R
Profa. Suzi
[email protected]
http://euler.mat.ufrgs.br/~camey/
Aula 25/05/07
Maiores detalhes:
http://leg.ufpr.br/~paulojus/embrapa/Rembrapa/
 Miscelânia de funcionalidades do R




O R como calculadora
Gráﬁcos de funções
Integração numérica
Exercícios
 Conceitos básicos sobre distribuições de
probabilidade

Exercícios
 Distribuições de Probabilidade



Discretas
Contínuas
Exercícios
Miscelânia de funcionalidades
do R: O R como calculadora
 Queremos calcular: 102 + 112 + … + 202
 criar uma sequência de números de 10 a 20
> x<-(10:20)
 elevar ao quadrado cada valor deste vetor
> x^2
 somar os elementos do vetor
> sum(x)
 Ou simplesmente:
> sum((10:20)^2)
Miscelânia de funcionalidades
do R: Gráﬁcos de funções
 Seja
X ~ N (4,9) e Y ~ Exp(4) vamos fazer o
gráfico das respectivas funções de densidade.
 Relembrando:
1
f X ( x) 
e
3 2
  x  4 2
18
, x 
fY ( y)  4e4 y , y  0
Miscelânia de funcionalidades
do R: Gráﬁcos de funções
1.
> x1 <- seq(-8, 16, l = 101)
> y1 <- (1/(3*(2*pi)^0.5))*exp(-(1/(2*9))*(x1-4)^2)
> plot(x1, y1, type = "l")
2.
> plot(function(x) (1/(3*(2*pi)^0.5))*exp(-(1/(2*9))*(x1-4)^2),-8,16)
3.
> y2 <- dnorm(x1, 4, 3)
> plot(x1, y2, type = "l")
4.
> plot(function(x) dnorm(x, 4, 3), -8, 16)
Miscelânia de funcionalidades
do R: Integração numérica
Sabemos que para distribuições contínuas de
probabilidades a integral está associada a probabilidade
em um intervalo. Seja f(x) uma f.d.p. de uma variável
contínua, então
b
Pa  X  b    f x dx
a
Portanto para calcular P(2<X<6):
> y1<-function(x) (1/(3*(2*pi)^0.5))*exp(-(1/(2*9))*(x-4)^2)
> integrate(y1,2,6)
Ou
> integrate(function(x) dnorm(x, 4, 3), 2, 6)
Miscelânia de funcionalidades
do R: Exercícios
http://leg.ufpr.br/~paulojus/embrapa/Rembrapa/
Rembrapase7.html#x8-360007.4
Conceitos básicos sobre
distribuições de probabilidade
EXEMPLO 1 (adaptado de Bussab & Morettin,
página 132, exercício 1) Dada a função:
2e 2 x , x  0
f x   
0, x  0

i. mostre que está função é uma f.d.p.
ii. calcule a probabilidade de que X > 1
iii.calcule a probabilidade de que 0,2 < X < 0,8
Conceitos básicos sobre
distribuições de probabilidade
> f1 <- function(x) {
+ fx <- ifelse(x < 0, 0, 2 * exp(-2 * x))
+ return(fx)
+}
> plot(f1)
> plot(f1, 0, 10)
> plot(f1, 0, 5)
Conceitos básicos sobre
distribuições de probabilidade
i.
mostre que está função é uma f.d.p.
> integrate(f1, 0, Inf)
ii.
calcule a probabilidade de que X > 1
> integrate(f1, 1, Inf)
iii.
calcule a probabilidade de que 0,2 < X < 0,8
> integrate(f1, 0.2,0.8)
Conceitos básicos sobre
distribuições de probabilidade
Conceitos básicos sobre
distribuições de probabilidade
 Exercício:
http://leg.ufpr.br/~paulojus/embrapa/Rembrapa/
Rembrapase10.html#x11-6800010.1
Distribuições de Probabilidade
 O programa R inclui funcionalidade para operações
com distribuições de probabilidades. Para cada
distribuição há 4 operações básicas indicadas por
letras:




d???(): calcula a densidade de probabilidade f(x) no
ponto
p???(): calcula a função de probabilidade acumulada
F(x) no ponto
q???(): calcula o quantil correspondente a uma dada
probabilidade
r???(): retira uma amostra da distribuição
Distribuições de Probabilidade
Algumas distribuições:
 Discretas:




Binomial: binom
Poisson: pois
Hipergeométrica: hyper
Binomial Negativa: dnbinom
 Contínuas:
 Normal: norm
 Exponencial: exp
 Gama: gamma
Distribuições de
Probabilidade: Discretas
Seja X uma v.a. com distribuição Binomial com n=10 e p=0.5.
Calcule as seguintes probabilidades:
 P [X < 6]
> pbinom(5, 10, 0.5)
 P [X ≤ 6]
> pbinom(6, 10, 0.5)
 P [X > 2]
> 1 - pbinom(2, 10, 0.5)
 P [X ≥ 2]
> 1 - pbinom(1, 10, 0.5)
 P [X = 7]
> dbinom(7, 10, 0.5)
 P [3 < X ≤ 8]
> pbinom(8, 10, 0.5) - pbinom(3, 10, 0.5)
 P [1 ≤ X ≤ 5]
> pbinom(5, 10, 0.5) - pbinom(0, 10, 0.5)
Distribuições de
Probabilidade: Discretas
Seja X uma v.a. com distribuição Binomial com
n=10 e p=0.5. Ache x tal que:
 P [X < x]= 0.828125
 P [X ≤ x]= 0.828125
 P [X > x]= 0.171875
 P [X ≥ x]= 0.171875
 P [3 < X ≤ x]=0.4511719
Distribuições de
Probabilidade: Contínuas
Seja X uma v.a. com distribuição Normal com =10 e
2=25. Calcule as seguintes probabilidades:
 P [X < 6]
 P [X ≤ 6]
 P [X > 2]
 P [X ≥ 2]
 P [3 < X ≤ 8]
 P [10 ≤ X ≤ 15]
Distribuições de
Probabilidade: Contínuas
Seja X uma v.a. com distribuição Normal
com =10 e 2=25. Ache x tal que:
 P [X < x]= 0.4
 P [X ≤ x]= 0.4
 P [X > x]= 0.72
 P [3 < X ≤ x]=0.88
Gerando amostras
Seja X uma v.a. com distribuição
Normal com =10 e 2=25. Simule uma
amostra de tamanho 100 e faça um
histograma da amostra.
Distribuições de Probabilidade
http://leg.ufpr.br/~paulojus/embrapa/Rem
brapa/Rembrapase11.html#x12-7200011.3