ME100
Lista 3: Quantificadores e provas matemáticas
Exercı́cio 1: Traduzir as seguintes proposições em forma simbólica,
indicando escolhas apropriadas para os domı́nios:
1) Existe um inteiro x tal que 4 = x + 2.
2) Para todo inteiro x, 4 = x + 2.
3) Todos os estudantes gostam de lógica.
4) Alguns estudantes não gostam de lógica.
5) Nenhum homem é uma ilha. (citação de John Donne)
6) Dentro dos inteiros alguns são primos.
7) Pelo menos uma letra de banana é uma vogal.
8) Alguns inteiros são pares ou divisı́veis por 3.
9) Alguns inteiros são pares ou alguns inteiros são divisı́veis
por 3.
Exercı́cio 2: Achar a negação em forma simbólica e em português
das proposições do Exercı́cio 1.
Exercı́cio 3: Traduzir as seguintes proposições em forma simbólica,
indicando escolhas apropriadas para os domı́nios:
1) Para toda reta l e todo ponto p não pertencente a l, existe
uma reta l0 que passa por p e que é paralela a l.
2) Se todo inteiro é ı́mpar então todo inteiro é par.
3) A soma de quaisquer dois inteiros naturais pares é par.
4) Cada subconjunto fechado e limitado de R é compacto.
5) Para todo inteiro par n existe um inteiro k tal que n = 2k.
Exercı́cio 4: Achar a negação em forma simbólica e em português
das proposições do Exercı́cio 3.
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Exercı́cio 5: Seja D = {1, 2}, p(x) a função proposicional “x
é par”e q(x) a função proposicional “x é ı́mpar”. Escrever as
seguintes quantificações como conjunções e disjunções:
a) ∀x em D, (p(x) ∧ q(x)).
b) ∀x em D, (p(x) → q(x)).
c) (∀x em D, p(x)) ∨ (∀x em D, q(x)).
d) (∃x em D 3 p(x)) ∧ (∃x em D 3 q(x)).
e) (∃x em D 3 p(x)) → (∃x em D 3 q(x)).
Exercı́cio 6: Escrever as provas direta, por contraposição e por
contradição do seguinte teorema:
Teorema: Se x e y são inteiros naturais divisı́veis por 3 então
x + y é divisı́vel por 3.
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