeros de
transmissão do sistema MPIB (4.11), conforme (LAUB, 1978), obtendo assim:
√
zag = ±j [α + (n − 1)β]w0
√
zip = ±j (α − β)w0
(4.41)
onde zag é o par de zeros de transmissão caracterı́stico do modo gerador agregado, enquanto que zip é o par de polos caracterı́stico do modo intraplanta, sendo que este último
tem multiplicidade n − 1.
59
Uma vez encontrados os zeros de transmissão de Hzw (s), pode ser calculada uma base
para o espaço nulo (N ) de Hzw (zi ) para cada zero zi a ﬁm de determinar as orientações
das entradas que causam estes zeros de transmissão (state zero input):
N (Hzw (zag )) = {
N (Hzw (zip )) = {
[1
[1
}
(4.42)
1
1
···
1]T
−1
0
···
0]T , [1
0
−1
···
0]T ,..., [1
0
0
···
−1]T
} (4.43)
É importante notar que todas as orientações de N (Hzw (zi ) coincidem com os autovetores canônicos que formam as colunas da matriz de transformação P, em (4.25).
4.7.1 MODO GERADOR AGREGADO
Adotando como direção de entrada N (Hzw (zag )), segue que T d1 = T d2 = ... = T dn ,
T d.

T p1


P (s) T (s) · · ·
T (s)


 T p2

 .
 ..

T pn
 
  T (s) P (s) · · · T (s)
 
= .
..
..
..
  ..
.
.
.
 
T (s) T (s) · · · P (s)


T p1

P (s) + (n − 1)T (s)
 T p2

 ..
 .
  P (s) + (n − 1)T (s)
 
=
..
 
.
T pn
P (s) + (n − 1)T (s)






Td
Td
..
.







(4.44)
Td

[
]

 Td

(4.45)
Veriﬁca-se que a expressão P (s) + (n − 1)T (s) da equação (4.45) é idêntica à equação
(4.35), mostrando que quando as entradas são coerentes o par de zeros de transmissão zag
é formado, caracterizando a resposta do modo agregado sem ação da realimentação KD
(malha aberta). Veriﬁca-se que para esta direção de entrada também ocorrem outros pares
de zeros, responsáveis por bloquear o modo de oscilação intraplanta, mostrado em (4.30).
Estes zeros são denominados IDZ (input decoupling zeros), pois esta direção da entrada
(N (Hzw (zag ))) cancela o efeito de outros modos caracterı́sticos do sistema (KAILATH,
1980; VIDYASAGAR, 1985; ZHOU, 1996). Isso pode ser provado alterando o vetor de
[
]
′
′
′
entrada Bw para Bw , fazendo Bw = Bw N (Hzw (zag )) e veriﬁcando que zag I − A Bw
perde posto (ver apêndice).
60
4.7.2 MODO INTRAPLANTA
Adotando agora como direção de entrada uma das direções de N (Hzw (zip )), por exemplo [1 −1 0 · · · 0]T , tem-se T d1 = −T d2 , T d e T d3 = ... = T dn = 0:

T p1
 T p2

 ..
 .


T p1
 T p2

 ..
 .
T (s)
···
T (s)
  T (s) P (s) · · · T (s)
 
 =  ..
..
..
..
  .
.
.
.
T (s)
T pn

P (s)


T (s)
P (s) − T (s)
···
 
  −(P (s) − T (s))
=
..
 
.
T pn

Td

  −T d 


  .. 
 . 
P (s)
(4.46)
0

[
]

 Td

(4.47)
0
Veriﬁca-se que a expressão P (s) − T (s) da equação (4.47) é idêntica à equação (4.36),
mostrando que quando a soma das entradas se anulam, o par de zeros de transmissão zip
é formado, caracterizando a resposta do modo intraplanta sem ação da realimentação KD
(malha aberta).
Neste caso, para direções N (Hzw (zip )) existem IDZs que bloqueiam o modo gerador
ip
agregado (4.31), de forma que Hzw
só possui o modo intraplanta. Isso pode ser provado
alterando o vetor de entrada Bw para Bw′′ , fazendo Bw′′ = Bw N (Hzw (zip )) e veriﬁcando
[
]
que zip I − A Bw′′ perde posto (ver apêndice 9.1).
61
5 PROPOSTA DE ENSAIO DE CAMPO
Uma breve descrição da prática corrente relacionada a ensaios de campo para comissionamento de PSS é apresentada na primeira parte deste capı́tulo, de forma a fornecer
uma melhor perspectiva da prática atual e da contribuição do novo método proposto neste
trabalho. Em seguida, é apresentada uma descrição do método proposto.
5.1 PRÁTICA ATUAL
Em testes convencionais, um sinal de perturbação é aplicado à referência do regulador
de tensão (VREF ) e a tensão no terminal (VT ) é monitorada para todas as unidades, tanto
para condição de malha aberta (PSS daquela unidade desabilitado) quanto de malha
fechada (PSS habilitado). Além de VT , o sinal de velocidade do rotor ω, para cada
unidade, é monitorado. Isso permite veriﬁcar se o ajuste de fase do PSS está adequado, o
que signiﬁca garantir que a curva de fase do diagrama de Bode da FTMF VT (s)/VREF (s) se
pareça com a fase da FTMF ω(s)/VREF (s) (LARSEN, 1981; KUNDUR, 2003; BERUBE,
2007).
FIG. 5.1: Diagrama de um ensaio de campo convencional.
62
No entanto, para uma usina multigeradores, a medida que o número de UGs aumenta,
o método convencional torna-se pouco efetivo, pois as variáveis medidas apresentam um
conteúdo modal intraplanta mais expressivo do que a informação do modo gerador agregado. Isto pode ser veriﬁcado com a ajuda da FIG. 5.2, onde ﬁca claro que a medida que
o número de unidades em paralelo n aumenta, a resposta em frequência de uma única
unidade geradora (P (s), -.-.-) tende para a resposta intraplanta (P (s) − T (s),
· · · ).
A FIG. 5.2 contém as respostas em frequência da FT VT1 (s)/VREF1 (s), relacionada
à unidade #1 para vários sistemas MPIB. As cinco diferentes usinas sendo comparadas
possuem: 1 unidade de 6000 MW, 2×3000 MW, 4×1500 MW, 10×600 MW e uma única
unidade de 600 MW conectada a uma barra inﬁnita pelo seu transformador elevador.
Na simulação destes sistemas foram utilizados modelos de 5a ordem de máquina sı́ncrona
com polos salientes, cujos parâmetros são idênticos aos das máquinas de Itaipu 60 Hz.
Os sistemas de controle associados aos geradores (AVR, regulador de velocidade e PSS)
eram de baixa ordem com ajustes tı́picos, uma vez que as simulações têm o propósito de
esclarecimento e generalização, não necessitando reproduzir exatamente a complexidade
dos controladores das UGs de Itaipu 60 Hz.
Portanto, ensaios de campo convencionais (SISO), quando aplicadas a usinas multigeradores, tendem a mostrar mais claramente o impacto do PSS no modo intraplanta do
que no modo gerador agregado, sendo que o ajuste do PSS visa melhorar prioritariamente
o amortecimento do modo mais crı́tico da usina no SEP, que geralmente é o modo local,
também denominado gerador agregado.
5.2 TESTE PROPOSTO
5.2.1 DIAGRAMA DO ENSAIO
O ensaio de campo proposto consiste em aplicar uma perturbação em alguma unidade
geradora de uma usina (sinal VP SSd1 ) e monitorar as respostas da mesma unidade (sinal
VP SS1 ) e de uma outra (sinal VP SS2 ), como mostrado na FIG. 5.3.
O teste proposto está direcionado à identiﬁcação de maneira independente do modo
gerador agregado (modo local) e do modo intraplanta, na presença e ausência dos PSSs
desta usina.
Os procedimentos para o teste são os listados abaixo:
a) Um sinal de perturbação (a entrada VP SSd1 ) é aplicado em uma determinada unidade
63
Módulo (dB)
0
−5
−10
0
0.5
1
1.5
Frequência (Hz)
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
Frequência (Hz)
2
2.5
3
Fase (graus)
0
−50
−100
FIG. 5.2: Gráﬁco de resposta em frequência de VT1 (s)/VREF1 (s) para um gerador agregado (-.-.-), para o gerador #1 de uma usina de n-unidades, com n = 2 ( ), n = 4 (—),
n = 10 (-.-.-) e para uma única unidade (1/10 do tamanho do gerador agregado) conectado
a uma barra inﬁnita (equivalente ao modo intraplanta) (· · · ).
geradora. Esse sinal pode ser um ruı́do branco, degrau, pulso, sequência de pulsos ou
senóides de várias frequências, etc. Para exempliﬁcar, supõe-se que o sinal utilizado
será um conjunto de senóides. Inicialmente aplica-se uma senóide de frequência
inicial.
b) Os sinais de saı́da VP SS1 , na unidade perturbada, e VP SS2 , na unidade vizinha,
são monitorados. É sugerido escolher uma unidade vizinha somente para reduzir o
comprimento dos cabos utilizados no ensaio de campo.
c) Os sinais de entrada e saı́da monitorados.
d) Uma nova senóide com frequência maior é aplicada, repentindo os itens a) à c) até
que toda a banda de frequencia de interesse tenha sido aplicada.
64
FIG. 5.3: Diagrama esquemático do ensaio de campo proposto.
e) Os sinais adquiridos são ﬁltrados, e as relações de módulo/fase entre os pares entrada/saı́da para cada frequência aplicada são determinadas a partir do uso da
implementação numérica da Transformada de Fourier, a DFT (Discrete Fourier
Transform).
f) Os dados do item e) são agrupados, orginando um gráﬁco de resposta em frequência
de P (s) e T (s).
ag
ip
g) As respostas em frequências desejadas Hzw
(s) e Hzw
(s) são calculadas pelo uso de
(4.35) e (4.36), cujos polos e zeros dominantes são então identiﬁcados por uma rotina
de Matlabr(fitmagfrd, do Control System Toolbox ), a qual identiﬁca uma função de
transferência contı́nua que mais se aproxima da resposta em frequência fornecida.
OBS Para que a metodologia produza resultados válidos, todas as UGs da usina devem
possuir os mesmos ajustes de controladores, carregamento e tensão terminal, de
forma que a premissa de simetria estrutural da planta não seja violada.
Mais uma vez, é importante salientar que informações da dinâmica de malha aberta
do sistema multivariável é obtida de medições realizadas no sistema em malha fechada.
65
5.2.2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Tendo em vista o conteúdo apresentado nos Capı́tulos 3 e 4, sugere-se um novo ensaio
de campo para obter a resposta em frequência do gerador agregado, sendo este equivalente
à soma ponderada de duas funções de transferência escalares que podem ser facilmente
medidas. Esse ensaio de campo envolve aplicar uma entrada de perturbação em um
[
]T
gerador (Td = T d1 0 · · · 0 ) e monitorar as saı́das do gerador perturbado, T p1 ,
e de um gerador vizinho, T p2 :
 

P (s) T (s)
T p1
 

 T p2   T (s) P (s)
 

 . = .
..
 ..   ..
.
 

T (s) T (s)
T pn

T p1

 T p2

 .
 ..

T pn


P (s)
 
  T (s)
 
= .
  ..
 
T (s)
···
···
..
.
···
T (s)

T d1



 0 


 . 
  .. 


0
P (s)
T (s)
..
.
(5.1)


[
]

 T d1


(5.2)
onde
T p1
= P (s)
T d1
(5.3)
T p2
T pn
=
= T (s)
T d1
T d1
(5.4)
Veriﬁca-se assim que este ensaio permite identiﬁcar as FTs P (s) e T (s), necessárias
para inferir os modos gerador agregado e intraplanta, conforme as equações (4.35) e (4.36).
66
6 RESULTADOS DO ENSAIO
Este capı́tulo descreve o ensaio de campo realizado nos geradores de Itaipu 60 Hz e
seus respectivos resultados, que é a aplicação prática da metodologia proposta e descrita
neste trabalho.
O teste de campo foi realizado utilizando como sinal de entrada uma sequência de
senóides com uma faixa de frequência especı́ﬁca. As medidas de resposta em frequência
foram realizadas sequencialmente, para valores discretos de frequência em intervalos de
0.1 Hz, dentro da faixa de 0.1 Hz a 3 Hz. A simulação de resposta em frequência, utilizando
o melhor modelo computacional disponı́vel das 8 unidades geradoras individualizadas e
do SIN, foi realizada para ﬁm de comparação.
6.1 TESTE DE CAMPO REALIZADO NA UHE ITAIPU 60 HZ
A metodologia descrita no Capı́tulo 4, para uma usina de múltiplos geradores com
modelos clássicos, é igualmente aplicável a uma usina mais complexa conectada a um
grande SEP. Assim, o ensaio de campo proposto na seção 5.2 foi aplicado na veriﬁcação
da efetivades dos PSSs da UHE de Itaipu 60Hz.
As respostas em frequência das unidades foram obtidas a partir da aplicação de uma
famı́lia de sinais senoidais, cada um com duração de 60 segundos e frequência constante.
A frequência, nesta famı́lia de sinais, abrangia a faixa de 0.1 Hz à 3 Hz, com um intervalo
de 0.1 Hz. A aquisição de dados foi realizada numa taxa de amostragem de 200 Hz.
O sinal de entrada de perturbação foi sempre aplicado na UG U 11 e os sinais de saı́da
medidas nas UGs U 11 e U 12.
Esses dados do teste foram então ﬁltrados por uma rotina de processamento de sinais,
que estima os valores médios de magnitude e fase de P (s) e T (s), para cada uma das
frequências aplicadas.
6.1.1 RUÍDO NOS SINAIS MEDIDOS
Uma vez que a relação sinal-ruı́do (signal-to-noise ratio – SNR) da medição de T (s) foi
pobre, um ﬁltro de correlação (FRANKLIN, 1998) foi utilizado. Tal ﬁltro é basicamente
67
dado por (6.1), onde x,y são dois sinais discretos quaisquer, x̄,ȳ são suas respectivas médias
e N é o numero de amostras:
N
∑
1
[y(k) − ȳ][x(k − τ ) − x̄]
Ry,x (τ ) =
2N + 1 k=−N
(6.1)
Quando y ̸= x, Ry,x denomina-se correlação cruzada. Para y = x, Rx,x é simpliﬁcado para
Rx , denominado autocorrelação.
Esse ﬁltro calcula a fase e magnitude dos pares de sinais correlacionados RVP SS1 ,VP SSd1 /
/RVP SSd1 e RVP SS2 ,VP SSd1 /RVP SSd1 , que mantém magnitude/fase dos respectivos pares de
sinais originais (VP SS1 /VP SSd1 e VP SS2 /VP SSd1 ), como demonstrado em (FRANKLIN,
1998). As FIGs. 6.1a à 6.1c mostram os sinais não-tratados de VP SSd1 , VP SS1 e VP SS2 ,
superpostos aos seus sinais ﬁltrados, para um único valor de frequência (0.5 Hz). A
FIG. 6.1d mostra os sinais não-tratado e ﬁltrado de VP SS2 , para uma frequência de 2 Hz,
onde o SNR parece estar muito mais favorável do que em 0.5 Hz.
6.1.2 DESCRIÇÃO DO SIN
O SIN, no momento do ensaio de campo em Itaipu 60 Hz (14 de setembro de 2008),
possuı́a as seguintes estatı́sticas: 100 GW de capacidade instalada, demanda máxima de
66 GW e 87000 km de linhas de transmissão acima de 220 kV. A base de dados do modelo
dinâmico do ano de 2008 possuı́a 3600 barras, 5000 linhas e 180 usinas modeladas com seus
sistemas de controle da excitação e reguladores de velocidade, sendo 80 delas equipadas
com PSSs. Praticamente todas as usinas foram representadas por um gerador agregado
com seus controles de excitação e velocidade, com poucas exceções. Outros equipamentos
relevantes conectados ao sistema de transmissão do SIN foram também modelados: 4
SVCs, 4 TCSCs equipados com controladores POD (Power Oscillation Damping) bem
como um grande elo HVDC de 6000 MW, sendo este alimentado por Itaipu 50 Hz, cuja
capacidade de geração chega a 7000 MW. A FIG. 6.2 mostra as dimensões continentais
do SIN.
A usina de Itaipu 60 Hz possui 10 unidades geradoras (UGs U 10 à U 18 e U 18A), cada
uma com 700 MW de capacidade e é representada, juntamente com seus controles associados, por 18 variáveis de estado. A geração máxima desta planta requer que 9 unidades
estejam operando a 700 MW, totalizando 6300 MW, que são entregues principalmente ao
subsistema Sudeste através de 3 linhas de 765kV com 900 km de extensão. Também há
68
a) VPSSd1(V)
2
0
−2
0
1
2
3
4
5
3
4
5
3
4
5
3
4
5
Tempo (s)
b) VPSS1(V)
2
0
−2
0
1
2
Tempo (s)
c) VPSS2(V)
1
0
−1
0
1
2
Tempo (s)
d) VPSS2(V)
1
0
−1
0
1
2
Tempo (s)
FIG. 6.1: a) VP SSd1 e RVP SSd1 . b) VP SS1 e RVP SS1 ,VP SSd1 . c) VP SS2 e 10 × RVP SS2 ,VP SSd1 ; A
curva (—) é o sinal não-tratado, enquanto ( ) é o sinal ﬁltrado; o sinal senoidal aplicado
é de 0.5 Hz. d) VP SS2 e RVP SS2 ,VP SSd1 para um sinal senoidal de 2 Hz.
uma interconexão com o subsistema Sul, que ocorre numa substação a 300 km de Itaipu
(Subestação de Ivaiporã – PR).
O modelo do SIN utilizado nas simulações contidas neste trabalho tem 3100 estados e
é estável para o ponto de operação escolhido, o qual acredita-se que reproduz adequadamente as condições do SIN no momento dos testes de campo.
O ensaio de campo foi realizado numa manhã de domingo, com o SIN operando em
condições de demanda reduzida (inferior a 45 GW), de forma a não submeter o sistema a
um risco desnecessário. Havia 8 unidades em operação, cada uma gerando aproximadamente 500 MW e com um fator de potência atrasado de 0.99. A FIG. 6.3 mostra de
maneira mais clara a conexão entre a usina de Itaipu e o SIN.
69
FIG. 6.2: Diagrama geográﬁco do SIN.
6.2 RESPOSTA DE CADA GERADOR
As FIGs. 6.4 e 6.5 comparam os gráﬁcos de resposta em frequência das funções de
transferência P (s) = VP SS1 (s)/VP SSd1 (s) (U 11) e T (s) = VP SS2 (s)/VP SSd1 (s) (U 12), obtidas do ensaio de campo e de simulações.
70
FIG. 6.3: Diagrama simpliﬁcado de Itaipu 60 Hz e 50 Hz e suas interligações com o SIN.
Os valores em preto indicam capacidade máxima de geração/transformação, enquanto que
os dados em vermelho indicam o carregamento aproximado durante o ensaio.
6.3 MODO GERADOR AGREGADO
Haviam 8 unidades em operação no momento do ensaio de campo e, portanto, a
ag
resposta do gerador agregado Hzw
(s) (4.35) pode ser obtida por uma combinação linear
dos dois sinais medidos, como mostrado abaixo:
ag
Hzw
(s) = P (s) + 7T (s) =
VP SS1 (s)
VP SS2 (s)
+7
VP SSd1 (s)
VP SSd1 (s)
(6.2)
A FIG. 6.6 mostra os gráﬁcos de resposta em frequência derivados do uso de (6.2),
tanto para os resultados da simulação quanto das medições do ensaio. Uma rotina (fitmagfrd ) da biblioteca Robust Control Toolbox produziu um ajuste de 2a ordem (também
mostrado na FIG. 6.6) para o gráﬁco derivado das medições de campo. Os pares de zeros
e polos produzidos por esse ajuste são mostrados na tabela TAB. 6.1. Como descrito
anteriormente, esse par de zeros corresponde ao par de polos do gerador agregado, que
existiria caso todos os PSSs fossem desabilitados.
71
Módulo (dB)
10
0
−10
−20
0
0.5
1
1.5
Frequência (Hz)
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
Frequência (Hz)
2
2.5
3
Fase (graus)
100
50
0
−50
FIG. 6.4: Gráﬁco de resposta em frequência de P (s) = VP SS1 (s)/VP SSd1 (s) obtidos de
simulações (—) e ensaio de campo (F).
TAB. 6.1: Desempenho da usina de Itaipu 60 Hz no SIN.
Fonte de resultados
ag
Zeros de Hzw
(s)
ag
Polos de Hzw
(s)
Simulações Dinâmicas
−0.14 ± j5.29
−2.05 ± j6.38
Computacionais
ωd = 0.84Hz
ωd = 1.02Hz
do modelo do SIN
ζ = 2.7%
ζ = 30.6%
Ajuste de Curva
−0.16 ± j5.44
−2.04 ± j6.14
das medições do
ωd = 0.87Hz
ωd = 0.98Hz
ensaio de campo
ζ = 2.9%
ζ = 31.5%
Note que o amortecimento é insuﬁciente quando calculado tanto das medidas do ensaio
de campo (2.9%) quanto das simulações computacionais (2.7%). Esses resultados claramente indicam que os PSSs existentes contribuem decisivamente para o amortecimento
das oscilações do gerador agregado, cuja frequência é de 0.87 Hz (das medidas do ensaio)
ou 0.84 Hz (pelas simulações). Uma inspeção visual do gráﬁco de resposta em frequência
72
Módulo (dB)
0
−20
−40
−60
0
0.5
1
1.5
Frequência (Hz)
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
Frequência (Hz)
2
2.5
3
Fase (graus)
200
100
0
−100
−200
FIG. 6.5: Gráﬁco de resposta em frequência de T (s) = VP SS2 (s)/VP SSd1 (s) obtidos de
simulações (—) e ensaio de campo (F).
(GRUND, 1990), na FIG. 6.6, indicam a presença de um par de zeros pouco amortecidos
em cerca de 0.85 Hz, seguido de um par de polos mais amortecido em 1.0 Hz, semelhante
ao sistema exemplo II abordado na seção 3.4.
6.4 MODO INTRAPLANTA
ip
A resposta do modo intraplanta Hzw
(s) (4.36) pode ser obtida por uma combinação
linear dos dois sinais medidos, como mostrado abaixo:
ip
Hzw
(s) = P (s) − T (s) =
VP SS2 (s)
VP SS1 (s)
−
VP SSd1 (s) VP SSd1 (s)
(6.3)
A FIG. 6.7 mostra os gráﬁcos de resposta em frequência, derivados do uso de (6.3),
tanto para os resultados da simulação quanto das medições do ensaio. O uso da rotina
de ajuste de curvas, já utilizada no modo gerador agregado, produziu um ajuste de 3a
73
Módulo (dB)
10
0
−10
−20
−30
0
0.5
1
1.5
Frequência (Hz)
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
Frequência (Hz)
2
2.5
3
Fase (graus)
100
50
0
−50
ag
FIG. 6.6: Gráﬁco de resposta em frequência de Hzw
(s) obtido de simulações (—), ensaio
a
de campo (F) e um ajuste de curvas de 2 ordem (-.-.-).
ordem (também mostrado na FIG. 6.7) para o gráﬁco derivado das medições de campo.
Os pares de zeros e polos produzidos por esse ajuste são mostrados na tabela TAB. 6.2.
Como descrito anteriormente, esse par de zeros corresponde ao par de polos do modo
intraplanta, que existiria se todos os PSSs fossem desabilitados.
TAB. 6.2: Desempenho do modo intraplanta da usina de Itaipu 60 Hz.
Fonte de resultados
ip
Zeros de Hzw
(s)
ip
Polos de Hzw
(s)
Simulações dinãmicas
−1.07 ± j7.89
−2.34 ± j11.44
Computacionais
ωd = 1.25Hz
ωd = 1.82Hz
do modelo do SIN
ζ = 13.1%
ζ = 20.1%
Ajuste de curva
−0.65 ± j8.32
−2.12 ± j12.19
das medições do
ωd = 1.35Hz
ωd = 1.94Hz
Ensaio de campo
ζ = 7.8%
ζ = 17.1%
74
Módulo (dB)
10
0
−10
−20
0
0.5
1
1.5
Frequência (Hz)
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
Frequência (Hz)
2
2.5
3
Fase (graus)
100
50
0
−50
ip
FIG. 6.7: Gráﬁco de resposta em frequência de Hzw
(s) obtido de simulações (—), ensaio
a
de campo (F) e um ajuste de curvas de 3 ordem (-.-.-). Foi incluı́do também o gráﬁco
de resposta em frequência de P (s) obtido via ensaio de campo (|.|.|.| ), contido na FIG. 6.4.
ag
A semelhança entre os gráﬁcos de P (s) e Hzw
, também incluı́dos na FIG. 6.7, comprova
o que foi abordado na seção 5.1 (FIG. 5.2), a qual aﬁrma que quando as medições são
conﬁnadas a uma única unidade de uma usina multigeradores, o conteúdo modal desses
sinais será predominantemente de natureza intraplanta.
Uma vez que os métodos de ajuste de PSSs atuais não são adaptados ao ambiente
multigeradores, os controladores são ajustados mais para o modo intraplanta do que para
o modo gerador agregado. Torna-se então evidente uma das vantagens que a metodologia
proposta neste trabalho oferece, de ser capaz de identiﬁcar os dois modos separadamente,
facilitando a avaliação e, se necessário, a modiﬁcação do ajuste de um PSS.
75
6.5 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
O amortecimento e a frequência dos polos dominantes de malha fechada (com PSS),
tanto do modo agregado quanto do modo intraplanta, são consideravelmente maiores que
seus respectivos polos de malha aberta (sem PSS). Isso se deve às grandes sensibilidades
ag
ip
dos polos sem PSS (zeros de Hzw
(s) e Hzw
(s)) à adição simultânea de PSSs com ganhos
incrementais em todas as unidades geradoras de Itaipu 60 Hz. A sensibilidade de um polo
foi deﬁnida, neste caso como:
−
→
s =
λI − λ0
∆KP SS →0 ∆KP SS
(6.4)
lim
onde λ0 é polo sem PSS, λI é o polo com o PSS de ganho inﬁnitesimal e ∆KP SS consiste
no inﬁnitésimo de ganho adicionado ao PSS.
FIG. 6.8: Resultados simulados para polos de malha aberta (sem PSS) (⃝), suas sensibilidades à adição de PSSs com ganhos incrementais (→) e polos de malha fechada (com
PSS) associados (×).
→
→
Essas sensibilidades lineares são −
s ag = 1.09∠154o e −
s ip = 1.74∠121o para os polos
agregados e intraplanta, respectivamente, apontando um alto (e positivo) impacto dos
PSSs nesses dois pares de polos (cf. FIG. 6.8). Além disso, as magnitudes e ângulos
dessas sensibilidades justiﬁcam claramente porque os polos de malha fechada intraplanta
sofrem um grande aumento na sua parte imaginária (frequência) quando comparado aos
76
polos do modo agregado, enquanto que estes últimos têm um aumento maior na sua parte
real negativa (amortecimento).
6.6 ANÁLISE DE ROBUSTEZ A ASSIMETRIAS
Nota-se que existem algumas discrepâncias entre os dados simulados e medidos, os
quais poderiam ser atribuı́dos à ordem inadequada dos modelos utilizados na simulação,
ruı́dos de medição, simetria inexata da usina com múltiplos geradores e impossibilidade
de garantir estacionariedade durante o longo perı́odo de teste (90 minutos neste caso).
Uma vez que a inﬂuência de cada um desses fatores na qualidade dos resultados são de
difı́cil determinação, foi investigado, ainda que qualitativamente, o efeito que a violação
da hipótese de simetria tem na efetividade do método.
Foi realizado um conjunto de simulações com o intuito de avaliar a robustez do método
a assimetrias na planta. A robustez do ensaio de campo proposto foi investigada para
assimetrias localizadas em unidades que não estão sob teste (referidas como unidades
“externas” bem como para assimetrias na unidade sob teste que está sendo excitada pelo
sinal de perturbação (referida como unidade “interna”).
6.6.1 ASSIMETRIA LOCALIZADA EM UNIDADES EXTERNAS
A análise deste tipo de assimetria é de particular interesse, considerando que a unidade
geradora U 18A de Itaipu 60 Hz tem AVR e PSS de estruturas diferentes das outras
unidades. Esse estudo utilizou o ﬂuxo de carga e dados dinâmicos usados para produzir
os resultados das seções anteriores, introduzindo uma pequena modiﬁcação: a) os ganhos
do AVR e PSS de uma unidade externa foram aumentados em 50%; b) o despacho da
mesma unidade externa foi reduzido em 20% e compensado pelo aumento na geração das
outras 7 unidades, incluindo a unidade interna.
As respostas em frequência simuladas para os casos base e com assimetria externa são
comparadas na FIG. 6.9, mostrando que os erros introduzidos são irrelevantes e que o
novo teste é, portanto, robusto a consideráveis nı́veis de assimetria externa (localizada em
1 das 8 unidades geradoras).
6.6.2 ASSIMETRIA LOCALIZADA NA UNIDADE INTERNA
O ﬂuxo de potência do SIN foi modiﬁcado, com o nı́vel de geração de Itaipu 60 Hz
aumentado para 5000 MW, mantendo as demais condições operativas do caso utilizado
77
5
Módulo (dB)
0
−5
−10
−15
−20
−25
0
0.5
1
1.5
Frequencia (Hz)
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
Frequencia (Hz)
2
2.5
3
Fase (graus)
100
50
0
−50
ag
FIG. 6.9: Gráﬁco de resposta em frequência de Hzw
(s) obtido de simulações usando
modelo simétrico (—) e modelo com assimetria na unidade externa (-.-.-).
nas simulações do ensaio.
Simulações do sistema nesta condição mostram oscilações instáveis na ausência do
PSS de Itaipu 60 Hz. Essa instabilidade é corretamente identiﬁcada nas respostas em
frequência da FIG. 6.10 (linha espessa), que aponta para a presença de um par de zeros
a direita do plano complexo. Esta condição é similar ao sistema exemplo I, da seção 3.4,
cuja resposta em frequência tem a mesma forma da FIG. 3.6a-b.
A assimetria introduzida na usina de Itaipu está localizada na unidade à qual o sinal
de perturbação é aplicado (unidade interna), que foi ajustada para um carregamento 20%
menor que a das 7 unidades restantes. Esta é uma condição plausı́vel já que a operação do
sistema elétrico seguiria a prática usual de reduzir o carregamento da unidade sob teste,
de forma a minimizar o impacto de um possı́vel desligamento da unidade por problemas
no ensaio.
Nota-se que um valor de carregamento 20% menor para a máquina perturbada (linha
ﬁna da FIG. 6.10) fez o par de zeros instáveis se aproximar do eixo imaginário. Para
esta condição de estudo, uma redução maior que 20% no seu carregamento levaria à falsa
78
Módulo (dB)
0
−10
−20
−30
−40
0.6
0.7
0.8
0.9
Frequencia (Hz)
1
1.1
1.2
0.7
0.8
0.9
Frequencia (Hz)
1
1.1
1.2
Fase (graus)
0
−100
−200
−300
0.6
ag
FIG. 6.10: Gráﬁco de resposta em frequência de Hzw
(s) obtido de simulações usando
carregamento simétrico instável ( ) e para unidade perturbada com um carregamento
20% menor (—).
estimação de uma estabilidade em malha aberta (a resposta em frequência deixaria de
ser similar a do sistema exemplo I e se tornaria semelhante ao sistema II da FIG. 3.6),
enquanto que o modo gerador agregado em malha aberta continua efetivamente instável.
Estes resultados indicam que o novo teste é também robusto a assimetrias localizadas
em unidade interna, tendo em vista que uma diferença de 20% no carregamento está muito
superior aos pequenos desvios de simetria encontrados na operação real de uma grande
usina.
79
7 CONCLUSÃO
A metodologia descrita, as simulações computacionais e os resultados do teste de
campo permitiram obter valiosa informação sobre o controle do amortecimento das oscilações da usina de Itaipu 60 Hz. O novo teste de campo provou ser de fácil implementação
e de baixo risco para o sistema elétrico, o qual conﬁrmou a efetividade do ajuste corrente
do PSS de Itaipu 60 Hz no amortecimento dos modos de oscilação agregado e intraplanta.
A decomposição modal da matriz de transferência utilizada nesse trabalho é análoga
àquela utilizada na decomposição em impedâncias de sequência de um circuito trifásico
balanceado (KIMBARK, 1948), como descrito na seção 4.6. Essa abordagem proporciona
uma análise mais clara e simples do que a abordagem alternativa de zeros multivariáveis
utilizada em (MARTINS, 2007) e detalhada na seção 4.7 e Apêndice 9.1.
As discrepâncias veriﬁcadas entre as respostas em frequência dos resultados simulados
e do ensaio de campo são aceitáveis considerando que esse é um novo teste e que existem
possı́veis fontes de erros.
Uma análise de sensibilidade, baseada em simulações, foi realizada para veriﬁcar se
o novo teste de campo é robusto a possı́veis violações na simetria da usina, que é uma
das premissas básicas do método. Os resultados conﬁrmaram que o novo teste de campo
é resistente a desbalanços de carregamento e de parâmetros que existem na prática e,
portanto, pode ser recomendado para aplicações práticas mais abrangentes.
É importante salientar que esse novo teste de campo identiﬁca os polos sem PSS (tanto
intraplanta quanto agregado) com uma maior precisão que os polos com PSS. Essa é uma
consequência direta do uso de ajuste de curvas ou outro método de estimação, que tem
a inerente caracterı́stica de determinar mais precisamente oscilações pouco amortecidas,
por estas causarem picos mais acentuados no módulo das respostas em frequência.
Adicionar uma nova junção de soma à saı́da de um PSS digital é uma tarefa trivial
em PSSs modernos, micro-processados e equipados com “touch screens” e recursos “dragand-drop” na construção de diagrama de blocos de controle. A disponibilização de tais
modernos PSSs no mercado ajuda a tornar o teste proposto em mais um teste padrão
para sistemas de excitação de usinas.
Uma grande contribuição da metodologia proposta neste trabalho é a identiﬁcação e
80
separação das respostas dos modos agregado e intraplanta, uma importante questão que
é frequentemente negligenciada em métodos de ajustes de PSS atuais.
81
8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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84
9 APÊNDICES
85
9.1 APÊNDICE 1: ZEROS MULTIVARIÁVEIS
Nesta seção encontra-se uma revisão bibliográﬁca sobre conceito de zeros multivariáveis.
Existem muitas diferentes abordagens para a deﬁnição de zeros de sistemas multivariáveis (veja (SCHRADER, 1989) para uma extensa revisão). De maneira geral, há uma
distinção entre zeros de transmissão e zeros invariantes.
Dado o seguinte sistema em espaço de estados e a respectiva matriz de transferência:
{
ẋ = Ax + Bu
(9.1)
y = CT x + Du
H(s) = CT (sI − A)−1 B + D
(9.2)
Deﬁnição 9.1. Um número z0 ∈ C é chamado zero de transmissão se ele satisfaz
posto(H(z0 )) < postonormal(H(s)),
onde postonormal(H(s)) é o maior posto possı́vel da matriz de transferência H(s) para ao
menos algum s ∈ C, como a definição comum de posto normal de uma função matricial
racional genérica (possivelmente polinomial ou imprópria)(veja (ZHOU, 1996)).
Note que com essa deﬁnição não é suﬁciente ter uma entrada de H(z0 ) igual a zero,
e não necessariamente ter H(z0 ) = 0. No caso SISO, entretanto, z0 ∈ C é chamado um
zero de transmissão de se H(z0 ) = CT (z0 I − A)−1 B + D = 0.
Com Σ(s) denotando a matriz de Rosenbrock (ROSENBROCK, 1970):
[
Σ(s) =
sI − A B
−CT
]
.
(9.3)
D
Os zeros de transmissão são um subconjunto dos zeros invariantes de um sistema, que são
deﬁnidos da seguinte forma:
Deﬁnição 9.2.Um número z0 ∈ C é chamado um zero invariante se ele satisfaz
posto(Σ(z0 )) < postonormal(Σ(s)).
(9.4)
86
O conjunto de zeros de transmissão e invariantes, deﬁnidos em termos das frequências
com o qual a matriz de transferência H(s) e a matriz do sistema Σ(s) perdem o posto,
(Deﬁnições 9.1 e 9.2), não incluem informações quanto à multiplicidade. A multiplicidade
dos zeros pode ser determinada utilizando a deﬁnição via forma de Smith-McMillan ou via
um deﬁnição equivalente em termos dos menores de H(s) ou Σ(s) (veja (VIDYASAGAR,
1985)). Similarmente ao cálculo de polos dominantes repetidos, a multiplicidade dos
zeros de transmissão dominantes pode também ser determinada utilizando os algoritmos
SADPA (SAMDP) aplicados a H−1 (s) (MARTINS, 2007), contanto que a matriz de estado
do sistema inverso não seja defectiva.
Se o sistema (4.11) é mı́nimo, o conjunto de zeros de transmissão, deﬁnido via H(s), e o
conjunto de zeros invariantes, deﬁnido via Σ(s), são coincidentes. Por outro lado, quando
o sistema não é controlável ou observável, isso não é mais válido. Os valores de frequência
complexa as quais pertencem ao conjunto de zeros invariantes mas não pertencem ao
conjunto dos zeros de transmissão, pertencem a um conjunto conhecido como zeros de
desacoplamento. Zeros de desacoplamento de entrada e saı́da são deﬁnidos via forma de
Smith
[
[(sI − A)
− B]
e
sI − A
]
,
(9.5)
C
respectivamente, e estão associados com as frequências complexas para as quais essas
matrizes perdem o posto. A situação onde alguns zeros invariantes são também zeros
de desacoplamento de saı́da (entrada) está obviamente associada ao fato que alguns dos
modos do sistema, nas mesmas frequências complexas, são então não-observáveis (nãocontroláveis). Pode também ocorrer a existência de frequências complexas tais que ambas
matrizes em (9.5) perdem posto. Os valores de frequência correspondentes são então
chamados de zeros de desacoplamento de entrada-saı́da do sistema e estão relacionados à
existência simultânea de modos não-controláveis e não-observáveis.
87
9.2 APÊNDICE 2: SISTEMA EXEMPLO
Este capı́tulo visa esclarecer a metodologia apresentada neste trabalho, através da
sua aplicação em um sistema de potência simples, com parâmetros simbólicos. O sistema
exemplo utilizado é uma particularização daquele apresentado no Capı́tulo 4, para somente
3 geradores, de modo a facilitar a compreensão dos principais conceitos.
9.2.1 MODELAGEM
A FIG. 9.1 representa uma usina múltimáquina conectada a uma barra inﬁnita através
de uma linha the transmissão radial. A usina do sistema 3-generator Power Plant Infinite
Bus (3PIB) possui 3 unidades geradoras igualmente carregadas, representadas por modelo
clássico de máquina sı́ncrona com parâmetros idênticos.
FIG. 9.1: Usina 3-unidades conectada a uma barra inﬁnita através de uma impedância
(3PIB).
A partir do equacionamento do circuito elétrico do sistema de 3 máquinas (FIG. 9.2),
a expressão para potência ativa de cada gerador pode ser determinada (ver equação (4.5)):
P gi = TSi
(
)
3
Ei′
Xe ∑ ′
=
V sin δi +
Ek sin(δi − δk )
Xe + Xg
3Xg
(9.6)
k=1
k ̸= i
Assumindo uma operação equilibrada (E1′ = E2′ = E3′ = E ′ e δ1 = δ2 = δ3 = δ0 ), a
88
FIG. 9.2: Circuito elétrico do sistema 3PIB.
linearização

TS
 1
 TS
 2
TS3
do sistema para um ponto de operação produz:


  dT
dTS1
dTS1
S1
∆δ
1
dδ1
dδ2
dδ3
  dT


 =  S2 dTS2 dTS2   ∆δ2 

  dδ1
dδ2
dδ3  
dTS3
dTS2
dTS3
∆δ3
dδ1
dδ3
dδ3
|
{z
}
(9.7)
KS
A equação linear matricial em (9.7) deﬁne a matriz de torque sincronizante KS , conforme (4.7) e (4.8):


ks km km



KS = 
k
k
k
m
s
m


km km ks
(9.8)
onde
E ′ V cos δ0
E ′2 Xe
+2
Xe + Xg
3Xg(Xe + Xg)
′2
E Xe
km = −
3Xg(Xe + Xg)
ks =
(9.9)
A dinâmica eletromecânica deste sistema de 3 unidades clássicas pode ser visualizado
através do diagrama de blocos da FIG. 9.3. As constantes de amortecimento mecânico,
KD , são considerados como controles por realimentação a serem “virtualmente” desabilitados. O objetivo aqui é avaliar o impacto da eliminação simultânea dos torques de
amortecimento mecânico em todas as n unidades geradoras em paralelo a partir de conceitos apresentados em (MARTINS, 2007). Por brevidade, a notação ∆ será omitida nas
equações e ﬁguras deste apêndice.
89
FIG. 9.3: Diagrama de blocos de uma usina 3-geradores, destacando entradas e saı́das
dos canais de perturbação.
90
9.2.2 MODELO EM ESPAÇO DE ESTADOS
O modelo representado pela FIG. 9.3 pode ser descrito por um sistema de equações
diferenciais (9.10) que, juntamente com as deﬁnições de (9.11), origina o modelo em espaço
de estados do sistema MPIB, conforme equação (9.12) (ver equações (4.9) a (4.11)):


2H ω̇1 + KD ω1 + ks δ1 + km δ2 + km δ3 = TM1 − T d1





 δ̇1 = ω0 ω1



 2H ω̇ + K ω + k δ + k δ + k δ = T − T d
2
D 2
m 1
s 2
m 3
M2
2
(9.10)

δ̇2 = ω0 ω2






2H ω̇3 + KD ω3 + km δ1 + km δ2 + ks δ3 = TM3 − T d3




δ̇3 = ω0 ω3
km
, 2γ ,
2H
[
ẋ = Ax + Bu Bw
{z
|
ks
,
2H
α,
β,
KD
2H
[
] T
}
(9.11)
]
M
Td
B
[
]
ω
[
=
Tp
[
]
CTy CTz x +
{z
}
|
CT
|
][
Dyu Dyw
Dzu Dzw
{z
}
TM
]
Td
D
onde

−2γ −α

 w0


 0
A =

 0

 0

0
0
−β
0
0
0
0


0 


−β −2γ −α
0
−β 


0
w0
0
0
0 

−β
0
−β −2γ −α 

0
0
0
w0
0
0

[
B=
−β
Bu Bw




]
1 

=
2H 




1 0 0 −1
0 0 0
0
0 1 0
0
0 0 0
0
0 0 1
0
0 0 0
0
91
0
0


0 


−1 0 


0
0 

0 −1 

0
0
0
(9.12)

[
T
C =
[
D=
CTy



] 

CTz = 





Dyu Dyw
Dzu Dzw
1 0 0 KD
0
0 0 0
0
0
0 1 0
0
KD
0 0 0
0
0
0 0 1
0
0
0
0
0

0

 0
] 

 0
=

 0

 0

0
0 0
0 0 0 0 0
0


0 


0 


0 

KD 

0


0 0 0 0 0 


0 0 0 0 0 


0 0 1 0 0 

0 0 0 1 0 

0 0 0 0 1
com






x=





ω1


TM1


ω1






 ω2 
 TM2 
δ1 



 [

] 
] 
 [


 ω3 
 TM3 
ω2 
ω
T
M
,

,
=
=





δ2 
Tp
Td
 T p1 
 T d1 





 Tp 
 Td 
ω3 
2 
2 



T d3
T p3
δ3
9.2.3 TRANSFORMAÇÃO DE SIMILARIDADE MODAL
A matriz de estados acima possui uma estrutura especial já abordada na seção 4.3,
como mostrado

a

A=
 b
b
em (9.13)-(9.14):

b b

a b 

b a
(9.13)
onde
[
a=
−2γ −α
w0
0
]
[
e b=
0 −β
0
]
(9.14)
0
Aplicando a transformação de similaridade P à matriz de estado A, que é bloco-
92
simétrica (2 × 2),

I
 2×2
P=
 I2×2
I2×2
sua forma bloco-diagonal é obtida:

I2×2
I2×2

02×2 −I2×2 

−I2×2 02×2





−1
A = P AP = 






A=

−2γ
−(α + 2β)
w0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
a + 2b
0
0
0
a−b
0
0
0
a−b
(9.15)

0
0
0
0
0
0
0
0




−2γ −(α − β)
0
0


w0
0
0
0


0
0
−2γ −(α − β) 
0
0
w0
(9.16)
0




(9.17)
A matriz bloco-diagonal em (9.16) tem seus autovalores isolados nos seus blocos diagonais 2×2. O primeiro bloco corresponde ao modo da usina contra a barra inﬁnita,
enquanto os outros 2 blocos, que são idênticos, correspondem aos modos intraplanta, de
multiplicidade 2. O modo gerador equivalente determina o comportamento coerente das
3 unidades em paralelo, agindo como um único gerador equivalente, que é 3 vezes maior
que as unidades individuais, e é dado pelo par de autovalores:
p1,2 = −γ ± j
√
(α + 2β)w0 − γ 2
(9.18)
que são os mesmos polos do caso SMIB (cf. equação (3.11)), uma vez que α + 2β = κ (cf.
equação (4.19)). O modo intraplanta descreve o comportamento entre as 3 unidades em
paralelo, interno à usina, e são dados pelos 2 pares de autovalores idênticos:
p3,4 = p5,6 = −γ ± j
√
(α − β)w0 − γ 2
(9.19)
9.2.4 TRANSFORMAÇÃO DE SIMILIARIDADE EM FREQUÊNCIA
As matrizes de transferência dos canais multivariáveis de controle (Hyu (s)) e de perturbação (Hzw (s)) são de dimensão 3×3:
Hyu (s) = Cy (sI − A)−1 Bu + Dyu
(9.20)
Hzw (s) = Cz (sI − A)−1 Bw + Dzw
(9.21)
93


ω1

R(s) Q(s) Q(s)


TM1

 

 ω2  =  Q(s) R(s) Q(s)   TM
2

 

ω3
Q(s) Q(s) R(s)
TM3
| {z } |
{z
} | {z
ω

T p1

 T p2

T p3
| {z


Hyu (s)
P (s) T (s) T (s)




}
TM
T d1

 
 =  T (s) P (s) T (s)   T d2
 

T (s) T (s) P (s)
T d3
} |
{z
} | {z
Tp
(9.22)




(9.23)
}
Td
Hzw (s)
onde:
s
[s2
2H
+ 2γs + (α + β)ω0 ]
[s2 + 2γs + (α + 2β)w0 ][s2 + 2γs + (α − β)w0 ]
0
− βw
s
2H
Q(s) = 2
[s + 2γs + (α + 2β)w0 ][s2 + 2γs + (α − β)w0 ]
s4 + 2γs3 + (2α + β)w0 s2 + 2γαw0 s + (α2 + αβ − 2β 2 )w02
P (s) =
[s2 + 2γs + (α + 2β)w0 ][s2 + 2γs + (α − β)w0 ]
2γβw0 s
T (s) = 2
[s + 2γs + (α + 2β)w0 ][s2 + 2γs + (α − β)w0 ]
R(s) =
(9.24)
(9.25)
(9.26)
(9.27)
Uma vez que as matrizes de transferência Hyu (s) e Hzw (s) possuem uma simetria
especial (já abordada na seção 4.5), elas podem ser diagonalizadas através da matriz de
transformação P, originando as matrizes de transferência modais H′yu (s) e H′zw (s):

1
1
1




P=
1
−1
0


1 0 −1
(9.28)


H′yu (s) = P −1 Hyu (s)P = 


H′zw (s)
=P
−1

Hzw (s)P = 

ag
Hyu
(s)
0
0
0
ip
Hyu
(s)
0
0
0
ip
(s)
Hyu




ag
(s)
Hzw
0
0
0
ip
(s)
Hzw
0
0
0
ip
(s)
Hzw
94
(9.29)




(9.30)
onde
ag
Hyu
(s) = R(s) + 2Q(s) =
s
2H
(9.31)
s2 + 2γs + (α + 2β)w0
s
2H
ip
Hyu
(s) = R(s) − Q(s) =
(9.32)
s2 + 2γs + (α − β)w0
s2 + (α + 2β)w0
ag
Hzw
(s) = P (s) + 2T (s) = 2
s + 2γs + (α + 2β)w0
s2 + (α − β)w0
ip
(s) = P (s) − T (s) = 2
Hzw
s + 2γs + (α − β)w0
(9.33)
(9.34)
A matriz de transferência de malha aberta (chaves F1 , F2 e F3 da FIG. 9.3 abertas)
diagonalizada G′ (s), descrevendo o canal de controle, pode ser calculada fazendo γ = 0
(KD = 0) em (9.31) e (9.32):

S(s) + 2U (s)
0
0

G′ (s) = 
0
S(s) − U (s)
0

0
0
S(s) − U (s)




(9.35)
onde
ag
G (s) = S(s) + 2U (s) =
G (s) = S(s) − U (s) =
ip
s
2H
s2 + (α + 2β)w0
s
2H
s2 + (α − β)w0
(9.36)
(9.37)
As equações (9.33) e (9.34) mostram que os zeros MIMO de Hzw (s) são os polos de
G(s), que são dados pela equações caracterı́sticas de (9.36) e (9.37), considerando as
multiplicidades associadas.
ag
ag
Deve-se notar que Hyu
(s), Gag (s) e Hzw
(s), em (9.31), (9.36) e (9.33), são escalares
e idênticas a Hyu (s), G(s) e Hzw (s) do sistema SMIB, dados em (3.9), (3.10) e (3.11),
respectivamente, cuja prova já foi apresentada em (4.18).
A expressão para o modo gerador agregado de uma usina 3-geradores é:
ag
Hzw
(s) = P (s) + 2T (s)
(9.38)
Analogamente ao modo gerador agregado, a função de transferência modal associada
ao comportamento intraplanta é dada por:
ip
Hzw
(s) = P (s) − T (s)
(9.39)
Portanto, está provado que ambos os comportamentos dinâmicos de gerador agregado
e intraplanta podem ser tratados como um problema SISO.
95
9.2.5 APLICAÇÃO DOS ZEROS MULTIVARIÁVEIS
Calculando os zeros de transmissão de Hzw (s) conforme (LAUB, 1978) obtém-se:
z1,2 = ±j
z3,4 = ±j
z5,6 = ±j
√
√
√
(α + 2β)w0
(α − β)w0
(9.40)
(α − β)w0
Uma vez encontrados os zeros de transmissão de Hzw (s), pode ser calculado o espaço
nulo (N ) de Hzw (zi ) para cada zero zi a ﬁm de determinar as orientações das entradas
que causam estes zeros:
N (Hzw (z1,2 )) = {
[1
1
1]T
}
N (Hzw (z3,4,5,6 )) = {
[1
−1
0]T , [1
(9.41)
0
−1]T
}
(9.42)
É importante notar que todas as orientações de N (Hzw (zi ) coincidem com os autovetores que formam as colunas da matriz de transformação P.
9.2.5.1 MODO GERADOR AGREGADO
Adotando como

 
T p1

 
 T p2  = 

 
T p3

T p1


direção de entrada N (Hzw (z1,2 )), segue que T d1 , T d2 , T d3 , T d.


P (s) T (s) T (s)
Td


 Td 
(9.43)
T (s) P (s) T (s) 


T (s) T (s) P (s)
Td
P (s) + 2T (s)

]

 
[
 T p2  =  P (s) + 2T (s)  T d

 

T p3
P (s) + 2T (s)
(9.44)
Veriﬁca-se que a expressão P (s) + 2T (s) da equação (9.44) é idêntica a equação (9.38),
mostrando que quando as entradas são coerentes o par de zeros de transmissão z1,2 é manifestado, o que caracteriza a resposta do modo local sem ação da realimentação KD (malha
aberta). Veriﬁca-se também que a direção N (Hzw (z1,2 )) produz zeros IDZs, responsáveis
por bloquear o modo intraplanta, conforme explicitado na TAB. 9.1.
96
TAB. 9.1: polos e zeros relativos a direção do modo agregado.
Zeros de Transmissão
√
z1,2 = ±j (α + 2β)w0
Zeros de desacoplamento
√
(α − β)w0 − γ 2
√
−γ ± j (α − β)w0 − γ 2
−γ ± j
polos
√
p1,2 = −γ ± j (α + 2β)w0 − γ 2
√
p3,4 = −γ ± j (α − β)w0 − γ 2
√
p5,6 = −γ ± j (α − β)w0 − γ 2
9.2.5.2 MODO INTRAPLANTA
Similarmente ao procedimento anterior, será agora adotado como direção de entrada
uma das direções de N (Hzw (z3,4,5,6 )). Escolhendo a direção [1 −1 0]T ,temos T d1 =
−T d2 , T d e T d3 = 0.

 
T p1
P (s) T (s) T (s)

 
 T p2  =  T (s) P (s) T (s)

 
T p3
T (s) T (s) P (s)

T p1


P (s) − T (s)

Td



  −T d 


0
(9.45)

]

 
[
 T p2  =  −(P (s) − T (s))  T d

 

T p3
0
(9.46)
Veriﬁca-se que a expressão P (s) − T (s) da equação (9.46) é idêntica a equação (9.39),
mostrando que quando a soma das entradas se anulam, o par de zeros de transmissão z3,4,5,6
é manifestado, o que caracteriza a resposta do modo intraplanta sem ação da realimentação
KD (malha aberta). Veriﬁca-se também que a direção N (Hzw (z3,4,5,6 )) produz zeros IDZs,
responsáveis por bloquear o modo gerador agregado, conforme TAB. 9.2.
TAB. 9.2: polos e zeros relativo a direção do modo intraplanta.
Zeros de Transmissão
z5,6 = ±j
√
Zeros de desacoplamento
√
−γ ± j (α + 2β)w0 − γ 2
√
−γ ± j (α − β)w0 − γ 2
(α − β)w0
polos
√
p1,2 = −γ ± j (α + 2β)w0 − γ 2
√
p3,4 = −γ ± j (α − β)w0 − γ 2
√
p5,6 = −γ ± j (α − β)w0 − γ 2
9.2.6 PROPOSTA DE ENSAIO
A metodologia de ensaio descrita na seção 5.2.1 é aplicada neste exemplo, onde é apli[
]T
cada uma entrada de perturbação em um gerador (T d = T d1 0 0 ) e monitoradas
97
as saı́das do

T p1

 T p2

T p3

gerador perturbado, T p1 , e de
 

P (s) T (s) T (s)
 

 =  T (s) P (s) T (s)  
 

T (s) T (s) P (s)


um gerador vizinho, T p2 :

T d1

0 

0
(9.47)

T p1
P (s) [
]

 

 T p2  =  T (s)  T d1

 

T p3
T (s)
(9.48)
T p1
= P (s)
T d1
(9.49)
T p2
= T (s)
T d1
(9.50)
onde
Similarmente ao apresentado na seção 5.2.2, os dados do ensaio permitem a obtenção de
P (s) e T (s), necessários para determinação das FTs relativas aos modos gerador agregado
ag
ip
Hzw
(s) e intraplanta Hzw
(s).
98