Geometria I
Axiomas da Geometria
A geometria é um edifício que é construído a partir de deduções que seguem
os padrões de rigor lógico.
Como base deste edifício, existem armações ele-
mentares que são aceitos dentro do sistema como verdadeiros, sem a necessidade
de demonstração.
A estas armações denominamos axiomas, ou postulados.
No
que segue, apresentaremos dois sistemas axiomáticos para a construção da geometria.
O primeiro remonta à antiguidade e é devido ao matemático Euclides, de
Alexandria, e pode ser encontrado no primeiro livro da obra Os Elementos.
O
segundo, bem mais moderno, é devido ao matemático alemão David Hilbert em sua
obra Grundlagen der Geometrie (Fundamentos da Geometria), lançada no nal
do século XIX.
A Axiomática de Euclides.
Muito embora as palavras axioma e postulado
sejam sinônimas, Euclides fazia uma pequena diferenciação delas. Para Euclides,
axiomas eram armações de caráter geral e que eram óbvias, a estas armações
denominaremos noções comuns. Já postulado era uma palavra reservada para
armações de caráter genuinamente geométrico, que envolvesse os objetos geométricos por ele denidos.
Antes, porém, vamos a algumas denições de Euclides
Denições:
(1) Um ponto é aquilo que não possui partes.
(2) Uma linha é um comprimento sem largura.
(3) As extremidades de uma linha são pontos.
(4) Uma linha reta é uma linha sobre a qual todos os seu pontos se distribuem
de maneira uniforme.
(5) Uma superfície é aquilo que possui apenas comprimento e largura.
(6) As extremidades de uma superfície são linhas.
(7) Uma superfície plana é uma superfície sobre a qual todas as suas linhas
retas se distribuem de maneira uniforme.
(8) Um ângulo plano é a inclinação relativa de duas linhas em um plano que
se cruzam em um ponto mas que não estão sobre a mesma linha reta.
(9) E quando as linhas contendo o ângulo são retas, o ângulo é chamado ângulo
retilíneo.
(10) Quando uma linha reta cruzando outra linha reta forma dois ângulos adjacentes iguais, cada um dos ângulos iguais é um ângulo reto e a reta que
cruza a outra é dita ser perpendicular a esta.
(11) Um ângulo obtuso é aquele que é maior que um ângulo reto.
(12) Um ângulo agudo é aquele que é menor que um ângulo reto.
(13) Um bordo é aquilo que é extremidade de algo.
(14) Uma gura é aquilo que está contido por qualquer bordo, ou bordos.
(15) Um círculo é uma gura plana contida por uma linha tal que todas as linhas
retas incidindo sobre ela, a partir de um ponto xado entre os pontos no
interior da gura, são iguais.
(16) E este ponto é chamado o centro do círculo.
(17) Um diâmetro de um círculo é qualquer linha reta traçada através do centro
e com ambas as extremidades sobre a circunferência do círculo, e tal linha
também bissecta o círculo.
(18) Um semicírculo é uma gura contida pelo diâmetor e pela circunferência
cortada por ele. E o centro do semicírculo é o mesmo que o do círculo.
1
2
(19) Figuras retilíneas são aquelas contidas por linhas retas, trilaterais(ou trigonais) são as contidas por três, quadrilaterais (ou tetragonais) são as contidas por quatro, e multilaterais (ou poligonais) são as contidas por mais
que quatro retas.
(20) Dentre as guras trilaterais, um triângulo equilátero é aquele que tem os
três lados iguais, um triângulo isósceles é aquele que possui somente dois
lados iguais, e um rriângulo escaleno é o que possui os três lados desiguais.
(21) Ainda das guras trilaterais, um triângulo retângulo é aquele que possui
um ângulo reto, um triângulo obtusângulo é aquele que possui um ângulo
obtuso, um triângulo acutângulo é aquele que possui os três ângulos agudos.
(22) Das guras quadrilaterais um quadrado é o que é equilátero e cujos ângulos
são retos, um oblongo (ou retângulo) é aquele que possui os ângulos retos
mas não é equilátero, um rombo (ou losango) é aquele que é equilátero mas
não possui ângulos retos, um rombóide (ou paralelogramo) é aquele que
possui seus lados opostos e ângulos opostos iguais, mas que não é equilátero
nem possui ângulos retos. Os outros quadriláteros são chamados trapézios.
(23) retas paralelas são linhas retas que, estando no mesmo plano, quando prolongadas indenidamente em ambas as direções, nõa se cruzam em nenhuma
das direções.
Postulados:
(1) É possível traçar um linha reta entre quaisquer dois pontos.
(2) É possível prolongar arbitrariamente uma linha reta reta nita.
(3) É possível descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio.
(4) Todos os ângulos retos são iguais entre si.
(5) Se uma linha reta cruzando outras duas linhas retas forma ângulos internos
do mesmo lado cuja soma é menor que dois ângulos retos, estas duas linhas
retas, se estendidas indenidamente, se cruzarão no mesmo lado que os
ângulos internos somam menos que dois ângulos retos.
Noções Comuns:
(1) Coisas que são iguais a uma mesma coisa são iguais entre si.
(2) Se a iguais somamos iguais, as somas serão iguais.
(3) Se de iguais retiramos iguais, as diferenças serão iguais.
(4) Coisas que coincidem uma com a outra, são iguais entre si.
(5) O todo é maior que a parte.
Você notou que muitas destas denições carecem de rigor lógico, muitas são
circulares, os postulados e as noções comuns dizem muito pouco e há muitos pressupostos ocultos.
A Axiomática de Hilbert.
Os objetos primordiais, ponto, reta e plano, são
noções primitivas, e não precisam ser denidas em outros termos.
Os axiomas são divididos em cinco grandes grupos:
Axiomas de Incidência,
Axiomas de Ordem, Axiomas de Congruência, Axioma das Paralelas e Axiomas de
Continuidade.
Axiomas de Incidência:
I1 Para todos par de pontos, existe um linha reta passando por ambos.
I2 Para todo par de pontos, não existe mais que uma linha reta que passe
pelos dois.
I3 Existem pelo menos dois pontos em uma reta.
Existem pelo menos três
pontos que não estão sobre a mesma reta.
I4 Para cada tripla de pontos não sobre a mesma reta, existe um plano que
passa por eles. Todo plano contém pelo menos um ponto.
3
I5 Para cada tripla de pontos não sobre a mesma reta, não existe mais que
um plano que passe por eles.
I6 Se dois pontos de uma reta estão sobre um plano dado, todos os pontos
desta reta estão sobre este plano.
I7 Se dois planos possuem um ponto em comum, então possuem pelo menos
outro ponto em comum.
I8 Existem pelo menos quatro pontos que não estão sobre o mesmo plano.
Axiomas de Ordem
O1 Se um ponto
B
A e C,
B está entre C e A.
A e B , existe um ponto C
está entre os pontos
então
A, B
colineares e distintos e
O2 Dados dois pontos
entre
A
e
na reta
←→
AB
e
C
são pontos
tal que
B
esteja
C.
O3 Dados três pontos em uma linha reta, não mais do que um ponto estã entre
os outros dois.
Antes de enunciarmos o quarto axioma de ordem, algumas denições:
Denição:
A e B , o segmento AB é o conjunto dos pontos
−−→
B , unido com os pontos A e B . a semirreta AB
←→
é a união do segmento AB com os pontos X da reta AB tais que B que entre A
e X . Dados três pontos não colineares A, B e C , o ângulo ∠BAC é a união das
−−→ −→
semirretas AB e AC , o triângulo ∆ABC é a união dos segmentos AB , AC e BC .
O4 Sejam A, B e C três pontos não colineares e seja r uma reta no plano gerado
por estes pontos e que não passa por nenhum destes três pontos. Se r cruza
o segmento AB então também cruzará o segmento AC ou o segmento BC .
da reta
←→
AB
Dados dois pontos
que estão entre
A
e
Axiomas de Congruência:
C1 Se
A
e
B
são dois pontos em uma reta
é possível encontrar um ponto
tal que o segmento
CD
D
r
e
C
é um ponto em outra reta
em um determinado lado de
seja congruente ao segmento
C
na reta
s,
s,
AB .
C2 Dois segmentos congruentes a um terceiro são congruentes entre si.
C3 Sejam três pontos
A, B
e
C
em uma reta tais que
B
A e C, e
A0 B 0 e C 0 .
esteja entre
na mesma reta, ou em outra reta, considere três outros pontos
AB ≡ A0 B 0 e BC ≡ B 0 C 0 , então AC ≡ A0 C 0 .
−−0−→0
Seja ∠BAC um ângulo e seja A B uma semirreta, então, dado um lado
←−
→
−−
→
0 0
0 0
da reta A B existe uma única semirreta, digamos A C , tal que ∠BAC ≡
∠B 0 A0 C 0 . Todo ângulo é congruente a si mesmo.
0 0 0
Dados dois triângulos ∆ABC e ∆A B C , se AB ≡ A0 B 0 , AC ≡ A0 C 0 e
0 0 0
∠BAC ≡ ∠B A C , então ∠ABC ≡ ∠A0 B 0 C 0 .
Se
C4
C5
Axioma da Paralelas:
P1 Dada uma reta
s
r
e um ponto
no mesmo plano que a reta
Axiomas de Continuidade:
Co1 Dados dois segmentos
e
CD,
existe um número natural
−−→
AB ,
n
reta
tal que, se
A, na semirreta
tomarmos n segmentos contíguos
CD, então formaremos um segmento tal que o ponto B cará
a partir do ponto
congruentes a
AB
P não sobre esta reta, existe uma única
r e passando por P que é paralela a r.
em seu interior.
Co2 É impossível uma extensão do conjunto de pontos de uma reta de forma que
satisfaça os mesmos axiomas de incidência, ordem, congruência e o axioma
Co1, que os pontos originais satisfaziam.