BIZUS
10
DESTRUIR
ITA
DEGEOMETRIAPARA
NA PROVADO
MATEMÁTICA EM
BIZUS
CLAUDIO DE OLIVEIRA
E CASTRO
1.INTRODUÇÃO
Grandeamigo,
Émuitobomtervocêporaquiepodercompartilharessas
dicas incríveis para ajudá-lo a se dar bem no Concurso do
InstitutoTecnológicodaAeronáutica‒ITA.
EuevocêsabemoscomoéconcorridooconcursodoITA,pois
o Instituto é referência mundial de excelência na formação de
engenheirosdealtonívelemsuasdiversascategorias.Sódevocê
termostradointeresseporesseconteúdojápodeseconsiderar
umvencedor.
Este e-book vem justamente, acelerar e aperfeiçoar sua
preparaçãodealtoníveleemcurtoespaçodetempo.
Meuobjetivoéquevocêsintaaeficiênciadapropostaever
que com este método será possível otimizar seus cálculos de
forma a chegar aos resultados até um 1/3 do tempo que você
gastausandoométodotradicional.
EusouoProfessorClaudioCastroeestareicomvocêatéodia
emquevereiseunomenalistadeaprovadosdoITA.
Umgrandeabraçoemãosaobra!
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2
ASSUNTO
1
CALCULANDOÂNGULOS
RAPIDAMENTE
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ASSUNTO1:CALCULANDOÂNGULOSRAPIDAMENTE
BIZU
#1
ATÉCNICADOBUMERANGUE
ParacalcularmosoÂnguloExterno
deumpolígonoquetenhaoaspectoda
figura ao lado, podemos utilizar uma
técnicaquechamoaquideTécnicado
Bumerangue.
b
a
a
c
Porquê“TécnicadoBumerangue”?Imagineque,nafiguraaolado,um
bumeranguepartadoânguloerebataformandotodososoutrosângulosda
figura,retornando,então,paraasuaposiçãoinicial.Paracalcularovalordo
ângulo,bastasomartodososângulosformadospelassucessivasrebatidasdo
bumerangue,ouseja, a = a+b+c
1)Nafiguraabaixo,calculeamedidadoângulox.
a)70ºb)80ºc)90ºd)100ºe)110º
Aplicandoa
“RegradoBumerangue”
obtemos:
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x=35º+35º+30º
x=100º
35º
35º
30º
RESPOSTA:LETRA b
4
ASSUNTO1:CALCULANDOÂNGULOSRAPIDAMENTE
BIZU
#1
ATÉCNICADOBUMERANGUE
2) O triângulo ABC, representado na figura
abaixo, é isósceles de base BC . A medida do
ânguloxassinaladoé:
a)90ºb)100ºc)105ºd)110ºe)120º
Observequecadaângulodabase
20º+2q+2b=180
b
q
2(q+b)=160
q+b=80
Empregando-sea
RegradoBumerangue,teremos:
vale q somadoaumoutroângulo,
que podemos chamar de b .
Assim,podemosconcluirque:
20º
x=20º(q+b)
x=20º+80º
x=100º
RESPOSTA:LETRA b
3)(PUC)Nafigura,xéamedidaemgrausdoângulo
ADC.Ovalordex,emgraus,é:
a)80b)90c)100d)110e)120
x=40º+10º+60º
x=110º
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RESPOSTA:LETRA d
5
ASSUNTO
2
TRIÂNGULOS
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ASSUNTO2:TRIÂNGULOS
BIZU
#2
TEOREMASEM PITÁGORAS
NãoénovidadeparanenhumalunoqueoTeoremadePitágoraséa
ferramentamaiscompletaparasedeterminarumladodeumtriângulo
retângulosendoconhecidoosoutrosdois.
Neste capítulo ensinarei uma ferramenta muito prática para se
encontrar o cateto em um triângulo retângulo, quando os outros dois
ladossãoconhecidos.Oobjetivoaquiéde,apenas,aceleraroscálculos.
Obs.:Otriângulonãoprecisaserpitagórico.
•Conhecendo-seaHipotenusaeumdosCatetos:
Vamosencontrarovalordocateto
“x”notriânguloaolado.Paraisto,
façaoseguinte:
x= (a+b).(a-b)
Vejamosométodoaplicadonosexemplosabaixo:
4)Encontreovalorde“x”notriânguloaolado:
x= (5+3).(5-3)= 16=4
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RESPOSTA: x=4
7
ASSUNTO2:TRIÂNGULOS
BIZU
#2
TEOREMASEM PITÁGORAS
5)Encontreovalorde“y”notriânguloaolado:
x= (13+12).(13-12)= 25=5
RESPOSTA: x=5
TRIÂNGULOSPITAGÓRICOS
Algumasquestõespodemserfacilmenteresolvidasseutilizarmos
o princípio do Triângulo Pitagórico. Triângulo Pitagórico é todo
triânguloretânguloondeosladossãonúmerosinteiros.
Observe a aplicação da técnica na questão abaixo. Antes,
acompanhecomoelapoderiaserresolvidapelométodotradicional.
6)Encontreovalordaáreadotrapézioabaixo.
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8
ASSUNTO2:TRIÂNGULOS
PARA
ENTENDER
MELHOR
TRIÂNGULOSPITAGÓRICOS
RESOLUÇÃOPELOMÉTODOTRADICIONAL
1
Identificandoasmedidas
dossegmentos:
2
UtilizandooTeoremadePitágorasemambos
paracalcularsuaaltura.
3
Substituindoosvaloresdaprimeiraequaçãona
Segundapoderemosencontraraaltura
2
(
(
9=h+5-16-h
2
2
2
2
2
9=h+25-1016-h+
2
2
2
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10,24=16-h
3,2=16-h
2
h=5,76
16-h (
9-15-16=-1016-h
2
-32=-1016-h
2
2
9=h+25-1016-h+ 16-h
2
(
2
(
(3,2)=16-h
2
h=5,76=2,4
2
2
(
9
ASSUNTO2:TRIÂNGULOS
PARA
ENTENDER
MELHOR
TRIÂNGULOSPITAGÓRICOS
RESOLUÇÃOPELOMÉTODOTRADICIONAL
4
Área=
Agoratemosquesubstituirovalordaaltura
nafórmuladaáreadotrapézio.
BASE+base
xaltura
2
10+5
x2,4=15x1,2=18
2
RESPOSTA: 18UNIDADESDEÁREA
RESOLUÇÃOPELOMÉTODOPITAGÓRICO
Dividindo a base de 10cm ao meio e traçando duas diagonais até os
vérticesopostos,formamostrêstriângulospitagóricosdelados3,4e5cm.
AáreadotrapézioseráigualàsomadestestrêstriângulosPitagóricos.
Assimteremos:
Área=3x
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3x4
=3x6=18
2
10
ASSUNTO2:TRIÂNGULOS
PARA
ENTENDER
MELHOR
LEIDOSSENOS
O seno de um ângulo de um triângulo qualquer é
proporcionalàmedidadoladoopostoaesseângulo.
BC = AB = AC = 2r
senA senC
senB
LEIDOSCOSSENOS
Emqualquertriângulo,oquadradodeumdosladosé
igualàsomadosquadradosdosoutrosdoislados,menoso
dobrodoprodutodessesdoisladospelocossenodoângulo
formadoentreeles.
a²=b²+c²-2.b.c.cos
b²=a²+c²-2.a.c.cos
c²=a²+b²-2.a.c.cos
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a
c
b
11
ASSUNTO2:TRIÂNGULOS
PARA
ENTENDER
MELHOR
7)(ITA)EmumtriânguloABC,sabe-sequeosegmentoACmede2
cm. Sejam a e b, respectivamente, os ângulos opostos aos
segmentosBCaAC.Aáreadotriânguloé(emcm²)iguala:
a)2sen²(a).cotg(b)+sen(2a)
b)2sen²(a).tg(b)-sen(2a)
c)2cos²(a).cotg(b)+sen(2a)
d)2cos²(a).tg(b)+sen(2a)
e)2sen²(a).tg(b)-cos(2a)
Vamosconsideraraseguintefigura.
AplicandoaLeidosSenos,temos:
x
2
sen (a)
=
® x = 2×
sen(a) sen( b)
sen (b)
1
1
sen a
× x × 2 × sen[180° - (a + b )]® Área D ABC = × 2 ×
× 2 × sen(a + b )
2
2
sen(b )
sen a
2 × sen a
= 2×
× sen(a + b ) =
× (sena × cos b + senb × cos a )
sen( b)
sen( b)
Área D ABC =
Área D ABC
Área D ABC = 2 × sen 2 a × cot gb + sen 2a
RESPOSTA:LETRA a
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12
ASSUNTO2:TRIÂNGULOS
PARA
ENTENDER
MELHOR
8) (ITA) Do triângulo de vértices A, B e C, inscrito em uma
circunferênciaderaioR=2cm,sabe-sequeoladoBCmede2cme
oângulointernoABCmede30º.Então,oraiodacircunferência
inscritanestetriângulotemcomprimento,emcm,iguala:
a) 2
-
3
1
3
b)
c)
2
4
d) 2 3
-3
e)
1
2
Empregando-seaLeidosSenospara
determinarolado“b”:
2
b
=
= 4(dobro do raio da circunferência excrita)
senA sen30°
1
ì 2
ïï senA = 4 ® senA = 2
í
ï b = 4 ® b = 4 × sen30° ® b = 2
ïî sen30°
Vê-sequeotriânguloABCéisóscelescombaseemBA,com
ângulodabaseiguala30º.
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æ 1ö
c 2 = 2 2 + 2 2 - 2 × 2 × 2 × cos120° ® c 2 = 4 + 4 - 8ç - ÷ ® c 2 = 12 ® c = 2 3
è 2ø
13
ASSUNTO2:TRIÂNGULOS
PARA
ENTENDER
MELHOR
Calculandooraiodacircunferênciainscrita
r
tg15° = 2 - 3 ® tg15° =
® r = 2- 3 ´ 3 ® r = 2 3 -3
144244
3
3
(*)
(
(
(*)Calcula-setg15º,bemcomodemaisoutrosângulos,pormeio
deumBizuqueseráensinadoemmódulofuturo.
RESPOSTA:LETRA a
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14
ASSUNTO
3
QUADRILÁTEROS
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ASSUNTO3:QUADRILÁTEROS
PARA
ENTENDER
MELHOR
Osquadriláterossãopolígonosquepossuemquatroladosepodemser
classificadoscomo:
1 PARALELOGRAMO
Possuemladosopostosparalelosepodemser:
a QUADRADO
a.1)Suasdiagonaisinternassãoiguaisesão
perpendicularesnopontomédio;
a.2)Todososângulosinternossãoretos;
a.3)Seusladossãoiguais
a.4)Podeserinscritoemumacircunferência
cujodiâmetroéigualàsuadiagonal
b RETÂNGULO
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b.1)Suasdiagonaissãooblíquasecortam-se
aomeio
b.2)Todososângulosinternossãoretos;
b.3)Seusladosopostossãoiguais;
b.4)Podeserinscritoemumacircunferência
cujodiâmetroéigualàsuadiagonal.
16
ASSUNTO3:QUADRILÁTEROS
PARA
ENTENDER
MELHOR
c LOSANGO
c.1)Asdiagonaissãodiferentes,
perpendiculares,cortam-seaomeioesão
bissetrizesdosângulosinternos;
c.2)Nenhumdosângulosinternossãoretos;
c.3)Seusladossãoiguais;
c.4)Nãoéinscritível
d PARALELOGRAMO
d.1)Asdiagonaissãodiferentes,
oblíquasecortam-seaomeio;
d.2)Nenhumdosângulosinternos
sãoretos;
d.3)Seusladosopostossãoiguais;
d.4)Nãoéinscritível.
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17
ASSUNTO3:QUADRILÁTEROS
PARA
ENTENDER
MELHOR
2 TRAPÉZIOS
Possuemapenasdoisladosparalelosquesão
chamadosBasesepodemser:
a TRAPÉZIORETÂNGULO
a.1)Apresentadoisângulosretos;
a.2)Nãoéinscritível.
b TRAPÉZIOISÓSCELES
b.1)Osladosopostosnãoparalelossão
congruentes;
b.2)Osângulosdeumamesmabase
sãocongruentes.
c TRAPÉZIOESCALENO
c.1)Osladosopostosnãoparalelos
nãosãocongruentes;
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18
ASSUNTO3:QUADRILÁTEROS
BIZU
#3
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BIZUIMPORTANTE!
“O quadrilátero determinado pelos pontos
médiosdosladosABCDdequalquerquadrilátero
éumparalelogramoeoseuperímetroéigualà
somadasmedidasdasdiagonaisdoquadrilátero
emqueestáinserido.”
19
ASSUNTO3:QUADRILÁTEROS
BIZU
#4
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BIZUIMPORTANTE!
“No quadrilátero circunscritível ABCD a
somadosladosopostossãoiguais”.
20
ASSUNTO3:QUADRILÁTEROS
PARA
ENTENDER
MELHOR
9)(ITA)SenumquadriláteroconvexodeáreaS,oânguloagudo
p
entre as diagonais mede 6 radianos, então o produto do
comprimentodestasdiagonaiséiguala:
a)Sb)2Sc)3Sd)4Se)5S
Considereumparalelogramodelados
paralelos às diagonais d 1 e d 2 do
quadrilátero de área S que contenha
seus vértices. Assim, utilizando-se a
fórmuladaáreadeumtriângulo,em
função do seno do ângulo, a área
desseparalelogramoserá:
1
æp ö
d1 × d 2 × sen ç ÷ = 2S ® d1 × d 2 × sen30° = 2 S ® d1 × d 2 × = 2S ® d1 × d 2 = 4 S
2
è 6ø
RESPOSTA:LETRA d
10)(ITA)ConsidereumquadriláteroABCDcujasdiagonaisACeBD
medem,respectivamente,5cme6cm. SeR,S,TeUsãopontos
médios dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro do
quadriláteroRSTUvale:
a)22cmb)5,5cmc)8,5cmd)11cme)13cm
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21
ASSUNTO3:QUADRILÁTEROS
PARA
ENTENDER
MELHOR
RESOLUÇÃOPELOMÉTODOTRADICIONAL
UtilizandoocasoLALdesemelhança,tem-se:
DARU » DABD
AR RU
=
AB BD
Þ
AR 3
AR 1
= ®
=
AB 6
AB 2
DBRS » DBAC
1
5
5
Þ RS = ® AC = ® UT =
BR 1
2
2
2
=
BA 2
Assim,operímetro
5
RSTU = 2 × 3 + 2 × = 11cm
2
RESPOSTA:LETRA d
RESOLUÇÃOPELOMÉTODOBIZU
“O quadrilátero determinado pelos pontos médios dos lados
ABCD de qualquer quadrilátero é um paralelogramo e o seu
perímetro é igual à soma das medidas das diagonais do
quadriláteroemqueestáinserido.”
Logo,
UR + UT + RS + ST = AC + BD = 6 + 5 = 11
RESPOSTA:LETRA d
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22
ASSUNTO3:QUADRILÁTEROS
PARA
ENTENDER
MELHOR
11)(ITA)ConsidereumlosangoABCDcujoperímetromede100cmecuja
maior diagonal mede 40cm. Calcule a área, em cm², do círculo inscrito
nestelosango.
Temos,noretânguloAOB:
2
2
2
[OB] + [OA] = [AB]
2
[OB ] + 202 = 252
[OB]= (25 + 20)× (25 - 20)
[OB]= 45 × 5 ® [OB]= 15
Aindanoretângulo
AOB,temos:
Áreadacircunferência
inscrita:
[AB]× [OT ]= [OB]× [OA]
S = p × r2
25 × r = 15 × 20 ® r = 12
S = p ×122 ® S = 144p
RESPOSTA: S = 144p
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23
ASSUNTO3:QUADRILÁTEROS
PARA
ENTENDER
MELHOR
12)(ITA)Numtrapéziocircunscritível,asomadosdoisladosparaleloséigual
a18cmeadiferençadosoutrosdoisladoséiguala2cm. Seréoraioda
circunferência inscrita e a é o comprimento do menor lado do trapézio,
entãoasomaa+r,emcm,éiguala:
a)12b)11c)10d)9e)8
Doenunciadotiramos
asseguintesrelações:
ìa + b = 18
í
îd - c = 2
Comooquadriláteroé
circunscritível,podemosusar
oseguinte“bizu”:
“NoquadriláterocircunscritívelABCD
asomadosladosopostossãoiguais”.
Comisto,temososeguinte:d+c=18.Assim,temososistemaabaixo:
ìd + c = 18
® d = 10 e c = 8
í
îd - c = 2
eComo 2r = c Þ 2r = 8 ® r = 4
e2 + c 2 = d 2
NotriânguloretânguloBDC,porPitágoras,temos: 2
e + 82 = 102 ® e = 6
Como
( b - a)= e ® b - a = 6
ìa + b = 18
® a = 6 e b = 12
Assim,temososeguintesistema: í
d
c
=
6
î
Assim,asoma a + r = 6 + 4 = 10
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RESPOSTA:LETRA c
24
ASSUNTO3:QUADRILÁTEROS
13)(ITA)NumtriânguloABCretânguloemA,sejaDaprojeçãodeAsobre
BC. Sabendo-se que o segmento BD mede 1cm e que o ângulo DÂC
medeqgraus,entãoaáreadotriânguloABCvale:
PARA
ENTENDER
MELHOR
L2
a) × sec q × tgq
2
L2
c) × sec q × tg 2q
2
L2
b) × sec 2 q × tgq
2
L2
d) × cos sec q × cot gq
2
L2
c) × cos sec 2 q × cot gq
2
Consideremosotriângulodafigura
aolado.Temos:
Ù
Ù
I)
A B C = D AC = q
II)
DADB ® cosq =
III)
L
L
® AB =
cosq
AB
2
DABC ® BC × BD = AB ® BC × L = L2 × sec 2 q ® BC = L × sec 2 q
IV) Áreapedidanoproblema
2
1
1 æ L ö
L
2
A = × AB × BC × senq ® A = × ç
×
L
×
sec
q
×
sen
q
®
A
=
× sec 2 q × tgq
÷
2
2 è cos q ø
2
(
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)
RESPOSTA:LETRA b
25
ASSUNTO
4
BIZUSINTERESSANTES
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ASSUNTO4:BIZUSINTERESSANTES
BIZU
#5
Métodopráticoparaelevarqualquernúmeroaoquadrado
Observecomoelevaronúmero32aoquadrado
32²
1
2
3
4
Elevarcadanúmeroaoquadrado
Colocarosresultadosabaixo
Multiplicartodososalgarismos
Realizarasoma
32 ²
3 2 ²
3² 2²
09 04
3x 2 x 2
12
+
01024
RESPOSTA:32²=1024
EXEMPLO:
elevaraoquadradoonúmero1327
PASSO1: 13272 = 132 K 27 2 = 169K 729 = 169K 0729 = 1690729
PASSO2: 13 ´ 27 ´ 2 K 00 = 702 K 0 = 702 00
PASSO3: 1690729 + 70200 = 1760929
RESPOSTA:1327²=1760929
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27
ASSUNTO4:BIZUSINTERESSANTES
BIZU
#6
QuandoaGeometriaPlanaencontraaAnalítica
UmadasgrandesvantagensdaMatemáticaéqueos
recursossãototalmenteintercambiáveis.
Neste Bizu veremos como podemos resolver uma
questãodeGeometriaanalíticamuitomaisfacilmentese
utilizarmosconhecimentosbásicosdeGeometriaplana.
Observeaquestãoabaixo:
14) No plano cartesiano, a reta que passa pelos pontos
A = (4,3) e B = (6,4) corta os eixos nos pontos P e Q. O
comprimentodosegmentoPQé:
a)1b)2c)3d)5e)2
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SupondoqueospontosPeQpertençam,respectivamente,
aos eixos y e x, suas coordenadas cartesianas serão da
formaP=(0,y)eQ=(x,0).Bastadeterminarosvaloresdex
edey.
Estesvalorespoderãoserencontradosapartirdafunção
AFIMcujográficopassaporAeporB,ouseja,f(x)=ax+b,
ondef(4)=3ef(6)=4.Assim,teremos:
28
ASSUNTO4:BIZUSINTERESSANTES
BIZU
ì f 4 = 4 a + b ® 4a + b = 3
Resolvendo o
Þ
í
î f (6 ) = 6a + b ® 6a + b = 4 Sistema tem-se:
#6
ì4a + b = 3
1
Þ a = e b =1
í
2
î6a + b = 4
ASSIM,TEMOS:
1
ì
(
)
f
0
=
× 0 + 1 = 1 Þ P (0,1)
ïï
1
2
f (x) = x + 1 ® í
2
ï f (x ) = 0 ® 1 x + 1 = 0 ® x = -2 Þ Q(- 2,0 )
ïî
2
ComosedesejasaberocomprimentodosegmentoPQ,pode-se
utilizarafórmuladadistânciaentredoispontos:
(Px - Qx)2 + (Py - Qy)2
d (P, Q )=
=
(0 - (- 2))2 + (1 - 0)2
= 2 2 + 12 = 5
RESPOSTA:LETRA d
BIZU!
Podemosidentificarnafiguradoistriângulossemelhantes.Apartir
daí,bastafazeroscálculosrespectivos:
A
x
y
Q
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P
1
x² = 2² + 4² ® x² = 20 ® x = 2 5
2
x=2®2 5 = 2®y=2 5®y= 5
y 1
y
2
RESPOSTA:LETRA d
29
ASSUNTO4:BIZUSINTERESSANTES
BIZU
#7
OperandocomRadicaisDuplos
Certasoperaçõesalgébricasnosparecemnãoternem
porondeiniciar. Umexemplodelaséaoperaçãocom
RadicaisDuplos.
c
a
bc = b b .
ÉsabidopelamaioriadaspessoasquePorém,
estapropriedadenãoé,porsisó,suficienteparaseoperar
com,porexemplo,oseguinteradicalduplo: 6 + 2 5 .
Sendoassim,voureapresentá-losaumprocessosimples
quenospermitetrabalharcomestetipoderadical.
Cálculo de
A± B
, onde B é um múltiplo de 4
Passo1:DividironúmeroBpor4.Digamosqueoresultadoseja
onúmeroC.
Passo2:Encontrardoisnúmerosque,somadosresultememAe
multiplicados resultem em C. Digamos que estes números
sejamDeE.
Passo 3: Construir a seguinte estrutura com os números
encontradosnoPasso3:
D ± E Esteseráoresultadoprocurado.
Assim,teremosnestasituaçãoemparticular:
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A± B ® D ± E
30
ASSUNTO4:BIZUSINTERESSANTES
BIZU
#7
Vamosacompanharoseguinteexemplo:
15) Transforme o radical duplo
Resolução:
8 + 60 em uma soma de dois radicais.
60
= 15
4
ìD + E = 8
· Passo 2: í
D = 3, E = 5
D
´
E
=
15
î
· Passo 1:
· Passo 3:
D+ E ® 3+ 5
Cálculo de
A± B
RESPOSTA:
8 + 60 = 5 + 3
, onde B não é um múltiplo de 4
Passo1: MultiplicarosnúmerosAeBpor4. Digamosqueos
resultadossejam,respectivamente,osnúmerosCeD.
Passo2:Encontrardoisnúmerosque,somadosresultememCe
multiplicados resultem em D. Digamos que estes números
sejamEeF.
Passo 3: Construir a seguinte estrutura com os números
encontradosnoPasso3:
E± F
2
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Esteseráoresultadoprocurado.
Assim,teremosnesta
situaçãoemparticular:
A± B ®
E± F
2
31
ASSUNTO4:BIZUSINTERESSANTES
BIZU
#8
ProbabilidadecomMoedas
O emprego da moeda é uma das maneiras mais triviais para
compreenderaconceituaçãobásicadaTeoriadaProbabilidade.
I s t o o c o r r e p o r q u e a m o e d a p o s s u i a p e n a s d u a s f a c e s e ,
consequentemente,acompreensãointuitivadaprobabilidadedeocorrência
aleatóriadeumafaceemumlançamentoémuitosimpleseimediata.
Mas,apesardequepossasersimplesestainterpretação,nemtodosos
eventosqueutilizammoedaspodemserconsideradostriviais.
Para obtermos “A” caras e “B”
coroas em “X” lançamentos
podemos utilizar a seguinte fórmula:
P=
CX ,A
2
X
ou P =
C X ,B
2X
16)Calculeonúmerodepossibilidadesdeseobterduascaraseumacoroa
emtrêslançamentosdeumamoedanão-viciada.(ovícionamoedasignifica
possuirumadasfacescomcondiçõesdiferentesdaoutra,demodoqueesta
diferençainfluencienachancedeocorrênciadeumdeterminadoresultado.
Considerando
P=
C 3, 2
23
æ3ö
æ
3! ö 3 ´ 2 ´ 1
çç ÷÷
çç
÷÷
2
(
)
2
!
3
2
!
ø = 2 ´1 = 3
®P=è ø®P=è
8
8
8
8
RESPOSTA:
matematicaembizus.com.br
A = cara e B = coroa , teremos:
Achancedeseobter2carase1coroa
em3lançamentoséde3/8.
32
ASSUNTO4:BIZUSINTERESSANTES
BIZU
#8
ProbabilidadecomMoedas
17)(IME2012)Ummenino,nacidadedoRiodeJaneiro,lançauma
moeda.Eleandará1mparalesteseoresultadoforcaraou1mpara
oeste se o resultado for coroa. A probabilidade de este menino
estara5mdedistânciadesuaposiçãoinicial,após9lançamentos
damoeda,é:
a)
9
b)
6
2
35
6
2
c)
2
9!
d)
35
2
9
e)
9!
2
9
RESOLUÇÃOPELOMÉTODOTRADICIONAL
Se chamarmos de “L” os passos dados a Leste e de “O” os
passos dados a Oeste, poderemos concluir que teremos
combinaçõesconformeoseguinteexemplo:
1
2
LLLLLLOOO = Significa que foram dados 6 passos
paraLestee3passosparaOeste,ficandoa3passos
daposiçãoinicial.
OOOLLLOOO=Significaqueforamdados3passos
paraOeste,3paraLestee3paraOeste,significando
3passosdaposiçãoinicial.
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33
ASSUNTO4:BIZUSINTERESSANTES
BIZU
#8
ProbabilidadecomMoedas
Para que o menino termine a 5m de distância de sua posição inicial após 9
lançamentosdamoeda,asequênciadeveráserdotipo7passosparaLestee2para
Oeste ou 7 passos para Oeste e dois ara Leste, ou seja, (LLLLLLLOO) ou
(OOOOOOOLL) ou (LLLLOOLLL), (LOOOOLOOO), etc. Desta maneira, devemos
s
s
s
s
encontraraprobabilidadedequeocorra 7“L”e2“O”ou7“O”e2“L”.
7 “Ls” e 2 “O s”: N =
2 “Ls”: N =
9!
9 ´ 8 ´ 7!
=
= 36 possibilidades em 29 possíveis.
7!(9 - 7)!
7!´2!
9!
9 ´ 8 ´ 7!
=
= 36 possibilidades em 29 possíveis.
2!(9 - 2)!
2 ´ 7!
AProbabilidadeprocurada
serádadapor:
36 36 36 + 36 72 2 3 ´ 32
9
+
=
=
=
=
29 29
29
29
29
26
RESPOSTA:LETRA a
BIZU!
P=
CX ,A
2
X
Deacordocomoenunciado,queremosencontraraProbabilidadede
que,em9lançamentosdamoeda,omeninorealize7passosparaLeste
e2paraOesteou7passosparaOestee2paraLeste.Assim,teremos:
®P=
C 9, 2
29
9! 9 ´ 8
36 9
2
!
2
= 9 = 9 = 9 = 7
2
2
2
2
Comosãoduassituaçõesiguais,basta
multiplicaroresultadoacimapor2
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Ptotal = 2 ´
9
9
=
27 26
RESPOSTA:LETRA a
34
ASSUNTO
5
EQUAÇÕESDO2ºGRAU
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ASSUNTO5:EQUAÇÕESDO2ºGRAU
BIZU
#9
Quando aprendemos a calcular as raízes de uma equação do 2º grau,
aprendemos um procedimento que muitos conhecem como “Processo de
Obtenção das Raízes por Soma e Produto”, onde, em ax² + bx + c = 0, o
produtodasraízesvale(c/a)easomadelasvale(-b/a).
Quandoasraízessãonúmerosinteirosesteprocessoébemsimplesde
ser calculado. O problema maior é quando uma ou mais raízes não são
inteiras.Nestasituação,encontrá-lasporestemétodopodesercomplicadoe
ficamaisfácilutilizandoaFórmuladeBáskhara.
Neste capítulo, vamos aprender a calcular as raízes por “Soma e
Produto”,paraquaisquertiposderaízes.
Considereaseguinteequaçãodo2ºGrau:2x²-x-3=0. Seutilizarmos
Báskharaencontraremosasraízesdaseguintemaneira:
- (- 1) ±
- b ± b2 - 4 × a × c
x=
®x=
2×a
x¢ =
1+ 5 6 3
= =
4
4 2
e
(- 1)2 - 4 × 2 × (- 3)
2×2
x ¢¢ =
=
1 ± 25 1 ± 5
=
4
4
1- 5
4
= - = -1
4
4
Sefôssemosdeterminarestasraízespelométododasomaedo
produtoteríamosumgrandetrabalho.Observe:
Considerando x' e x” as
raízes procuradas, pelo
Método da Soma e do
Produtoteríamos:
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·
·
æ - b ö - -1 1
=
Soma: x¢ + x¢¢ = ç
÷=
2
2
è a ø
æ c ö -3
Produto: x¢ × x¢¢ = ç ÷ =
èaø 2
36
ASSUNTO5:EQUAÇÕESDO2ºGRAU
BIZU
#9
CálculoRápidodasRaízes
ComojácalculamosporBáskharaasraízesdestaequação,sabemos
3
¢
x
=
queasraízessão: e x ¢¢ = - 1 .Defatosãoexatamenteestas. Se
2
quiséssemosverificarpoderíamosfazerasoperaçõesecomprovaros
resultados:
·
·
3
3
3- 2 1
Soma: x ¢ + x ¢¢ = + (- 1) = - 1 =
=
2
2
2
2
3
3
Produto: x ¢ × x ¢¢ = ´ (- 1) = 2
2
Vamosconsideraramesmaequaçãodoexemploanterior:
Determinarasraízesdaequação2x²-x-3=0
Resolução:
Passo1:Multiplicar,naequação,oscoeficientesaec:
P = 2 ´ - 3 = -6
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37
ASSUNTO5:EQUAÇÕESDO2ºGRAU
BIZU
#9
CálculoRápidodasRaízes
Passo 2: Verificar dois números que, multiplicados, forneçam
resultadoigualaovalorencontradonoPasso1e,somados,resultem
novalorsimétricodeb.
-6
+1
-5
6
+ -1
5
-3
+2
-1
3
+ -2
1
Destasquatropossibilidades,aúnicaque
satisfazàsexigênciasdeSomaeProduto
éaquarta,ouseja,3e-2.
Passo 3: Dividir os dois valores encontrados pelo resultado pelo
coeficientea.
3
ì ¢
ïï x = 3 ¸ 2 = 2
Þí
ï x¢¢ = (- 2 )¸ 2 = - 2 = -1
ïî
2
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ì
3ö
æ
ï x¢ = ç ÷
®í
è2ø
ï x¢¢ = -1
î
38
ASSUNTO5:EQUAÇÕESDO2ºGRAU
BIZU
#10
MáximoseMínimos
-b
Todaequaçãodograuédaformaax²+bx+c=0.
· x do vértice: xv =
Ateoriaensinaqueovérticedaparáboladescrita
2a
-D
porumaequaçãoparticularpossuiosvaloresde
· y do vértice: y v =
4a
xeyobtidospormeiodasseguintesrelações:
Porém,ovalordexquetornaaequaçãodo2ºgraumáximalocaliza-se,
exatamente,nolocalondeoeixodesimetriadográficodafunçãointerceptao
eixodasabscissas.Esteseráoxdovértice.
Observeaindaqueoeixodesimetriadivideaparábolaaomeioeolocal
ondeeleinterceptaxéequidistanteàsraízesdestaequação.
Como o local que o eixo de simetria intercepta x no ponto médio do
segmentodeterminadopelasraízesdaequação,podemosdizerqueeste“xm”
situa-senaseguinteposição:
x1 + x2
xm =
2
Aconclusãoquesechegaéqueeste“xm”éamesmacoordenada
emxdopontomáximooumínimodaparábola.
Muitas questões podem ser resolvidas facilmente se conhecermos
esterecursoquepodemosdefinircomo:
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“Acoordenadado'x'dovérticeéamédiaaritmética
dasraízesdaequação”.
39
ASSUNTO5:EQUAÇÕESDO2ºGRAU
BIZU
#10
MáximoseMínimos
18)(AFA)Considereafunçãoquadráticaf:A®Bderaízesx1=1oux2=3,
cujascoordenadasdovérticesãoiguais.Sef(x)³0," xÎ Aeféumafunção
crescente" xÎ [p,q], então(q-p)éiguala:
a)3b)2c)1d)4
Resolução:
Comosetratadeumafunçãoquadrática,cujasraízessão1e3,podemosescrevê-la
da seguinte maneira: f(x) = a(x-1)(x - 3), o que nos fornece f(x) ax² - 4ax + 3a.
Sabendo-sequeseugráficoéumaparábola,ascoordenadasdovérticetem,por
exemplo,xvalendooseguinte:
- b - - 4a
4a
xv =
=
=
=2
2a
2(a )
2a
Como,segundooenunciado,ascoordenadasdovérticesão
iguais,oydovérticetambémvale2.
Vendo,ainda,queafunçãopossuigráficosemprepositivo,
sua parábola possui ponto de máximo. Assim, tem-se o
seguintegráfico:
Vemos,então,queaparábolaécrescente
nointervalo[1,2].Logo,(p-q)=(2-1)=1
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RESPOSTA:LETRA a
40
DESAFIO
DESAFIOS-BIZU
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DESAFIOS-BIZU
DESAFIO
Vouproporagoraumpequenodesafioaoaluno,comoobjetivo
de estimular o seu auto-aprimoramento e o seu espírito de
competitividade.
Asquestõesquevouapresentarpodemserresolvidaspormeio
do método tradicional, mas pode-se também se utilizar de meios
alternativos,oqueeuchamode“Bizu”.
Em nosso próximo contato, vou mostrar a resolução destas
questões,tantopelométodotradicional,quantopelo“métododo
Bizu”.
Recomendoaoalunoque,aoiniciararesoluçãodoproblema,
c r o n o m e t r e o s e u t e m p o d e d e s e n v o l v i m e n t o , n ã o o
interrompendo,mesmoquesejanecessárioreiniciararesolução.
Esteprocedimentotemporobjetivoconstatarasvantagensde
seutilizaro“Bizu”.Assim,nopróximoe-book,apósaapresentação
da resolução, cronometre novamente a resolução, desta vez,
empregando-seométododoBizu.Depois,façaascomparações.
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42
DESAFIOS-BIZU
DESAFIO
#1
Desafio1:
Combasenotriânguloabaixo,calculeatangente
de15º.
2
1
3
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43
DESAFIOS-BIZU
DESAFIO
#2
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Desafio2:
Na figura dada, o lado do triângulo eqüilátero menor
divide o lado do triângulo eqüilátero maior em três
partes iguais. Sabendo-se que a área do triângulo
menor mede 3 cm2 , qual é a medida da área do
4
maior?
44
DESAFIOS-BIZU
DESAFIO
#3
Desafio 3: Considere todos os números inteiros
positivos escritos com exatamente cinco algarismos
ímpares distintos. Qual é o valor da soma desses
números?
a)6666600
b)6666000
c)6660000
d)6600000
e)6000000
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45
DESAFIOS-BIZU
DESAFIO
#4
Desafio 4: Justapondo-se os números naturais
conforme a representação abaixo, onde o sinal (*)
indica o último algarismo, forma-se um número de
1002 algarismos: 1234567891011121314..................*.
Orestodadivisãodonúmeroformadopor16éiguala:
a)2
b)4
c)6
d)8
e)10
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46
DESAFIOS-BIZU
DESAFIO
#5
Desafio5:
(ITA)Oânguloconvexoformadopelosponteirosdas
horasedosminutosàs10horase15minutosé:
a)142º30′
b)142º40′
c)142º00′
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47
QUEREMOSQUEVOCÊTRACEVOOS
CADAVEZMAISALTOSRUMOÀ
APROVAÇÃO!
FIQUEDEOLHONOSEUEMAIL,EM
BREVEENTRAREMOSEMCONTATO
COMMAISNOVIDADES.
MATEMÁTICA EM
BIZUS
CLAUDIO DE OLIVEIRA
E CASTRO