COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ
Portal Professor / ROTAÇÃO - 2009
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA
www.cap.ufrj.br/matematica
Rotação
A rotação é uma transformação que produz um giro de um objeto em torno de um centro fixo, segundo um
ângulo determinado.
G
Por exemplo, a rotação do vetor i = (1, 0) em torno da origem do plano cartesiano, segundo um ângulo de
360º, resulta num círculo centrado em (0, 0) e raio de 1 unidade de comprimento. A equação da circunferência
em questão é x2 + y2 = 1.
Pode-se rotacionar um ponto, um vetor, um segmento, uma reta ou até uma figura, desde que sejam fixados o
centro e o ângulo de rotação.
G
No plano cartesiano abaixo, considere um vetor v sobre o eixo OX.
G
Se o vetor v fizer uma rotação em torno da origem, segundo um ângulo α , em graus ou radianos, obtém-se
G
G
um vetor vα , de modo que a ponta do vetor v descreva um arco de medida α .
Convenciona-se como sentido positivo de rotação o sentido anti-horário, e como sentido negativo o sentido
horário. Portanto, rotações no sentido horário são indicadas pelo sinal “-”.
G
Exemplo 1: A rotação do vetor v = (2, 0) em torno da origem do plano cartesiano, segundo um ângulo de
G
G
G
medida 60º, faz com que o vetor v se transforme em um vetor vα . Quais são as coordenadas de vα ?
G
G
Para a determinação de vα , é necessário esboçar o vetor inicial v no plano cartesiano e trabalhar com
triângulos retângulos. Observe a figura:
G
O vetor vα = (x, y) e sua projeção ortogonal sobre OX formam um
G
vα
triângulo retângulo formado com hipotenusa de comprimento 2 e
catetos de medidas desconhecidas: x e y.
y
3
y
→
=
→ y =
2
2
2
x
1
x
cos 60° =
→ x = 1.
→
=
2
2
2
G
Logo, vα = (x, y) = 1, 3 .
Assim, sen 60° =
G
v
(
3 e
)
Exemplo 2: A rotação do triângulo de vértices A(2, 0), B(-3, 1) e C(-1, -1) em torno da origem do plano
cartesiano, segundo um ângulo de medida 90º, faz com que o triângulo ABC se transforme em um triângulo
A’B’C’. Quais são as coordenadas de A’, B’ e C’?
Para a determinação de A’, B’ e C’, é necessário esboçar o triângulo ABC no plano cartesiano e fazer a rotação
sugerida. Observe a figura:
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JJJG
O ponto A se transformou em A’. Para determinar as coordenadas de A’, basta considerar o vetor OA e fazer a
JJJJJJG
JJJG
rotação. Assim, como OA = 2 , então O ' A ' = 2 . Pela figura, vê-se que A’ (0, -2).
Para determinar as coordenadas de B’ e C’, a idéia é a mesma.
JJJG
JJJG
JJJG
Como OB = (-2, 2), então o menor ângulo que OB faz com OX é 45°. Rotacionando OB , o menor ângulo que
JJJJG
OB ' fará com OX será também 45°. Observe a figura:
JJJG
JJJG
Como OB = (-2, 2), OB = 2 2
Assim, sen 45° =
cos 45° =
2
y
=
→ y =2 e
2
2 2
2
x
=
→ x =2 .
2
2 2
Logo, B’ = (-2, -2).
Para determinar as coordenadas de C’, utiliza-se um triângulo semelhante ao da figura acima. Como
JJJG
OC = 2 , então por analogia, C’ = (1, -1).
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Atividade 1: A rotação do ponto ( 3 , 1) em torno da origem segundo um ângulo de 30º faz com que sua
localização mude para o ponto _________ .
(Dica: Faça a figura, marque os ângulos e trabalhe com triângulos retângulos.)
Resposta: (1,
3)
1
3
Atividade 2: A rotação do ponto  , −
 em torno da origem segundo um ângulo de -60º faz com que sua
2
2 

localização mude para o ponto _________ .
Resposta: (1, 0)
(Dica: Faça a figura, marque os ângulos e trabalhe com triângulos retângulos.)
 2
2
 , é necessário que (0, -1) rotacione
Atividade 3: Para que o vetor (0, -1) se transforme no vetor 
,
 2
2 

quantos graus em torno da origem? ________.
(Dica: Faça a figura, marque os ângulos e trabalhe com triângulos retângulos.)
Resposta: 225° ou -135°
 3 1
 3 1
,  se transforme no vetor (1, 0), é necessário que 
,  rotacione
Atividade 4: Para que o vetor 
 2
 2
2 
2 


quantos graus em torno da origem? ________.
(Dica: Faça a figura, marque os ângulos e trabalhe com triângulos retângulos.)
Resposta: 330° ou -30°