Circuitos Elétricos
Métodos de Análise
Alessandro L. Koerich
Engenharia de Computação
Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR)
Introdução
• A partir das leis fundamentais da teoria de
circuitos (Ohm, LCK, LTK) podemos derivar
duas técnicas para análise de circuitos:
– Análise nodal
– Análise de malha
OBS: Parte mais importante da matéria!!!!
Introdução
• Análise Nodal:
– Aplicação sistemática da LCK
• Análise de Malhas
– Aplicação sistemática da LTK
• Com estes dois métodos podemos analizar
qualquer circuito linear!
Análise Nodal
• Análise Nodal:
– Utiliza tensões no nós como variáveis de circuito.
• Reduz o número de equações a serem resolvidas
simultaneamente.
– Tensões são as incógnitas a serem determinadas.
– Assumimos inicialmente que os circuitos não
contém fontes de tensão.
– Dado um circuito com n nós, sem fontes de tensão, a
análise nodal envolve três passos:
Análise Nodal
• Passos para determinar as tensões nos nós:
1. Selecione um nó como referência. Atribua tensões
v1, v2, …, vn-1 aos n-1 nós remanescentes em relação
ao nó de referência.
2. Aplique a LCK em cada um dos n-1 nós. Use a Lei
de Ohm para expressar correntes de ramos em
termos das tensões nos nós.
3. Resolve as equações simultâneas resultantes para
obter as tensões no nós desconhecidas.
Análise Nodal
• Nó de referência
– é geralmente escolhido como o que possui o maior
número de ramos conectados.
– Assumimos que tem potencial zero.
• Lembrete: em elementos passivos a corrente flui
de um potencial maior para um menor.
• Em um resistor:
=
−
Análise Nodal
• Exemplo:
LCK no nó 1:
LCK no nó 2:
1
=
2
2
+
+
2
1
+
=
(1)
2
Substituindo (3) em (1) e (2):
(2)
3
1
Lei de Ohm para expressar
as correntes desconhecidas
i1, i2 e i3 em termos das
tensões nos nós:
1
=
2
=
3
1
−0
=
2
+
2
+
+
(4)
=
(5)
1
=
(3)
2
−0
3
Resolver (4) e (5) usando método
da substituição, método da
Eliminação,regra de Cramer ou
inversão de matrizes
Análise Nodal
• Exemplo:
Análise Nodal
• Exemplo:
Análise Nodal com Fontes de Tensão
• Como as fontes de tensão afetam a análise nodal?
• Consideramos duas possibilidades:
– Caso 1: Se a fonte de tensão está conectada entre o nó de
referência e um nó que não sejam de referência:
• Atribuímos a tensão da fonte a este nó que não sejam de
referência.
– Caso 2: Se a fonte de tensão está conectada entre dois
nós que não sejam de referência:
• Estes dois nós formam um super nó e devemos aplicar tanto a
LCK quanto a LTK para determinar as tensões no nós.
Análise Nodal com Fontes de Tensão
• Um super nó pode ser considerado como uma
superfície fechada englobando a fonte de tensão
e seus dois nós.
• Um super nó é formado englobando um fonte
de tensão (dependente ou independente)
conectada entre dois nós que não sejam de
referência e quaisquer elementos conectados
em paralelo com ela.
Análise Nodal com Fontes de Tensão
• Exemplo:
Nó 1:
1
= 10
(1)
Nós 2 e 3 formam um super
nó (região fechada):
1
+
4
=
2
+
3
+
ou
Aplicar LTK no super nó:
−
2
=
+5+
3
+
= 0 ⇒ (2)
2
−
3
= 5 3
Obtemos todas as tensões nodais a
partir de (1), (2) e (3).
Análise Nodal com Fontes de Tensão
• Exemplo:
Análise Nodal com Fontes de Tensão
• Exemplo:
Análise de Malhas
• Análise de Malhas:
– Utiliza correntes de malha como variáveis de circuito.
• Reduz o número de equações a serem resolvidas
simultaneamente.
– Correntes são as incógnitas a serem determinadas.
• Lembrete:
– Laço: é um caminho fechado onde cada nó é visitado
uma única vez.
– Malha: é um laço que não contém qualquer outro laço
dentro dele.
Análise de Malhas
Malhas: abefa, bcdeb
Laço: abcdefa
• Aplica a LTK para encontrar as correntes
desconhecidas no circuito.
• É aplicável somente a circuitos planares.
• Circuito planar: aquele que pode ser desenhado em
um plano sem ramos cruzando outros.
Análise de Malhas
Planar
Não Planar
Análise de Malhas
• Assumimos inicialmente que os circuitos são
planares e não contém fontes de corrente.
• Dado um circuito planar com n malhas, sem
fontes de corrente, a análise de malhas envolve
três passos:
1. Atribuir correntes de malha i1, i2, …, in para as n
malhas.
2. Aplique a LTK em cada uma das n malhas. Use a Lei
de Ohm para as tensões em termos das correntes
de malha.
3. Resolva as n equações simultâneas resultantes para
obter as correntes de malha.
Análise de Malhas
−
1
1
+
1 1
2 2
+
2
= 1
2
+
+
3
3
= 2
1
2
3
−
−
=
1
1
= 0
2
−
= 0
2
−
1
+
3 1
+
3
2
1
+
−
3 2
3
2
=
=−
1
2
(1)
(2)
Resolver (1) e (2) usando método
da substituição, método da
Eliminação, regra de Cramer ou
inversão de matrizes
Análise de Malhas
• Exemplo:
Análise de Malhas
• Exemplo:
Análise de Malha com Fontes de Corrente
• Como as fontes de corrente (dependentes ou
independentes) afetam a análise de malhas?
• Consideramos duas possibilidades:
– Caso 1: Se a fonte de corrente pertence somente a
uma malha:
• Atribuímos a corrente da fonte a esta malha.
−10 + 4 1 + 6
2
= −5
1
−
2
=0 ⟹
1
= −2
Análise de Malha com Fontes de Corrente
– Caso 2: Se a fonte de corrente pertence a duas
malhas:
• Criamos uma super malha excluindo a fonte de corrente e
quaisquer elementos conectados em série com ela.
−20 + 6 1 + 10 2 + 4 2 = 0 ⇒ 6 1 + 14 2 = 20
2
=
1
+6
Análise de Malha com Fontes de Corrente
• Uma super malha resulta quando duas malhas
tem uma fonte de corrente (dependente ou
independente) em comum.
• Propriedades de um super malha:
1. A fonte de corrente em uma super malha fornece a
equação restrita necessária para resolver as
correntes de malha
2. Uma super malha não tem uma corrente própria
3. Uma super malha necessita da aplicação tanto da
LTK quanto da LCK
Análise de Malha com Fontes de Corrente
• Exemplo:
Análise Nodal e de Malha por Inspeção
• É um procedimento geral para a análise nodal e
análise de malha.
• É um “atalho” que se baseia meramente na
observação de um circuito.
• Quando todas as fontes forem fontes de
corrente independentes, não é necessário
aplicar a LCK em todos os nós para obter as
equações de tensões nos nós.
Análise Nodal por Inspeção
• Exemplo:
Gv=i
Análise Nodal por Inspeção
• Gkk = soma das condutâncias conectadas ao nó
k.
• Gkj = Gjk = negativo da soma das condutâncias
conectando diretamente os nós j e k, k≠j
• vk = tensão desconhecida no nó k
• ik = soma de todas as fontes de corrente
independentes diretamente conectadas ao nó k,
com as correntes entrando no nó tendo sinal +.
Válido para circuitos resistivos lineares contendo somente fontes de corrente
independentes.
Análise de Malhas por Inspeção
• Exemplo:
Ri=v
Análise de Malhas por Inspeção
• Rkk = soma das resistências na malha k.
• Rkj = Rjk = negativo da soma das resistências em
comum com as malhas j e k, k≠j
• ik = corrente de malha desconhecida para malha
k no sentido horário.
• vk = soma horária de todas as fontes de tensão
independentes na malha k, com acréscimo de
tensão tendo sinal +.
Válido para circuitos resistivos lineares contendo somente fontes de tensão
independentes.
Análise Nodal X Análise de Malha
• Dado um circuito, qual método utilizar?
• Natureza do circuito:
– Elementos conectados em série, fontes de tensão,
supermalhas → Análise de Malhas.
– Elementos conectados em paralelo, fontes de
corrente, supernós → Análise Nodal.
• Informação necessária:
– Correntes nos ramos ou laços → Análise de Malhas.
– Tensões no nós → Análise Nodal.