QUESTÕES DISCURSIVAS
Questão 1
Suponha que, no trajeto entre A e B, exista
um ponto D, de parada obrigatória. A partir
desse ponto, a distância que ainda falta para
chegar ao ponto C é 60% do caminho já percorrido.
Determine a distância entre D e B.
a) O piso de uma sala retangular de 100 dm
de comprimento por 120 dm de largura vai
ser revestido com placas quadradas, as maiores possíveis. Qual é a área de cada uma?
b) Sobre uma dessas placas cai um anel circular com 3 cm de diâmetro. Determine a
área do lugar geométrico em que o centro do
anel deve estar, para que o anel fique apenas
sobre essa placa.
Resposta
a) O maior valor do lado das placas é o máximo
divisor comum de 100 = 2 2 ⋅ 5 2 e 120 = 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5.
Portanto o lado é mdc (100,120) = 20 dm e a área
de cada placa é 20 2 = 400 dm 2 .
b) O centro do anel deve estar no quadrado de
lado 200 − 2 ⋅ 1,5 = 197 cm. A área desse quadrado é 197 2 = (200 − 3) 2 = 200 2 − 2 ⋅ 200 ⋅ 3 + 3 2 =
Resposta
Considere a figura a seguir:
= 38 809 cm 2 .
1,5 cm
1,5 cm
1,5 cm
20 dm
= 200 cm
1,5 cm
Questão 2
$ eB
$
Na figura a seguir, em que os ângulos A
são retos, considere que um indivíduo esteja
no ponto O e queira atingir o ponto C, passando pelos pontos A e B. Sabe-se que OC =
= 10 000 m, AB = 8 000 m e que a distância
entre B e C é 25% do percurso que o indivíduo pretende fazer para atingir o ponto C.
Seja P ∈ OA tal que CP // AB e D ∈ AB tal que
BD = y.
No triângulo retângulo OCP, aplicando o Teorema
de Pitágoras, (10 000) 2 = (8 000) 2 + (OP) 2 ⇔
⇔ OP = 6 000 m.
Sendo PA = BC = x, temos que x = 25%(6 000 +
+ x + 8 000 + x) ⇔ x = 7 000 m.
Assim, y + 7 000 = 60%(6 000 + 7 000 +
+ 8 000 − y) ⇔ y = 3 500 m.
Questão 3
Paulo é pecuarista e possui um rebanho bovino de 1200 cabeças, cuja taxa de crescimento
anual é uma porcentagem representada por t.
matemática 2
Paulo realizou a venda de 1800 cabeças,
comprometendo-se a entregar 1000 no final
de 1 ano e, as outras 800, no final de 2 anos.
a) Determine t, considerando que, após a 2ª
entrega, não sobre cabeça alguma.
b) Se log 2 = 0,3 e t = 25%, quantos anos aproximadamente o pecuarista levaria para fazer
a 2ª entrega?
Resposta
a) Como a taxa de crescimento anual do rebanho
é t, obedecendo às condições do enunciado:
[1 200 ⋅ (1 + t) − 1 000] ⋅ (1 + t) = 800 ⇔
4
t +1 =
3
.
⇔ 6 ⋅ (1 + t) 2 − 5 ⋅ (1 + t) − 4 = 0 ⇔
ou
1
t +1 = −
2
4
1 100%
.
Já que t > 0, t + 1 = ⇔ t = =
3
3
3
1
b) Com t = 25% = , após fazer a primeira entrega
4
1⎞
⎛
o pecuarista fica com 1 200 ⋅ ⎜1 + ⎟ − 1 000 =
⎝
4⎠
5
= 1 200 ⋅ − 1 000 = 500 cabeças de gado.
4
Seja n o número de anos necessários após a primeira entrega para que o pecuarista entregue 800
n
n
1⎞
⎛ 10 ⎞
⎛
cabeças. Então 500 ⋅ ⎜1 + ⎟ = 800 ⇔ ⎜ ⎟ =
⎝8 ⎠
⎝
4⎠
n
16
⎛ 10 ⎞
⎛ 16 ⎞
⎛ 10 ⎞
⇔ log ⎜ ⎟ = log ⎜ ⎟ ⇔ n ⋅ log ⎜ ⎟ =
⎝8 ⎠
⎝ 10 ⎠
⎝8 ⎠
10
= (log 16 − log 10) ⇔ n ⋅ (1 − log 2 3 ) = log 2 4 − 1 ⇔
⇔ n ⋅ (1 − 3 ⋅ log 2) = 4 ⋅ log 2 − 1.
Supondo log 2 = 0,3, n ⋅ 0,1 = 0,2 e, assim,
n ≅ 2 anos.
=
Questão 4
Um atleta corre 1000 metros numa direção,
dá meia-volta e retorna metade do percurso;
novamente dá meia-volta e corre metade do
último trecho; torna a virar-se e corre metade
do trecho anterior, continuando assim indefinidamente.
a) Quanto terá percorrido aproximadamente
esse atleta, desde o início, quando completar
o percurso da oitava meia-volta?
b) Se continuar a correr dessa maneira, indefinidamente, a que distância do ponto de partida inicial o atleta chegará?
Resposta
a) O percurso de uma meia-volta é igual à metade
do percurso da meia-volta anterior, de modo que
as medidas dos trechos formam uma progressão
1
geométrica de razão .
2
Ao completar o percurso da oitava meia-volta, o
atleta percorreu 9 trechos: o inicial e as 8 meias-vol9
⎛1 ⎞
⎜ ⎟ −1
⎝2 ⎠
tas. Assim, o atleta percorre 1 000
=
1
−1
2
⎛
1 ⎞
= 2 000 ⎜1 − 9 ⎟ ≅ 1 996 metros.
⎝
2 ⎠
b) A distância desejada é igual a
1
1
1
1 000 − 1 000 ⋅
+ 1 000 ⋅ 2 − 1 000 ⋅ 3 + ... =
2
2
2
1 000
2 000
metros.
=
=
3
⎛ 1⎞
1 − ⎜− ⎟
⎝ 2⎠
Questão 5
João investiu R$10 000,00 num fundo de renda fixa que remunera as aplicações à taxa de
juro composto de 20% ao ano, com o objetivo
de comprar um automóvel cujo preço atual é
R$30 000,00, que é desvalorizado à taxa de
juro de 10% ao ano.
Depois de quantos anos João conseguirá adquirir o automóvel pretendido?
São dados: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48.
Resposta
Após t anos, João tem aplicados 10 000 ⋅
t
20 ⎞
⎛
t
⋅ ⎜1 +
⎟ = 10 000 ⋅ 1,2 reais e o preço do
⎝
100 ⎠
t
10 ⎞
⎛
t
carro é 30 000 ⋅ ⎜1 −
⎟ = 30 000 ⋅ 0,9 reais.
⎝
100 ⎠
Ele conseguirá adquirir o automóvel se
30 000
1,2 t
10 000 ⋅1,2 t ≥ 30 000 ⋅0,9t ⇔
≥
⇔
10 000
0,9t
t
t
⎛4⎞
⎛4⎞
⇔ ⎜ ⎟ ≥ 3 ⇔ log ⎜ ⎟ ≥ log 3 ⇔
⎝3 ⎠
⎝3 ⎠
⇔ t ⋅ (log 2 2 − log 3) ≥ log 3 ⇔
log 3
. Adotando as aproxima⇔t ≥
2 ⋅ log 2 − log 3
0,48
ções dadas, t ≥
⇔ t ≥ 4 anos.
2 ⋅ 0,3 − 0,48
Assim, João conseguirá adquirir o automóvel
após 4 anos.
matemática 3
Questão 6
Um jogo consiste em lançar um dado e, em
seguida, uma moeda, um número de vezes
igual ao número obtido no lançamento do
dado. Sairá vencedor aquele que conseguir o
maior número de caras nos lançamentos da
moeda.
Pedro, que disputa com Paulo, conseguiu tirar 5 caras. Qual a probabilidade de Paulo
sair vencedor?
Resposta
Para Paulo sair vencedor ele deve conseguir 6
caras, ou seja, deve tirar 6 no lançamento do
dado e, ao jogar a moeda seis vezes, obter 6 caras.
Logo, supondo que o dado e a moeda sejam ho6
1 ⎛1 ⎞
1
nestos, a probabilidade pedida é ⋅ ⎜ ⎟ =
.
6 ⎝2 ⎠
384
que o viajante vá seguir a direção indicada pelo
1
1
1
funcionário, a probabilidade é
⋅1 +
⋅0 +
⋅
3
3
3
2
5
.
⋅
=
3
9
b) Seja p a probabilidade de que seja Hilário o
funcionário do turno. Então, nas condições dadas:
• a probabilidade de que seja Dúbio o funcionário
do turno é 1,5p;
• a probabilidade de que seja Franco o funcionário do turno é 2 ⋅ 1,5p = 3p.
1
2
e a proAssim, p + 1,5p + 3p = 1 ⇔ p =
=
5,5 11
babilidade de a informação ser correta é 3p ⋅ 1 + p ⋅
2
8
2
.
=
⋅ 0 + 1,5p ⋅ = 4p = 4 ⋅
3
11 11
Questão 8
Represente graficamente a região dada pelas
⎧ y > 3 − 5x
⎪
restrições ⎨ |y − 1| > x e calcule a sua área.
⎪y < 2
⎩
Questão 7
Um viajante, diante de uma bifurcação da estrada, dirige-se ao posto de combustível mais
próximo para saber que direção deve tomar,
para chegar ao seu destino. Ocorre que nesse
posto há três funcionários: Franco, que sempre fala a verdade; Hilário, que sempre mente e Dúbio, que diz a verdade duas em cada
três vezes.
a) Se os três funcionários estiverem trabalhando no posto quando o viajante pedir a informação a um deles, qual a probabilidade de
ele chegar ao seu destino corretamente?
b) Suponha, agora, que um único funcionário
trabalhe em cada turno, que Franco trabalhe
o dobro de turnos de Dúbio e que este último
trabalhe uma vez e meia o número de turnos
de Hilário. Nesse caso, qual a probabilidade
de a informação ser correta?
Resposta
Na resolução, vamos supor que o fato de Dúbio
dizer a verdade duas em cada três vezes significa
2
que a probabilidade de ele dizer a verdade é .
3
a) Como Franco tem a probabilidade 1 de dizer a
verdade e Hilário tem probabilidade 0, supondo
ver comentário
Os pontos (x; y) que satisfazem y > 3 − 5x são os
y
x
pontos acima da reta y = 3 − 5x ⇔
+
= 1,
3
3
5
⎛3
⎞
que passa pelos pontos ⎜ ; 0 ⎟ e (0; 3):
⎝5
⎠
matemática 4
Os pontos (x; y) que satisfazem |y − 1| > x são os
pontos à esquerda do gráfico de |y − 1| = x ⇔
⇔ x ≥ 0 e (y − 1 = x ou y − 1 = −x):
Os pontos (x; y) que satisfazem y < 2 são os pontos de ordenada menor que 2:
Como a reta y = 3 − 5x corta a reta y = 2 em
⎛1
⎞
⎛1 4 ⎞
⎜ ; 2 ⎟ , a reta y − 1 = x em ⎜ ; ⎟ e a reta
⎝5
⎠
⎝3 3 ⎠
⎛1 1 ⎞
y − 1 = −x em ⎜ ;
⎟ , a área da região obtida é
⎝2 2 ⎠
1 ⎛ 1⎞ ⎛
4 ⎞ 1 ⎛ 3 ⎞ 1 11
.
⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ ⎜ 2 − ⎟ + ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ =
2 ⎝ 5⎠ ⎝
3 ⎠ 2 ⎝ 5 ⎠ 2 30
Questão 9
Sabendo que 3 é raiz dupla do polinômio
P(x) = x4 − 3x 3 − 7x2 + 15x + 18, determine
as outras raízes.
A região dos pontos (x; y) que satisfaz o sistema
⎧ y > 3 − 5x
⎪
⎨ | y − 1| > x é a interseção das três regiões ante⎪y <2
⎩
riores:
Resposta
Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, como 3 é
raiz dupla, temos:
3
1
−3
−7
15
18
3
1
0
−7
−6
0
1
3
2
0
2
2
Assim P(x) = (x − 3) ⋅ (x + 3x + 2) e
x = 3 ou
P(x) = 0 ⇔ 2
⇔
x + 3x + 2 = 0
⇔
x = 3 ou
(x = −1 ou x = −2)
As outras raízes de P(x) são −1 e −2.
Questão 10
A região obtida é infinita e, portanto, não tem área
definida.
Observação: supondo que y ≥ 0, obtemos a região:
Um fabricante produz um tipo de telha que
tem a forma abaixo, cujas medidas estão expressas em cm:
matemática 5
Resposta
a) A figura A1 é um quadrado de lado 10 cm.
Ele pretende fabricar outro tipo de telha em
que, como se observa na figura, há semicircunferências de raio R.
A figura A2 é equivalente a um retângulo de base
4R e altura R.
Como as áreas das duas figuras devem ser iguais,
temos 4R 2 = 100 ⇔ R 2 = 25 ⇔ R = 5 cm.
b) Para fazer uma telha do modelo antigo, a chapa deve ter 40 cm de comprimento.
a) Se as áreas A1 e A2 devem ser iguais para
que a vazão de água da chuva se mantenha a
mesma, qual é o valor de R?
A nova telha necessita de uma chapa de 2 ⋅ π ⋅ 5 =
= 10π cm.
b) Qual é a economia de material, expressa
em porcentagem, que o fabricante vai obter
com a mudança do tipo de telha? As duas
chapas têm larguras iguais, L, e comprimentos diferentes.
Assim, a economia de material da telha nova em
relação à telha antiga é:
40 − 10 π
40 − 10 ⋅ 3,14
≅
= 0,215 = 21,5%
40
40