Capı́tulo 10
Magnetostática
10.1
Campo Magnético
Por meio de experimentos, notou-se que os portadores de carga sofriam influências de outra força, fora aquela resultante da ação do campo elétrico.
Tal força dependia não só da posição da partı́cula mas também da velocidade
de seu movimento, e ela recebeu o nome de força magnética.
Portanto, Em todo ponto do espaço temos duas quantidades vetoriais que
determinam a força resultante que atua sobre uma carga:
• A primeira delas é a força elétrica, a qual fornece uma componente
da força independente do movimento da carga. É possı́vel descrevê-la,
como já foi visto, em termos do campo elétrico.
• A segunda quantidade é uma componente adicional à força denominada
força magnética, que será apresentada a seguir.
Foi visto que o campo elétrico pode ser definido como a força elétrica por
unidade de carga:
�
� = Fe
E
q
149
(10.1)
150
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Isso pôde ser feito devido à existência de monopólos elétricos. Porém o
ser humano não observou, até hoje, monopolos magnéticos: Todos os corpos
magnetizados possuem um pólo Norte e um pólo Sul. Por causa disso, o
campo magnético deve ser definido de outra maneira.
Observando o movimento de cargas elétricas em campos magnéticos,
notou-se que:
• A força magnética é proporcional à carga da partı́cula:
Fm ∝ q
• A força magnética é sempre perpendicular ao sentido de deslocamento
da partı́cula:
F�m · �v = 0
• Se o deslocamento da partı́cula é paralelo à uma direção fixa, a força
magnética é nula. Caso contrário, a força magnética é proporcional
à componente da velocidade que é perpendicular à essa direção. Em
sı́ntese: sendo θ o ângulo entre o vetor velocidade (�v ) e essa direção
fixa:
Fm ∝ v sin θ
(10.2)
Todo esse comportamento pode ser descrito por meio da definição do vetor
� 1 , cuja direção especifica simultaneamente a direção fixa
campo magnético B
mencionada e a constante de proporcionalidade com a velocidade e a carga.
�
�
�
F�m = q �v × B
(10.3)
Utilizando as equações 10.1 e 10.3, demonstra-se que a força resultante
1
� �
� = T (tesla). 1T = 104 G (gauss)= wb (weber)
Unidade do campo magnético: B
m2
10.2. FORÇA MAGNÉTICA EM FIOS
151
aplicada sobre uma carga elétrica é dada por:
F� = F�e + F�m
(10.4)
�
�
� + �v × B
�
F� = q E
(10.5)
A equação 10.5 representa a Força de Lorentz, um dos axiomas da teoria
eletromagnética. Sua importância advém do fato dela ser a ponte entre a
dinâmica e o eletromagnetismo.
Observação: A força magnética NÃO realiza trabalho, pois ela é sempre
perpendicular ao deslocamento da partı́cula.
�
�
� · �v dt = 0
dW = F�m · d�l = q �v × B
Segue que a força magnética não pode alterar apenas a direção da velocidade da carga (�v ). Fica então a pergunta: Como um ı́mã pode mover outro?
Veremos isso mais adiante.
10.2
Força magnética em fios
Vamos considerar um condutor pelo qual passa uma corrente elétrica I,
� Pode-se dizer que a quantidade de carga
imerso em um campo magnético B.
que passa pela secção transversal do fio em um tempo dt é:
dq = I dt
(10.6)
De acordo com a equação 10.3, a força magnética aplicada nesse elemento
de carga é:
�
�
�
dF�m = dq �v × B
Substituı́ndo 10.6 em 10.7, temos:
(10.7)
152
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
�
�
�
dF�m = I dt �v × B
�
�
�
dF�m = I �v dt × B
�
�
�
�
�
dFm = I dl × B
(10.8)
� possui a mesma direção e sentido da corrente. Então integrando
Onde dl
a equação 10.8 ao longo do comprimento do fio, encontramos a força aplicada
nesse corpo:
� �
�
�
F�m = I d�l × B
(10.9)
Γ
Figura 10.1: Fio imerso em campo magnético
Como exemplo, façamos uma análise para o caso no qual a corrente e o
campo são constantes.
� não variam, a integral apresentada em 10.9 fica da seguinte
Como I e B
maneira:

F�m = I 
� �
Γ

�
�
d�l × B
(10.10)
Se somarmos todos os vetores elementares de comprimento ( d�l) de um
fio, obtemos como resultado o vetor �l, que liga as duas extremidades desse
10.3. TORQUE EM ESPIRAS
153
objeto. Portanto, a equação 10.10 torna-se:
�
�
�
�
�
Fm = I l × B
(10.11)
Nota-se que, para fios fechados (espiras), o vetor �l é nulo, portanto a força
magnética resultante é zero.
Figura 10.2: Força resultante na espira fechada é nula
Observação: A força magnética resultante é nula, mas o torque não o é!
10.3
Torque em espiras
� de tal
Considere uma espira retangular imersa em um campo magnético B
forma que seus fios estejam paralelos aos vetores do campo, como mostrado
na figura 10.3. Vamos calcular a força em cada lado da espira:
Figura 10.3: Espira retangular
154
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Lado 1:
Lado 2:
�
�
� =0
F�1 = I �l1 × B
�
�
�
�
�
�
�
F2 = I l2 × B = IBa −î × ĵ
F�2 = −IBak̂
Lado 3:
Lado 4:
�
�
� =0
F�3 = I �l3 × B
�
�
�
�
� = IBa î × ĵ
F�4 = I �l4 × B
F�4 = IBak̂
Agora é possı́vel calcular o torque das forças F�2 e F�4 em relação ao eixo que
passa pelo centro da espira e é perpendicular aos fios 1 e 3, como mostrado
na Figura 10.4.
Figura 10.4: Cálculo do torque
Lado 2:
τ�2 = �r2 × F�2 =
�
τ�2 =
Lado 4:
τ�4 = �r4 × F�4 =
b
− ĵ
2
�
× −IBak̂
IBab
î
2
�
b
ĵ
2
�
�
�
�
× IBak̂
�
155
10.3. TORQUE EM ESPIRAS
τ�4 = −
IBab
î
2
Então, o torque total é:
�τ = τ�2 + τ�4 = IBabî
Nota-se que o produto ab é a área da própria espira. Pode-se estender
o resultado acima para uma espira qualquer de área A percorrida por uma
� um vetor normal à superfı́cie da espira com módulo igual
corrente I. Sendo A
à A, o torque nesse objeto é dado por:
�×B
�
�τ = I A
(10.12)
Para uma espira com N voltas, temos:
�×B
�
�τ = N I A
(10.13)
Observando-se a importância do primeiro fator do membro direito da
equação 10.13 , define-se o momento de dipolo magnético µ
� como sendo:
�
µ
� = N IA
(10.14)
Logo a equação 10.13 pode ser escrita como2 :
�
�τ = µ
� ×B
(10.15)
Exercı́cio 10.1. Em um dado instante, percebeu-se que uma bobina de N
� apresentou uma aceleração angular
voltas imersa em um campo magnético B
de rotação igual à α. Sendo I seu momento de inércia, calcule a área da
bobina. Considere θ como sendo o ângulo entre o plano da bobina e o vetor
�
B
Podemos calcular o torque de duas maneiras:
2
analogia com a equação do momento de dipolo para a eletrostática
156
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Figura 10.5: Espira imersa no campo magnético
τ = Iα
�
�τ = µ
� ×B
Logo:
�
�
�
��
Iα = �µ
� ×B
�
(10.16)
Calculando o momento de dipolo magnético:
� = N iA�n
µ = iA
Substituı́ndo 10.17 em 10.16 :
�
�
�
�
Iα = N iAB ��n × �j �
Iα = N iAB cos θ
Então a área é:
A=
Iα
N iB cos θ
(10.17)
157
10.4. O MOVIMENTO CYCLOTRON
10.4
O Movimento Cyclotron
Um dos mecanismos utilizados em aceleradores de partı́culas emprega campos
magnéticos para que elas descrevam movimentos circulares. Tais aceleradores
são conhecidos como Cyclotrons.
� com uma velocidade �v
Uma partı́cula lançada em um campo magnético B
� como mostrado na Figura 10.6, realizará esse tipo de moperpendicular à B,
vimento, no qual a força magnética desempenha o papel de força centrı́peta.
Pode-se dizer então que:
Figura 10.6: Movimento de uma partı́cula no Cyclotron
Fm = qvB =
mv 2
R
(10.18)
Os aceleradores de partı́culas permitem a obtenção de certas caracterı́sticas
importantes desses corpos, tais como o momento linear. Sendo p = mv o momento linear de uma partı́cula, pode-se manipular a equação 10.18 e chegar
ao seguinte resultado:
p = qBR
(10.19)
Desse modo, basta lançar a partı́cula no campo e medir o raio de seu
158
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
movimento para medir o seu momento linear.
Sabe-se que a freqüência angular do movimento circular é ω = v/R.
Manipulando a equação 10.18, também é possı́vel determinar a freqüência
cyclotron:
qB
(10.20)
m
Outro aspecto interessante relativo à esse movimento e que, caso a partı́cula
apresente uma componente da velocidade paralela ao campo magnético, ela
descreverá uma trajetória helicoidal.
ω=
Figura 10.7: Movimento helicoidal
Exercı́cio 10.2. Um feixe de partı́culas transitando por uma região com
� e campo elétrico E
� não sofre acelerações. Depois,
campo magnético B
retirou-se o campo magnético, então as partı́culas passaram a executar um
movimento circular uniforme de raio R. Dê a relação carga/massa dessas
partı́culas
No primeiro caso, as forças elétricas e magnéticas devem equilibrar-se
para que não haja acelerações. Ou seja, a Força de Lorentz deve ser nula:
�
�
�
�
�
F = q E + �v × B = 0
� + �v × B
� =0
E
E = vB
E
v=
(10.21)
B
Para o segundo caso, temos um movimento cyclotron. De acordo com
10.5. A AUSÊNCIA DE MONOPOLOS MAGNÉTICOS
159
a equação que fornece o momento linear das partı́culas nesse movimento,
temos:
mv = qBR
q
v
=
m
BR
(10.22)
Encontramos a relação carga/massa por meio da substituição de 10.21
em 10.22:
q
E
= 2
m
B R
Esse foi o processo pelo qual J. J. Thomson descobriu o elétron estudando
o comportamento de raios catódicos, em 1897.
10.5
A Ausência de monopolos magnéticos
Como foi dito anteriormente, nunca observaram-se monopolos magnéticos, e
tal fenômeno foi tomado como outro axioma da teoria eletromagnética. Isso
pode ser descrito matematicamente do seguinte modo, sendo S uma superfı́cie
fechada e V o volume delimitado por essa superfı́cie:
�
� · dS
�=0
B
S
Aplicando o Teorema de Gauss, encontramos que:
�
S
� · dS
�=
B
�
� ·B
� dV = 0
∇
V
� ·B
� =0
∇
(10.23)
A equação 10.23 pertence às equações de Maxwell. Os principais significados contidos nessa equação são:
160
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
• Ausência de monopólos magnéticos
• As linhas do campo magnético sempre são fechadas
� ·E
� = ρ . Conclui-se que não há análogo
Na eletrostática, vimos que ∇
�0
magnético para a carga elétrica. Não há cargas magnéticas por onde o campo
magnético possa emergir (nunca divergem de nenhum ponto!), pois ele só
surge na presença de correntes elétricas. Observa-se também que as linhas
de campo magnético são sempre fechadas. Além disso, pelo fato de o fluxo
através de uma superfı́cie fechada ser igual a zero, todas as linhas que entram
nessa superfı́cie devem sair. As linhas nunca começam ou terminam em algum
lugar.
10.6
O Efeito Hall
Em 1979, E.H. Hall tentou determinar se a resistência de um fio aumentava
quando este estava na presença de um campo magnético, uma vez que os
portadores de carga deveriam se acumular num lado do fio. Vamos analisar
tal fenômeno por meio da experiência ilustrada na Figura 10.8.
Figura 10.8: Efeito Hall
Considere um condutor no qual o sentido da corrente é perpendicular ao
campo magnético. Os portadores de carga negativa acumular-se-ão em uma
das extremidades do condutor, logo a extremidade oposta apresentará uma
� H no
carga positiva, o que resultará no surgimento de um campo elétrico E
interior do condutor. Os elétrons serão deslocados até que as forças elétricas
e magnéticas entrem em equilı́brio, ou seja:
161
10.6. O EFEITO HALL
F�e = F�m
Aplicando as equações 10.1 e 10.3, temos:
�
�
�
�
−eEH = −e �v × B
� H = �v × B
�
E
(10.24)
Considerando o campo constante no interior do condutor, podemos medir
a diferença de potencial entre as duas extremidades, denominada ddp Hall,
como sendo:
�H = E H d
(10.25)
Nota-se que essa voltagem existe no sentido transversal à corrente.
É possı́vel utilizar o Efeito Hall para investigar a natureza dos portadores
de carga no condutor, como mostrado nas Figuras 10.9 e 10.10, uma vez que
podemos prever como as cargas devem se comportar sob ação de campos
magnéticos.
Figura 10.9: Efeito Hall para portadores de carga negativa
162
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Figura 10.10: Efeito Hall para portadores de carga positiva
10.7
A Lei de Biot Savart
10.7.1
Introdução
Na eletrostática, a Lei de Coulomb permite analisar como se dá a relação
entre o campo elétrico e as cargas elétricas. Será que existe uma lei correspondente para a magnetostática? A resposta é sim, e ela é conhecida como
a Lei de Biot-Savart, que será discutida a seguir.
Como foi visto anteriormente, definimos o campo magnético por meio da
força magnética. Agora queremos defini-lo por meio de sua fonte, que é a
corrente elétrica.
Figura 10.11: Movimento da carga em relação à um ponto P
Observe a Figura 10.11. Experimentalmente, pode-se constatar que:
B∝
qv
r2
� v
B⊥�
� r
B⊥�
163
10.7. A LEI DE BIOT SAVART
Com base nisso, pode-se dizer que o elemento do campo magnético produzido por um elemento de de carga em movimento obedece à seguinte relação:
�v × r̂
r2
�
� ∝ dq dl × r̂
dB
dt r2
�
� ∝ dq dl × r̂
dB
dt r2
�
� ∝ I dl × r̂
dB
r2
�
� = µ0 I dl × r̂
dB
4π
r2
�
µ0
d�l × r̂
�
B=
I
4π
r2
� ∝ dq
dB
(10.26)
(10.27)
A equação 10.27 é denominada lei de Biot-Savart.
A escolha da constante de proporcionalidade foi feita de modo a facilitar
os cálculos subseqüentes. No sistema MKS:
µ0
N
= 10−7 2
4π
A
Onde µ0 é a permeabilidade magnética do vácuo.
10.7.2
Formas Alternativas
A Lei de Biot-Savart também pode ser escrita em termos da distribuição de
corrente. Sabendo que I = j dS, a equação 10.27 fica da seguinte maneira:
� = µ0
B
4π
�
jdS
d�l × r̂
r2
(10.28)
Vamos aplicar a equação 10.28 para a situação ilustrada na Figura ???x.
Neste caso, o sistema Oxyz é um referencial fixo, enquanto o sistema Ox� y � z �
164
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
� = �r − r�� .
estão situados no elemento de carga em estudo. Observe que R
Como �j e d�l possuem a mesma direção, podemos dizer que j d�l = �j dl. Além
disso, sabendo que dl dS = dV , pode-se dizer que a Lei de Biot-Savart fica
da seguinte maneira:
� �
� �j r�� × R̂
� (�r) = µ0
B
dv �
4π
R2
Vamos aplicar o divergente em relação ao sistema Oxyz:
� ·B
� (�r) = µ0
∇
4π
�
 � �

�j r�� × R̂
� ·
 dv �
∇
2
R
(10.29)
Aplicando a regra do divergente do produto vetorial3 ao divergente presente no membro direito da equação 10.29 :
 � �

� �
�j r�� × R̂
� �
� �
� ·
� × R̂ + R̂ · ∇
� × �j r��
 = −�j r�� · ∇
∇
R2
R2
R2
� �
�
�
R̂
1
� −
� × R̂ = 0 pois o rotacional do
Nota-se que 2 = ∇
. Logo ∇
R
R
R2
� �
� × �j r�� = 0 pois o rotacional está
gradiente é sempre nulo. Além disso ∇
aplicado em Oxyz enquanto �j refere-se ao sistema Ox� y � z � . Obtemos então
que:
� ·B
� =0
∇
Isso corrobora a validade da Lei de Biot-Savart.
�
�
�
�
�
�
�×B
� = −A
�· ∇
� ×B
� +B
�· ∇
� ×A
�
∇· A
3�
165
10.7. A LEI DE BIOT SAVART
10.7.3
Aspectos Interessantes
Um resultando interessante pode ser obtido ao combinar a Lei de Biot-Savart
com a equação 10.3 na seguinte situação: imagine uma carga q1 movendo-se
com velocidade �v1 tendo ao seu redor uma outra carga q movendo-se com
velocidade �v . Qual a força magnética que q imprimirá em q1 ?
A análise inicia-se por meio da integração da equação 10.26, empregando,
antes, a constante de proporcionalidade. Encontramos então que:
� = µ0 q �v × r̂
B
4π r2
(10.30)
Substituı́ndo a equação 10.30 na equação 10.3 aplicada para a carga q1 :
� = q1�v1 ×
F�m = q1�v1 × B
�
µ0 �v × r̂
q
4π r2
�
Multiplicando e dividindo o membro direito por µ0 :
�
�
qq
r̂
1
F�m = µ0 �0�v1 × �v ×
4π�0 r2
Mas, pela Lei de Coulomb:
qq1 r̂
F�e =
4π�0 r2
−1
Além disso, sabendo que c2 = µ−1
0 �0 , temos:
�v1
F�m =
×
c
�
�v
× F�e
c
�
Se considerarmos v << c, encontramos que:
vv1
F�m ≤ 2 F�e
c
(10.31)
A equação 10.31 diz que para velocidades pequenas comparadas com a
velocidade da luz, a interação magnética será muito menor que a interação
166
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
elétrica. Como Fm << Fe , pode parecer, à primeira vista, que a força
magnética poderia ser desprezada em comparação com a força elétrica, porém
existem sistemas de partı́culas onde isso não é assim. De fato, numa corrente
de condução, onde estão presentes cargas positivas e negativas em iguais densidades, o campo elétrico macroscópico é nulo, porém o campo magnético das
cargas em movimento não o é.
Outro aspecto importante que pode ser derivado por meio da Lei de BiotSavart é uma relação entre o campo elétrico e o campo magnético gerado
por uma mesma partı́cula. Multiplicando o numerador e o denominador da
equação 10.30 por �0 :
� = µ0 �0 q �v × r̂
B
4π�0 r2
�
� = �v × E
B
c2
10.7.4
Aplicações da Lei de Biot-Savart
Agora vejamos alguns exemplos nos quais se aplica a Lei de Biot-Savart:
Exercı́cio 10.3. Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo elétrico
nas vizinhanças de um fio reto.
Figura 10.12: Campo gerado por um fio reto
167
10.7. A LEI DE BIOT SAVART
Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo:
� = µ0
B
4π
�
I
�
d�l × r̂
µ0
d�l × �r
=
I
r2
4π
r3
Para o fio reto, vale:
d�l = dxî
�r = −xî + dĵ
Então, fazendo as devidas substituições:
�
�
l
�/2 dxî × r −xî + dĵ
� = µ0
B
I
3
4π
2 + d2 ) /2
(x
−l/
2
� = µ0
B
4π
l
�/2
−l/
2
Logo o campo é:
ddx
I
(x2
+
3
d2 ) /2
k̂
�l
�2
�
µ
Id
1
x
0
� =
�
B
�
1
4π d2 2
/
(x + d2 ) 2 � −l
2
� = µ0 I
B
4πd �
l
2
l
+ d2
4
�1/
2
k̂
Note que se considerarmos o fio como sendo infinito (l >> d), o campo
será:
168
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
� = µ0 I k̂
B
2πd
Exercı́cio 10.4. Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo elétrico
no eixo de uma espira circular.
Figura 10.13: Campo gerado por uma espira circular
Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo:
� = µ0
B
4π
Para a espira, vale:
�
�
d�l × r̂
µ0
d�l × �r
I 2 =
I 3
r
4π
r
d�l = a dθθ̂
�r = −aî + z ĵ
Pela simetria do problema, só teremos campo paralelo ao eixo da espira.
Logo precisamos calcular apenas uma componente do campo gerado por cada
elemento de corrente:
� = dB
� 1 cos α
dB
169
10.7. A LEI DE BIOT SAVART
Onde:
cos α = √
a
a2 + z 2
Então, aplicando a Lei de Biot-Savart (para calcular apenas o elemento
de campo):
µ0 d�l × �r
I
cos α
4π
r3
Fazendo as devidas substituições:
� =
dB
� =
dB
µ0
4π
Ia
(z 2
3
a2 ) /2
+
adθk̂
Integrando de 0 a 2π para cobrir toda a espira, encontramos o campo
desejado:
µ0 Ia2
� =
B
2 (a2
+
3
z 2 ) /2
k̂
Exercı́cio 10.5. Para criar regiões com campos magnéticos constantes em
laboratório, empregam-se as bobinas de Helmholtz, esquematizadas na Figura 10.14.Calcule o valor do campo ao longo do eixo das bobinas e o ponto
no qual o campo é magnético é maximo :
O campo gerado por uma espira circular é:
� (z) =
B
µ0 Ia2
2 (a2
+
3
z 2 ) /2
k̂
Então, usando o princı́pio da superposição para as duas espiras, o campo
ao longo do eixo é:

2
� (z) = µ0 Ia 
B

2
1
3
(a2 + z 2 ) /2
1
+
�
a2 + (2b − z)
3
2 � /2


 k̂
170
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Figura 10.14: Bobinas de Helmholtz
Para calcular o ponto no qual o campo magnético apresenta valor máximo,
basta encontrarmos o valor de z tal que a derivada da função acima se anula:

� (z)
dB
µ0 Ia  3
=
−
dz
2
2
2
Vemos que:
2z
5
(a2 + z 2 ) /2
−

3 2 (2b − z) (−1) 
 k̂
�5/2
2�
2
a2 + (2b − z)
� (z)
dB
=0⇒z=b
dz
Agora veremos a condição para que o campo nesse ponto seja aproximadamente constante. Derivando mais uma vez a função do campo magnético:
�
� (z) ��
d2 B
�
dz 2 �
z=b
= 0 ⇒ a2 − 4b2 = 0 ⇒ 2b = a
A condição é que a separação das bobinas seja igual ao raio.
Fazendo a expansão em séries de Taylor, é possı́vel calcular o quão próximo
esse campo está de um campo constante:
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
171
Sabendo que B �� (a/2) = B ��� (a/2) = 0, a expansão fica:
�
�4 ∂ 4 B ��
1
a
� (z) ≈ B
�
B
+
z−
+ ...
2
24
2
∂z 4 �z= a
�
�
�24 �
�a�
a
144 z − /2
� (z) = B
B
1−
2
125
a
�a�
A partir desse resultado, é possı́vel inferir que, para |z − a/2| < a/10 ⇒
B (z) �= B (a/2), o campo varia em menos de uma parte e meia em dez mil.
10.8
A Lei Circuital de Ampère
10.8.1
Introdução
As experiências de Oersted, além de comprovarem que correntes elétricas
geram campos magnéticos ao seu redor, motivou a comunidade cientı́fica a
compreeender a relação entre fenômenos elétricos e magnéticos. Após tais
experimentos, uma semana foi tempo suficiente para que Ampere deduzisse
a apresentasse sua lei. Enquanto que a Lei de Biot-Savart corresponde à Lei
de Coulomb, a Lei de Ampère faz a vez da Lei de Gauss na magnetostática.
Considere um fio infinito por onde passa uma corrente I, como mostrado
na Figura 10.15. Utilizando a Lei de Biot-Savart, demonstrou-se que o campo
gerado nesse caso é dado por:
Figura 10.15: Fio infinito
172
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
� = µ0 I θ̂
B
2πr
Calcularemos a circulação do campo magnético por meio de vários caminhos ao redor do fio.
Considerando, inicialmente, o caminho como sendo um cı́rculo:
Figura 10.16: Caminho ao redor do fio para cálculo da circulação
�
� · d�l = µ0 I 2πr = µ0 I
B
2πr
Γ
Vamos calcular a circulação pora outro caminho:
Figura 10.17: Caminho ao redor do fio para cálculo da circulação
�
Γ
� · d�l =
B
�
Γ1
� · d�l +
B
�
Γ2
� · d�l +
B
�
Γ3
� · d�l +
B
�
� · d�l
B
Γ4
� e d�l são paralelos para os fios 2 e 4, as integrais para
Como os vetores B
Γ2 e Γ4 são nulas. Logo temos o seguinte resultado:
173
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
�
Γ
� · d�l = µ0 I πr1 + 0 + µ0 I πr2 = µ0 I
B
2πr1
2πr2
Mais um caminho para calcular:
Figura 10.18: Caminho ao redor do fio para cálculo da circulação
�
� · d�l =
B
Γ
�
Γ1
� · d�l +
B
�
Γ2
� · d�l +
B
�
Γ3
� · d�l +
B
�
� · d�l
B
Γ4
A mesma observação feita para os fios 2 e 4 anteriormente valem para
esse caso. Então temos:
�
Γ
� · d�l = µ0 I θr1 + 0 + µ0 I (2π − θ) r2 = µ0 I
B
2πr1
2πr2
Obsevou a semelhança dos resultados? Então vamos generalizá-los para
um caminho qualquer.
Figura 10.19: Caminho ao redor do fio para cálculo da circulação
174
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Em coordenadas cilı́ndricas:
d�l = drr̂ + r dθθ̂ + dz k̂
� = B θ̂, encontramos que:
Sabendo que B
� · d�l = Br dθ = µ0 I r dθ = µ0 I dθ
B
2πr
2π
Fazendo a integral ao redor do fio:
�
� · d�l =
B
Γ
�
µ0 I
dθ =
2π
�2π
µ0 I
µ0 I
dθ =
2π
2π
2π
0
Γ
Disso resulta a Lei de Ampère:
�
� · d�l = µ0 Iint
B
(10.32)
Γ
Observação: Na Lei de Coulomb, utilizávamos SUPERFÍCIES que envolviam as cargas para fazer o cálculo do campo elétrico, mas na Lei de
Ampère, precisamos criar CURVAS que envolvam os condutores a fim de
calcular o campo magnético.
Assim como a Lei de Coulomb, a Lei de Ampère sempre é válida. No
entanto sua maior utilidade se dá em casos nos quais é possı́vel notar simetria
no campo magnético, como será mostrado no exercı́cios mais adiante.
10.8.2
A forma diferencial da Lei de Ampère
Aplicando o Teorema de Stokes no membro esquerdo da equação 10.32:
�
Γ
� · d�l =
B
� � �
S
�
� ×B
� · dS
�
∇
Analisando o membro direito da equação 10.32:
(10.33)
175
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
µ0 I = µ0
� �
�
�j · dS
(10.34)
S
Pela própria Lei de Ampère, podemos igualar 10.33 e 10.34, encontrando
que:
� � �
S
� �
�
�
�
�
�
�j · dS
∇ × B · d S = µ0
S
Finalmente, temos a forma diferencial da Lei de Ampère:
� ×B
� = µ0�j
∇
(10.35)
Se aplicarmos o divergente na equação 10.35
�
�
� · ∇
� ×B
� = µ0 ∇
� · �j
∇
� · �j = 0
∇
Percebe-se algo importante diante desse resultado: a Lei de Ampère é
válida apenas para correntes estacionárias4
10.8.3
Aplicações da Lei de Ampère
Seguem alguns exemplos nos quais é fundamental a aplicação da Lei de
Ampère para a resolução dos problemas:
Exercı́cio 10.6. Calcule o campo magnético, em todo o espaço, gerado por
um ciclindro infinito percorrido por uma corrente I.
Devido à simetria cilı́ndrica do problema, podemos escolher amperianas
circulares para calcular o campo no interior e ao redor do fio, pois o campo
magnético será constante ao longo de toda a curva, facilitando a integração.
4
corrente estacionária:
dρ
=0
dt
176
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Figura 10.20: Cilindro condutor
• Para r > R (Figura 10.21):
Figura 10.21: Amperiana fora do cilindro
�
Γ1
� · d�l = µ0 I → B2πr = µ0 I
B
� = µ0 I θ̂
B
2πr
• Para r < R (Figura 10.22):
�
πr2
�
�
B · dl = µ0 Iint → B2πr = µ0 I
Γ2
πR2
µ
Ir
0
� =
B
θ̂
2πR2
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
177
Figura 10.22: Amperiana dentro do cilindro
Sintetizando os resultados na forma de um gráfico:
Figura 10.23: Campo magnético gerado por um cilindro infinito
Exercı́cio 10.7. Calcule o campo magnético, em todo o espaço, gerado por
um cabo coaxial percorrido por correntes de mesma intensidade mas de sentidos opostos em cada face.
Vamos dividir o espaço em 4 regiões e aplicar a Lei de Ampère para cada
uma delas:
• Para r < a:
Para determinar a corrente interna à amperiana, vamos considerar que
178
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Figura 10.24: Cabo coaxial
a densidade de corrente ao longo do cabo é constante e igual à j, logo
sendo πr2 a área delimintada pela amperiana:
j=
Iint
I
= 2
2
πr
πa
Iint =
r2
a2
Aplicando a Lei de Ampère:
B2πr = µ0 I
r2
� = µ0 Ir θ̂
→B
2
a
2πa2
• Para a < r < b:
A corrente interna à amperiana será sempre a corrente total que passa
pelo cabo interno, logo pela Lei de Ampère:
� = µ0 I θ̂
B2πr = µ0 I → B
2πr
• Para b < r < c:
A corrente interna à amperiana será a corrente total que passa pelo
cabo interno menos a corrente que passa pela porção do cabo externo
179
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
delimitada pela curva. Considerando também a densidade de corrente
constante no cabo externo:
Iint = I −
r 2 − b2
c 2 − b2
Aplicando a Lei de Ampère:
µ0 Iπ (r2 − b2 )
� = µ0 I
B2πr = µ0 I −
θ̂ → B
2
2
π (c − b ) �
� 2πr
2
2
c
−
r
� = µ0 I
B
θ̂
c 2 − b2
�
r 2 − b2
1− 2
c − b2
�
θ̂
• Para r > c:
A corrente interna à amperiana será a soma das correntes que passam
pelo cabo interno e pelo cabo externo. Como as duas correntes possuem
a mesma intensidade mas possuem sentidos opostos, a soma sempre será
nula. Então, pela Lei de Ampère:
� =0
B
Exercı́cio 10.8. Considere dois solenóides infinitos concêntricos de raios a
e b. Calcule o campo magnético em todo o espaço. As correntes de cada
solenóide possuem mesma intensidade mas têm sentidos contrários.
Primeiro vamos analisar o campo gerado por um solenóide para depois
empregar o princı́pio da superposição
Observa-se que a corrente no interior da amperiana (Figura: 10.26) depende do número de espiras englobadas:
Iint = N I
Aplicando então a Lei de Ampère:
180
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Figura 10.25: Solenóides
Figura 10.26: Amperiana no interior do solenóide
�
Γ
� · d�l =
B
�
� · d�l +
B
�
� · d�l +
B
Γ1
Γ2
� �� �
� �� �
�
=0poisB=0
Logo:
�
� d�l
=0poisB⊥
�
Γ3
� · d�l +
B
�
� · d�l
B
Γ4
� �� �
� d�l
=0poisB⊥
� · d�l = µ0 I → Bdentro l = µ0 N I → Bdentro = µ0 N I = µ0 nI
B
l
Γ
N
indica a densidade de espiras do solenóide
l
Agora, façamos uma amperiana para calcular o campo fora do solenóide
onde n =
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
181
(Figura: 10.27) :
Figura 10.27: Amperiana externa ao solenóide
Note que, neste caso, a corrente interna à curva é zero. Portanto o campo
magnético fora do solenóide infinite é nulo:
Bf ora = 0
Agora, vamos usar o princı́pio da superposição para calcular o campo
para os dois solenóides.
• Para r < a :
Neste caso, temos a influência dos campos dos dois solenóides. Sendo
� 1 o campo gerado pelo solenóide interno e B
� 2 o campo gerado pelo
B
solenóide externo:
� =B
�1 − B
� 2 = µ0 In1 − µ0 In2
B
� = µo I (n1 − n2 )
B
• Para a < r < b :
Aqui, temos influência apenas do solenóide externo
182
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
� = −µ0 In2
B
(10.36)
• Para r > b :
Como estamos fora de ambos os solenóides, o campo neste caso é nulo
� =0
B
Exercı́cio 10.9. Considere um cilindro de raio a com uma cavidade cilı́ndrica
de raio b. A distância entre os centros dos cilindros é d. Sendo j a densidade
de corrente no condutor, qual é o campo magnético no interior da cavidade?
Figura 10.28: Condutor com cavidade
Considere como sendo �x a posição do ponto em questão em relação ao
eixo do condutor e �y como sendo a posição do ponto em relação ao eixo da
cavidade:
Para resolver esse exercı́cio, será necessária a utilização do princı́pio da
superposição. Observe que a configuração final do sistema pode ser obtida se
somarmos dois cilindros com sentidos de correntes opostos, como apresentado
na Figura 10.30 :
Portanto, devemos calcular o campo gerado pelo cilindro maior em um
ponto que dista x do seu eixo e somar com o campo gerado pelo cilindro
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
Figura 10.29: Posicionamento do ponto
Figura 10.30: Princı́pio da superposição
menor em um ponto que dista y de seu centro.
• Cilindro maior
Figura 10.31: Lei de Ampère para cilindro maior
183
184
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
�→
−
− →
B · d l = µ0 Iint
Γ
B1 2πx = µ0 jπx2
−
� 1 = µ0 jx →
B
θ
2
�→
�
µ
−
−
�x = 0 j × →
B
x
2
• Cilindro menor
Figura 10.32: Lei de Ampère para cilindro menor
�→
−
− →
B · d l = µ0 Iint
Γ
B2 2πy = µ0 jπy 2
−
� 2 = µ0 jy →
B
ϕ
2
�→
�
µ
−
0
−
�2 =
B
j ×→
y
2
Como os sentidos das correntes são opostos, o campo resutante será:
→
−
→
−
→
−
B = B�1 − B 2�
�
�
→
−
µ0 →
µ0 →
− →
− →
−
−
B =
j × x −
j × y
2
�
→
−2 µ0 �→
−
−
−
B =
j × (→
x −→
y)
2
Mas a seguinte relação sempre é válida: �x − �y = d� . Portanto o campo
no interior da cavidade é constante e igual à:
−�
→
−
µ 0 �→
− →
B =
j × d
2
185
10.9. POTENCIAL VETOR
Exercı́cio 10.10. Calcule o campo no centro da seção circular de um toróide
de N espiras.
Figura 10.33: Toróide
Vamos passar uma amperiana no interior do toróide
Figura 10.34: Amperiana no toróide
Temos que a corrente interna à amperiana será Iint = N I. Logo
�
10.9
� · d�l = µ0 Iint → B2πr = µ0 N I → B
� = µ0 N I θ̂
B
2πr
Potencial Vetor
As 4 equações que sintetizam a teoria eletromagnética vistas até agora são:
ELETROSTÁTICA
� ·E
� = ρ0
∇
�0
(10.37)
� ×E
� =0
∇
(10.38)
186
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
MAGNETOSTÁTICA
� ·B
� =0
∇
(10.39)
� ×B
� = µ0�j
∇
(10.40)
Para a eletrostática, devido à equação 10.38, percebe-se que o campo
elétrico é um campo conservativo. Logo foi possı́vel definir o potencial elétrico
da seguinte forma:
�
�
� ×E
� =0⇒E
� = −∇V
�
∇
Aplicando esse resultado à equação 10.38:
Segue que:
�
�
� ·E
� =∇
� · −∇V
�
∇
= −∇2 V
∇2 V = −
ρ0
�0
Será que é possı́vel definir um potencial análogo para o campo magnético?
� ·B
� = 0. A partir disso, pode-se inferir que B
� é um campo
Sabe-se que ∇
rotacional. Em outras palavras, é possı́vel encontrar um campo vetorial tal
que seu rotacional�resulta
no campo magnético. Esse campo é denominado
�
�
potencial vetorial A , que é definido do seguinte modo:
�
�
� ·B
� =0⇒B
� = ∇
� ×A
�
∇
(10.41)
Aplicando esse resultado à equação 10.40:
�
�
�
�
� ×B
� =∇
� × ∇
� ×A
� =∇
� ∇
� ·A
� − ∇2 A
�
∇
Como pode-se determinar mais de um campo que satisfaça a equação
� tal que ∇
� ·A
� = 05 .
10.41, é permitido escolher adequadamente um campo A
5
Denomina-se isso como escolha de calibre, ou escolha de gauge
187
10.9. POTENCIAL VETOR
Segue então que:
� ×B
� = −∇2 A
�
∇
� = −µ0�j
∇2 A
(10.42)
� não é o operador Laplaciano, pois está sendo aplicado
Observação: ∇2 A
a um campo vetorial. Na verdade, temos que:
�
�
�
�
�=∇
� ∇
� ·A
� −∇
� × ∇
� ×A
�
∇2 A
Particularmente, para coordenadas cartesianas:
∇2 Ax = −µ0 jx
∇2 Ay = −µ0 jy
∇2 Az = −µ0 jz
Outras formas de expressar o potencial vetor em função das densidades
de corrente6 são:
• Densidade volumétrica
• Densidade superficial
� �
� �j r�� dv �
� (�r) = µ0
�
�
A
�
�
4π
��r − r�� �
� �
� �k r�� ds�
� (�r) = µ0
�
�
A
�
�
4π
�
�
��r − r �
(10.43)
(10.44)
6
�r:posição do ponto em relação ao referencial fixo. r�� : posição do ponto em relação a
um elemento de carga. (ver Figura 10.11)
188
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
• Densidade linear
� �
� I� r�� dl�
� (�r) = µ0
�
�
A
�
�
4π
��r − r�� �
(10.45)
Façamos alguns exemplos:
Exercı́cio 10.11. Calcule o potencial vetor para um fio finito percorrido por
uma corrente I.
Figura 10.35: Fio finito
Vamos aplicar a equação que fornece o potencial vetor em função da
densidade linear de carga (equação 10.45 ):
√
� �
� = µ0 Idz k̂ , comr = z 2 + s2
A
4π
r
�
�
�
2
2
√
�
��z2
�
z
+
z
+
s
µ
I
dz
µ
I
µ
I
2
0
0
0
�=
�=
�=
√
� 2
A
k̂ → A
ln z + z 2 + s2 �z1 k̂ → A
ln
k̂
4π
4π
4π
z 2 + s2
z1 + z12 + s2
�
Observe que se aplicarmos o rotacional ao resultado, obtemos o vetor B:
10.10. CONDIÇÕES DE CONTORNO NA MAGNETOSTÁTICA
189
�
�
∂A
∂A
s
z
� ×A
�=
∇
−
θ̂.Assim,
∂z � ∂s �
��
�
2
2
z
+
z
+
s
∂A
∂
µ
I
2
0
� =∇
� ×A
� = − z θ̂ = −
� 2
B
ln
θ̂
∂s
∂s 4π
z1 + z12 + s2
�
B
Exercı́cio 10.12. (Griffths, pág , ex: 5.23) Qual densidade de corrente proˆ em coordenadas cilı́ndricas (k é cons� = k phi,
duziria um vetor potencial A
tante)?
� para
Para resolver esse exercı́cio, primeiro aplicaramos o rotacional em A
� para
determinar o campo magnético. Depois aplicaremos o rotacional em B
determinar a densidade de corrente, de acordo com as equações da magnetostática.
Observação: aplicar o rotacional em coordendadas cilı́ndricas
� =∇
� ×A
� = 1 ∂ (ρAρ) k̂ = Aφk̂ = k k̂ B
� = Bz k̂
Aφ = k ⇒ B
ρ ∂ρ
ρ
ρ
�
�
�
1 ��
1
∂Bz
k
�
�
�
�
�
∇ × B = µ0 J ⇒ j =
∇×B =
−
φ̂ = +
φ̂
µ0
µ0
∂ρ
µ 0 ρ2
10.10
Condições de Contorno na Magnetostática
Vimos que existe uma descontinuidade no campo elétrico em de superfı́cies
carregadas, no sentido perpendicular à essa superfı́cie. Da mesma forma, o
campo magnético também é descontı́nuo numa superfı́cie de corrente. Para
facilitar a análise desse fenômemo, vamos dividı́-lo em 3 etapas, uma para
cada componente do campo magnético7 :
7
//
//corrente
//
//superficie
B ⊥ = B ⊥superf icie , B// = B//corrente , B⊥ = B⊥corrente
190
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
10.10.1
Componente perpendicular à superfı́cie
Considere uma superfı́cie percorrida por uma corrente I, cuja densidade superficial é �k. Vamos envolver uma porção dessa superfı́cie por um retângulo
cujas faces possuem área A, como mostrado na Figura 10.36.
Figura 10.36: Superfı́cie fechada para cálculo do fluxo de B ⊥
Como não há monopólos magnéticos:
�
� · dS
�=0
B
S
Considerando apenas a componente do campo perpendicular à superfı́cie,
teremos fluxo apenas na face superior e inferior do retângulo, portanto:
�
� · dS
� = B⊥ A − B⊥ A = 0
B
acima
abaixo
S
⊥
⊥
Bacima
= Babaixo
Logo essa componente é contı́nua.
10.10.2
Componente paralela à superfı́cie e paralela à
direção da corrente
Para a mesma superfı́cie descrita anteriormente, vamos traçar uma amperiana da forma como está apresentada na Figura 10.37 .
10.10. CONDIÇÕES DE CONTORNO NA MAGNETOSTÁTICA
191
//
Figura 10.37: Amperiana para cálculo de B//
Nota-se que a corrente que passa pelo interior da amperiana é nula. Então,
aplicando a Lei de Ampère (10.32):
�
//
� · d�l = B //
B
//acima l − B//abaixo l = 0
Γ
//
//
B//acima = B//abaixo
Logo essa componente também é contı́nua.
10.10.3
Componente paralela à superfı́cie e perpendicular à direção da corrente
Agora, ainda na mesma superfı́cie, traçaremos uma outra amperiana, desta
vez em outra direção, como mostrado na Figura 10.38 .
⊥
Figura 10.38: Amperiana para cálculo de B//
A corrente que passa pelo interor da amperiana é Iint = kl. Aplicando a
192
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Lei de Ampère (10.32) encontramos que:
�
//
� · d�l = B //
B
⊥acima l − B⊥abaixo l = µ0 Iint
Γ
//
//
B⊥acima l − B⊥abaixo l = µ0 kl
//
//
B⊥acima − B⊥abaixo = µ0 k
�
�
�k × �n
� //
� //
B
−
B
=
µ
0
⊥acima
⊥abaixo
Conclui-se que o campo magnético, na direção paralela à superfı́cie e
perpendicular ao sentido da corrente, é descontı́nuo.
10.11
Expansão em multipólos
Assim como foi feito para o campo elétrico, buscaremos uma forma de expres1
sar o potencial vetorial em uma série de potências de , onde r é a distância
r
do multipolo até o ponto em questão. A idéia é que esta equação seja útil
para analisar o comportamento do campo magnétic à grandes distâncias.
Considere a espira apresentada na Figura 10.39 .
Figura 10.39: Posição do ponto P em relação à espira
Vimos na Seção 10.9 que o potencial vetor, para densidades lineares, é
dado por:
193
10.11. EXPANSÃO EM MULTIPÓLOS
� �
� I� r�� dl�
� (�r) = µ0
�
�
A
�
4π
�� ��
�
r
−
r
�
Γ
(10.46)
Podemos reescrever o denominador do integrando da seguinte maneira:
∞
1
1
1�
�
�
√
=
=
→
−�
�→
r n=0
r2 + r�2 − 2rr� cos θ�
r − r� �
�−
� � �n
r
pn cos θ�
r
(10.47)
Onde pn é o Polinômio de Legendre8 . Considerando a corrente constante e substituı́ndo 10.47 em 10.46 , encontramos a expressão de multipólos
magnéticos:
�
∞
�
µ
I
1
0
n
� (�r) =
A
(r� ) pn cos (θ� ) d�l�
4π n=0 rn+1
Γ
É interessante notar que o termo correspondente ao monopólo (n=0) é
1 � ��
dl = 0, o que está de acordo com os observações. Então, o termo mais
r Γ
importante da sequência corresponde ao dipolo magnético (n=1):
� dipolo = µ0 I
A
4πr2
� �
Γ
�
µ0
r̂ · r�� d�l� =
µ
� × r̂
4πr2
Onde µ é o momento de dipolo magnético definido na equação 10.14.
8
1
Pn (x) = n
2 n!
�
d
dx
�n
�
�n
x2 − 1
194
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA