Instrumentação e Controlo de Processos
- Exercícios 1 - Resolva a equação diferencial seguinte, aplicando transformadas de Laplace:
5
dy
+ 4y = 2
dt
y(0) = 1
2 - Confirme o resultado obtido no problema anterior, aplicando os teoremas do valor final e
inicial.
3 - Calcule a transformada de Laplace inversa de:
Y (s) =
1
e −2 s
+
(4 s + 1)(3s + 1) (4 s + 1)(3s + 1)
4 - Resolva a equação diferencial seguinte, aplicando transformadas de Laplace:
d3y
d2y
dy
+ 6 2 + 11 + 6 y = 1
3
dt
dt
dt
y(0) = y’(0) = y’’(0) = 0
5 - Calcule a transformada de Laplace inversa de:
Y (s) =
s +1
s( s + 4s + 5)
2
6 - Considere o tanque de aquecimento representado a seguir. Admitindo “hold up” e caudal
constantes, determine a função de transferência que relaciona a temperatura à saída T com
a temperatura à entrada T0 e o calor fornecido Q.
T0
T
V
W, V constantes
Q
7 - Um sistema idêntico ao do problema anterior opera com caudal de 200 lb/min. de um
líquido com 0,32 Btu/lboF de capacidade calorífica e densidade de 62,4 lb/ft3. O volume do
tanque é de 1,6 ft3.
a) O sistema encontra-se inicialmente em estado estacionário para uma temperatura à
entrada de 70 oF e 1920 Btu/min. de calor fornecido. Determine a resposta do sistema
para uma variação brusca da temperatura de entrada para 90 oF.
b) Durante um certo tempo manteve-se a temperatura de entrada em 85 oF e o calor
fornecido em 2880 Btu/min. até se atingir um novo estado estacionário. Calcule a
resposta do sistema para uma descida brusca da temperatura de entrada até 75oF.
c) Partindo do estado estacionário inicial definido na primeira alínea, alterou-se
simultâneamente a temperatura de entrada para 90oF e o calor fornecido para 1600
Btu/min. Determine a resposta da temperatura de saída.
(NOTA: represente graficamente os resultados obtidos, justificando sempre que achar aconselhável)
8 - Para o tanque de aquecimento atrás descrito, considere agora o caso em que a dinâmica
do elemento de aquecimento não é desprezável. Este é constituido por um bloco de massa
m1 e área superficial A, aquecido até à temperatura T1 pelo fornecimento de calor Q. A
transferência de calor para o líquido do tanque obedece à lei de arrefecimento de Newton,
com coeficiente de transferência de calor h. Desenvolva a nova função de transferência para
a temperatura do tanque.
T0
T
m1
Q
9 - Considere a reacção elementar A B (com constantes cinéticas k1 e k2 para as reacções
directa e inversa, respectivamente) a decorrer num CSTR isotérmico com “hold up” constante
como representado a seguir. Obtenha as funções de transferência que relacionam
respectivamente a concentração de A e de B com a concentração de A na entrada.
CA0
CA, CB
10 - Para o CSTR do problema anterior, considere agora que a reacção é irreversível. No
caso da temperatura ambiente variar afectando de igual modo a temperatura de entrada e de
saída, determine a função de transferência que relaciona a concentração de A à saida com a
concentração de A alimentada e com a temperatura no reactor. Identifique os ganhos
estacionários e a constante de tempo do sistema.
11 - Para o sistema descrito no problema anterior, obtenha e represente gráficamente a
resposta no tempo da concentração de A à saída para:
a) uma perturbação em degrau da temperatura.
b) uma perturbação em rampa da concentração inicial.
12 - A partir do resultado do problema 9, identifique os ganhos estacionários, o factor de
amortecimento e a(s) constante(s) de tempo para a função de transferência da concentração
de B. Classifique o sistema e preveja a sua resposta dinâmica. Para uma perturbação em
degrau da concentração inicial de A, obtenha analiticamente a resposta no tempo da
concentração de B e represente graficamente o resultado.
13 - Partindo do resultado do problema 9, e utilizando as simplificações efectuadas no
problema 12, preveja e classifique a resposta no tempo da concentração de A a partir dos
parâmetros da respectiva função de transferência, para uma perturbação em degrau da
concentração de A à entrada. Determine analíticamente essa resposta e represente-a.
14 – Considere um CSTR isotérmico de volume constante onde se processa uma reacção
reversível de primeira ordem em ambos os sentidos A
B.
O reactor tem um volume de 100 l e é alimentado com um caudal de 10 l/min de uma solução
contendo 10 mol/l de reagente A e sem produto B. A constante de velocidade da reacção
directa é 0.8 min-1 e a constante de equilíbrio é igual a 5.
a) Escreva as equações diferenciais necessárias para descrever completamente o sistema.
b) Considerando que a principal fonte de perturbação é a concentração de reagente à
entrada, determine a função de transferência que relaciona a sua concentração à saída
com essa variável.
c) Classifique o sistema quanto à função de transferência obtida e, de acordo com essa
classificação, preveja a resposta dinâmica a uma perturbação em degrau da
concentração à entrada (esboce o grafico dessa resposta).
d) Determine analiticamente essa resposta, para uma perturbação da concentração à
entrada de 1 M. Represente graficamente o resultado.
15 – Considere o reactor da figura, em que a agitação mecânica é substituida por uma
elevada taxa de recirculação de produto. O reactor opera em regime isotérmico e a reacção
nele realizada tem cinética de 1a ordem. As concentrações de reagente e produto são
medidas na linha de reciclagem e o caudal de entrada e o caudal reciclado são constantes.
Devido à elevada taxa de reciclagem o grau de mistura no reactor é 100% e, admitindo que
não existe reacção nas tubagens, podem aproximar-se as dinâmicas das linhas de saída por
sistemas com atraso θ1 e θ2, como indicado na figura:
αQ
Q
C0
C2
θ2
θ1
Q
C
C1
a) Obtenha a função de transferência que relaciona a concentração de reagente na linha de
saída (C1) com a concentração à entrada.
b) Determine a resposta temporal do sistema (e represente-a) para uma perturbação em
degrau da concentração à entrada de 2000 kg/m3 e com os seguintes dados:
V = 5 m3
θ1 = 0,9 min
α = 12
θ2 = 1,1 min
Q = 0,05 m3/min
k = 0,04 min-1
16 – Num CSTR isotérmico decorre a reacção elementar A
B. Pretende manter-se a
conversão de A constante em 50%, regulando o caudal de entrada. Considerando o volume
reaccional constante, obtenha a função de transferência global e a resposta do sistema para
uma perturbação em degrau unitária da concentração de reagente à entrada, nos seguintes
casos:
a)
b)
c)
d)
Sistema não controlado.
Sistema com controlador proporcional
Sistema com controlador proporcional-integral
Sistema com controlador proporcional-integral-diferencial
Dados:
∆CA0 = 1 M
xf = 0,5
Kp = -10 l2/(mol min)
Qe = 10 l/min
V = 100 l
τI = 1 min
(NOTA: represente graficamente os resultados obtidos)
CA0e = 3 M
k = 0,1 min
τD = 2 min
17 – Um sistema com duas variáveis de entrada (X1 e X2) e uma variável de saída (Y), e
cujas funções de transferência em cadeia aberta são de primeira ordem com ganhos
unitários e constantes de tempo respectivamente iguais a 1 e 2 min, vai ser regulado
utilizando um controlador proporcional. A carga do sistema é X1 e o controlador irá actuar
sobre X2. O sensor utilizado para medir o valor da variável controlada apresenta um atraso
de 0,1 min. e a dinâmica do actuador é desprezável. Pretende estudar-se a resposta do
processo para perturbações de carga (set-point constante).
a) Represente a dinâmica do sistema em diagrama de blocos.
b) Obtenha a função de transferência em cadeia fechada.
18 – Considere o sistema com controlo por feedback da página seguinte:
a) Obtenha a função de transferência do sistema em cadeia fechada.
b) Determine se um controlador proporcional consegue estabilizar o sistema. Comente.
L
GL
C
Q
GQ
GV
P
GC
B
Gm
R
0,2
GL = GQ =
s −1
GV = Gm = 1
19 – Conclua sobre a estabilidade de um sistema com a seguinte equação característica:
s4 + 5 s3 + 3 s2 + 1 = 0
20 – Determine os valores do ganho do controlador KC que estabilizam o sistema com a
seguinte equação característica: 10 s3 + 17 s2 + 8 s + 1 + KC = 0
21 – Use o método da substituição directa para determinar as condições limites de
estabilidade em relação ao sistema do problema anterior. Comente a utilidade deste método.
22 – Descreva (recorrendo a ilustrações sempre que possível) todos os instrumentos
industriais de medida de temperatura, caudal, pressão e nível que conhece.