Distribuições normais
Aproximações normais para distribuições binomiais
Intervalo de confiança
TAD0022 Estatística Aplicada
Distribuições de probabilidades normais
Rafael Beserra Gomes
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Material compilado em 14 de outubro de 2014.
Licença desta apresentação:
http://creativecommons.org/licenses/
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TAD0022 Estatística Aplicada
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Aproximações normais para distribuições binomiais
Intervalo de confiança
Definição
Distribuição amostral
Distribuições normais
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Definição
Distribuição amostral
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Distribuição amostral
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Distribuição amostral
Distribuição normal
Distribuição de probabilidade contínua para uma variável aleatória x
com as seguintes propriedades:
I
A média, mediana e moda são iguais
I
A curva normal (gráfico da distribuição normal) tem forma de
sino e é simétrica em torno da média
I
A curva normal é descrita pela função densidade de
probabilidade normal:
−(x−µ)2
1
√ e 2σ2
σ 2π
I
A integral é igual a 1
I
Os dois pontos de inflexão estão localizados a 1 desvio padrão
da média
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Distribuição amostral
Exemplo
Desenhe a curva normal para uma distribuição com média 2 e desvio
padrão 1.
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Distribuição amostral
Distribuição normal padrão
I
Média: 0
I
Desvio padrão: 1
I
A área sob a curva normal até determinado z-escore é igual para
todas as distribuições normais, independentemente da média e do
desvio padrão
x −µ
I z =
σ
I Utilize a tabela normal padrão para consultar valores da CDF
(cumulative density function)
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Distribuição amostral
Exemplo
I
encontre a área acumulada que corresponde a z-escore de 1,15
I
encontre a área acumulada à direita da z-escore de -0,24
I
encontre a área acumulada entre as z-escore -1,5 e 1,25
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Definição
Distribuição amostral
Valores incomuns e muito incomuns:
Valores incomuns: z-escore maior que 2 ou menor que -2
Valores muito incomuns: z-escore maior que 3 ou menor que -3
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Distribuição amostral
Código em python para cálculo da distribuição normal acumulada
1
2
def p h i ( x ) :
r e t u r n ( 1 . 0 + math . e r f ( x / math . s q r t ( 2 . 0 ) ) ) / 2 . 0
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Distribuição amostral
Exemplo
Uma pesquisa indica que para cada ida ao supermercado, uma
pessoa gasta uma média de 45 minutos com um desvio padrão de
12 minutos naquela loja. Esse tempo gasto na loja é normalmente
distribuído. Uma pessoa entra na loja. (a) Encontre a probabilidade
de essa pessoa ficar (a) entre 24 e 54 minutos e (b) mais que 39
minutos.
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Distribuição amostral
Exemplo
As pontuações para um teste de serviço civil são normalmente
distribuídas, com uma média de 75 e um desvio padrão de 6,5. Para
ser adequado ao emprego de serviço civil, você deve ter pontuação
dentro dos 5% primeiros. Qual é a menor pontuação que você pode
conseguir e ainda assim ser adequado ao emprego?
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Distribuição amostral
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Distribuição amostral
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Distribuição amostral
Distribuição amostral
Distribuição de probabilidade de uma estatística da amostra que é
formada quando amostras de tamanho n são repetidamente retiradas
(com reposição) de uma população.
Distribuição amostral das médias
Distribuição de probabilidade da média das amostras de tamanho n.
µx = µ
σ
σx = √
n
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Distribuição amostral
Exemplo
Seja uma população com os seguintes elementos: 1, 3, 5, 7. Liste
todas as amostras possíveis de tamanho n = 2 e calcule a média de
cada. Escreva a distribuição amostral de médias. Encontre a média e
o desvio padrão das amostras e compare com os da população.
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Definição
Distribuição amostral
Teorema do limite central
I
I
Se amostras de tamanho n (n ≥ 30) são tiradas de qualquer
população com uma média µ e um desvio padrão σ, então a
distribuição amostral de médias se aproxima da distribuição
normal. Quanto maior o tamanho da amostra, maior a
aproximação.
Se uma população é normalmente distribuída, a distribuição
amostral de médias das amostras é normalmente distribuída
para qualquer amostra de tamanho n.
O desvio padrão da distribuição amostral de médias também é
chamada de erro padrão da média.
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Distribuição amostral
Exemplo
O tempo médio para uma viagem entre o campus central e a EAJ é
de 25 minutos com desvio padrão de 2 minutos. Você seleciona
aleatoriamente 40 pessoas que irão realizar esse percurso. Qual a
probabilidade de que a média de tempo do percurso para essas
pessoas seja maior que 27 minutos?
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Aproximações normais para distribuições
binomiais
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Podemos aproximar uma distribuição binomial com uma distribuição
normal caso:
np ≥ 5
nq ≥ 5
Para a qual teremos:
µ = np
√
σ = npq
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Exemplo
Um questionário é aplicada para 160 alunos. A probabilidade de um
aluno atingir a pontuação mínima é 60%. Qual a probabilidade de
pelo menos 100 alunos atingirem a pontuação mínima?
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Intervalo de confiança
É possível inferir parâmetros populacionais a partir de estatísticas
amostrais. Analisaremos como estimar a média populacional µ nas
seguintes situações:
quando o tamanho da amostra for pelo menos 30
quando a população for normalmente distribuída e seu desvio
conhecido
Importante:
a validade de um método de estimativa aumenta se uma amostra
estatística não for tendenciosa e tiver baixa variabilidade.
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Estimativa pontual
Valor único estimado para um parâmetro populacional. A estimativa
pontual menos tendenciosa de uma média populacional µ é a média
amostral x.
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Exemplo
As notas de 5 alunos de uma turma de 20 alunos foram: 2, 6, 8, 4,
10. Encontre uma estimativa pontual da média populacional µ.
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Estimativa intervalar
Intervalo utilizando para estimar um parâmetro populacional para o
qual temos uma estimativa pontual e uma margem de erro.
Exemplo
A estimativa pontual das notas é 6. Uma estimativa intervalar pode
ser dada por 5.5 < µ < 6.5, onde a margem de erro é 0.5.
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Intervalo de confiança
Nível de confiança
O nível de confiança c é a probabilidade de que o intervalo estimado
contenha o parâmetro populacional.
Erro de amostragem
Diferença entre a estimativa pontual e o valor real do parâmetro:
x −µ
Cálculo da margem de erro
σ
E = zc σx = zc √
n
onde zc é o z-escore para o nível de confiança c.
Podemos aproximar o desvio padrão das médias σx com o desvio padrão
da amostra s se n ≥ 30.
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Intervalo de confiança
Exercício
Seja uma turma de alunos, o professor selecionou 30 provas, cujas
notas foram: 2, 1, 1, 3, 1, 1, 7, 1, 7, 7, 3, 9, 9, 1, 1, 6, 5, 3, 1, 7, 7, 7,
2, 4, 9, 0, 3, 8, 3 e 7. Calcule a média amostral x e a margem de erro
E para um nível de confiança de 95%. O que esses resultados
significam?
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Intervalo de confiança
Definindo o tamanho da amostra
Dado o nível de confiança c e uma margem de erro E, o tamanho
mínimo da amostra n necessário para estimar a média populacional
é:
zc σ 2
n=(
)
E
o que pode ser obtido a partir da equação anterior. Se σ for
desconhecido, podemos utilizar o desvio padrão de uma amostra
preliminar com pelo menos 30 elementos.
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Exercício
Considerando o exemplo anterior, quantas notas de alunos o
professor deve selecionar para que ele esteja 95% confiante de que
a média amostral esteja dentro de 1 ponto da média de todas as
notas da turma?
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