Lista de exercícios
Data: 15/09/2011
Turma: Engenharia Mecânica
1) Colocou-se uma barra de metal, com temperatura de 120ºC em um ambiente cuja temperatura é constante
e vale 8ºC. Após 30 minutos mediu-se a temperatura da barra encontrando o valor de 70ºC. Pergunta-se:
a) qual o tempo para a barra atingir a temperatura de 65º C? R: 34,27 min
b) após 50 minutos qual a temperatura da barra? R: 49,8ºC
Sugestão: Equação de Temperatura
dT
= k (Tm − T ) onde Tm é a temperatura ambiente.
dt
2) Em uma população de coiotes, a taxa de variação do número de animais N(t) é diretamente proporcional a
650 – N(t), onde t é tempo medido em anos. Quando t = 0 a população era de 300, e quando t = 2, aumentou
para 500. Calcule a população quando t = 3, qual a quantidade máxima de coiotes, esboce o gráfico de N(t).
R: 552; 650
3) O nível y(t) de um reservatório de água em escoamento vertical sob a ação da gravidade em função do
tempo, pode muitas vezes ser modelado pela chamada Lei de Torricelli:
dy
= − h y onde h é uma
dt
constante. Resolva a E.D.O de Torricelli, sujeita à condição inicial y (t0 ) = y0 .
h


R: y (t ) =  y0 − (t − t0 ) 
2


2
4) Considere a E.D.O que descreve o movimento de queda de um corpo de massa m, sujeito a uma força
proporcional ao quadrado da velocidade m
dv
= mg − kv 2 onde k é uma constante positiva, representando o
dt
termo de resistência do ar e g é a aceleração local. Sendo v(0) = 0, obtenha a velocidade limite de queda do
corpo.
R: vlim =
mg
k
Modelo de Crescimento e Decaimento Exponencial
Se y é uma função derivável na variável t com y > 0 e y’ = kx, para alguma constante k, então y = ce kt . A
constante c é o valor inicial de y, e k é a constante de proporcionalidade. Há crescimento exponencial quando
k > 0, e há decaimento exponencial quando k < 0.
5) Quatro meses após ter interrompido a publicidade, uma companhia percebe que as suas vendas caíram de
100 000 para 80 000 unidades por mês. Se as vendas mensais seguirem um padrão exponencial de declínio,
qual será a venda mensal da companhia após dois meses? R: 89440,20
6) O número de supermercados C(t) no país que estão usando um sistema computadorizado é descrito pelo
problema de Valor Inicial
dC
= C (1 − 0, 0005C ); C(0) = 1, em que t > 0. Quantos supermercados estarão
dt
usando sistemas computadorizados quando t = 10? Quantas companhias estarão adotando esse novo
procedimento depois de um longo período de tempo.
R: 1834,43; 2001 companhias
dp
7) Mostre que o P.V.I:
= Ap 2 / 3 − Bp; p (0) = 0 tem como solução
dt
3
 A
p (t ) =   (1 − e − Bt / 3 )3 e que
B
3
 A
p (t ) →   sempre que t → ∞ . Observação: Esta equação é empregada para modelar, por exemplo o
B
aumento de peso de peixes em um viveiro. Aqui, A e B são as chamadas constantes de anabolismo e
catabolismo.
8) ( Reações químicas
bimoleculares) Uma reação química bimolecular
é uma reação na qual duas
substâncias químicas reagem para fomar uma outra substância. Suponha que uma molécula de cada uma das
duas substâncias químicas reagem para formar duas moléculas da nova substância. Se x representa o número
de moléculas da nova substância no instante t, então a taxa de variação de x é proporcional ao produto dos
números de moléculas disponíveis das substâncias químicas originais para serem convertidas. Isto é, se cada
uma das substâncias químicas inicialmente continham A moléculas, então
dx
= k ( A − x)2 . Se 40% da
dt
quantidade inicial A for convertida após 1 hora, quanto tempo levará para que 90% seja convertida?
9) ( Pressão sanguínea na aorta) A taxa na qual a pressão sanguínea decresce na aorta de um adulto normal
após um batimento cardíaco é
dp
= −46, 645e −0,49t onde t é o tempo em segundos.
dt
a) Qual função descreve a pressão sanguínea na aorta se p = 95 quanto t = 0?
b) Qual é pressão sanguínea 0,1 segundo após um batimento cardíaco?
R: p = 95e −0,491t ; 90, 45
10) Suponha que a propensão ao consumo marginal seja de
dC
ln( y + 1)
= 0, 04 +
( em bilhões de dólares) e
dy
y +1
que o consumo seja de $ 6,04 bilhões quando a renda disponível for 0. Encontre a função de consumo
nacional.