Teoremas Ergódicos
Noélia Sofia Rodrigues Soares
Dissertação do Mestrado em Matemática - Fundamentos e Aplicações
apresentada para a obtenção do grau de Mestre
Faculdade de Ciências da Universidade do Porto
Departamento de Matemática Pura
Abril 2001
Introdução
Um dos grandes objectivos dos Sistemas Dinâmicos visa o estudo do comportamento
das órbitas {T n (x) : n ≥ 0} de uma transformação T : X → X, onde T 0 = idX e
T n+1 = T ◦ T n para n ≥ 0. Frequentemente esse estudo incide sobre a medição das
quantidades f (T n (x)) para alguma função f : X → R, pelo menos em termos da
média
n−1
1X
f ◦ T j (x).
n j=0
Uma questão básica da Teoria Ergódica é a existência do limite destas médias quando
n → ∞. É claro que a média existe sempre que x for um ponto periódico de T , isto
é, quando T k (x) = x para algum k ≥ 1. Em 1931 Birkhoff provou um resultado
que assegura que se T tem alguma medida de probabilidade invariante µ, isto é,
µ(T −1 (A)) = µ(A) para todo o mensurável A, e f é integrável com respeito a µ,
então estas médias existem para quase todo o ponto x ∈ X (isto é, eventualmente
exceptuando um conjunto com medida µ nula). Este resultado é conhecido como o
Teorema Ergódico de Birkhoff. Uma condição necessária e suficiente para que o valor
do limite seja o mesmo em quase todo o ponto é que não exista nenhum mensurável
A com 0 < µ(A) < 1 e T −1 (A) = A. Nestas condições, a média temporal
n−1
1X
lim
f ◦ T j (x)
n→∞ n
j=0
e a média espacial
Z
f dµ
X
coincidem em quase todo o ponto x ∈ X. A transformação T diz-se, neste caso,
ergódica. De um ponto de vista de aplicações práticas, pode ser interessante saber
se o recı́proco deste resultado também vale: será que pelo facto de f ter um comportamento assimptótico bem definido em termos médios ao longo das órbitas de T
podemos concluir que f tem uma média bem definida em X? Buczolich [6] mostra
que a resposta a esta questão é, em geral, negativa, dando um contra-exemplo para
i
ii
o recı́proco do Teorema Ergódico de Birkhoff. No entanto, se T é ergódica e f é não
negativa, então o recı́proco vale neste caso.
Uma classe importante de transformações, não só pela sua riqueza dinâmica
como também pelas aplicações a que se prestam, são as rotações do cı́rculo. Neste
contexto, definimos Γf , o conjunto de rotação de uma função f : R → R de perı́odo
1, como o conjunto dos α ∈ R tais que a média
n−1
1X
f (x + jα)
n j=0
converge, quando n → ∞, para quase todo o x ∈ R. Buczolich [5] mostra que se
o conjunto de rotação tiver medida Lebesgue positiva, então a função é integrável
(Lebesgue). Assim, do ponto de vista da medida, um conjunto de rotação “grande”
(medida de Lebesgue positiva) é suficiente para garantir a integrabilidade da função.
Por outro lado, é fácil verificar que Q ⊂ Γf , qualquer que seja a função f de
perı́odo 1, ficando claro que, de um ponto de vista topológico, um conjunto de
rotação “grande” (denso) não é suficiente para garantir a integrabilidade da função
f . Buczolich [5] vai mais longe, exibindo uma função f não integrável com um
conjunto infinito de irracionais independentes (sobre o corpo Q) contidos em Γf .
Ainda neste contexto, Svetic [23] prova que existe uma função não integrável definida
no cı́rculo, cujo conjunto de rotação é localmente não numerável, ficando assim
demonstrado que, do ponto de vista de numerabilidade, um conjunto de rotação
“grande” (localmente não numerável) não é suficiente para garantir a integrabilidade
da função. Uma questão interessante que permanece em aberto é a de saber se um
conjunto de rotação com dimensão de Hausdorff positiva implica a integrabilidade
da função.
Este trabalho está estruturado da seguinte forma: no primeiro capı́tulo são revistos alguns conceitos fundamentais sobre medida e integração, séries de Fourier
e fracções contı́nuas. Os resultados são apresentados sem demonstração, uma vez
que estas podem ser facilmente encontradas nas referências bibliográficas, sendo a
sua introdução feita neste trabalho apenas com o intuito de uniformizar notação e
esclarecer algum tópico menos claro para o leitor. No capı́tulo seguinte apresentamos uma prova simples do Teorema Ergódico de Birkhoff proposta recentemente por
Petersen [19] e demonstramos um recı́proco desse teorema para funções não negativas. Terminamos esse capı́tulo apresentando um contra-exemplo para o recı́proco
no caso geral. Finalmente, no terceiro capı́tulo é estudada a integrabilidade de uma
função definida no cı́rculo em função do “tamanho” do seu conjunto de rotação.
São abordados os seguintes pontos de vista: conjunto de rotação com medida de
Lebesgue positiva, conjunto de rotação contendo infinitos irracionais linearmente
independentes (sobre Q) e conjunto de rotação localmente não numerável.
Conteúdo
1 Preliminares
1.1 Medida e integração
1.2 Medidas invariantes .
1.3 Séries de Fourier . .
1.4 Fracções contı́nuas .
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1
1
6
8
9
2 O Teorema Ergódico de Birkhoff
2.1 Uma prova simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Recı́proco para funções não negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Contra-exemplo para o recı́proco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
13
18
20
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3 Rotações do cı́rculo
33
3.1 Conjunto de rotação com medida positiva . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Conjunto de rotação com infinitos irracionais . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Conjunto de rotação não numerável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Bibliografia
69
iii
Capı́tulo 1
Preliminares
Neste capı́tulo apresentamos diversos resultados preliminares que serão necessários
no desenvolvimento deste trabalho. Em particular, faremos uma breve introdução
à Teoria da Medida e Integração com o objectivo de servir com referência para os
enunciados e definições básicas. Como referência para este capı́tulo tomamos os
trabalhos [3], [9] e [14].
1.1
Medida e integração
Sejam X um conjunto e A um subconjunto das partes de X. Dizemos que A é uma
σ-álgebra se forem válidas as seguintes condições:
1. X ∈ A;
2. se A ∈ A então X \ A ∈ A;
3. se Ai ∈ A para i = 1, 2, . . . , então ∪i≥1 Ai ∈ A.
Se a condição 3 se verificar apenas para uniões finitas dizemos que A é uma
álgebra de subconjuntos de X. Denominamos de espaço mensurável um par
(X, A), onde A é uma σ-álgebra de X, e chamamos mensuráveis aos elementos de
A. Uma medida em A é uma função µ : A → [0, +∞] tal que
1. µ(∅) = 0;
2. Se Ai ∈ A para i = 1, 2, . . . e Ai ∩ Aj = ∅ para i 6= j, então
µ
∞
[
i=1
∞
X
Ai =
µ(Ai ).
i=1
1
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
2
Se A0 é um subconjunto das partes de X, dizemos que A é gerada por A0 se
A0 ⊂ A e toda a σ-álgebra A0 de subconjuntos de X tal que A0 ⊂ A0 satisfaz
A ⊂ A0 . Ou seja, A é a menor (no sentido da inclusão) σ-álgebra que contém A0 .
Se X é um espaço topológico, denominamos de σ-álgebra de Borel a σ-álgebra
gerada pelos abertos de X. Designamos os elementos desta σ-álgebra por borelianos. Ainda neste contexto, definimos o suporte de uma função f : X → R como
a aderência do conjunto dos pontos x ∈ X tais que f (x) 6= 0.
No resultado que se segue definimos uma medida na σ-álgebra dos borelianos de
n
R , a qual chamamos medida de Lebesgue.
Teorema 1.1.1. Seja B a σ-álgebra de Borel em Rn . Existe uma única medida
λ : B → [0, +∞] tal que se I1 , . . . , In são intervalos de R, então
n
Y
λ
Ii = |I1 | . . . |In |,
i=1
onde, para cada i, |Ii | designa o comprimento de Ii .
Um espaço de medida é um terno (X, A, µ) onde (X, A) é um espaço mensurável e µ é uma medida definida em A. O espaço de medida (X, A, µ) diz-se finito
se µ(X) < ∞. Se µ(X) = 1 dizemos que µ é uma probabilidade e (X, A, µ) é um
espaço de probabilidade. Se A é um elemento de A, podemos considerar o espaço
de medida (A, A|A , µ|A ), onde A|A é a σ-álgebra formada pelos subconjuntos de X
do tipo A ∩ B, com B ∈ A, e µ|A (B) = µ(B) para B ∈ A|A . Um espaço de medida
(X, A, µ) diz-se não atómico se, para todo o conjunto A ∈ A tal que µ(A) > 0,
existe um conjunto mensurável B ( A tal que µ(B) > 0.
Proposição 1.1.2. Seja (X, A, µ) um espaço de medida.
1. A ⊂ B e µ(B) < ∞ ⇒ µ(B \ A) = µ(B) − µ(A).
P
2. µ(∪n≥1 An ) ≤ n≥1 µ(An ).
3. A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⇒ µ(∪n≥1 An ) = lim µ(An ).
4. A1 ⊃ A2 ⊃ . . . e µ(A1 ) < ∞ ⇒ µ(∩n≥1 An ) = lim µ(An ).
Se (X, A, µ) é um espaço de medida e A um subconjunto de X, dizemos que A
tem medida nula, se existe B ∈ A tal que A ⊂ B e µ(B) = 0. Diz-se que uma
propriedade sobre os elementos de X vale em quase todo o ponto (qtp simplificadamente), se o conjunto dos pontos onde a propriedade não vale tem medida
nula.
Seja (X, A) um espaço mensurável. Dizemos que uma função f : X → R, onde
R = R ∪ {−∞, +∞}, é uma função mensurável, se para todo o boreliano A de R
3
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
tivermos f −1 (A) ∈ A. São exemplos imediatos de funções mensuráveis, as funções
constantes e as funções caracterı́sticas dos elementos de A. Se X for um espaço
topológico e B for a σ-álgebra de Borel, então as funções contı́nuas são mensuráveis.
Para as operações com os sı́mbolos +∞ e −∞, além das convenções usuais,
faremos as seguintes convenções: (±∞).0 = 0 e 0.(±∞) = 0. Não atribuiremos
significado a ∞ − ∞.
Proposição 1.1.3. Se c ∈ R e f, g : X → R são funções mensuráveis, então f + c,
cf , f + g (sempre que façam sentido) e f g são também mensuráveis.
Proposição 1.1.4. Se (fn )n é uma sucessão de funções mensuráveis, então são
mensuráveis:
1. sup fn e inf fn ;
n≥1
n≥1
2. lim sup fn e lim inf fn .
n→∞
n→∞
Seja (X, A, µ) um espaço de medida. Dizemos que uma sucessão de funções
mensuráveis (fn )n converge em medida para a função mensurável f , se para todo
o>0
lim µ({x ∈ X : |fn (x) − f (x)| > }) = 0.
n→∞
As convergências em medida e em qtp relacionam-se pelo resultado que se segue.
Teorema 1.1.5. Toda a sucessão que converge em medida possui uma subsucessão
que converge em qtp. Se o espaço de medida for finito, a convergência em qtp implica
a convergência em medida.
Seja (X, A, µ) um espaço de medida. Se A ⊂ X denotamos por χA a função
caracterı́stica de A. Dizemos que uma função mensurável não negativa ϕ é uma
função simples, se pudermos escrever
ϕ=
n
X
a i χ Ai ,
i=1
onde ai ∈ R e Ai ∈ A, com P
os Ai ’s disjuntos dois a dois. Definimos o integral de
uma função simples ϕ = ni=1 ai χAi como
Z
n
X
ai µ(Ai ).
ϕdµ =
i=1
Este valor não depende da representação de ϕ como combinação linear de funções
caracterı́sticas. De facto, se
n
X
i=1
a i χ Ai =
l
X
j=1
bj χ B j ,
4
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
então terá que ser ai = bj em Ai ∩ Bj . Donde
n
X
i=1
ai µ(Ai ) =
l
n X
X
ai µ(Ai ∩ Bj ) =
n
l X
X
bj µ(Ai ∩ Bj ) =
j=1 i=1
i=1 j=1
l
X
bj µ(Bj ).
j=1
Se f é uma função mensurável não negativa, definimos o integral de f como
Z
Z
f dµ = sup
ϕdµ : ϕ função simples e ϕ ≤ f .
Proposição 1.1.6. Seja f uma função mensurável não negativa. Então
se e somente se f = 0 qtp.
R
f dµ = 0
O resultado que apresentamos a seguir dá uma condição suficiente para que o
integral do limite de uma sucessão de funções coincida com o limite dos integrais
dessas funções.
Teorema 1.1.7 (Convergência Monótona). Se (fn )n é uma sucessão de funções
mensuráveis não negativas tais que f1 ≤ f2 ≤ . . . , então
Z
Z
fn dµ.
lim fn dµ = lim
n→∞
n→∞
Dada uma função mensurável f podemos escrevê-la como diferença de duas
funções não negativas, mais precisamente, f = f + − f − com
f + (x) = max{f (x), 0} e f − (x) = max{−f (x), 0}.
É imediato verificar que |f | = f + + f − . Dizemos que uma função mensurável f é
integrável se
Z
Z
+
f dµ < ∞ e
f − dµ < ∞,
R
ou seja, |f |dµ < ∞. Dizemos que f é semi-integrável se
Z
Z
+
f dµ < ∞ ou
f − dµ < ∞.
Em qualquer um dos casos acima, definimos o integral de f
Z
Z
Z
+
f dµ = f dµ − f − dµ.
Sejam A um conjunto mensurável e f uma função mensurável. Dizemos que f é
integrável em A, se f χA for integrável. Definimos o integral de f em A por
Z
Z
f dµ = f χA dµ.
A
5
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Proposição 1.1.8. Sejam c ∈ R e f, g funções integráveis.
R
R
1. cf é integrável e cf dµ = c f dµ.
R
R
R
2. f + g é integrável e (f + g)dµ = f dµ + gdµ.
R
R
3. f ≤ g ⇒ f dµ ≤ gdµ.
4. Se A e B são conjuntos mensuráveis disjuntos, então
Z
Z
Z
f dµ =
f dµ +
dµ.
A∪B
A
B
Proposição 1.1.9. Se f é uma função integrável, então
Z
Z
| f dµ| ≤ |f |dµ,
e temos a igualdade se e só se f ≥ 0 qtp ou f ≤ 0 qtp.
O resultado abaixo dá uma condição suficiente para a integrabilidade do limite
de uma sucessão de funções.
Teorema 1.1.10 (Convergência Dominada). Seja (fn )n uma sucessão de funções mensuráveis tais que |fn | ≤ g, onde g é integrável, e f = limn→∞ fn qtp. Então
f é integrável e
Z
Z
lim
n→∞
fn dµ =
f dµ.
O teorema seguinte dá a relação entre a noção de integral de uma função real de
variável real segundo Lebesgue (em relação à medida de Lebesgue nos borelianos de
R) com a noção de função integrável segundo Riemann.
Teorema 1.1.11. Se f é integrável segundo Riemann, então f é integrável segundo
Lebesgue e os integrais coincidem.
Facilmente se prova que o recı́proco deste teorema não é válido. De facto, basta
considerarmos no intervalo [0, 1] a função caracterı́stica dos irracionais, que denotamos por χI . É claro que χI não é integrável segundo Riemann.
R Por outro lado, χI é
uma função mensurável e χI = 1 qtp, donde se conclui que χI dλ = 1 (λ denota a
medida de Lebesgue). Deste modo, acabamos de ver que a integrabilidade segundo
Riemann é mais exigente do que a integrabilidade segundo Lebesgue.
Seja (X, A, µ) um espaço de medida. Se 1 ≤ p < ∞, denotamos por Lp (µ) a
classe de todas as funções mensuráveis f tais que |f |p é integrável, com a identificação
de funções que coincidam em quase todo ponto. Definimos para f ∈ Lp (µ)
Z
1/p
p
kf kp =
|f | dµ
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
6
(note-se que, pela definição dada, são iguais os integrais de duas funções que coincidam em qtp).
A Desigualdade de Minkowski estabelece que se f, g ∈ Lp (µ), então kf + gkp ≤
kf kp + kgkp , donde resulta em particular que f + g ∈ Lp (µ) se f, g ∈ Lp (µ) e k.kp é
uma norma. Note-se ainda que, se não identificarmos duas funções mensuráveis que
coincidam qtp, k.kp será apenas uma semi-norma em Lp (µ).
Definimos L∞ (µ) como a classe das funções mensuráveis f tais que existe algum
M > 0 tal que |f (x)| ≤ M qtp, mais uma vez com a identificação de duas funções
que coincidam em quase todo ponto. Denotamos por kf k∞ o ı́nfimo dos valores M
com esta propriedade; mais precisamente,
kf k∞ = inf{M > 0 : |f (x)| ≤ M }.
É fácil verificar que k k∞ define uma norma em L∞ (µ).
Para 1 ≤ p ≤ ∞, se f ∈ Lp (µ), resulta do modo como definimos estes espaços
que f está identificada com uma função mensurável que nunca toma os valores ±∞.
Basta notar que, se kf kp < ∞ para algum 1 ≤ p ≤ ∞, então o conjunto dos pontos
onde f toma os valores ±∞ terá que ter medida nula. Assim, podemos identificar
f com uma função mensurável que não toma nunca os valores ±∞. Deste modo,
faz sentido falar de f ± g, com f, g ∈ Lp (µ), para algum 1 ≤ p ≤ ∞, considerando
se necessário representantes de f e g que não tomem os valores ±∞.
Terminamos esta secção com uma breve indicação de como a teoria apresentada
anteriormente se estende a funções tomando valores complexos. Sejam (X, A, µ)
um espaço de medida e f uma função definida em X e tomando valores em C.
Sejam Re f e Im f , respectivamente, a parte real e a parte imaginária de f , isto
é, f = Re f + i Im f com Re f e Im f tomando valores reais. Dizemos que f é
mensurável se e só se Re f e Im f são mensuráveis e, similarmente, f é integrável se
e só se Re f e Im f são integráveis. No caso da integrabilidade de f , definimos
Z
Z
Z
f dµ = Re f dµ + i Im f dµ.
Com estas definições, os resultados apresentados anteriormente aplicam-se (com
algumas alterações óbvias) a funções tomando valores complexos.
1.2
Medidas invariantes
Nesta secção, faremos uma breve referência às medidas invariantes por uma transformação, que assumem um papel de primordial importância na Teoria Ergódica.
Começamos com uma generalização da definição de função mensurável.
Sejam (X, A, µ) e (Y, B, ν) espaços de medida e T : X → Y . Dizemos que T é
uma transformação mensurável se T −1 (B) ∈ A para todo B ∈ B. Dizemos que a
7
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
transformação mensurável T preserva as medidas µ e ν se µ(T −1 (B)) = ν(B) para
todo B ∈ B. Estaremos particularmente interessados no caso em que T : X → X
é uma transformação mensurável do espaço (X, A, µ) em si mesmo. Neste caso,
diremos que µ é T -invariante quando T preserva µ.
Um espaço de probabilidade (X, A, µ) diz-se um espaço de Lebesgue, se for
isomorfo mod 0 ao espaço de probabilidade ([0, 1], B, λ), onde λ é a medida de
Lebesgue. Por isomorfo mod 0 entenda-se a existência de conjuntos X 0 ⊂ X e M ⊂
[0, 1] com µ(X 0 ) = 1 e λ(M ) = 1 e uma função bijectiva ϕ : X 0 → M mensurável com
ϕ−1 mensurável preservando as medidas µ e λ restritas a X 0 e M , respectivamente.
Teorema 1.2.1 (Rokhlin). Qualquer espaço de probabilidade na σ-álgebra dos
borelianos de um espaço métrico separável completo é um espaço de Lebesgue.
Sejam (X, A, µ) um espaço de medida e T : X → X uma transformação que
preserva µ. Se f : X → R é uma função mensurável, então f ◦ T é também uma
função mensurável. Dizemos que f é uma função T -invariante se f ◦ T = f qtp.
Proposição 1.2.2. Sejam (X, A, µ) um espaço de medida e T : X → X uma transformação que preserva µ. Se f ∈ L1 (µ), então f ◦ T ∈ L1 (µ) e
Z
Z
f ◦ T dµ = f dµ.
Sejam (X, A, µ) um espaço de probabilidade e T uma transformação que preserva
µ. Um conjunto A ∈ A diz-se T -invariante se T −1 (A) = A. Dizemos que T é
ergódica (com respeito a µ) se todos os conjuntos T -invariantes de A têm medida
igual a 0 ou 1. A ergodicidade de uma transformação pode ser formulada em termos
da constância das funções em Lp (µ).
Proposição 1.2.3. Sejam (X, A, µ) um espaço de probabilidade, T : X → X uma
transformação que preserva µ e 1 ≤ p ≤ ∞. São equivalentes:
1. T é ergódica.
2. Se f ∈ Lp (µ) é T -invariante, então f é constante qtp.
Sejam S 1 = R/Z o cı́rculo unitário e λ a medida de Lebesgue em S 1 . Dado
α ∈ R, definimos a rotação de ângulo α
S 1 −→ S 1
x 7−→ x + α (mod 1).
Rα :
Temos que Rα preserva λ, para todo α ∈ R e é ergódica com respeito à medida de
Lebesgue λ se e só se α ∈ R \ Q. Temos ainda que S 1 = [0, 1]/ ∼, onde ∼ é a relação
de equivalência que identifica 0 com 1. Assim, o integral de uma função f definida
em S 1 poderá ser indicado por
Z 1
Z 1
f (x)dx.
f dλ ou
0
0
8
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
1.3
Séries de Fourier
O objecto de estudo desta secção é o espaço das funções complexas definidas em
[0, 1], de quadrado integrável (Lebesgue). Veremos que estas funções podem ser
representadas por uma série de Fourier, no sentido da convergência em L2 .
Seja H um espaço vectorial sobre o corpo C. Um produto interno em H é uma
função h., .i definida em H × H e tomando valores em C, satisfazendo as seguintes
condições para todos x, y, z ∈ H e λ ∈ C:
1. hx, xi ≥ 0 e hx, xi = 0 se e só se x = 0
2. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi
3. hλx, yi = λhx, yi
4. hx, yi = hy, xi
Um espaço vectorial H munido de um produto interno diz-se um espaço préhilbertiano. Facilmente se prova que a função x ∈ H 7→ kxk = hx, yi1/2 define uma
norma em H. Se o espaço pré-hilbertiano H com a métrica dada por esta norma é
completo, dizemos que H é um espaço de Hilbert.
Dado um espaço de Hilbert H, dizemos que dois vectores x, y ∈ H são ortogonais se hx, yi = 0. Um subconjunto S ⊂ H diz-se ortonormal se hx, xi = 1 e
hx, yi = 0 para x 6= y. Se S é maximal para a inclusão, isto é, S não está estritamente contido em nenhum outro conjunto ortonormal, dizemos ainda que S é uma
base ortonormal de H. Prova-se que:
Teorema 1.3.1. Todo o espaço de Hilbert tem alguma base ortonormal.
Teorema 1.3.2. Seja H um espaço de Hilbert e {eα }α∈I uma base ortonormal.
Então para cada x ∈ H
X
X
x=
hx, eα i e kxk2 =
|hx, eα i|2 .
α∈I
α∈I
Seja (X, A, µ) um espaço de medida. O produto interno em L2 (µ) dado por
Z
hf, gi = f gdµ
(1.1)
produz a norma k.k2 em L2 (µ), donde se conclui que L2 (µ) é um espaço de Hilbert.
O produto interno (1.1) está bem definido pois, se g ∈ L2 (µ) também g ∈ L2 (µ).
Daqui por diante, até ao final desta secção, concentrar-nos-emos no espaço de
Hilbert L2 (λ), associado à medida de Lebesgue λ no intervalo [0, 1] que denotamos
por L2 [0, 1]. De seguida iremos descrever uma base ortonormal de L2 [0, 1].
9
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Seja {fn }n∈Z uma colecção de funções em L2 [0, 1] definidas para cada n ∈ Z por
fn (x) = e2πinx .
Facilmente se prova que {fn }n∈Z é um conjunto ortonormal, basta notar que, para
m, n ∈ Z se tem
Z
1
se m = n,
hfm , fn i = fm fn dλ =
0
se m 6= n.
Prova-se ainda que:
Teorema 1.3.3. A famı́lia {fn }n∈Z é uma base ortonormal de L2 [0, 1].
Seja f ∈ L2 [0, 1]. Definimos, para cada n ∈ Z
Z
fb(n) = hf, fn i = f fn dλ.
Estes números são chamados de coeficientes de Fourier de f ∈ L2 [0, 1]. Do
Teorema 1.3.2 obtemos
Z
X
|f |2 dλ = kf k22 =
|fb(n)|2 .
n∈Z
P
Corolário 1.3.4. Se f ∈ L2 [0, 1], então n∈Z fb(n)fn converge para f na norma de
L2 [0, 1], quando n → ∞.
P
A série n∈Z fb(n)fn é chamada série de Fourier de f . Pelo Corolário anterior,
resulta que a série de Fourier de f representa a função f no sentido da convergência
em L2 [0, 1].
1.4
Fracções contı́nuas
Nesta secção faremos uma breve referência às fracções contı́nuas, indispensável à
apresentação da terceira secção do Capı́tulo 3. Estaremos particularmente interessados em fracções contı́nuas infinitas que representam, como veremos mais adiante,
os números irracionais.
A uma expressão da forma
a0 +
1
1 ,
a1 + a2 +...
onde a0 ∈ Z e ai ∈ N para todo i ≥ 1
10
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
denominamos fracção contı́nua e representámo-la por [a0 ; a1 , a2 , . . . ]. Se o número
de ai ’s for infinito diz-se fracção contı́nua infinita, caso contrário, diz-se fracção
contı́nua finita e escrevemos
a0 +
1
a1 +
= [a0 ; a1 , . . . , an ].
1
a2 +
(1.2)
...
+ a1n
À fracção contı́nua (1.2) também chamamos fracção contı́nua de ordem n. Toda
a fracção contı́nua finita é o resultado de um número finito de operações racionais
com os seus elementos ai ’s, e pode ser representada sob a forma de uma fracção p/q,
que designamos de representação canónica. É claro que esta representação não
é única. Vejamos, por indução, como definir uma tal representação canónica. Se
tivermos uma fracção contı́nua de ordem 0, isto é,
[a0 ] = a0
consideramos a fracção a0 /1. Suponhamos agora que a representação canónica está
definida para fracções contı́nuas de ordem menor que n. Podemos escrever
[a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] = [a0 ; r1 ] = a0 +
1
,
r1
onde r1 = [a1 ; a2 , . . . , an ] é uma fracção contı́nua de ordem n − 1, e portanto a sua
representação canónica está definida, isto é,
r1 =
p0
.
q0
Assim,
[a0 ; a1 , . . . , an ] = a0 +
q0
a0 p 0 + q 0
=
.
p0
p0
Fazendo p = a0 p0 + q 0 e q = p0 , temos
p
[a0 ; a1 , . . . , an ] = .
q
Deste modo, temos definidas representações canónicas de fracções contı́nuas de todas
as ordens.
Vamos agora concentrar-nos nas fracções contı́nuas infinitas. Consideremos a
fracção contı́nua infinita
[a0 ; a1 , a2 , . . . ].
(1.3)
11
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Chamamos k-ésima aproximação da fracção contı́nua (1.3), à fracção contı́nua
finita
[a0 ; a1 , a2 , . . . , ak ],
cuja representação canónica denotamos por pk /qk . Deste modo, à fracção contı́nua
(1.3) corresponde uma sequência de aproximações
pk
p0 p1
,
,...,
,...
q0 q1
qk
Se a sucessão acima converge para um número α, consideramos esse α como o “valor”
da fracção contı́nua (1.3), e escrevemos
α = [a0 ; a1 , a2 , . . . ].
Teorema 1.4.1. Para k ≥ 1,
1. pk+1 = ak+1 pk + pk−1 .
2. qk+1 = ak+1 qk + qk−1 .
3. qk pk−1 − pk qk−1 = (−1)k .
4. [a0 ; a1 , a2 , . . . ] =
pk rk+1 + pk−1
, onde rk+1 = [ak+1 ; ak+2 , . . . ].
qk rk+1 + qk−1
Vejamos agora como todo o irracional pode ser representado por uma fracção
contı́nua infinita. Seja α ∈ R \ Q. Denotemos por a0 o maior inteiro não superior
α. Temos
1
α = a0 + .
(1.4)
r1
É claro que r1 > 1, pois 1/r1 = α − a0 < 1. Como α é irracional, também r1 é
irracional. Podemos assim aplicar o mesmo método a r1 . Deste modo, denotando
por a1 o maior inteiro não superior r1 , obtemos r2 pela relação
r1 = a 1 +
1
.
r2
Mais geralmente, para n ≥ 1, como rn é irracional, denotando por an o maior inteiro
não superior a rn , obtemos rn+1 pela relação
rn = a n +
1
rn+1
.
(Note-se que o facto de α ser irracional implica que o processo descrito acima é
infinito). Ora,
α = [a0 ; a1 , a2 , . . . , an−1 , rn ].
(1.5)
12
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Seja
[a0 ; a1 , a2 , . . . , an−1 , an ] =
pn
,
qn
onde a fracção pn /qn é irredutı́vel e qn > 0. Por (1.5) e pelo Teorema 1.4.1 temos,
para n ≥ 2
pn−1 rn + pn−2
α=
.
qn−1 rn + qn−2
Por outro lado, temos ainda
pn−1 an + pn−2
pn
=
.
qn
qn−1 an + qn−2
Assim,
α−
pn
(pn−1 qn−2 − qn−1 pn−2 )(rn − an )
,
=
qn
(qn−1 rn + qn−2 )(qn−1 an + qn−2 )
e portanto, resulta do Teorema 1.4.1 que
Logo,
1
1
α − pn <
< 2.
qn
(qn−1 rn + qn−2 )(qn−1 an + qn−2 )
qn
pn
→α
qn
quando n → ∞,
ou seja,
α = [a0 ; a1 , a2 , . . . ].
É natural perguntar se esta representação de α por uma fracção contı́nua é única.
Denotando por [a] o maior inteiro não superior a a e supondo que
α = [a0 ; a1 , a2 , . . . ] = [a00 ; a01 , a02 , . . . ],
temos a0 = [α] e a00 = [α], e portanto a0 = a00 . Admitamos que ai = a0i , para todo
i ∈ {0, . . . , n}. Então, para cada i ∈ {0, . . . , n}, temos pi = p0i e qi = qi0 . Pelo
Teorema 1.4.1 vem
α=
0
+ pn−1
p0 r0 + p0n−1
pn rn+1
pn rn+1 + pn−1
= n0 n+1
=
0
0
0
qn rn+1 + qn−1
qn rn+1 + qn−1
qn rn+1 + qn−1
0
0
], obtemos que an+1 = a0n+1 .
. Como an+1 = [rn+1 ] e a0n+1 = [rn+1
donde, rn+1 = rn+1
Deste modo, podemos concluir que dado um irracional α existe uma única fracção
contı́nua com valor igual a α.
Capı́tulo 2
O Teorema Ergódico de Birkhoff
Neste capı́tulo apresentaremos uma prova simples do Teorema Ergódico de Birkhoff
e mostraremos um recı́proco desse teorema para funções não negativas. Apresentaremos ainda um contra-exemplo para o recı́proco no caso geral.
2.1
Uma prova simples
Sejam (X, A, µ) um espaço de probabilidade e T : X → X uma transformação que
preserva µ. Se f ∈ L1 (µ), definimos para n ≥ 1
n−1
MnT f
1X
f ◦ T j,
=
n j=0
fn = sup MkT f
1≤k≤n
e f ∗ = sup fn .
n≥1
A etapa fundamental na prova do Teorema Ergódico de Birkhoff é o lema seguinte.
Lema 2.1.1. Sejam f ∈ L1 (µ) e λ : X → R uma função T-invariante tal que
λ+ ∈ L1 (µ). Se A = {x ∈ X : f ∗ (x) > λ(x)}, então
Z
(f − λ)dµ ≥ 0.
A
R
Prova. ParaR λ ∈
/ L1 (µ|A ) temos naturalmente A λdµ = −∞, como f ∈ L1 (µ)
resulta que A (f − λ)dµ = +∞ ≥ 0.
Se λ ∈ L1 (µ|A ), então λ ∈ L1 (µ). Como λ+ ∈ L1 (µ), é suficiente provar que
λ− ∈ L1 (µ|Ac ). Se x ∈ Ac , temos que supn fn (x) ≤ λ(x), em particular, f (x) ≤ λ(x).
Assim, em Ac verifica-se que f ≤ λ, ou seja, λ− ≤ λ+ −f . Resulta da integrabilidade
de λ+ e f que λ− ∈ L1 (µ|Ac ).
13
CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF
14
Se definirmos, para cada n ∈ N
An = {x ∈ X : fn (x) > λ(x)}
temos
(f − λ)χAn ≥ (f − λ).
(2.1)
Para a desigualdade acima, notar que, em Acn temos f ≤ λ, ou seja, f − λ ≤ 0.
Vejamos agora que se f ∈ L∞ (µ), então
Z
(f − λ)dµ ≥ 0.
(2.2)
An
Fixemos arbitrariamente n ∈ N. Para m n, consideremos
m−1
X
(f − λ)χAn (T j x).
(2.3)
j=0
Esta soma poderá eventualmente iniciar-se por uma soma de termos todos iguais a
zero, ou seja, tais que T j x ∈
/ An . Seja k0 = min{0 ≤ j ≤ m − 1 : T j x ∈ An }. Temos
k−1
1X
f (T j+k0 x) > λ(T k0 x).
sup
1≤k≤n k
j=0
Atendendo ao facto de λ ser T -invariante, obtemos
k−1
1X
(f − λ)(T j+k0 x) > 0.
k
1≤k≤n
j=0
sup
Assim, por (2.1)
sup
1≤k≤n
k−1
X
(f − λ)χAn (T j+k0 x) > 0.
j=0
Desta forma, o k0 -ésimo termo da soma (2.3) inicia uma soma positiva de não
mais de n termos. Considerando o termo seguinte ao último termo desta soma,
repetimos a análise anterior e voltamos a ter ou somas de termos iguais a zero ou
somas positivas de não mais de n termos. Ora, a soma dos m termos de (2.3) pode
terminar no meio de um destes dos tipos de somas. Em qualquer um dos casos,
existe i ∈ {m − n, ..., m − 1} tal que
CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF
m−1
X
j
(f − λ)χAn (T x) ≥
j=0
m−1
X
15
(f − λ)χAn (T j x)
j=i
≥
m−1
X
(f − λ)(T j x)
j=i
≥
m−1
X
−(kf k∞ + λ+ )(T j x)
j=i
=
m−1
X
−(kf k∞ + λ+ (x))
j=i
= (−m + i)(kf k∞ + λ+ (x))
≥ −n(kf k∞ + λ+ (x)).
Para a quarta igualdade na sequência acima, notar que λ é T-invariante. Integrando
vem
Z
m−1
XZ
j
(f − λ) ◦ T dµ ≥ −n(kf k∞ + λ+ dµ),
j=0
An
uma vez que T preserva µ temos
m−1
XZ
j=0
Assim,
m
Z
(f − λ)dµ ≥ −n(kf k∞ + kλ+ k1 ).
An
(f − λ)dµ ≥ −n(kf k∞ + kλ+ k1 ).
An
Dividindo ambos os membros desta desigualdade por m obtemos
Z
−n
(kf k∞ + kλ+ k1 ).
(f − λ)dµ ≥
m
An
Como o segundo membro da desigualdade acima converge para 0 quando m → ∞,
obtemos (2.2). Vejamos agora que (2.2) se estende a f ∈ L1 (µ). Consideremos, para
cada k, n ∈ N
fˆk = f χ{x∈X : |f (x)|≤k}
e Akn = {x ∈ X : (fˆk )n (x) > λ(x)}.
É claro que, para todo k, fˆk ∈ L∞ (µ). Por outro lado, fixado n temos, para quase
todo ponto
fˆk → f e (fˆk )n → fn (k → ∞)
(2.4)
16
CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF
A convergência acima também é em L1 (µ). Temos ainda
µ(Akn ) → µ(An ) quando k → ∞.
(2.5)
Como para todo k, fˆk ∈ L∞ (µ), obtemos de (2.2), (2.4) e (2.5)
Z
Z
0≤
(fˆk − λ)dµ →
(f − λ)dµ (k → ∞),
Akn
An
e portanto, para f ∈ L1 (µ) temos ainda
Z
(f − λ)dµ ≥ 0.
(2.6)
An
R
Provemos agora que (2.6) implica que A (f − λ)dµ ≥ 0. De facto, aplicando o
Teorema da Convergência Dominada a (f −λ)χAn (notar que |(f −λ)χAn | ≤ |f −λ| ∈
L1 (µ) e limn→∞ (f − λ)χAn = (f − λ)χA qtp) deduzimos que
Z
Z
Z
0 ≤ lim (f − λ)χAn dµ = (f − λ)χA dµ = (f − λ)dµ,
n→∞
A
u
t
o que prova o resultado.
Se λ é a função nula, o lema acima é conhecido como o Teorema Ergódico Maximal.
Teorema 2.1.2 (Ergódico de Birkhoff ). Sejam (X, A, µ) um espaço de probabilidade e T : X → X uma transformação que preserva µ. Então, dada qualquer
função integrável f : X → R, o limite
n−1
1X
f ◦ T j (x)
fb(x) = lim
n→∞ n
j=0
existe para quase todo x ∈ X. Além disso, fb é uma função integrável com
R
R
f dµ e fb ◦ T = fb. Finalmente, se T é ergódica, então fb = f dµ.
Prova. É suficiente provar que
Z
Z
T
lim sup Mn f dµ ≤ f dµ.
n→∞
De facto, suponhamos que (2.7) se verifica. Temos
Z
Z
T
lim sup Mn (−f )dµ ≤ −f dµ,
n→∞
R
fbdµ =
(2.7)
CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF
ou seja,
Z
e portanto
− lim sup MnT (−f )dµ
n→∞
Z
Assim,
Z
lim sup MnT f dµ
n→∞
donde
Z
≤
Z
lim inf
MnT f dµ
f dµ ≤
Z
n→∞
≥
lim inf
n→∞
≥
Z
Z
17
f dµ,
f dµ.
MnT f dµ
≤
Z
lim sup MnT f dµ,
n→∞
lim sup MnT f − lim inf MnT f dµ = 0,
n→∞
n→∞
e portanto, em quase todo ponto
lim sup MnT f = lim inf MnT f,
n→∞
n→∞
o que prova o resultado.
Vejamos então que (2.7) se verifica. Consideremos, para cada k ∈ N, a função
T -invariante
1
T +
λk = min lim sup Mn f , k − .
k
n→∞
1
+ ∗
É claro que λ+
k ∈ L (µ) e {x ∈ X : (f ) (x) > λk (x)} = X. Pelo Lema 2.1.1 temos
Z
(f + − λk )dµ ≥ 0.
Assim,
Ora, como
Z
+
f dµ ≥
Z
λk dµ →
Z
lim sup MnT f +
(k → ∞).
n→∞
(lim sup MnT f )+ ≤ lim sup MnT f + ,
n→∞
n→∞
temos que (lim supn→∞ MnT f )+ é integrável. Analogamente se prova que também
(lim supn→∞ MnT f )− é integrável e, consequentemente, lim supn→∞ MnT f é integrável.
Sejam > 0 arbitrário e λ = lim supn→∞ MnT f − . Pelo Lema 2.1.1 temos
Z
Z
f dµ ≥ λdµ,
como > 0 é arbitrário,
Z
lim sup MnT f dµ
n→∞
≤
Z
f dµ,
CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF
18
o que prova Ro pretendido.
Das observações acima resulta que fb é uma função
R
integrável e fbdµ = f dµ. Por outro lado, é imediato verificar que se o limite
existe para algum ponto x ∈ X então também existe para T (x) e coincide com
o limite para x, donde se deduz que fb ◦ T = fb. A conclusão de que fb coincide
com o integral de f no caso da ergodicidade de T sai assim como consequência da
Proposição 1.2.3.
u
t
2.2
Recı́proco para funções não negativas
Nesta secção demonstraremos que se T é ergódica e f é não negativa, então vale o
recı́proco do Teorema Ergódico de Birkhoff. Na secção seguinte provaremos que o
recı́proco não vale em geral.
Teorema 2.2.1. Sejam (X, A, µ) um espaço de probabilidade, T : X → X uma
transformação ergódica que preserva µ e f : X → R uma função mensurável tal
que, para quase todo x ∈ X, existe
n−1
1X
lim
f ◦ T j (x).
n→∞ n
j=0
Se f é não negativa, então f é integrável.
Prova. Para cada c ∈ R, consideremos o conjunto mensurável
n−1
1X
f ◦ T j (x) = c .
Ac = x ∈ X : lim
n→∞ n
j=0
É claro que Ac é T -invariante. Como T é ergódica temos µ(Ac ) = 0 ou µ(Ac ) = 1.
Assim, existe uma constante c∗ tal que µ(Ac∗ ) = 1, e portanto, podemos assumir
que
n−1
1X
lim
f ◦ T j (x) = c∗
n→∞ n
j=0
em quase todo ponto x ∈ X. Se definirmos, para cada k ≥ 0, a função mensurável
fk = min{f, k},
é imediato verificar que fk é limitada, e portanto integrável. Pelo Teorema da
Convergência Monótona
Z
Z
Z
fk dµ =
lim fk dµ = f dµ.
lim
k→∞
k→∞
19
CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF
Assim, para provar a integrabilidade de f , basta provar que a sucessão
é limitada. Pelo Teorema Ergódico de Birkhoff, para todo k ≥ 0, existe
R
fk dµ
k≥0
n−1
1X
fk ◦ T j (x),
lim
n→∞ n
j=0
para quase todo x ∈ X. Por outro lado, como fk ≤ f , para todo k, temos que
n−1
n−1
1X
1X
fk ◦ T j (x) ≤ lim
f ◦ T j (x),
lim
n→∞ n
n→∞ n
j=0
j=0
(2.8)
para quase todo x ∈ X. Ora, como
n−1
1X
lim
f ◦ T j (x) = c∗ ,
n→∞ n
j=0
para quase todo x ∈ X, de (2.8) temos
n−1
1X
fk ◦ T j (x) ≤ c∗ .
lim
n→∞ n
j=0
(2.9)
Seja
n−1
1X
fbk = lim
fk ◦ T j .
n→∞ n
j=0
Sendo T uma transformação ergódica, resulta do Teorema Ergódico de Birkhoff que
Z
b
fk = fk dµ.
Assim, de (2.9) temos, para todo k ≥ 0
Z
fk dµ ≤ c∗ ,
u
t
o que prova o resultado.
Vamos agora ver que este resultado pode ser estendido a funções semi-integráveis.
Como toda a função mensurável f pode ser escrita como diferença de duas funções
não negativas, isto é, f = f + − f − temos, para todo x ∈ X,
n−1
n−1
n−1
1X
1X +
1X −
f ◦ T j (x) = lim
f ◦ T j (x) − lim
f ◦ T j (x),
n→∞ n
n→∞ n
n→∞ n
j=0
j=0
j=0
lim
(2.10)
CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF
20
sempre que os limites existam.
Nas condições do teorema anterior, seja f uma função semi-integrável. Podemos
supor, sem perda de generalidade, que f + é integrável. Ora, se para quase todo
x ∈ X, existe
n−1
1X
lim
f (T j x),
n→∞ n
j=0
obtemos de (2.10) e da integrabilidade de f + que, para quase todo x ∈ X, existe
n−1
1X − j
lim
f (T x).
n→∞ n
j=0
Aplicando agora o teorema anterior à função não negativa f − , temos que f − é
integrável e, consequentemente f é integrável. Isto prova o seguinte corolário:
Corolário 2.2.2. Sejam (X, A, µ) um espaço de probabilidade, T : X → X uma
transformação ergódica que preserva µ e f : X → R uma função mensurável tal
que, para quase todo x ∈ X, existe o
n−1
1X
f (T j x).
n→∞ n
j=0
lim
Se f é semi-integrável, então f é integrável.
2.3
Contra-exemplo para o recı́proco
Ao longo desta secção assumiremos que (X, A, µ) é um espaço de Lebesgue finito
não atómico e S, T : X → X são transformações invertı́veis ergódicas. Estas transformações geram, de maneira natural, uma acção de Z2 em X:
Z2 × X −→
X
((i, j), x) 7−→ T i S j (x)
Dizemos que esta acção é livre se, para quase todo x ∈ X,
T i S j (x) 6= x para (i, j) 6= (0, 0).
Assumiremos doravante que a acção gerada por S e T é livre. Para N ≥ 1, definimos
RN = {(i, j) ∈ Z2 : 1 ≤ i ≤ N e 1 ≤ j ≤ 2N } ⊂ Z × Z.
Apresentamos a seguir um lema que desempenhará um papel importante na construção de uma função que sirva de contra-exemplo para o recı́proco do Teorema de
Birkhoff no caso geral. O lema é apresentado sem demonstração uma vez que as
técnicas usadas na sua demonstração se afastam bastante do âmbito deste trabalho.
21
CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF
Lema 2.3.1 (Kakutani-Rohlin). Dados N ∈ N e > 0, existe A ∈ A tal que
1. os conjuntos {T i S j A : (i, j) ∈ RN } são disjuntos;
S
2. µ (i,j)∈RN T i S j A > 1 − .
u
t
Prova. Ver [17].
Incidentalmente, é apenas na prova do Lema Kakutani-Rohlin que se usa o facto
de (X, A, µ) ser um espaço de Lebesgue não atómico.
Lema 2.3.2. Se K e N são inteiros positivos e g0 é uma função mensurável e
limitada com suporte E0 , então existe uma função mensurável e limitada g1 tal que
R
R
1. g1 dµ = g0 dµ;
S
−j
2. µ N
j=−N S E1 < 2/K, onde E1 denota o suporte de g1 ;
3. supx∈X |g1 (x)| ≤ K supx∈X |g0 (x)|;
P
j
4. | n−1
j=0 (g1 − g0 )(T x)| ≤ 2K supx∈X |g0 (x)|, para todos x ∈ X e n ≥ 1;
5. D1 ⊂
SK
j=0
T j E0 , onde D1 denota o suporte de g1 − g0 .
Prova. Suponhamos, sem perda de generalidade, que µ(X) = 1. Sejam
=
1
,
K
N0 =
2N
e 0 =
.
2(2N + 1)
Pelo Lema de Kakutani-Rohlin, existe um conjunto A ∈ A tal que
1. os conjuntos {T i S j A : (i, j) ∈ RN0 } são disjuntos;
S
2. µ (i,j)∈RN T i S j A > 1 − 0 .
0
Sejam
b=
A
[
i
j
T S A,
Ci =
2N
[0
j
T S A e B=
j=1
(i,j)∈RN0
i
N
0
[
j=1
Definimos g1 : X → R por


g0 (x)
g1 (x) =
0
 PK−1
−i
i=0 g0 (T x)
b
se x ∈
/A
b\B
se x ∈ A
se x ∈ B.
CjK .
CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF
22
A função g1 está bem definida, é mensurável e limitada (notar que g0 é limitada).
Resulta da definição de g1 que
Z
Z
g1 dµ =
g0 dµ.
(2.11)
b
X\A
b
X\A
Atendendo a que T preserva µ e, para todo o i ∈ {1, ..., N0 − 1}, Ci = T −1 Ci+1 ,
temos
Z
b
A
g1 dµ =
=
Z
g1 dµ
B
N0 Z
K−1
X
X
j=1
=
CjK i=0
N0 K−1
XZ
X
j=1 i=0
=
N0 K−1
X
XZ
j=1 i=0
= K
=
Z
N0 Z
X
j=1
b
A
g0 ◦ T −i dµ
g0 ◦ T −i dµ
CjK
g0 dµ
CjK
g0 dµ
CjK
g0 dµ.
(2.12)
De (2.11) e (2.12) obtemos a propriedade 1.
b = X \ A.
b Resulta de 1 e 2 que
Seja B
X
b =
1 − 0 < µ(A)
µ(A) = 2N02 µ(A) ≤ 1
(2.13)
(i,j)∈RN0
e
b = µ(X \ A)
b = 1 − µ(A)
b < 1 − 1 + 0 = 0 .
µ(B)
Ora,
N
[
Sj B =
j=−N
e portanto
N
[
j=−N
Sj
N
0
[
i=1
(2.14)
2N
N N
N N
0
0 2N
[
[
[0
[
[
[0
CiK =
Sj
T iK S l A =
S j T iK S l A,
j=−N i=1
l=1
j=−N i=1 l=1
23
CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF
N
[
j
S B=
Assim, de (2.13) e (2.15) vem que
µ
T iK S j A.
(2.15)
i=1 j=−N +1
j=−N
N
[
N
0 N +2N
[0
[
j
S B
j=−N
≤
N0 NX
+2N0
X
µ(A)
i=1 j=−N +1
= N0 (2N + 2N0 )µ(A)
= 2N02 (1 + )µ(A)
2
≤ (1 + )
2
3
.
≤
2
(2.16)
Por outro lado, de (2.14) temos
µ
N
[
j=−N
b
Sj B
≤
N
X
j=−N
b
µ(B)
b
= (2N + 1)µ(B)
< (2N + 1)0
.
=
2
(2.17)
b e portanto de (2.16) e (2.17) obtemos
É claro que E1 ⊆ B ∪ B,
µ
N
[
j=−N
−j
S E1
= µ
N
[
S j E1
j=−N
≤ µ
N
[
j=−N
3 +
2
2
= 2
2
=
K
<
ficando assim provada a propriedade 2.
j
S B +µ
N
[
j=−N
b
Sj B
24
CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF
Resulta facilmente da definição de g1 que, para todo o x ∈ X,
|g1 (x)| ≤ K sup |g0 (x)|
x∈X
e, consequentemente
sup |g1 (x)| ≤ K sup |g0 (x)|,
x∈X
x∈X
o que prova 3.
Para provar a propriedade 4, começemos por observar que, se x ∈ X e κ0 ≥ 0
0
são tais que T κ x ∈ CiK−(K−1) , para algum i ∈ {1, ..., N0 }, ou seja, se
κ0
T x∈
2N
[0
T iK−(K−1) S j A,
j=1
então
T
κ0 +K−1
x∈
2N
[0
T iK S j A = CiK ,
j=1
donde
κ0 +K−1
X
j=κ0
j
(g1 − g0 )(T x) =
κ0 +K−1
X
j
g1 (T x) −
= g1 (T
g0 (T j x)
j=κ0
j=κ0
κ0 +K−1
κ0 +K−1
X
x) −
κ0 +K−1
X
g0 (T j x)
j=κ0
= g1 (T
κ0 +K−1
x) −
K−1
X
0
g0 (T j+κ x)
j=0
0
= g1 (T κ +K−1 x) −
K−1
X
0
g0 (T −j+κ +K−1 x)
j=0
0
= g1 (T κ +K−1 x) −
K−1
X
0
g0 (T −j (T κ +K−1 x))
j=0
= g1 (T
= 0.
κ0 +K−1
0
x) − g1 (T κ +K−1 x)
(2.18)
Para a segunda igualdade na sequência acima, notar que para κ0 ≤ j < κ0 + K − 1,
T jx ∈
/ CiK , para todo o i ∈ {1, . . . , N0 }. A sexta igualdade resulta facilmente da
0
definição de g1 e do facto de T κ +K−1 x ∈ CiK , para algum i ∈ {1, ..., N0 }.
CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF
25
Fixemos arbitrariamente x ∈ X. Seja k0 o menor inteiro não negativo tal que
b É claro que se tal k0 não existe, então para todo o j ≥ 0, T j x ∈
b
T x ∈ A.
/ A,
j
e portanto (g1 − g0 )(T x) = 0, para todo o j ≥ 0, o que implica, neste caso, a
propriedade 4. Supondo, então, que tal k0 existe, seja k0 ≤ k1 < k0 + K tal que ou
b e T k0 x ∈ A
b para
T k1 x ∈ Cj1 K−(K−1) , para algum j1 ∈ {1, . . . , N0 }, ou T k1 x ∈
/ A
0
k0 ≤ k < k1 . Por construção obtemos uma sequência k1 < k2 < ... tal que para
b então existe um jn ∈ {1, ..., N0 }
b ou, se T kn x ∈ A,
/ A
todo o n ≥ 1, ou T kn x ∈
kn
tal que T x ∈ Cjn K−(K−1) . Vejamos, mais precisamente, como obter tal sequência.
b então existe jn ∈ {1, ..., N0 } tal que T kn x ∈ Cjn K−(K−1) .
Seja n ≥ 1. Se T kn x ∈ A,
Se jn < N0 , então consideramos kn+1 = kn + K e jn+1 = jn + 1, temos neste caso
k0
T kn+1 x = T kn +K x ∈ Cjn K−(K−1)+K = C(jn +1)K−(K−1) = Cjn+1 K−(K−1) .
Se jn = N0 , tomamos também neste caso kn+1 = kn + K. Ora, como T kn x ∈
CN0 −(K−1) , temos claramente que
T kn+1 −1 x ∈ CN0 −(K−1)+(K−1) = CN0 .
b como Cj = T −1 Cj+1 , para j < N0 , resulta que
Logo, se T kn+1 x ∈ A,
T kn+1 x ∈ C1 = CK−(K−1)
e, obviamente, consideramos neste caso, jn+1 = 1.
b seja kn+1 = kn + 1. Ora, se T kn+1 x ∈
b repetimos o processo, caso
/ A,
/A
Se T kn x ∈
contrário temos
b
/ A,
T −1 (T kn+1 x) = T kn x ∈
e portanto
T kn+1 x ∈ C1 = CK−(K−1) ,
e, tal como anteriormente, fixamos jn+1 = 1.
b resulta de (2.18), fazendo κ0 = kn , que
Para n ≥ 1, se T kn x ∈ A,
kn+1 −1
X
j
(g1 − g0 )(T x) =
j=kn
knX
+K−1
(g1 − g0 )(T j x) = 0.
(2.19)
j=kn
b então kn+1 − 1 = kn , e neste caso, por definição de g1 , também se
Se T kn x ∈
/ A,
verifica que
kn+1 −1
X
j=kn
(g1 − g0 )(T j x) = (g1 − g0 )(T kn x) = 0.
(2.20)
26
CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF
Por outro lado, temos ainda
|
kX
1 −1
j
(g1 − g0 )(T x)| = |
kX
1 −1
j
g1 (T x) −
g0 (T j x)|
j=k0
j=k0
j=k0
kX
1 −1
= |g1 (T k1 −1 x) −
kX
1 −1
g0 (T j x)|
j=k0
= |
K−1
X
g0 (T −i (T k1 −1 x)) −
i=0
≤
K−1
X
kX
1 −1
g0 (T j x)|
j=k0
|g0 (T −i+k1 −1 x)| +
i=0
kX
1 −1
|g0 (T j x)|
j=k0
≤ 2K sup |g0 (x)|
(2.21)
x∈X
Para a segunda igualdade na sequência acima, notar que, se T k1 x ∈ Cj1 K−(K−1) com
j1 ∈ {1, ..., N0 }, então T k1 −1 x ∈ C(j1 −1)K e, para todo k0 ≤ j < k1 − 1, T j x ∈
/ B.
k1
j
b então para todo k0 ≤ j ≤ k1 − 1, T x ∈ A.
b Em
Por outro lado, se T x ∈
/ A,
k1 −1
−1
k1 −1
b
particular, T
x ∈ A. Como Ci = T Ci+1 temos que T
x ∈ CN0 = C2N K e
j
T x∈
/ B para todo k0 ≤ j < k1 − 1.
Para kn < M < kn+1 , atendendo ao facto de kn+1 − kn ≤ K, temos
|
M
X
j
(g1 − g0 )(T x)| = |
j=kn
M
X
g0 (T j x)| ≤ K sup |g0 (x)|.
j=kn
b e portanto
Para todo 0 ≤ j < k0 , T j x ∈
/ A,
|
kX
0 −1
(g1 − g0 )(T j x)| = 0.
j=0
De (2.19)-(2.23) deduzimos que, para todo o n ≥ 1,
|
n−1
X
(g1 − g0 )(T j x)| ≤ 2K sup |g0 (x)|.
x∈X
j=0
Como x ∈ X é arbitrário, temos a propriedade 4.
Finalmente, para provar 5, seja x ∈ D1 . Se g1 (x) 6= 0, então
g1 (x) =
K−1
X
j=0
(2.22)
x∈X
g0 (T −j x),
(2.23)
CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF
27
e portanto, existe j ∈ {0, . . . , K − 1} tal que g0 (T −j x) 6= 0, ou seja, tal que T −j x ∈
j
j
K
E0 , donde x ∈ T j E0 para esse j. Assim, x ∈ ∪K
j=0 T E0 , e portanto D1 ⊂ ∪j=0 T E0 .
j
K
Se g1 (x) = 0, é claro que x ∈ E0 ⊆ ∪j=0 T E0 , e portanto a propriedade 5 verifica-se
também neste caso.
u
t
Sejam (X, A, µ) um espaço de medida e T : X → X mensurável. Dado > 0,
dizemos que uma função mensurável f : X → R é (T, )-anulável se existe XT, ∈ A
tal que µ(X \ XT, ) < 2 e |MnT f (x)| < , para todos n ≥ 1 e x ∈ XT, .
Lema 2.3.3.
E o suporte dePuma função mensurável f : X → R. Se K ≥ 0
S Seja −j
j
é tal que µ( K
T
E) < 2 e | n−1
j=0
j=0 f (T x)| < K, para todos n ≥ 1 e x ∈ X,
então f é (T, )-anulável.
S
−j
Prova. Seja XT, = X \ K
E. Temos claramente que o conjunto XT, é menj=0 T
surável e µ(X \ XT, ) < 2. Vejamos agora que se x ∈ XT, , então |MnT f (x)| < ,
−j
para todo n ≥ 1. De facto, dado x ∈ XT, temos que x ∈
/ ∪K
E, e portanto
j=0 T
j
j
para todo j ∈ {0, . . . , K}, T (x) ∈
/ E, ou seja, f (T x) = 0. Assim, para x ∈ XT, ,
se n ≤ K temos |MnT f (x)| = 0; se n > K
n−1
|MnT f (x)| = |
1X
K
f (T j x)| <
<
n j=0
n
o que prova o resultado.
u
t
Lema 2.3.4. P
Se (j )j≥0 é uma sucessão estritamente decrescente tal que 1/j ∈ N
para todo j e ∞
j=0 j < ∞, então existem funções fj : X → R tais que
1. µ(Ej ) < 2j , onde Ej denota o suporte de fj ;
R
2. fj dµ = 1;
3. f2j+1 − f2j é (S, 2j )-anulável;
4. f2j+2 − f2j+1 é (T, 2j+1 )-anulável.
Prova. Seja f−1 (x) = 1 para todo x ∈ X. É claro que f−1 é uma função mensurável
e limitada. Se
1
1 2
1 2
K0 =
=
sup |f−1 (x)|,
e N0 =
2
0
0 1
0 21 x∈X
pelo Lema 2.3.2, fazendo K = K0 , N = N0 e g0 = f−1 , existe uma função mensurável
e limitada f0 , de suporte E0 , satisfazendo as propriedades do Lema 2.3.2.
CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF
28
Admitamos que f2j está bem definida, para algum j ≥ 0, e seja E2j o suporte de
f2j . Sejam
2
1
1
e N2j+1 =
K2j+1 =
sup |f2j (x)|.
2
2j+1
2j+1 2j+2 x∈X
Aplicando o Lema 2.3.2, fazendo K = K2j+1 , N = N2j+1 , g0 = f2j e invertendo os
papéis de S e T , existe uma função mensurável e limitada f2j+1 , de suporte E2j+1 ,
satisfazendo as seguintes propriedades
Z
Z
(i2j+1 )
f2j+1 dµ = f2j dµ = 1;
(ii2j+1 )
(iii2j+1 )
µ
N2j+1
[
−i
T E2j+1
i=−N2j+1
sup |f2j+1 (x)| ≤
x∈X
(iv2j+1 )
1
2j+1
< 22j+1 ;
sup |f2j (x)|;
x∈X
X
n−1
2
i (f
−
f
)(S
x)
sup |f2j (x)| ∀x ∈ X ∀n ≥ 1;
2j+1
2j
≤ 2j+1 x∈X
i=0
K2j+1
(v2j+1 )
[
D2j+1 ⊂
S i E2j , onde D2j+1 denota o suporte de f2j+1 − f2j .
i=0
Admitamos agora que f2j−1 está bem definida, para algum j ≥ 1. Seja E2j−1 o
suporte de f2j−1 e sejam
K2j =
1
2j
e N2j =
1 2
sup |f2j−1 (x)|.
2j 22j+1 x∈X
Pelo Lema 2.3.2, fazendo K = K2j , N = N2j e g0 = f2j−1 , existe uma função
mensurável e limitada f2j , de suporte E2j , tal que
Z
Z
(i2j )
f2j dµ = f2j−1 dµ = 1;
(ii2j )
µ
N
2j
[
−i
S E2j
i=−N2j
(iii2j )
(iv2j )
< 22j ;
1
sup |f2j−1 (x)|;
2j x∈X
x∈X
n−1
X
2
i (f2j − f2j−1 )(T x) ≤
sup |f2j−1 (x)| ∀x ∈ X ∀n ≥ 1;
x∈X
2j
i=0
sup |f2j (x)| ≤
CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF
29
K2j
(v2j )
D2j ⊂
[
T i E2j−1 , onde D2j denota o suporte de f2j − f2j−1 .
i=0
Vejamos agora que as funções acima definidas satisfazem as propriedades 1-4.
A propriedade 1 resulta facilmente de (ii2j ) e (ii2j+1 ). Também
R de (i2j ) e (i2j+1 )
obtemos a propriedade 2. Vejamos agora a propriedade 3. De f2j−1 dµ = 1 vem
que supx∈X |f2j−1 (x)| ≥ 1, e portanto
N2j =
1 2
1 2
1
sup |f2j−1 (x)| ≥
>
= K2j+1 ,
2
2
2j 2j+1 x∈X
2j 2j+1
2j+1
e, consequentemente, de (v2j+1 ) temos
K2j+1
D2j+1 ⊂
[
N2j
[
l
S E2j ⊂
l=0
S l E2j ,
l=0
e portanto
N2j
[
N2j
[
−i
S D2j+1 ⊂
i=0
N2j
S
−i
i=0
S l E2j
l=0
N2j N2j
[[
=
[
S −i+l E2j
i=0 l=0
N2j
[
=
S −i E2j .
i=−N2j
Donde, por (ii2j )
µ
N
2j
[
i=0
−i
S D2j+1
≤µ
N
2j
[
−i
S E2j
i=−N2j
< 22j .
(2.24)
Por outro lado, de (iii2j ) e (iv2j+1 ) vem
|
n−1
X
(f2j+1 − f2j )(S i x)| ≤
i=0
2
2j+1
sup |f2j (x)|
x∈X
1
sup |f2j−1 (x)|
2j+1 2j x∈X
= N2j 2j+1
< N2j 2j , ∀x ∈ X ∀n ≥ 1.
≤
2
(2.25)
30
CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF
Deste modo, de (2.24) e (2.25) temos pelo Lema 2.3.3, fazendo K = N2j , que
f2j+1 − f2j é (S, 2j )-anulável, o que prova 3. Por um raciocı́nio análogo ao usado
para provar 3, facilmente se prova a propriedade 4.
u
t
Teorema 2.3.5 (Buczolich). Sejam (X, A, µ) um espaço de medida de Lebesgue,
finito e não atómico, e S, T : X → X transformações ergódicas que geram uma
acção livre de Z2 em X. Então, existe uma função mensurável f : X → R tal que,
para quase todo x ∈ X,
MnS f (x) → 0 e
MnT f (x) → 1
quando n → ∞.
Prova. Seja (fj )j≥0 a sucessão de funções mensuráveis e limitadas, definidas no lema
anterior.
P
j
Seja f = ∞
que define f converge em quase
j=0 (−1) fj . Vejamos que a soma
∞
todo ponto. Tal verifica-se pois
Pµ(∩i=1 ∪j≥i Ej = 0. De facto, pela propriedade 1
do Lema 2.3.4 e pelo facto de ∞
j=0 j ser uma série convergente, temos
X
X
µ ∩∞
∪
E
=
lim
µ
∪
E
≤
lim
µ(E
)
≤
2
lim
j = 0
j≥i
j
j≥n
j
j
i=1
n→∞
n→∞
j≥n
n→∞
j≥n
Vejamos agora que f satisfaz o que pretendemos. Para isso, começemos por
S
provar que, para quase todo x ∈ X, M
Pn∞f (x) → 0 quando n → ∞. Assim, sejam
> 0 arbitrário e N ≥ 0 tais que
j=2N j < /4. Como, para todo j ≥ 0,
f2j+1 − f2j é (S, 2j ) − anulável, existe para cada j ≥ 0 um conjunto XS,2j tal que
µ(X \ XS,2j ) < 22j e
|MnS (f2j+1 − f2j )(x)| < 2j ,
(2.26)
para todos x ∈ XS,2j e n ≥ 1.
PN −1
P −1
j+1
(f2j+1 − f2j ), e
fj . É fácil verificar que gN = j=0
Seja gN = 2N
j=0 (−1)
R
portanto da propriedade 2 do Lema 2.3.4 resulta que gN dµ = 0. Pelo Teorema
Ergódico de Birkhoff temos, para quase todo x ∈ X,
MnS gN (x) → 0 quando n → ∞.
Assim, pelo Teorema 1.1.5 existem um conjunto mensurável XN e N1 > N tais que,
µ(X \ XN ) < /2 e para todos x ∈ XN e n ≥ N1
|MnS gN (x)| < .
2
b = XN ∩ T∞ XS, . Ora,
Seja X
2j
j=N
(2.27)
CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF
b ≤ µ(X \ XN ) +
µ(X \ X)
∞
X
<
+2
2j
2
j=N
∞
X
µ(X \ XS,2j )
j=N
∞
X
+2
j
<
2
j=2N
<
+
2 2
= .
b e n ≥ N1 , resulta de (2.26) e (2.27) que
Por outro lado, para todos x ∈ X
∞
X
(−1)j fj (x)
|MnS f (x)| = MnS
j=0
−1
∞
X
X
S N
= Mn
(f2j+1 − f2j )(x) +
(f2j+1 − f2j )(x) j=0
≤ MnS
≤ MnS
N
−1
X
j=0
N
−1
X
j=0
j=N
∞
SX
(f2j+1 − f2j )(x)
(f2j+1 − f2j )(x) + Mn
j=N
(f2j+1 − f2j )(x) +
= |MnS gN (x)| +
∞
X
∞
X
|MnS (f2j+1 − f2j )(x)|
j=N
|MnS (f2j+1 − f2j )(x)|
j=N
<
∞
X
+
2j
2 j=N
∞
X
+
j
2 j=2N
+
<
2 4
< .
<
Como > 0 é arbitrário temos, para quase todo x ∈ X,
MnS f (x) → 0 quando n → ∞.
31
CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF
32
P
PN −1
Considerando agora gN = 2N
(−1)j fj , ou seja, gN = f0 + j=0
(f2j+2 − f2j+1 ),
j=0
R
temos que gN dµ = 1. Por um raciocı́nio análogo ao anterior obtemos, para quase
todo x ∈ X,
MnT f (x) → 1 quando n → ∞,
o que prova o pretendido.
u
t
Como consequência deste último teorema, temos que o recı́proco do Teorema
Ergódico de Birkhoff não vale em geral. Note-se ainda que, pelo Corolário 2.2.2, a
função f do teorema anterior não é semi-integrável.
Capı́tulo 3
Rotações do cı́rculo
Neste capı́tulo denotaremos por λ a medida de Lebesgue (em S 1 ou R) e Rα a
rotação de ângulo α em S 1 . Dada uma função mensurável f : S 1 → R e α ∈ R
definimos, para n ≥ 1
n−1
1X
Mnα f =
f ◦ Rαj
n j=0
e o conjunto de rotação da função f ,
Γf = α ∈ R : Mnα f (x) converge, quando n → ∞, para quase todo x ∈ S 1 .
Se f é integrável, resulta do Teorema Ergódico de Birkhoff que Γf = R. Mais
precisamente, se α ∈ R\Q, então Rα é ergódica e portanto, para quase todo x ∈ S 1 ,
Z
α
f dλ (quando n → ∞).
Mn f (x) →
S1
A convergência acima não vale se α ∈ Q. No entanto, nesse caso, todas as órbitas
são periódicas e portanto Mnα f (x) converge para a média de f na órbita de x.
Se f não é integrável, a única garantia que temos é, pela observação acima, que
Q ⊂ Γf . No entanto, resulta do Teorema 2.2.1 que se f é não negativa, então
Γf = Q.
3.1
Conjunto de rotação com medida positiva
Vamos mostrar que se o conjunto de rotação de f : S 1 → R tiver medida positiva, a
sua integrabilidade fica garantida, e portanto Γf = R.
Teorema 3.1.1 (Buczolich). Seja f : S 1 → R uma função mensurável. Se Γf tem
medida de Lebesgue positiva, então f é integrável.
33
34
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
Prova. Dados α ∈ S 1 e N ∈ N definimos Gα,N como o conjunto dos pontos x ∈ S 1
tais que |f (x + nα)| < n para n > N e |f (x + kα)| < N para k = 0, . . . , N .
Observe-se que o conjunto Gα,N é mensurável, facto que resulta da mensurabilidade
de f .
Para todo x ∈ S 1 , temos
α
|Mn+1
f (x)
−
Mnα f (x)|
n
n−1
1 X
1X
=
f (x + jα) −
f (x + jα)
n + 1 j=0
n j=0
n−1
1
1
1 X
=
f (x + nα) +
−
f (x + jα)
n+1
n + 1 n j=0
n−1
X
1
1
f (x + jα)
f (x + nα) −
=
n+1
n(n + 1) j=0
1
1
f (x + nα) −
Mnα f (x)
= n+1
n+1
1
1
|f (x + nα)| −
|M α f (x)|,
≥
n+1
n+1 n
e portanto
1
1
α
|f (x + nα)| ≤ |Mn+1
f (x) − Mnα f (x)| +
|M α f (x)|.
(3.1)
n+1
n+1 n
Se α ∈ Γf , resulta facilmente da definição de Γf que, para quase todo x ∈ S 1 ,
α
|Mn+1
f (x) − Mnα f (x)| → 0 e
1
|M α f (x)| → 0,
n+1 n
quando n → ∞, donde pela desigualdade (3.1)
1
f (x + nα) → 0 (n → ∞)
n+1
e portanto,
n+1 1
1
f (x + nα) =
f (x + nα) → 0 (n → ∞).
n
n n+1
Assim, se α ∈ Γf , para quase todo x ∈ S 1 existe N 0 ∈ N tal que |f (x + nα)| < n
para n > N 0 e, consequentemente existe Nx ∈ N tal que x ∈ Gα,N para N > Nx .
Vejamos agora que existem N ∈ N e > 0, tais que o conjunto dos α ∈ Γf que
verificam λ(Gα,N ∩S 1 ) > tem medida positiva. De facto, se definirmos para N ∈ N
e α ∈ S1
Aα,N = Gα,N ∩ S 1
35
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
é claro que, pelas observações acima, para cada α ∈ Γf , ∪N ∈N Aα,N = S 1 em quase
todo ponto. Assim, para cada α ∈ Γf existem N (α) e n(α) tais que
1
.
λ(Gα,N (α) ∩ S 1 ) >
n(α)
Definindo agora, para n, N ∈ N
1
},
n
= Γf . Ora, como λ(Γf ) > 0 existem N0 e n0 =
Bn,N = {α ∈ Γf : λ(Gα,N ∩ S 1 ) >
temos ∪n,N ∈N Bn,N
1
,
0
tais que
λ({α ∈ Γf : λ(Gα,N0 ∩ S 1 ) > 0 }) > 0,
(3.2)
o que prova o pretendido. Fixemos N e de modo a verificarem (3.2), e seja
A = {α ∈ Γf : λ(Gα,N ∩ S 1 ) > }.
Para cada α ∈ S 1 , seja Hα = R\Gα,N (note-se que N é fixo). Consideremos a função
mensurável definida para cada α ∈ A por a(α) = λ(Hα ∩ S 1 ). Resulta facilmente
da definição de A que a(α) < 1 − , para todo α ∈ A. Consideremos ainda a função
mensurável definida por

1
se x ∈ Hα e α ∈ A,



a(α)
−
se x ∈
/ Hα e α ∈ A,
h(x, α) =

1 − a(α)


0
se x ∈ R e α ∈
/ A.
A função h é periódica em x de perı́odo 1. Por outro lado, tendo em atenção que
a(α) < 1 − para todo α ∈ A, é fácil verificar que, para todos α ∈ S 1 e x ∈ R
1
|h(x, α)| < .
(3.3)
Para cada α ∈ A temos ainda que
Z
h(x, α)dx =
S1
=
Z
Z
h(x, α)dx +
Gα,N ∩S 1
Z
h(x, α)dx
Hα ∩S 1
a(α)
−
dx +
1 − a(α)
Gα,N ∩S 1
Z
1dx
Hα ∩S 1
a(α)
λ(Gα,N ∩ S 1 ) + λ(Hα ∩ S 1 )
1 − a(α)
a(α)
= −
(1 − a(α)) + a(α)
1 − a(α)
= −a(α) + a(α)
= 0,
= −
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
36
se α ∈
/ A é claro, pela definição da função h, que o resultado acima também se
verifica, e portanto, para todo α ∈ S 1
Z
h(x, α)dx = 0.
(3.4)
S1
Seja, para cada n ≥ 0
Bn = {x ∈ S 1 : |f (x)| > n}.
Observemos que se n > N e x − nα ∈ Gα,N , então |f (x)| = |f ((x − nα) + nα)| < n.
Assim, para n > N , se x ∈ Bn , então x − nα ∈ Hα , se α ∈ A temos ainda que
h(x − nα, α) = 1, e por conseguinte
Z
1
h(x − nα, α)dα = 1.
(3.5)
λ(A) A
Fixado α ∈ S 1 , denotemos o k-ésimo coeficiente de Fourier da função h(. , α) por
b
hk (α), ou seja,
Z
b
hk (α) =
h(x, α)e−2πikx dx.
S1
Temos que b
hk é uma função em α mensurável. Por outro lado,
Z
b
hk (α) = |
h(x, α)e−2πikx dx|
S1
Z
≤
|h(x, α)e−2πikx |dx
1
ZS
=
|h(x, α)|dx
S1
≤ sup |h(x, α)|
x∈S 1
≤
1
donde se conclui que b
hk é limitada. De (3.4) resulta que, para todo α ∈ S 1 ,
R
b
h0 (α) = S 1 h(x, α)dx = 0. De notar ainda que, se α ∈
/ A então b
hk (α) = 0, para
todo k.
Consideremos agora, para cada n ∈ N, a função mensurável e limitada Gn
definida para cada x ∈ R por
Z
1
Gn (x) =
h(x − nα, α)dα.
λ(A) A
A função Gn é limitada pelo facto da função h ser limitada. Denotando o k-ésimo
bn,k , temos
coeficiente de Fourier da função Gn por G
37
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
bn,k =
G
=
=
=
=
Z
Gn (x)e−2πikx dx
Z Z
1
h(x − nα, α)dα e−2πikx dx
λ(A)
1
S
Z Z A
1
h(x − nα, α)e−2πikx dαdx
λ(A) S 1 A
Z Z
1
h(x − nα, α)e−2πikx dxdα
λ(A) A S 1
Z
1
b
hk (α)e−2πiknα dα.
λ(A) A
S1
A veracidade da penúltima igualdade na sequência acima assenta no facto da função
integranda ser limitada, e portanto podemos trocar a ordem de integração. Relativamente à última igualdade, observemos que, para cada α ∈ S 1 , a série de Fourier
de h(∗ , α) é dada por
X
b
hk (α)e2πikx
k∈Z
e portanto, a série de Fourier de h(∗ − nα, α) é dada por
X
X
b
b
hk (α)e−2πiknα e2πikx ,
hk (α)e2πik(x−nα) =
k∈Z
k∈Z
donde se conclui que b
hk (α)e−2πiknα é o k-ésimo coeficiente de Fourier da função
h(∗ − nα, α).
Para n > N , resulta de (3.5) que
λ(Bn ) =
=
≤
=
=
Z
Z
Z
Z
1dx
Bn
Bn
S1
1
λ(A)
1
λ(A)
Z
Z
h(x − nα, α)dα
A
h(x − nα, α)dα
A
|Gn (x)|2 dx
S1
X
k∈Z
Donde
bn,k |2 .
|G
2
2
dx
dx
38
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
X
λ(Bn ) ≤
n≥N +1
X X
n≥N +1 k∈Z
=
X X
k∈Z n≥N +1
≤
XX
k∈Z n≥1
bn,k |2
|G
bn,k |2
|G
bn,k |2
|G
XX 1 Z
2
b
hk (α)e−2πiknα dα
=
λ(A) A
k∈Z n≥1
Z
2
1 X X b
−2πiknα
=
h
(α)e
dα
k
λ(A)2 k∈Z n≥1 A
R
por outro lado, como A b
hk (α)e−2πiknα dα é o kn-ésimo coeficiente de Fourier da
função mensurável e limitada b
hk χA temos, para todo k
XZ
XZ
2
2
−2πiknα
b
b
hk (α)e
dα
≤
hk (α)e−2πiknα dα
n≥1
A
n∈Z
=
Z
A
A
|b
hk (α)|2 dα.
Assim, usando (3.3), temos pelas observações acima
Z
2
1 X X b
−2πiknα
h
(α)e
dα
λ(Bn ) ≤
k
2
λ(A)
A
n≥N +1
k∈Z n≥1
Z
X
1
≤
|b
hk (α)|2 dα
λ(A)2 k∈Z A
Z X
1
=
|b
hk (α)|2 dα
λ(A)2 A k∈Z
Z Z
1
|h(x, α)|2 dxdα
=
λ(A)2 A S 1
1
1
<
λ(A) 2
2
λ(A)
1
=
λ(A)2
< ∞,
X
e, consequentemente
39
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
X
λ(Bn ) < ∞.
(3.6)
n≥0
Vejamos agora que (3.6) implica a integrabilidade da função f . De facto,
Z
XZ
|f |dλ =
|f |dλ
S1
n≥1
≤
X
n≥1
=
X
n≥1
=
X
Bn−1 \Bn
λ(Bn−1 \ Bn )n
λ(Bn−1 ) − λ(Bn ) n
λ(Bn )
n≥0
< ∞,
u
t
o que prova o resultado.
Do teorema anterior conclui-se que do ponto de vista da medida, um conjunto
de rotação “grande”(medida de Lebesgue positiva) é suficiente para garantir a integrabilidade da função.
3.2
Conjunto de rotação com infinitos irracionais
Dizemos que os irracionais α1 , . . . , αm ∈ S 1 são independentes, se 0 não puder ser
escrito como combinação linear racional de α1 , . . . , αm , isto é
a1 α 1 + · · · + a m α m = 0
⇒ a1 = · · · = am = 0.
a1 , . . . , a m ∈ Q
Observe-se que, se α e β são irracionais independentes, então Rα e Rβ geram uma
acção livre de Z2 em S 1 . Do Teorema 2.3.5 resulta, em particular, que existe uma
função mensurável não integrável f : S 1 → R tal que α, β ∈ Γf . Nesta secção
mostraremos que este resultado pode estender-se a um conjunto numerável de irracionais independentes. Antes, porém, mostraremos alguns lemas essenciais à sua
prova.
Um conjunto mensurável A ⊂ R diz-se de perı́odo 1 se A + n = A para todo
n ∈ Z.
Lema
3.2.1. Se A1 , A2 ⊂ R são conjuntos mensuráveis de perı́odo 1 com λ A1 ∩
S 1 < 1/4, então existe x ∈ S 1 tal que
λ A1 ∩ (A2 + x) ∩ S 1 ) <
λ(A2 ∩ S 1 )
.
4
(3.7)
40
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
Prova. Observemos que
Z Z
Z
1
χA1 (y)χA2 (y + x)dydx
λ(A1 ∩ (A2 + x) ∩ S )dx =
S1 S1
S1
Z Z
=
χA1 (y)χA2 (y + x)dxdy
1
1
ZS S
=
χA1 (y)λ(A2 ∩ S 1 )dy
S1
= λ(A1 ∩ S 1 )λ(A2 ∩ S 1 )
λ(A2 ∩ S 1 )
<
4
e portanto, existe algum x ∈ S 1 que verifica a condição (3.7).
u
t
Dados um ponto x ∈ R e um número real η > 0 definimos
η
η
Ix,η = x − , x + .
2
2
Lema 3.2.2. Sejam α1 , . . . , αm ∈ S 1 irracionais independentes. Para todo o M ∈ N
b ⊂ R de perı́odo 1, tais que
e ∈ (0, 14 ), existem conjuntos G ⊂ G
b ∩ S 1 ) < 3;
1. ≤ λ(G ∩ S 1 ) < 2 e λ(G
b ∩ S 1 consistem na união de um número finito de
2. os conjuntos G ∩ S 1 e G
intervalos abertos;
3. para todos j ∈ {1, . . . , m} e x ∈ R, se x + αj ∈ G e x ∈
/ G, então x + kαj ∈ G,
b
para todo o k ∈ {1, . . . , M + 1}; se x ∈
/ G, então x + kαj ∈
/ G, para todo o
k ∈ {1, . . . , M }.
Prova. Seja K > M um inteiro tal que
m
K +M
9
< .
K
8
(3.8)
Se definirmos
A = {a1 α1 + · · · + am αm + r : ai = 0, . . . , K − 1; i = 0, . . . , m e r ∈ Z }
e
b = {a1 α1 + · · · + am αm + r : ai = −M, . . . , K − 1; i = 0, . . . , m e r ∈ Z},
A
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
41
então claramente
#(A ∩ S 1 ) = K m
b ∩ S 1 ) = (K + M )m .
e #(A
(3.9)
Note-se que os irracionais α1 , . . . , αm ∈ S 1 são independentes. Seja δ > 0 tal que
b os intervalos Ip,η e Iq,η sejam disjuntos. Se
para 0 < η ≤ δ e p 6= q ∈ A,
Hη = ∪p∈A Ip,η
resulta facilmente de (3.9) que
λ(Hη ∩ S 1 ) = K m η
b η = ∪ bIp,η
e H
p∈A
b η ∩ S 1 ) = (K + M )m η.
e λ(H
(3.10)
Analisamos agora dois casos possı́veis:
1. Se λ(Hδ ∩ S 1 ) = K m δ < , seja B1 = Hδ . Ora, λ(B1 ∩ S 1 ) < 1/4. Pelo Lema
3.2.1, fazendo A1 = A2 = B1 , existe x1 ∈ S 1 tal que
λ B1 ∩ (Hδ + x1 ) ∩ S 1 ) <
1
λ(Hδ ∩ S 1 )
= K m δ.
4
4
Seja agora B2 = B1 ∪(Hδ +x1 ). Se λ(B2 ∩S 1 ) ≥ , tomamos G = B2 , caso contrário,
aplicamos novamente o Lema 3.2.1, agora com A1 = B2 e A2 = Hδ , e conclui-se que
existe x2 ∈ S 1 tal que
λ B2 ∩ (Hδ + x2 ) ∩ S 1 ) <
1
λ(Hδ ∩ S 1 )
= K m δ.
4
4
Admitindo agora que Bn está bem definido, para algum n, e é tal que λ(Bn ∩ S 1 ) <
< 1/4, aplicamos o Lema 3.2.1, com A1 = Bn e A2 = Hδ e obtemos xn ∈ S 1 tal
que
K mδ
λ(Hδ ∩ S 1 )
=
.
λ(Bn ∩ (Hδ + xn ) ∩ S 1 ) <
4
4
Seja Bn+1 = Bn ∪ (Hδ + xn ). Observe-se que
λ((Bn+1 \ Bn ) ∩ S 1 ) = λ(((Hδ + xn ) \ Bn ) ∩ S 1 )
= λ(((Hδ + xn ) ∩ S 1 ) \ ((Hδ + xn ) ∩ Bn ∩ S 1 ))
= λ((Hδ + xn ) ∩ S 1 ) − λ((Hδ + xn ) ∩ Bn ∩ S 1 )
K mδ
> K mδ −
4
3 m
=
K δ,
4
por outro lado,
λ((Bn+1 \ Bn ) ∩ S 1 ) ≤ λ(Hδ ∩ S 1 ) < ,
42
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
e portanto
3 m
K δ < λ((Bn+1 \ Bn ) ∩ S 1 ) < .
4
Assim, existe
N≤
(3.11)
+ 34 K m δ
2
+
1
=
<
,
3
3
3
K mδ
K mδ
K mδ
4
4
4
(3.12)
tal que λ(BN −1 ∩ S 1 ) < ≤ λ(BN ∩ S 1 ) < 2. O conjunto G que pretendemos é
precisamente
N −1
G = BN = ∪j=0
(Hδ + xj ),
com x0 = 0.
Note que, das observações acima resulta
≤ λ(G ∩ S 1 ) < 2.
Definindo agora
be
é claro que G ⊂ G
b = ∪N −1 (H
b δ + xj ),
G
j=0
b ∩ S 1 ) = λ ∪N −1 (H
b δ + xj ) ∩ S 1
λ(G
j=0
≤ N (K + M )m δ
2
< 3 m (K + M )m δ
K δ
4
m
8 K +M
=
3
K
89
<
38
= 3.
As segunda, terceira e quinta desigualdades na sequência acima são uma consequência imediata de (3.10), (3.12) e (3.8), respectivamente. Fica assim provada a prob que G ∩ S 1 e G
b ∩ S 1 consistem na união
priedade 1. Resulta das definições de G e G
de um número finito de intervalos abertos, o que prova 2. Para provar 3, sejam x ∈ R
e j ∈ {1, . . . , m}. Se x + αj ∈ G, então existem xn ∈ S 1 com n ∈ {0, . . . , N − 1},
r ∈ Z e a1 , . . . , am ∈ {0, . . . , K − 1} tais que
|x + αj − (a1 α1 + · · · + am αm + r + xn )| <
ou seja
δ
2
δ
|x − (a1 α1 + · · · + (aj − 1)αj + · · · + am αm + r + xn )| < .
2
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
43
Ora, se x ∈
/ G temos aj = 0, e portanto para todo o k ∈ {1, . . . , K}, x + kαj ∈ G.
Como K ≥ M + 1, temos em particular que x + kαj ∈ G para k ∈ {1, . . . , M + 1}.
b e x + kαj ∈ G, então existem xn ∈ S 1 com n ∈ {0, . . . , N − 1}, r ∈ Z
Se x ∈
/G
e a1 , . . . , am ∈ {0, . . . , K − 1} tais que
δ
|x + kαj − (a1 α1 + · · · + am αm + r + xn )| < ,
2
ou seja
δ
|x − (a1 α1 + · · · + (aj − k)αj + · · · + am αm + r + xn )| < .
2
b temos aj − k < −M , isto é, k > M + aj ≥ M , e portanto
Ora, como x ∈
/ G
x + kαj ∈
/ G, para todo o k ∈ {1, . . . , M }, o que prova 3.
2. Se λ(Hδ ∩ S 1 ) = K m δ ≥ , seja η ∈ (0, δ] tal que K m η = . Considerando,
b=H
b η , temos que λ(G ∩ S 1 ) = e
neste caso, G = Hη e G
b ∩ S 1 ) = λ(H
bη ∩ S 1)
λ(G
= (K + M )m η
m
K +M
K mη
=
K
9
<
8
< 3.
A segunda igualdade na sequência acima é uma consequência imediata de (3.9).
A quarta desigualdade resulta de (3.8). Fica asim provada a propriedade 1. Das
b é claro que se verifica a propriedade 2. Usando os mesmos
definições de G e G
argumentos do primeiro caso, facilmente se prova que a propriedade 3 também se
verifica neste caso, ficando assim provado o lema.
u
t
Lema 3.2.3. Sejam α1 , . . . , αm ∈ S 1 irracionais independentes. Para todo c > 4
bc ⊂ R de perı́odo 1, tais que 1/c ≤ λ(Gc ∩ S 1 ) < 2/c e
existem conjuntos Gc ⊂ G
bc ∩ S 1 ) < 3/c, e existe uma função fc : S 1 → R satisfazendo
λ(G
Z
1. fc (x) = 0 para x ∈
/ Gc , |fc | ≤ 2c e
|fc |dλ > 1/3;
S1
α
2. Mn j fc (x) → 0, quando n → ∞, para todo j ∈ {1, . . . , m} e quase todo x ∈ S 1 ;
bc , |Mnαj fc (x)| < 1/c.
3. para todos n ≥ 1, j ∈ {1, . . . , m} e x ∈
/G
44
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
Prova. Sejam = 1/c e M ∈ N tal que M > 12c2 . Pelo Lema 3.2.2 existem
bc = G
b de perı́odo 1, satisfazendo as propriedades 1-3 do
conjuntos Gc = G e G
referido lema, nomeadamente, tais que
2
1
= ≤ λ(Gc ∩ S 1 ) < 2 =
c
c
bc ∩ S 1 ) < 3 = 3 .
e λ(G
c
Temos ainda que
l
Gc ∩ S 1 = ∪˙ i=1 Ii ,
com Ii intervalos abertos.
Por [8, pp 53], para cada k ∈ N, existe wk > k tal que
|1 − e2πiwk αj | >
1
3
para j ∈ {1, . . . , m}.
(3.13)
Ora,
lim
k→∞
Z
| cos(2πwk x)χGc (x)|dx =
lim
k→∞
S1
=
lim
k→∞
l
X
=
i=1
Z
| cos(2πwk x)|dx
Gc ∩S 1
l Z
X
| cos(2πwk x)|dx
lim
| cos(2πwk x)|dx
i=1
k→∞
Ii
Z
(3.14)
Ii
Seja i ∈ {1, . . . , l}. Escrevendo Ii = (a, b), temos
Z
| cos(2πwk x)|dx =
Ii
Z
b
| cos(2πwk x)|dx
a
1
=
wk
Z
wk b
| cos(2πx)|dx.
wk a
Sejam 2ηπ o menor múltiplo de 2π superior a wk a e 2θπ o maior múltiplo de 2π
inferior a wk b. Assumindo k suficientemente grande temos
wk a < 2ηπ ≤ wk a + 2π ⇔ a <
2ηπ
2π
≤a+
wk
wk
e portanto
2ηπ
→a
wk
quando k → ∞.
45
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
Por um racı́ocinio análogo, prova-se que
2θπ
→b
wk
quando k → ∞.
Das observações acima resulta que
Z
Z wk b
1
| cos(2πx)|dx
| cos(2πwk x)|dx = lim
lim
k→∞ wk w a
k→∞ I
i
k
Z
1
= lim
| cos(2πx)|(2θπ − 2ηπ)dx + C
k→∞ wk
S1
!
Z
C
2θπ 2ηπ
−
| cos(2πx)|dx +
= lim
k→∞
wk
wk
wk
S1
Z
= (b − a)
| cos(2πx)|dx
1
S
Z
= λ(Ii )
| cos(2πx)|dx,
S1
donde se conclui que, para todo i ∈ {1, . . . , l}
Z
Z
| cos(2πx)|dx quando k → ∞.
| cos(2πwk x)|dx → λ(Ii )
(3.15)
S1
Ii
De (3.14) e (3.15) obtemos
lim
k→∞
Z
| cos(2πwk x)χGc (x)|dx =
S1
l X
λ(Ii )
i=1
1
Z
= λ(Gc ∩ S )
12
cπ
1
.
>
2c
| cos(2πx)|dx
S1
Z
| cos(2πx)|dx
S1
≥
Usando os mesmos argumentos, obtemos ainda
Z
cos(2πwk x)χGc (x)dx = 0.
lim
k→∞
(3.16)
S1
Deste modo, podemos fixar k tal que, para w = wk
Z
1
| cos(2πwx)χGc (x)|dx >
2c
S1
Z
e 1
cos(2πwx)χGc (x)dx < 3 .
6c
S1
(3.17)
46
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
Seja
γ=
R
S1
cos(2πwx)χGc (x)dx
.
λ(Gc ∩ S 1 )
De (3.17), temos
|γ| =
|
R
S1
cos(2πwx)χGc (x)dx|
1/6c3
1
<
= 2.
1
λ(Gc ∩ S )
1/c
6c
(3.18)
Definindo fc : S 1 → R por
fc (x) = −cγχGc (x) + cχGc (x) cos(2πwx),
temos
|fc | ≤ c|γ| + c < c
1
1
+
c
=
+ c < 2c.
6c2
6c
(3.19)
Por outro lado,
Z
|fc |dλ =
S1
Z
| − cγχGc (x) + cχGc (x) cos(2πwx)|dx
Z
Z
≥
|cχGc (x) cos(2πwx)|dx −
|cγχGc (x)|dx
S1
S1
Z
Z
= c
|χGc (x) cos(2πwx)|dx − c|γ|
χGc (x)dx
S1
S1
S1
1
1
> c − c 2 λ(Gc ∩ S 1 )
2c
6c
1 1
−
>
2 6
1
=
,
3
sendo a quarta desigualdade na sequência acima uma consequência imediata de
(3.17) e (3.18). Assim,
Z
1
|fc |dλ > .
(3.20)
3
S1
Resulta facilmente da definição de fc que, fc (x) = 0 para x ∈
/ Gc donde, juntamente
com (3.19) e (3.20) obtemos a propriedade 1. Observemos agora que, da definição
de γ resulta que
Z
Z
Z
χGc (x) cos(2πwx)dx
χGc (x)dx + c
fc dλ = −cγ
S1
S1
S1
1
= −cγλ(Gc ∩ S ) + cγλ(Gc ∩ S 1 ) = 0,
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
47
e portanto, pelo Teorema Ergódico de Birkhoff temos que, para todo j ∈ {1, . . . , m}
e quase todo x ∈ S 1 ,
Mnαj fc (x) → 0 quando n → ∞,
o que prova 2.
bc , j ∈ {1, . . . , m} e
Vamos agora provar a propriedade 3, para isso sejam x ∈
/ G
n ∈ N (fixos). Consideremos a sucessão aj,x = (ak )k∈N0 tal que, para todo o k
ak = χGc (x + kαj ).
Seja k0 o menor inteiro não negativo tal que ak0 = 1. É claro que k0 inicia o primeiro
bloco de 1’s da sucessão aj,x . Seja k1 o fim desse primeiro bloco de 1’s, ou seja, k1 é
tal que, para k0 ≤ k ≤ k1 , ak = 1. Por construção temos a sequência k1 < k2 < . . .
tal que, para t ∈ N0 ,
1
se k2t ≤ k ≤ k2t+1
ak =
0
se k2t+1 < k < k2t+2 .
bc , e consequentemente x ∈
Ora, como x ∈
/G
/ Gc , temos k0 > 0. Por outro lado,
como x + (k0 − 1)αj ∈
/ Gc e x + k0 αj = x + (k0 − 1)αj + αj ∈ Gc , pela propriedade
3 do Lema 3.2.2 vem que x + (k0 + k − 1)αj ∈ Gc , para k ∈ {1, . . . , M + 1}, isto é,
x + kαj ∈ Gc para k0 ≤ k ≤ k0 + M . Donde se conclui que
k1 ≥ k0 + M.
(3.21)
É claro que k2t > 0, para t ∈ N. Usando um argumento análogo ao anterior
temos
k2t+1 ≥ k2t + M.
(3.22)
bc , resulta da propriedade 3 do Lema 3.2.2 que k0 > M ,
Por outro lado, como x ∈
/G
e portanto de (3.21) e (3.22) temos, para t ∈ N
k2t > k2t−1 ≥ k0 + tM > M + tM = (t + 1)M.
(3.23)
∗
Definindo agora, para t ∈ N0 , k2t+1
= min(n, k2t+1 ) e t∗ tal que k2(t∗ −1) ≤ n <
k2t∗ , é claro que
#{t ∈ N0 : k2t ≤ n} = t∗ ,
(3.24)
de (3.23) obtemos
n ≥ k2(t∗ −1) > t∗ M.
Resulta facilmente da definição de fc que
fc (x) = −cγχGc (x) + cχGc (x)Re(e2πiwx ).
(3.25)
48
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
Logo,
n−1
|Mnαj fc (x)| = | − cγMnαj χGc (x) +
cX
χG (x + kαj )Re(e2πiw(x+kαj ) )|
n k=0 c
n−1
= | − cγMnαj χGc (x) +
c
≤ c|γ| +
n
c
= c|γ| +
n
c
= c|γ| +
n
c
≤ c|γ| +
n
cX
ak Re(e2πiw(x+kαj ) )|
n k=0
∗
k2t+1
X
|
X
Re(e2πiw(x+kαj ) )|
{t∈N0 : k2t ≤n} k=k2t
X
|Re e
∗
k2t+1
−k2t
2πiw(x+k2t αj )
|Re e
2πiw(x+k2t αj ) 1
{t∈N0 : k2t ≤n}
X
k=0
{t∈N0 : k2t ≤n}
X
{t∈N0 : k2t ≤n}
|e
2πiw(x+k2t αj ) 1
X
e2πiwkαj |
∗
− e2πiw(k2t+1 −k2t +1)αj |
1 − e2πiwαj
∗
− e2πiw(k2t+1 −k2t +1)αj
|
1 − e2πiwαj
c ∗ 2
t
n 1/3
6ct∗
< c|γ| + ∗
tM
c
6c
<
+
2
6c
12c2
1
.
<
c
< c|γ| +
A sétima desigualdade na sequência acima é uma consequência de (3.13), fazendo
wk = w, e de (3.24). Usamos (3.25) e (3.18) para obter as oitava e nona desigualdades, respectivamente. Atendendo a que x, j e n são fixos, mas quaisquer, temos
provada a propriedade 3.
u
t
Teorema 3.2.4 (Buczolich). Se (αj )j≥1 é uma sucessão de irracionais independentes, então existe uma função mensurável f : S 1 → R tal que f ∈
/ L1 (λ) e, para
1
todo j ≥ 1 e quase todo x ∈ S ,
Mnαj f (x) → 0 quando n → ∞.
49
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
Prova. Sejam (mi )i≥1 uma sucessão estritamente crescente de números naturais e
(ci )i≥1 uma sucessão estritamente crescente de números reais tal que, para todo i,
ci > 4 e para todo k ≥ 1
k
X
1
ci
< ,
c
24
i=1 k+1
∞
X
1
2
<
ci
24ck
i=k+1
e
∞
X
1
c
i=1 i
converge.
(3.26)
Para cada i ≥ 1, aplicando o Lema 3.2.3 a ci e aos irracionais α1 , . . . , αmi ,
bc ⊂ R de perı́odo 1, tais que 1/ci ≤ λ(Gc ∩ S 1 ) < 2/ci
obtemos conjuntos Gci ⊂ G
i
i
bc ∩ S 1 ) < 3/ci , e obtemos uma função mensurável fc : S 1 → R, satisfazendo
e λ(G
i
i
as propriedades 1-3 do referido lema.
Seja f : S 1 → R definida por
P∞
se a soma converge,
i=1 fci (x)
f (x) =
0
caso contrário.
De (3.26) resulta, para todo k ≥ 1
∞
∞
X
X
2
1
1
1
λ(G
∩
S
)
≤
λ ∪∞
G
∩
S
≤
<
.
ci
ci
i=k+1
c
24c
i
k
i=k+1
i=k+1
(3.27)
Se definirmos, para k ≥ 1
1
Tk = (Gck \ ∪∞
i=k+1 Gci ) ∩ S ,
temos
Z
Z
Z
|fck |dλ −
|fck |dλ = |fck |dλ −
|fck |dλ
S1
Tk
Gc ∩S 1
T
Z k
k
= |fck |dλ
(Gck ∩S 1 )\Tk
Z
|fck |dλ
=
Z
(Gck ∩S 1 )\Tk
≤ 2ck λ (Gck ∩ S 1 )\Tk
1
< 2ck
24ck
1
=
.
12
A veracidade da primeira igualdade assenta no facto de fck (x) = 0 para x ∈
/ G ck .
De |fck | ≤ 2ck , obtemos a quarta desigualdade. Finalmente, a quinta desigualdade
50
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
resulta de (3.27). Se x ∈ Tk , então x ∈
/ Gci para i > k, e consequentemente fci (x) = 0
para i > k. Logo
k
X
f (x) =
fci (x) para todo x ∈ Tk .
i=1
Assim,
Z
|f |dλ =
Tk
≥
≥
>
Z
Z
Z
Tk
k
X
fci dλ
i=1
|fck |dλ −
Tk
S
k−1 Z
X
i=1
Z
|fck |dλ − 1
1
1
−
−
3 12
k−1
X
|fci |dλ
Tk
|fck |dλ −
S1
Z
2ci λ(Tk )
Tk
X
Z
k−1
|fck |dλ −
i=1
|fci |dλ
Tk
i=1
k−1
X
1
2ci
− λ(Tk )
=
4
i=1
k−1
X
1
≥
2ci
− λ(Gck ∩ S 1 )
4
i=1
k−1
1
2 X
>
−
2ci
4 ck i=1
k−1
X ci
1
−4
=
4
c
i=1 k
1
1
−4
4
24
1
.
=
12
>
A veracidade das sexta e nona desigualdades resulta da definição de Tk e de (3.26),
respectivamente. Ora, uma vez que os conjuntos Tk são disjuntos, temos
Z
Z
XZ
|f |dλ = ∞,
|f |dλ =
|f |dλ ≥
S1
∪k≥1 Tk
k≥1
Tk
51
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
e portanto, f ∈
/ L1 (λ).
Vejamos agora que, para todo j ≥ 1 e quase todo x ∈ S 1
Mnαj f (x) → 0 quando n → ∞.
Para isso, começemos por provar que
f (x) =
∞
X
fci (x) para quase todo x ∈ S 1 .
i=1
∞
1
Ora, se definirmos G∞ = ∩∞
n=1 ∪i=n Gci , basta provar que λ(G∞ ∩ S ) = 0. Assim,
λ(G∞ ∩ S 1 ) =
≤
1
lim λ(∪∞
i=n Gci ∩ S )
n→∞
lim
n→∞
∞
X
λ(Gci ∩ S 1 )
i=n
∞
X
2
≤ lim
n→∞
c
i=n i
= 0.
A última igualdade é uma consequência da terceira condição de (3.26). Analoga1
∞ b
b
b ∞ = ∩∞
mente, se G
n=1 ∪i=n Gci , temos λ(G∞ ∩ S ) = 0. De facto,
b∞ ∩ S 1 ) =
λ(G
≤
1
b
lim λ(∪∞
i=n Gci ∩ S )
n→∞
lim
n→∞
∞
X
i=n
bc ∩ S 1 )
λ(G
i
∞
X
3
≤ lim
n→∞
c
i=n i
∞
X
1
= 3 lim
n→∞
c
i=n i
= 0.
b∞ , temos que λ(G
b∞ ) = 0. Observe-se que,
Atendendo à periodicidade do conjunto G
b
b∞ existe nx tal que x ∈
se x ∈
/G
/ ∪∞
i=nx Gci , e portanto para todo i ≥ nx temos, pela
propriedade 3 do Lema 3.2.3
|Mnαj fci (x)| <
1
para todos n ≥ 1 e j ∈ {1, . . . , mi }.
ci
52
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
Assim, para quase todo x ∈ S 1 e todo k ≥ nx
lim sup |Mnαj f (x)|
n→∞
=
lim sup |Mnαj
n→∞
≤ lim sup
n→∞
≤ lim sup
n→∞
k
X
∞
X
i=1
fci (x) |
|Mnαj fci (x)|
+ lim sup
i=1
k
X
|Mnαj fci (x)| +
i=1
∞
X
1
= 0+
ci
i=k+1
n→∞
∞
X
∞
X
|Mnαj fci (x)|
i=k+1
1
ci
i=k+1
= 0.
Para a penúltima igualdade na sequência acima aplicou-se a propriedade 2 do Lema
3.2.3. Como k ≥ nx é arbitrário, de (3.26) obtém-se facilmente a última igualdade.
Assim, para todo j ≥ 1 e quase todo x ∈ S 1
Mnαj f (x) → 0 quando n → ∞ ,
ou seja, αj ∈ Γf , para todo j ≥ 1. Temos assim provado o resultado.
u
t
Nota 3.2.5. Para uso posterior, realçamos que na prova do Teorema 3.2.4 o ingrediente essencial usado para demonstrar que os irracionais αj , para todo j ≥ 1,
pertenciam ao conjunto de rotação da função f , foram as propriedades 2 e 3 do
Lema 3.2.3.
Do teorema anterior podemos concluir que existe uma função mensurável não
integrável cujo conjunto de rotação contém um conjunto numerável de irracionais
independentes. Vamos ainda ver que esse conjunto numerável de irracionais independentes pode ser escolhido denso.
Seja {B1 , B2 , . . . } a base numerável constituı́da pelos intervalos abertos de extremos racionais. Seja α1 ∈ B1 ∩ R \ Q. Temos, obviamente, que {α1 } é independente. Suponhamos, por contradição, que para todo o irracional α2 ∈ B2 , existem
a1 , a2 ∈ Q \ {0}, tais que a1 α1 + a2 α2 = 0, ou seja, α2 = (−a1 /a2 )α1 . Ora, se
considerarmos a aplicação injectiva
φ1 :
Q −→ R
a 7−→ aα1 ,
temos que o seu contradomı́nio é numerável, e portanto, como B2 ∩ R \ Q é um
seu subconjunto, também é numerável, o que dá uma contradição, pois B2 ∩ R \ Q
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
53
é não numerável. Assim, existe algum irracional α2 ∈ B2 tal que {α1 , α2 } são
independentes. Seja n ∈ N e admitamos que existem irracionais α1 ∈ B1 , . . . , αn ∈
Bn tais que {α1 , . . . , αn } são independentes. Suponhamos, por contradição, que
para todo o irracional αn+1 ∈ Bn+1 , existem a1 , . . . , an+1 ∈ Q, não simultâneamente
nulos, tais que a1 α1 + · · · + an αn + an+1 αn+1 = 0. É claro que an+1 6= 0, pois
{α1 , . . . , αn } são independentes. Assim, temos
αn+1 = −
an
a1
α1 − · · · −
αn .
an+1
an+1
Consideremos a aplicação injectiva
φn :
Qn
−→ R
(a1 , . . . , an ) 7−→ a1 α1 + · · · + an αn .
Temos que o contradomı́nio desta aplicação é numerável, logo Bn+1 ∩ R \ Q é numerável, o que dá uma contradição. Daqui conclui-se que existe αn+1 ∈ Bn+1 ∩ R \ Q
tal que {α1 , . . . , αn , αn+1 } são independentes. Indutivamente mostramos que, para
todo n ∈ N, existem irracionais αn ∈ Bn tais que {αn }n≥1 são independentes.
Vejamos agora que este conjunto numerável de irracionais independentes, que
designaremos por I, é denso em R. Para isso, basta provar que o interior do seu
complementar, int I c , é um conjunto vazio. De facto, se não fosse este o caso, existiria
algum k ∈ N tal que Bk ⊂ int I c , e portanto, αk ∈ Bk ⊂ int I c ⊂ I c . Terı́amos assim
αk ∈ I c , o que é absurdo. Daqui concluı́mos que int I c = ∅, e portanto o conjunto I
é denso em R.
Assim, pelo Teorema 3.2.4, podemos concluir que existe um conjunto numerável
denso de irracionais independentes que está contido no conjunto de rotação de uma
função não integrável.
3.3
Conjunto de rotação não numerável
Nesta secção provaremos que um conjunto de rotação “grande”do ponto de vista de
numerabilidade (localmente não numerável) não é suficiente para garantir a integrabilidade da função.
Consideramos em S 1 a distância d dada por
d(x, y) = min{|x − y + k| : k ∈ Z} para todos x, y ∈ S 1 .
Se α é um irracional em (0, 1) e [a0 ; a1 , . . . ] é a sua representação em fracção
contı́nua, então temos a0 = 0. Neste caso, omitimos a0 e escrevemos simplesmente
α = [a1 , a2 , . . . ]. Seja α um
irracional em (0, 1/2). Vamos de seguida estudar a
n
estrutura da órbita Rα (0) n≥1 , com o objectivo de representar α por uma fracção
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
54
contı́nua. Para isso, começamos por definir q0 = 1 e, para cada n ≥ 1, qn ∈ N tal
que
qn = min{m > qn−1 : d(0, mα) < d(0, m0 α) para 0 < m0 < m}.
É claro que q1 = [1/α]. Seja dn a distância de zero a qn α, isto é, dn = d(0, qn α). É
fácil verificar que d0 = α e d1 = 1 − q1 α.
Seja j < q2 . Observe-se que (q1 + j)α está mais próximo de zero que jα se jα
está à “direita” de zero, e mais distante se jα está à “esquerda” de zero. Daqui
conclui-se que q2 α ∈ (0, α), e temos q2 = aq1 + 1 = aq1 + q0 , com a o menor inteiro
positivo tal que α−ad1 < d1 , ou seja, a = [α/d1 ] = [d0 /d1 ]. Se definirmos a1 = [1/α],
e para cada n ≥ 2
dn−2
,
an =
dn−1
temos q1 = a1 e, pelas observações acima, q2 = a2 q1 + q0 . Usando os mesmos
argumentos para um n qualquer, concluı́mos que qn−1 α e qn α se encontram em
lados opostos relativamente a zero, mais precisamente, qn α encontra-se à “direita”
de zero para n par, e à “esquerda” para n ı́mpar. Por outro lado, obtemos qn+1 α
movendo qn−1 α, an+1 vezes a distância dn , e portanto
qn+1 = an+1 qn + qn−1 .
(3.28)
Denotando por pn o inteiro mais próximo de qn α, e observando a descrição acima,
concluı́mos que
pn+1 = an+1 pn + pn−1 .
Considerando a sequência
temos
p0 p1
pk
,
,...,
,...
q0 q1
qk
pn
→ α quando n → ∞,
qn
e portanto α = [a1 , a2 , . . . ].
Para n ≥ 1, denotando por Pn a partição de S 1 pelos pontos jα com j =
0, . . . , qn − 1, temos #Pn = qn . Para 0 ≤ j < qn , consideremos os pontos (j + lqn )α
com j + lqn < qn+1 , que se situam entre jα e o ponto imediatamente a seguir, mais
precisamente, o ponto à “direita” se n é par e à “esquerda” se n é ı́mpar. Ora, por
(3.28) temos claramente que, se j < qn−1 , então 0 < l ≤ an+1 ; se j ≥ qn−1 , então
0 < l < an+1 . Assim, cada intervalo em Pn é dividido em an+1 + 1 ou an+1 intervalos
de Pn+1 , todos com comprimento dn , à excepção do último, que tem comprimento
−
+
dn + dn+1 . Denotamos por Pn+1
e Pn+1
as subcolecções, não vazias, de intervalos de
comprimento dn e dn +dn+1 , respectivamente. Nestas condições verifica-se o seguinte
resultado:
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
55
Lema 3.3.1. Temos para todo o n ≥ 1
an
< qn dn−1 < 1.
an + 2
Prova. Seja n > 1. Atendendo a que an = [dn−2 /dn−1 ] vem
an + 1 >
dn−2
⇔ dn−2 < (an + 1)dn−1
dn−1
⇔ dn−2 + dn−1 < (an + 1)dn−1 + dn−1
⇔ dn−2 + dn−1 < (an + 2)dn−1 ,
o que mostra que todo o intervalo I ∈ Pn−1 verifica
λ(I) < (an + 2)dn−1 .
Assim, como
X
(3.29)
λ(I) = λ(S 1 ) = 1,
I∈Pn−1
temos
X
an
an
=
λ(I)
an + 2
an + 2 I∈P
n−1
<
=
=
<
an
#Pn−1 (an + 2)dn−1
an + 2
an qn−1 dn−1
(qn − qn−2 )dn−1
qn dn−1 .
A segunda desigualdade na sequência acima é uma consequência de (3.29). De (3.28)
obtemos
a quarta igualdade. Vejamos agora que qn dn−1 < 1. De facto, resulta de
P
I∈Pn µ(I) = 1 que
#Pn+ (dn−1 + dn ) + #Pn− dn−1 = 1,
como #Pn+ > 0 tem-se #Pn+ dn > 0, e portanto
#Pn+ dn−1 + #Pn− dn−1 < #Pn+ (dn−1 + dn ) + #Pn− dn−1 = 1,
ou seja, #Pn dn−1 < 1. Ora, atendendo
a que #Pn = qn , vem qn dn−1 < 1.
Seja agora n = 1. Como a1 = 1/d0 ] temos que
a1 + 1 >
1
1
⇔
< d0 ,
d0
a1 + 1
56
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
e portanto
a1
a1
<
< a1 d0 = q1 d0 < 1.
a1 + 2
a1 + 1
Temos assim provado o resultado.
u
t
Até ao final desta secção α será um irracional fixo, que definiremos de seguida a
partir dos elementos da sua representação numa fracção contı́nua. Estes elementos
serão construı́dos de modo a satisfazerem as condições do Lema 3.3.1. Provaremos,
usando o mesmo método que na Secção 3.2, que existe uma função definida no
cı́rculo não integrável f , cujo conjunto de rotação contém a sucessão de irracionais
(jα)j≥1 . Finalmente, usando a sucessão de irracionais (jα)j≥1 , demonstraremos que
o conjunto de rotação da função f é localmente não numerável, isto é, U ∩ Γf é
não numerável, para todo o subconjunto não vazio aberto U de S 1 . Muitas das
demonstrações serão omitidas, visto serem uma reprodução das demonstrações já
apresentadas na Secção 3.2.
Consideremos a sucessão estritamente crescente (ci )i≥1 tomando valores em R
tal que, para todo i, ci > 4 e, para todo k ≥ 1
k
X
1
ci
< ,
c
24
i=1 k+1
∞
X
1
2
<
ci
24ck
i=k+1
e
∞
X
1
c
i=1 i
converge.
(3.30)
Vejamos então como determinar os elementos da referida fracção contı́nua.
Para i = 1, seja a1 = 3. Sejam q0 = 1, q1 = a1 q0 + 0 = 3, l1 = q1 − 1 = 2 e M1 =
[12l1 c21 ] + 1 ≥ [12.2.16] + 1 = 385. Definimos a2 ∈ N tal que l1 M1 < q2 = a2 q1 + q0 e
K1 = q2 − 1.
Para i ≥ 2, seja
a2i−1 = [5Mi−1 ci−1 ],
(3.31)
e q2i−1 = a2i−1 q2i−2 + q2i−3 . Sejam li = q2i−1 − 1 e Mi = [12li c2i ] + 1. Definimos
a2i ∈ N tal que li Mi < q2i = a2i q2i−1 + q2i−2 e Ki = q2i − 1.
Fixadas as sucessões (ai )i≥1 , (qi )i≥0 , (li )i≥1 , (Mi )i≥1 e (Ki )i≥1 , consideramos o
irracional α tal que α = [a1 , a2 , . . . ]. Ora, como a1 = 3 temos que α ∈ (0, 1/3).
Fixamos a sucessão (di )i≥0 , já definida anteriormente, mas agora para o irracional
α. É claro que o Lema 3.3.1 ainda se verifica para os elementos que definem α.
Vamos então provar que existe uma função não integrável definida no cı́rculo, cujo
conjunto de rotação contém a sucessão de irracionais (jα)j≥1 . Para isso, começamos
por provar dois resultados, que correspondem aos Lemas 3.2.2 e 3.2.3 da Secção 3.2.
O Lema 3.3.1 será usado em vez da independência dos irracionais que, obviamente,
não se verifica neste caso.
Dada uma sucessão b = (bj )j≥0 , definimos
B = (bj )nj=m
com 0 ≤ m ≤ n < ∞,
57
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
como um bloco de b de comprimento n − m + 1. A um bloco B de comprimento M
chamamos M -bloco de b.
i
Fixemos arbitrariamente i ∈ N. Provaremos de seguida que, dados (jα)lj=1
, ci ,
bc de perı́odo 1 que verificam as propriedades do
Mi e Ki , existem conjuntos Gci e G
i
Lema 3.2.2.
bc ⊂ R de perı́odo 1, tais que
Lema 3.3.2. Existem conjuntos Gci ⊂ G
i
bc ∩ S 1 ) < 2/ci ;
1. λ(Gci ∩ S 1 ) = 1/ci e λ(G
i
bc ∩ S 1 consistem na união de um número finito de
2. os conjuntos Gci ∩ S 1 e G
i
intervalos abertos;
3. para todos j ∈ {1, . . . , li } e x ∈ R, se B é um Mi -bloco de (x + kjα)k≥0 , então
bc , então
B ∩ Gci consiste no máximo de dois blocos de (x + kjα)k≥0 ; se x ∈
/G
i
Mi
(x + kjα)k=1 ∩ Gci = ∅.
Prova. Seja ηi = 1/ci (Ki + 1). Atendendo a que Ki + 1 = q2i e ci > 4, e apelando
ao Lema 3.3.1, temos
a2i
1
1
1
1
<
<
< q2i d2i−1
= d2i−1 .
(3.32)
ηi =
ci q2i
4q2i
a2i + 2 q2i
q2i
Note que (a2i + 2)/a2i = 1 + 2/a2i < 4, o que justifica a veracidade da terceira
desigualdade. Seja
K
i
Ijα,ηi .
Gci = ∪˙ m∈Z (m + Fi ) com Fi = ∪˙ j=0
Observe-se que o facto das uniões acima definidas serem disjuntas é uma consequência de (3.32). Assim,
λ(Gci ∩ S 1 ) = λ(∪˙ m∈Z (m + Fi ) ∩ S 1 )
= (Ki + 1)ηi
1
= (Ki + 1)
ci (Ki + 1)
1
=
.
ci
Definindo agora
bc e
é claro que Gci ⊂ G
i
i
bc = ∪˙ m∈Z (m + ∪˙ K
G
j=−Ki Ijα,ηi ),
i
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
58
bc ∩ S 1 ) = (2Ki + 1)ηi
λ(G
i
1
= (2Ki + 1)
ci (Ki + 1)
Ki
1
1+
=
ci
Ki + 1
2
,
<
ci
ficando assim provada a propriedade 1. Por outro lado, a propriedade 2 é uma
bc . Para provar 3, sejam x ∈ R
consequência imediata das definições de Gci e G
i
e j ∈ {1, . . . , li }. É suficiente provar que (x + kjα)k≥0 intersecta Gci em blocos
da forma (x + kjα)k≥0 ∩ (m + Fi ) = B, para algum m ∈ Z, de comprimento
no mı́nimo Mi , salvo se x ∈ B. Assim, seja k 0 o menor inteiro positivo tal que
x + k 0 jα ∈ m + Fi , para algum m ∈ Z, e suponhamos que x ∈
/ m + Fi . É claro
0
que x + k jα ∈ m + Itα,ηi , para algum t ∈ {0, . . . , Ki }. Queremos provar que
x + (k 0 + Mi − 1)jα ∈ m + Fi . Como x + (k 0 − 1)jα ∈
/ m + Fi , temos que t < j.
Deste modo, t + (Mi − 1)j < j + (Mi − 1)j = jMi ≤ li Mi ≤ Ki , e portanto
x + (k 0 + Mi − 1)jα ∈ m + I(t+(Mi −1)j)α,ηi ⊂ m + Fi . Note-se que, no caso de
x ∈ m + Fi podemos ter x ∈ m + IKi α,ηi . Podemos assim concluir que se B é
um Mi -bloco de (x + kjα)k≥0 , então B ∩ Gci consiste no máximo de dois blocos de
(x + kjα)k≥0 , cada um com a forma B ∩ (m + Fi ), para algum m ∈ Z (m’s distintos).
bc . Suponhamos, por contradição, que x + k 0 jα ∈ Gc , para algum
Seja x ∈
/ G
i
i
k 0 ∈ {1, . . . , Mi }. Então, x + k 0 jα ∈ m + Itα,ηi , para algum m ∈ Z e t ∈ {0, . . . , Ki },
bc , o que dá uma contradição. Note-se que
e portanto, x ∈ m + I(t−k0 j)α,ηi ⊂ G
i
bc , então (x+kjα)Mi ∩Gc = ∅.
Ki ≥ t−k 0 j ≥ −k 0 j ≥ −Mi li ≥ −Ki . Assim, se x ∈
/G
i
i
k=1
u
t
bc acima
No resultado que se segue veremos que dados os conjuntos Gci e G
i
definidos, existe uma função fci definida no cı́rculo satisfazendo as propriedades do
Lema 3.2.3.
Lema 3.3.3. Existe uma função fci : S 1 → R satisfazendo
Z
1. fci (x) = 0 para x ∈
/ Gci , |fci | ≤ 2ci e
|fci |dλ > 1/3;
S1
2. Mnjα fci (x) → 0, quando n → ∞, para todo j ∈ {1, . . . , li } e quase todo x ∈ S 1 ;
bc , |Mnjα fc (x)| < 1/ci .
3. para todos n ≥ 1, j ∈ {1, . . . , li } e x ∈
/G
i
i
59
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
Prova. Seja wi = 1/α(li + 1). Se definirmos, para cada x ∈ R,
φi (x) = |1 − e2πiwi x |
temos que φi (jα) > 1/li , para 1 ≤ j ≤ li . Basta notar que
φi (jα) = |1 − e2πiwi jα |
li
π = 2 sen
li + 1
π = 2 sen
li + 1
1
.
>
li
Consideremos agora as funções definidas em R por
hi (x) = χFi (x) cos(2πwi x) e gi (x) =
X
hi (x − m).
m∈Z
É claro que, para cada x ∈ R, gi (x) tem no máximo um termo diferente de zero,
note-se que o suporte da função gi está contido em Gci . Seja
γi = c i
Z
1
gi (x)dx.
0
Temos
γi = c i
= ci
Z
1
X
0 m∈Z
XZ 1
m∈Z
= ci
= ci
XZ
hi (x − m)dx
0
−m+1
hi (x)dx
m∈Z −m
Z +∞
hi (x)dx,
−∞
por outro lado,
hi (x − m)dx
(3.33)
60
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
Z
+∞
hi (x)dx =
−∞
=
Z
+∞
χFi (x) cos(2πwi x)dx
−∞
Ki Z jα+ηi /2
X
cos(2πwi x)dx
j=0
jα−ηi /2
K
i
sen(πwi ηi ) X
cos(2πwi jα)
=
πwi
j=0
K
=
i
sen(πwi ηi ) X
Re(e2πiwi jα )
πwi
j=0
Ki
X
sen(πwi ηi )
e2πiwi jα ,
=
Re
πwi
j=0
e portanto, de (3.33) e (3.34) resulta que
Ki
X
ci sen(πwi ηi )
2πiwi jα |γi | = Re
e
πwi
j=0
X
Ki 2πiw jα i
≤ ci ηi e
j=0
1 − e2πiwi (Ki +1)α = ci ηi 1 − e2πiwi α 2ci ηi
≤
|1 − e2πiwi α |
(3.34)
61
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
2ci ηi
φi (α)
< 2ci ηi li
=
1
li
ci (Ki + 1)
2li
Ki + 1
2li
l i Mi
2
Mi
2
.
385
= 2ci
=
<
=
≤
Definindo agora fci : S 1 → R por
fci (x) = −ci γi χGci (x) + ci gi (x),
temos claramente que fci (x) = 0 para x ∈
/ Gci . Por outro lado,
|fci | ≤ ci |γi | + ci |gi | < ci
2
+ ci < 2ci .
385
Deste modo, para terminar a prova da propriedade 1, falta provar que
Z
|fci |dλ > 1/3.
S1
Para isso, usando cálculos já anteriormente efectuados, temos
Z
1
|gi (x)|dx =
0
Ki Z
X
j=0
≥
Ki Z
X
j=0
=
Ki Z
X
j=0
jα+ηi /2
| cos(2πwi x)|dx
jα−ηi /2
jα+ηi /2
cos2 (2πwi x)dx
jα−ηi /2
jα+ηi /2
jα−ηi /2
1 + cos(4πwi x)
dx
2
62
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
1
=
2
1
≥
2
X
Ki Z
j=0
X
Ki Z
j=0
jα+ηi /2
1dx +
jα−ηi /2
Ki Z
X
j=0
jα+ηi /2
jα−ηi /2
jα+ηi /2
cos(4πwi x)dx
jα−ηi /2
X
Z
Ki
1dx − j=0
jα+ηi /2
jα−ηi /2
1
(Ki + 1)ηi − 2li ηi )
2
1
=
− η i li ,
2ci
>
cos(4πwi x)dx
e portanto,
Z
|fci |dλ =
S1
Z
1
| − ci γi χGci (x) + ci gi (x)|dx
Z 1
Z 1
≥ −
|ci γi χGci (x)|dx +
|ci gi (x)|dx
0
0
Z 1
Z 1
χGci dx + ci
|gi (x)|dx
= −ci |γi |
0
0
0
1
> −ci |γi |λ(Gci ∩ S ) + ci
1
1
+ − c i ηi li
ci 2
1
−|γi | + − ci ηi li
2
1
−2ci ηi li + − ci ηi li
2
1
−3ci ηi li +
2
3
1
−
+
385 2
1
.
3
= −ci |γi |
=
>
=
>
>
1
− η i li
2ci
Vejamos agora que a propriedade 2 também é satisfeita. De facto, temos
63
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
Z
fci dλ = −ci γi
S1
Z
1
0
χGci (x)dx + ci
= −ci γi λ(Gci ∩ S 1 ) + γi
1
= −ci γi + γi
ci
= −γi + γi
= 0
Z
1
gi (x)dx
0
donde, pelo Teorema Ergódico de Birkhoff, Mnjα fci (x) → 0 quando n → ∞, para
todo j ∈ {1, . . . , li } e quase todo x ∈ S 1 , o que prova 2. Finalmente, para provar 3
bc e n ∈ N. Ora, pela propriedade 3 do
fixamos arbitrariamente j ∈ {1, . . . , li }, x ∈
/G
i
jα
Lema 3.3.2, se n < Mi , então Mn fci (x) = 0, o que prova neste caso o pretendido;
se n ≥ Mi então (x + kjα)nk=0 ∩ Gci é a união disjunta de no máximo 2([n/Mi ] + 1)
blocos de (x + kjα)k≥0 , cada um com a forma (x + kjα)nk=0 ∩ (m + Fi ), com m ∈ Z.
2
Seja (x + kjα)kk=k
um desses blocos. Temos, para algum m ∈ Z,
1
k2
X
gi (x + kjα) =
k=k1
k2
X
hi (x + kjα − m)
k=k1
=
k2
X
χFi (x + kjα − m) cos(2πwi (x + kjα − m))
k=k1
=
k2
X
cos(2πwi (x + kjα − m))
k=k1
=
k2
X
Re(e2πiwi (x+kjα−m) )
k=k1
= Re
X
k2
e
2πiwi (x+kjα−m)
k=k1
= Re e
2πiwi (x+k1 jα−m) 1
− e2πiwi jα(k2 −k1 +1)
,
1 − e2πiwi jα
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
64
e portanto,
X
k2
2πiw (x+k jα−m) 1 − e2πiwi jα(k2 −k1 +1) 1
i
gi (x + kjα) ≤ e
1 − e2πiwi jα
k=k1
2
|1 − e2πiwi jα |
2
=
φi (jα)
< 2li .
≤
Assim,
|Mnjα fci (x)| ≤ ci |γi ||Mnjα χGci (x)| + ci |Mnjα gi (x)|
n−1
≤
<
≤
=
≤
<
<
=
<
ci X
gi (x + kjα)
ci |γi | + n k=0
ci
n
ci |γi | + 2
+ 1 2li
n
Mi
4ci li n
ci |γi | +
+1
n
Mi
1
1
ci |γi | + 4ci li
+
Mi n
2
ci |γi | + 4ci li
Mi
2ci 8ci li
+
Mi
Mi
8ci li
2ci
+
2
12li ci
12li c2i
1
2
+
6li ci 3ci
1
ci
o que verifica também neste caso a propriedade 3.
u
t
Deste modo, acabamos de ver que, para cada i ∈ N, existe uma função fci :
S → R que verifica as propriedades do Lema 3.2.3. Consideremos agora a função
f : S 1 → R definida por
P∞
se a soma converge,
i=1 fci (x)
f (x) =
0
caso contrário.
1
65
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
Pela prova do Teorema 3.2.4 temos que f ∈
/ L1 (λ) e, para todo j ≥ 1 e quase todo
x ∈ S 1 , Mnjα f (x) → 0 quando n → ∞. Isto prova que existe uma função mensurável
f : S 1 → R tal que
f∈
/ L1 (λ) e (jα)j≥1 ⊂ Γf .
(3.35)
Provaremos de seguida que (jα)j≥1 não são os únicos irracionais em Γf . Mais precisamente, provaremos que, para cada i ∈ N, existe uma vizinhança de {α, . . . , li α}
tal que todo o irracional β nessa vizinhança pertence a Γf . Ora, como observamos
na Nota 3.2.5, na prova do Teorema 3.2.4 o ingrediente essencial usado para demonstrar que os irracionais αj , para todo j ≥ 1, pertenciam ao conjunto de rotação da
função, foram as propriedades 2 e 3 do Lema 3.2.3. Assim, o nosso objectivo agora
é provar que, para cada i ∈ N, dada a função fci definida no Lema 3.3.3 as propriedades 2 e 3 ainda se verificam se substituirmos jα por um irracional β numa
vizinhança de {α, . . . , li α}. Ora, é claro que a propriedade 2 se verifica para todo
o irracional β. Por outro lado, na prova da propriedade 3 do Lema 3.3.3, para podermos substituir o irracional jα pelo irracional β numa vizinhança de {α, . . . , l i α},
basta provar que φi (β) > 1/li e que a propriedade 3 do Lema 3.3.2 ainda se verifica
para o irracional β. Ora, pela continuidade da função φi , temos que φi (β) > 1/li ,
para cada β suficientemente próximo de {α, . . . , li α}. Para provar a propriedade 3,
redifinimos
donde,
bc = ∪m∈Z (m + ∪Ki
G
i
j=−Ki Ijα,2ηi ),
bc ∩ S 1 ) ≤ (2Ki + 1)2ηi
λ(G
i
= 2(2Ki + 1)
<
1
ci (Ki + 1)
4
.
ci
Lema 3.3.4. Existe uma vizinhança de {α, . . . , li α}, tal que todo o irracional β
nessa vizinhança satisfaz: se x ∈ R e B é um Mi -bloco de (x + kβ)k≥0 , então
bc , então
B ∩ Gci consiste no máximo de dois blocos de (x + kβ)k≥0 ; se x ∈
/ G
i
Mi
(x + kβ)k=1 ∩ Gci = ∅.
Prova. Seja j ∈ {1, . . . , li }. Dado y ∈ Gci , definimos my e Ky , com 0 ≤ Ky ≤ Ki ,
como os únicos inteiros tais que y ∈ my + IKy α,ηi ⊂ my + Fi . Definimos também
Ky
Ki − K y
−
+
ty = min Mi − 1,
e ty = min Mi − 1,
.
j
j
+
−
+
Resulta assim das definições de t−
y e ty que Ky − jty ≥ 0 e Ky + jty ≤ Ki . Basta
observar que
66
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
Ky
⇔ Ky − jt−
y ≥ 0
j
(3.36)
Ki − K y
⇔ Ky + jt+
y ≤ Ki .
j
(3.37)
t−
y ≤
e
t+
y ≤
Definimos ηi∗ = d2i−1 e
Ki
G∗ci = ∪˙ m∈Z (m + Fi∗ ) com Fi∗ = ∪˙ j=0
Ijα,ηi∗ .
Note-se que os intervalos Ijα,ηi∗ são abertos, daı́ a união ser disjunta. Uma vez que
ηi < d2i−1 , temos que Gci ⊂ G∗ci e a sua distância à fronteira de G∗ci é positiva. Deste
modo, existe uma vizinhança de jα tal que, se β é um irracional nessa vizinhança,
t+
y
∗
então (y + kβ)k=−t
− ⊂ (my + Fi ). Seja β um irracional nessa vizinhança. Então,
y
t+
y
kβ)k=−t
−
y
+
tem comprimento no mı́nimo Mi , isto é, t−
(y +
y + ty + 1 ≥ Mi . De facto,
+
basta ver para o caso t−
y = [Ky /j] e ty = [(Ki − Ky )/j], pois nos restantes casos é
imediato. Assim, como j ≤ li temos
t−
y
+
t+
y
+1 =
≥
=
=
≥
Ky
Ki − K y
+
+1
j
j
Ky
Ki − K y
+
+1
li
li
Ky
Ki Ky
+
−
+1
li
li
li
Ky
Ky
+ Mi −
+1
li
li
Mi .
t+
y
Concluı́mos portanto que (y + kβ)k=−t
− tem comprimento no mı́nimo Mi . Notemos
y
t+
y
∗
também que pelo facto de (y + kβ)k=−t
− ⊂ (my + Fi ), temos que
y
t+
y
(my + Fi ) é um único bloco de (y + kβ)k=−t
−.
y
k0 +Mi −1
Finalmente, sejam x ∈ R e (x + kβ)k=k0
um Mi -bloco de (x
t+
y
(y + kβ)k=−t
− ∩
y
+ kβ)k≥0 . Assumindo, sem perda de generalidade, que k0 = 0 e x ∈ Gci , temos pelas observações
+
+
x
x
∩Gci é um único bloco de (x+kβ)k≥0 .
acima que (x+kβ)tk=0
⊂ mx +Fi∗ e (x+kβ)tk=0
Mi −1
+
Ora, se tx = Mi − 1 ou (x + kβ)k=t+ +1 ∩ Gci = ∅ o resultado sai imediatamente, caso
x
contrário, seja z ∈ Gci tal que
z=
min
t+
x +1≤k≤Mi −1
{x + kβ}.
67
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
+
+
tz
∗
z
∩ (mz + Fi ) é um único bloco de
Temos (z + kβ)tk=−t
− ⊂ (mz + Fi ) e (z + kβ)
k=−t−
z
+
z
Mi −1
z
i −1
∩ G ci
⊂ (z + kβ)tk=−t
(x + kβ)k≥0 . Como (x + kβ)M
− , temos que (x + kβ)
k=t+ +1
k=t+ +1
z
x
x
i −1
é um único bloco de (x + kβ)k≥0 . Donde se conclui que (x + kβ)M
k=0 ∩ Gci consiste
no máximo de dois blocos de (x + kβ)k≥0 .
bc . Se x + k 0 β ∈ Gc , para algum k 0 ∈ {1, . . . , Mi }, então x + k 0 β ∈
Seja x ∈
/ G
i
i
bc , pois
m + Itα,ηi , com m ∈ Z e t ∈ {0, . . . , Ki }. Logo, x ∈ m + I(t−j)α,ηi ⊂ G
i
M
i
b
−Ki ≤ t − j ≤ Ki , o que é absurdo. Assim, se x ∈
/ Gci , então (x + kβ)k=1 ∩ Gci = ∅.
u
t
Assim, existe uma vizinhança fechada de {α, . . . , li α} tal que a propriedade 3 do
Lema 3.3.3 verifica-se para cada irracional β nessa vizinhança. Deste modo, uma
vez que li = q2i−1 − 1, existe 0 < δi < d2i−2 tal que, se definirmos
li
Ei = ∪˙ m∈Z (m + ∪˙ j=1
I jα,δi ),
(com I jα,δi = jα − δi /2, jα + δi /2 ), temos que a propriedade 3 do Lema 3.3.3,
verifica-se para cada irracional β ∈ Ei . Os intervalos fechados I jα,δi designamos de
intervalos básicos de Ei .
∞
Seja E = ∪∞
k=1 ∩i=k Ei . Ora, se β é um irracional em E, então existe nβ tal que,
para todo i ≥ nβ , β ∈ Ei e, consequentemente a propriedade 3 do Lema 3.3.3 verifica∞
se para todo i ≥ nβ . Vejamos agora que β ∈ Γf . Se definirmos G∞ = ∩∞
n=1 ∪i=n Gci ,
temos por (3.30)
λ(G∞ ∩ S 1 ) =
≤
=
1
lim λ(∪∞
i=n Gci ∩ S )
n→∞
lim
n→∞
lim
n→∞
= 0.
Daqui conclui-se que f (x) =
∞ b
b ∞ = ∩∞
G
n=1 ∪i=n Gci , temos
P∞
i=1
∞
X
i=n
∞
X
i=n
λ(Gci ∩ S 1 )
1
ci
fci (x) para quase todo x ∈ S 1 . Analogamente, se
68
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
b∞ ∩ S 1 ) =
λ(G
≤
1
b
lim λ(∪∞
i=n Gci ∩ S )
n→∞
lim
n→∞
∞
X
i=n
bc ∩ S 1 )
λ(G
i
∞
X
4
≤ lim
n→∞
c
i=n i
∞
X
1
= 4 lim
n→∞
c
i=n i
= 0.
b∞ é periódico de perı́odo 1, temos que λ(G
b∞ ) = 0. Assim,
Ora, como o conjunto G
∞
bc , e portanto para todo i ≥ max{nx , nβ }
b∞ existe nx tal que x ∈
se x ∈
/ G
/ ∪i=nx G
i
temos,
1
|Mnβ fci (x)| <
para todo n ≥ 1.
ci
Assim, para quase todo x ∈ S 1 e todo k ≥ max{nx , nβ }, temos
lim sup |Mnβ f (x)|
n→∞
=
lim sup |Mnβ
n→∞
≤ lim sup
n→∞
≤ lim sup
n→∞
= 0+
= 0.
k
X
∞
X
i=1
fci (x) |
|Mnβ fci (x)|
+ lim sup
i=1
k
X
i=1
∞
X
1
ci
i=k+1
|Mnβ fci (x)| +
n→∞
∞
X
∞
X
|Mnβ fci (x)|
i=k+1
1
ci
i=k+1
Para a penúltima igualdade na sequência acima aplicou-se a propriedade 2 do Lema
3.3.3, agora para o irracional β. Como k ≥ max{nx , nβ } é arbitrário, de (3.30)
obtém-se facilmente a última igualdade. Deste modo, para quase todo x ∈ S 1 ,
Mnβ f (x) → 0 quando n → ∞, e portanto β ∈ Γf . Donde se conclui que E ⊂ Γf .
Observe-se que a condição (3.31) ainda não foi usada e portanto, para cada i ≥ 2,
podemos escolher a2i−1 ∈ N como desejarmos. Assim, para i ≥ 2 podemos escolher
a2i−1 tal que existam no mı́nimo 4 intervalos de P2i−1 em cada intervalo básico
de Ei−1 para qualquer escolha de a2i , a2i+1 , . . . . Deste modo, existe uma escolha
CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO
69
de {a2i−1 }i≥2 tal que cada intervalo básico de Ei−1 contém no mı́nimo 3 intervalos
básicos de Ei . Assim, para cada i ∈ N, cada intervalo básico de Ei contém um
conjunto de Cantor contido em ∩∞
k=i Ek ⊂ E, e portanto E é não numerável. Ora,
como di → 0 quando i → ∞, temos que δi → 0 quando i → ∞. Logo, para cada
conjunto não vazio aberto U ⊂ R, existe i ∈ N tal que um intervalo básico de Ei
está contido em U . Donde, U contém um conjunto de Cantor que está contido em
E, e portanto, U ∩ Γf é não numerável. Tendo em conta (3.35), temos provado o
seguinte resultado:
Teorema 3.3.5 (Svetic). Existe uma função f : S 1 → R não integrável cujo conjunto de rotação é localmente não numerável.
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